Lý thuyết Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian– Toán lớp 12 Kết nối tri thức
Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian- Cánh diều
A. Lý thuyết Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian
1. Khái niệm vectơ trong không gian
• Vectơ trong không gian
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
Chú ý:
Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B thì ta có một vectơ, kí hiệu là , đọc là “vectơ AB”.
Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là , ...
• Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ – không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, … được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng.
Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho mỗi vectơ đó:
a) Bằng vectơ .
b) Là vectơ đối của vectơ .
Hướng dẫn giải
a) Do các vectơ ,, cùng hướng với vectơ và
DC = D'C' = A'B' = AB (tính chất hình hộp) nên = = = .
Vậy ba vectơ ,, có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ .
b) Do các vectơ ngược hướng với vectơ và
DC = D'C' = A'B' = AB (tính chất hình hộp) nên ba vectơ là ba vectơ đối của vectơ .
Chú ý:
Cho điểm O và vectơ . Khi đó, tồn tại duy nhất điểm M trong không gian sao cho .
Để xác định điểm M, ta làm như sau (xem hình dưới):
• Qua O kẻ đường thẳng d song song hoặc trùng với giá của vectơ .
• Lấy điểm M trên đường thẳng d sao cho hai vectơ , là cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OM bằng độ dài đoạn thẳng vectơ .
2. Các phép toán vectơ trong không gian
2.1. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
- Tổng của hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ , .
Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và , kí hiệu là .
Chú ý:
• Phép lấy tổng hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
• Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, chẳng hạn: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ – không. Do đó, ta cũng định nghĩa được tổng của ba vectơ trong không gian.
• Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng.
Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau:
• Với ba điểm A, B, C trong không gian, ta có: (quy tắc ba điểm);
• Nếu ABCD là hình bình hành thì (quy tắc hình bình hành).
• Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì (quy tắc hình hộp).
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn giải
Theo quy tắc ba điểm, ta có:
.
Do đó:
=
=
Vậy (đpcm).
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn giải
Ta có: .
Do đó: (quy tắc hình hộp).
- Hiệu của hai vectơ
• Trong không gian, cho hai vectơ . Hiệu của vectơ và vectơ là tổng của vectơ với vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .
Phép lấy hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
Đối với vectơ trong không gian, ta có quy tắc sau:
• Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: (quy tắc hiệu).
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
=
= .
Vậy (đpcm).
2.2. Tích của một số với một vectơ trong không gian
Tương tự như trong mặt phẳng, trong không gian ta cũng có định nghĩa sau:
Cho số thực k ≠ 0 và vectơ . Tích của số k với vectơ là một vectơ, kí hiệu là , được xác định như sau:
• Cùng hướng với vectơ nếu k > 0, ngược hướng với vectơ nếu k < 0;
• Có độ dài bằng |k| . | |.
Quy ước: 0. = , k. = . Do đó, k. = khi và chỉ khi k = 0 hoặc = .
Chú ý:
• Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.
• Phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các tính chất sau:
Với hai vectơ bất kì , và hai số thực h, k ta có:
+ k( + ) = k + k ; k(- ) = k − k ;
+ (h + k) = h + k ;
+ h(k ) = (hk) ;
+ 1 = ; (−1) = − .
• Hai vectơ , khác là cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k ≠ 0 sao cho .
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên = .
Do đó, ta có: ⇔.
⇒ đpcm.
b) Vì M là trung điểm BC nên suy ra .
Ta có
⇒ đpcm.
2.3. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Trong không gian, cho hai vectơ , khác . Lấy một điểm O tùy ý và vẽ hai vectơ , . Góc giữa hai vectơ , trong không gian là góc giữa hai vectơ , kí hiệu là .
Chú ý: 0o ≤ ≤ 180o.
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa hai vectơ .
Hướng dẫn giải:
Ta có: .
Do tam giác C'BD là tam giác đều nên = 60o.
Vậy = 60o.
• Trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Trong không gian, cho hai vectơ , khác . Tích vô hướng của hai vectơ và , kí hiệu , là một số thực được xác định bởi công thức = | |.| |.cos(, ) ở đó
( ,) là góc giữa hai vectơ ,.
Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ bằng 0.
Chú ý:
•Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian có tính chất sau:
Với các vectơ bất kì,, và số thực k tùy ý, ta có:
+ . = . (tính chất giao hoán);
+ .(+ ) = . + . (tính chất phân phối);
+ (k ). = k( . ) = (k);
+≥ 0, trong đó = . . Ngoài ra, = 0 ⇔ = .
• Nếu , là hai vectơ khác thì cos( , ) = .
Ví dụ 7:
Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = AC = AD = 1. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa vectơ và
Hướng dẫn giải:
Theo đề, ta có: = 1 và = 0.
Ta có cos = .
Mặt khác, do và
nên
Lại có ; .
Do đó cos = .
Vậy = 60o
B. Bài tập Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian
Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G, điểm O tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên ta có .
Khi đó, với mọi vị trí điểm O, ta có: .
Chọn O ≡ A, ta được: ⇔ .
Vậy mệnh đề sai là: .
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và = 60o. Tính góc .
Lời giải
Ta có:
Mà AC = AD = AB ⇒ = 0 ⇒ = 90o.
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'C. Chứng minh
Lời giải
Cách 1: Gọi I là tâm của hình vuông ABCD
=⇒ I là trung điểm của BD.
Ta có: ∆BIG ∽ ∆ D'B'G
⇒ ⇒ = ⇒ =.
Cách 2: Theo quy tắc hình hộp, ta có: = . (1)
Do G là trọng tâm tam giác AB'C nên = . (2)
Từ (1) và (2) suy ra: .
⇒ đpcm.
Bài 4: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặp phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 30o. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.
Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn trên hàng đơn vị). Biết rằng các lực căng đều có cường độ là 4 500 N và trọng lượng của khung sắt là 2 500 N.
Lời giải
Gọi A1; B1; C1; D1 lần lượt là các điểm sao cho:
Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 30o nên EA1, EB1, EC1, ED1 bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (A1B1C1D1) một góc 30o.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên A1B1C1D1 cũng là hình chữ nhật.
Gọi O là tâm của hình chữ nhật A1B1C1D1.
Suy ra EO ⊥ (A1B1C1D1).
Do đó, góc giữa đường thẳng EA1 và mặt phẳng (A1B1C1D1) bằng góc EA1O.
Suy ra == 30o.
Ta có: |=| = | =| = | =| = | =| = 4 500 (N)
Nên EA1 = EB1 = EC1 = ED1 = 4 500.
Tam giác EOA1 vuông tại O nên EO = EA1.sin = = 4 500.sin30o = 2 250 (N).
Theo quy tắc ba điểm, ta có:
=, =,
= =.
Vì O là trung điểm của A1C1 và B1D1 nên =, =.
Từ đó suy ra: =.
=.
Do đó, vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên =, ở đó là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.
Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là:
| =| = 4| =| = 4. 2 250 = 9 000 (N).
Vì trọng lượng khung sắt là 2 500 N nên trọng lượng của chiếc ô tô là:
9 000 – 2 500 = 6 500 (N).
Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Vectơ bằng vectơ nào dưới đây?
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Chân trời sáng tạo (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - Friends Global
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – Friends Global
- Giải sgk Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Công nghệ 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo