Lý thuyết Phương trình mặt cầu – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Phương trình mặt cầu

1. Phương trình mặt cầu trong không gian

• Khái niệm mặt cầu

Trong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu S(I; R), là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn IM = R. Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I gọi là đường kính của mặt cầu.

Chú ý: Cho mặt cầu S(I; R).

Nếu IM = R thì M nằm trên mặt cầu.

Nếu IM < R thì M nằm trong mặt cầu.

Nếu IM > R thì M nằm ngoài mặt cầu.

• Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình là:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Ví dụ 1. a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính bằng 7.

b) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x + 1)² + y² + (z – 3)² = 16.

Hướng dẫn giải

a) Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính bằng 7 có phương trình:

(x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 49.

b) Mặt cầu có tâm I(−1; 0; 3) và R = 4.

Nhận xét: Phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a² + b² + c² – d > 0 là phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.

Ví dụ 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) x² + y² + z² – 2y + 2z – 7 = 0.

b) x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z + 7 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình x² + y² + z² – 2y + 2z – 7 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 0; b = 1; c = −1; d = −7.

Ta có a² + b² + c² – d = 9 > 0.

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(0; 1; −1) và R = 3.

b) Phương trình x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z + 7 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 1; b = −2; c = −1; d = 7.

Có a² + b² + c² – d = −1 < 0.

Suy ra phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu.

B. Bài tập Phương trình mặt cầu

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + (z – 2)² = 16. Bán kính của mặt cầu (S) bằng

A. 32.

B. 8.

C. 4.

D. 16.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (S) có bán kính là R = 4.

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S).

A. I(−4; 1; 0), R = 2.

B. I(−4; 1; 0), R = 4.

C. I(4; −1; 0), R = 2.

D. I(4; −1; 0), R = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt cầu x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 4; b = −1; c = 0; d = 1.

Do đó mặt cầu có tâm I(4; −1; 0) và $R=\sqrt{4^2+{\left(-1\right)}^2+0^2-1}=4$.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S):

a) có tâm I(0; 0; −3) và bán kính bằng 5.

b) có tâm I(1; 1; 1) và đi qua điểm A(1; 2; 3).

c) có đường kính AB biết A(1; −2; 7) và B(−3; 8; −1).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình mặt cầu (S): x² + y² + (z + 3)² = 25.

b) Vì mặt cầu (S) đi qua A nên $R=IA=\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2+{\left(3-1\right)}^2}=\sqrt{5}$.

Phương trình mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 5.

c) Có I(−1; 3; 3) là trung điểm của AB và cũng là tâm của mặt cầu đường kính AB.

Có $R=IA=\sqrt{{\left(1+1\right)}^2+{\left(-2-3\right)}^2+{\left(7-3\right)}^2}=\sqrt{45}$.

Phương trình mặt cầu (S): (x + 1)² + (y – 3)² + (z – 3)² = 45.

Bài 4. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (α): 16x – 15y – 12z + 75 = 0.

Hướng dẫn giải

Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (α): 16x – 15y – 12z + 75 = 0 nên $R=d\left(O,\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|75\right|}{\sqrt{{16}^2+{\left(-15\right)}^2+{\left(-12\right)}^2}}=3$.

Phương trình mặt cầu (S): x² + y² + z² = 9.

Bài 5. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng điện thoại của nhà mạng Vinaphone được đặt ở vị trí I(1; −2; −3) và được thiết kế bán kính phủ sóng là 5000 