Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Phương trình đường thẳng trong không gian

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{a}$ khác $\overrightarrow{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là vectơ chỉ phương của d.

Chú ý: Nếu $\overrightarrow{a}$ là vectơ chỉ phương của d thì $k\overrightarrow{a}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của d.

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành có A(1; 2; 3), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5). Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng CD.

Hướng dẫn giải

Có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;2;-3\right)$

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Do đó đường thẳng CD nhận vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(-1;2;-3\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

•Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và nhận $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương có dạng:

$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}\right.$ với t Î ℝ (t được gọi là tham số).

Ví dụ 2. Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=-1+5t\\ y=3t\\ z=2+2t\end{array}\right.,t\in ℝ$

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d.

b) Tìm các điểm A, B, C trên d ứng với t lần lượt là 0; 1; 2.

Hướng dẫn giải

a) Từ phương trình tham số của d ta có $\overrightarrow{a}=\left(5;3;2\right)$ là một vectơ chỉ phương của d.

b) Với t = 0 thay vào phương trình đường thẳng d ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+5.0\\ y=3.0\\ z=2+2.0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\\ z=2\end{array}\right.$.

Vậy A(−1; 0; 2).

Tương tự B(4; 3; 4), C(9; 6; 6).

Chú ý:

a) Trong phương trình tham số của đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}\right.$, mỗi giá trị của tham số t xác định duy nhất một điểm M trên d và ngược lại.

b) Từ nay để cho gọn, trong phương trình tham số của đường thẳng, ta không viết t $\in$ ℝ.

Ví dụ 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; 1) và nhận $\overrightarrow{a}=\left(1;0;2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; 1) và nhận $\overrightarrow{a}=\left(1;0;2\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1\\ z=1+2t\end{array}\right..$

• Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right).$

Nếu a₁, a₂, a₃ đều khác 0 thì hệ phương trình $\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$ gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Ví dụ 4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A(−1; 2; 1) và nhận $\overrightarrow{a}=\left(1;3;2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm A(−1; 2; 1) và nhận $\overrightarrow{a}=\left(1;3;2\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: $\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{2}.$

• Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B) có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)$ và có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}{l}x=x_A+\left(x_B-x_A\right)t\\ y=y_A+\left(y_B-y_A\right)t\\ z=z_A+\left(z_B-z_A\right)t\end{array}\right.$.

Nếu x_A ≠ x_B, y_A ≠ y_B, z_A ≠ z_B thì d có phương trình chính tắc:

$\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}.$

Ví dụ 5. Viết phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng MN, biết M(1; 2; 3) và N(2; −1; 2).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng MN có $\overrightarrow{MN}=\left(1;-3;-1\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-3t\\ z=3-t\end{array}\right.$ và phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-1}$.

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

• Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Gọi $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left({a_1}^{\text{'}};{a_2}^{\text{'}};{a_3}^{\text{'}}\right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d'. Gọi M(x₀; y₀; z₀) là một điểm trên d.

Ta có: d // d' $\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a^{\text{'}}},k\in ℝ\\ M\notin d^{\text{'}}\end{array}\right.$

d ≡ d' $\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a^{\text{'}}},k\in ℝ\\ M\in d^{\text{'}}\end{array}\right.$

Ví dụ 6. Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của cặp đường thẳng d: $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-2}$ và d': $\frac{x+2}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 0; −2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-2\right)$.

Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left(-2;-1;2\right)=-\overrightarrow{a}$.

Thay tọa độ điểm A và phương trình đường thẳng d' ta được: $\frac{1+2}{-2}=\frac{0-1}{-1}=\frac{-2}{2}$ (vô lí).

Do đó A Ï d'. Vậy d // d'.

Chú ý: Cho đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}$, đường thẳng d' đi qua điểm M' và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\text{'}}}.$

a) Nếu ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}},\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}$ cùng phương thì d ≡ d'.

b) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ cùng phương và hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}$ không cùng phương thì d // d'.

Ví dụ 7. Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của cặp đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+12t\\ y=2+6t\\ z=3+3t\end{array}\right.$và d': $\left\{\begin{array}{l}x=7+8t\\ y=6+4t\\ z=5+2t\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(12;6;3\right)$

Đường thẳng d' đi qua điểm M'(7; 6; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left(8;4;2\right)$

Ta có $\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\left(8;4;2\right)$.

Có $\overrightarrow{a}=\frac{3}{2}\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}.$ Suy ra $\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}},\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}$ cùng phương.

Do đó d ≡ d'.

• Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau

Cho hai đường thẳng d và d' có phương trình tham số lần lượt là:

d: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}\right.$ và d': $\left\{\begin{array}{l}x={x_0}^{\text{'}}+{a_1}^{\text{'}}{t}^{\text{'}}\\ y={y_0}^{\text{'}}+{a_2}^{\text{'}}{t}^{\text{'}}\\ z={z_0}^{\text{'}}+{a_3}^{\text{'}}{t}^{\text{'}}\end{array}\right.$.

Gọi $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left({a_1}^{\text{'}};{a_2}^{\text{'}};{a_3}^{\text{'}}\right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d'.

Xét hệ phương trình ẩn t và t': $\left\{\begin{array}{l}{x}_0+a_{1}t={x_0}^{\text{'}}+{a_1}^{\text{'}}{t}^{\text{'}}\\ y_0+a_{2}t={y_0}^{\text{'}}+{a_2}^{\text{'}}{t}^{\text{'}}\\ z_0+a_{3}t={z_0}^{\text{'}}+{a_3}^{\text{'}}{t}^{\text{'}}\end{array}\right.$

+) d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ trên có đúng một nghiệm.

+) d và d' chéo nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ không cùng phương và hệ trên vô nghiệm.

Chú ý: Để xét vị trí tương đối của d và d', trước hết ta kiểm tra tính cùng phương của hai vectơ chỉ phương của d và d'.

a) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ cùng phương thì d và d' hoặc song song hoặc trùng nhau.

b) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ không cùng phương thì d và d' hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ví dụ 8. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d: $\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{3}$ và d': $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-t\\ z=-2+3t\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=1-2t^{\text{'}}\\ y=-2+t^{\text{'}}\\ z=4+3t^{\text{'}}\end{array}\right..$

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-1+t=1-2t^{\text{'}}\\ -t=-2+t^{\text{'}}\\ -2+3t=4+3t^{\text{'}}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t+2t^{\text{'}}=2\\ -t-t^{\text{'}}=-2\\ 3t-3t^{\text{'}}=6\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=2\\ t^{\text{'}}=0\end{array}\right.$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất. Do đó d và d' cắt nhau.

Chú ý: Cho đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a},$ đường thẳng d' đi qua điểm M' và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\text{'}}}$.

Trong trường hợp $\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ không cùng phương, nghĩa là $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right]\ne \overrightarrow{0}$,

ta có:

- Nếu $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right].\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$ thì d và d' cắt nhau.

- Nếu $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right].\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}\ne \overrightarrow{0}$ thì d và d' chéo nhau.

• Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Cho hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left({a_1}^{\text{'}};{a_2}^{\text{'}};{a_3}^{\text{'}}\right)$. Ta có $d\perp d^{\text{'}}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\text{'}}}=0\iff a_1{a_1}^{\text{'}}+a_2{a_2}^{\text{'}}+a_3{a_3}^{\text{'}}=0$.

Ví dụ 9. Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=-t\\ z=2-t\end{array}\right.$ và d': $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t^{\text{'}}\\ y=-1+4t^{\text{'}}\\ z=2-2t^{\text{'}}\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(1;-1;-1\right)$, đường thẳng d' có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left(2;4;-2\right)$.

Có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\text{'}}}=1.2+\left(-1\right).4+\left(-1\right).\left(-2\right)=0$.

Do đó d ^ d'.

3. Góc

• Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left({a_1}^{\text{'}};{a_2}^{\text{'}};{a_3}^{\text{'}}\right)$ được tính bởi công thức

$\cos \left(d,d^{\text{'}}\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right|}=\frac{\left|a_1.{a_1}^{\text{'}}+a_2.{a_2}^{\text{'}}+a_3{a_3}^{\text{'}}\right|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{{a^{\text{'}}}_1^2+{a^{\text{'}}}_2^2+{a^{\text{'}}}_3^2}}$.

Ví dụ 10. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+t\\ z=t\end{array}\right.$ và d': $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t^{\text{'}}\\ y=1-t^{\text{'}}\\ z=t^{\text{'}}\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(-1;1;1\right),\overrightarrow{b}=\left(2;-1;1\right)$.

$\cos \left(d,d^{\text{'}}\right)=\frac{\left|\left(-1\right).2+1.\left(-1\right)+1.1\right|}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+1^2}.\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+1^2}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

Suy ra (d, d') ≈ 61,9°.

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(n_1;n_2;n_3\right)$ được tính bởi công thức:

$\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{n}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|a_1.n_1+a_2.n_2+a_3.n_3\right|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}$.

Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+t\\ z=t\end{array}\right.$ và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(-1;1;1\right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;3;1\right)$.

Ta có $\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\frac{\left|\left(-1\right).2+1.3+1.1\right|}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+1^2}.\sqrt{2^2+3^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{42}}$.

Suy ra (d, (P)) ≈ 18°.

Chú ý: Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

•Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n}=\left(n_1;n_2;n_3\right)$ và $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left({n^{\text{'}}}_1;{n^{\text{'}}}_2;{n^{\text{'}}}_3\right)$ được tính bởi công thức:

$\cos \left(\left(P\right),\left(P^{\text{'}}\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\text{'}}}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{n^{\text{'}}}\right|}=\frac{\left|n_1.{n^{\text{'}}}_1+n_2.{n^{\text{'}}}_2+n_3.{n^{\text{'}}}_3\right|}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}.\sqrt{{n^{\text{'}}}_1^2+{n^{\text{'}}}_2^2+{n^{\text{'}}}_3^2}}$.

Ví dụ 12. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 và (P'): 3x – y + z + 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right)$, mặt phẳng (P') có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(3;-1;1\right)$.

Ta có $\cos \left(\left(P\right),\left(P^{\text{'}}\right)\right)=\frac{\left|1.3+1.\left(-1\right)+1.1\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}.\sqrt{3^2+{\left(-1\right)}^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{33}}$.

Suy ra ((P), (P')) ≈ 58,5°.

Chú ý: Nếu hai mặt phẳng (P) và (P') có hai vectơ pháp tuyến vuông góc thì (P) $\perp$(P').

B. Bài tập Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 0) và B(0; 1; 2). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

A. $\overrightarrow{a_1}=\left(-1;1;2\right).$

B. $\overrightarrow{a_2}=\left(-1;0;-2\right)$.

C. $\overrightarrow{a_3}=\left(-1;0;2\right).$

D. $\overrightarrow{a_4}=\left(1;2;2\right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;0;2\right)$. Do đó đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{a_3}=\left(-1;0;2\right)$

làm vectơ chỉ phương.

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-3t\\ z=-1+5t\end{array}\right.$. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

A. x – 2 = y = z + 1.

B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z+1}{5}$.

C. $\frac{x+2}{-1}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-5}$.

D. $\frac{x+2}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-1}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d đi qua A(2; 0; −1) và có vectơ chỉ phương$\overrightarrow{u}=\left(1;-3;5\right)$ có phương trình chính tắc là: $\frac{x-2}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z+1}{5}$.

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(−1; 3; 2), B(2; 0; 5), C(0; −2; 1). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC.

Hướng dẫn giải

Có $\overrightarrow{BC}=\left(-2;-2;-4\right)$.

Đường thẳng đi qua A và song song với BC nhận $\overrightarrow{a}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{BC}=\left(1;1;2\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=3+t\\ z=2+2t\end{array}\right.$.

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

${\Delta }_1:\frac{3-x}{7}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$ và ${\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=8+t\\ y=5+2t\\ z=8-t\end{array}\right.$.

a) Chứng minh D₁ và D₂ chéo nhau.

b) Tính góc giữa hai đường thẳng trên.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng D₁ đi qua điểm M(3; 1; 1) và $\overrightarrow{a_1}=\left(-7;2;3\right)$.

Đường thẳng D₂ đi qua điểm M'(8; 5; 8) và $\overrightarrow{a_2}=\left(1;2;-1\right)$.

Có $\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\left(5;4;7\right)$, $\left[\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}\right]=\left(-8;-4;-16\right)$.

Có $\left[\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}\right].\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=-8.5+\left(-4\right).4+\left(-16\right).7=-168\ne 0$.

Suy ra D₁ và D₂ chéo nhau.

b) Ta có $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|\left(-7\right).1+2.2+3.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{{\left(-7\right)}^2+2^2+3^2}.\sqrt{1^2+2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{6}{\sqrt{372}}=\frac{\sqrt{93}}{31}$.

Suy ra (D₁, D₂) ≈ 71,9°.

Bài 5. Người ta dùng một may bay không người lái để kiểm tra tình trạng của một đường ống dẫn nước dài. Đường ống này nằm trên mặt đất và kéo dài từ điểm A(2; 3; 0) đến điểm B(8; 15; 0). Biết rằng máy bay bay theo đường thẳng từ A đến B để kiểm tra toàn bộ đường ống.

a) Xác định phương trình đường thẳng của đường bay từ điểm A đến điểm B.

b) Tính khoảng cách mà máy bay phải bay.

Hướng dẫn giải

a) Có $\overrightarrow{AB}=\left(6;12;0\right)$.

Đường thẳng của đường bay đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow{a}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}=\left(1;2;0\right)$ có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3+2t\\ z=0\end{array}\right.$.

b) Khoảng cách máy bay bay là: $AB=\sqrt{6^2+{12}^2+0^2}=6\sqrt{5}$.

Trắc nghiệm: Phương trình đường thẳng trong không gian

Câu 1. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

A. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;1\right).$

B. $\overrightarrow{u}=\left(2;1;0\right).$

C. $\overrightarrow{u}=\left(2;1;1\right).$

D. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;0\right).$

Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(5;-3;6\right); B\left(5;-1;-5\right)$. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

A. $\overrightarrow{u}=\left(5;-2;-1\right).$

B. $\overrightarrow{u}=\left(10;-4;1\right).$

C. $\overrightarrow{u}=\left(0;2;-11\right).$

D. $\overrightarrow{u}=\left(0;2;11\right).$

Câu 3. Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-3+t\\ z=4+5t\end{array}\right.$. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d?

A. $M\left(4;1;3\right).$

B. $N\left(2;1;5\right).$

C. $P\left(3;-2;-1\right).$

D. $Q\left(1;-3;4\right).$

Câu 4. Trong hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm $A\left(3;-3;2\right)$?

A. $\frac{x-3}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+2}{2}.$

B. $\frac{x+3}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{-2}.$

C. $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-2}{2}.$

D. $\frac{x+1}{3}=\frac{y-3}{-3}=\frac{z+5}{2}.$

Câu 5. Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(1;2;3\right)$ và $B\left(5;4;-1\right)$ là

A. $\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+1}{2}.$

B. $\frac{x+1}{4}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{4}.$

C. $\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{4}.$

D. $\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{2}.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A\left(2;0;-1\right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+z+3=0$ là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=-1+t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

B. $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=-1-t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

C. $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-1\\ z=-1+t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

D. $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=1-t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right).$

Câu 7. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=5-2t\\ y=5+3t\\ z=2t\end{array}\right.$ và ${\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-6}{4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ bằng

A. $30°.$

B. $90°.$

C. $60°.$

D. $45°.$

Câu 8. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-2}$ và $d_2:\frac{x+2}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}$ . Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho

A. Chéo nhau.

B. Trùng nhau.

C. Song song.

D. Cắt nhau.

Câu 9. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x+y+z-4=0$. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

A. $30°.$

B. $90°.$

C. $60°.$

D. $45°.$

III. Vận dụng

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left(1;4;2\right)$ và $B\left(-1;2;4\right)$. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB)

A. $d:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+2}{1}.$

B. $d:\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-2}{1}.$

C. $d:\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-2}{-1}.$

D. $d:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+2}{1}.$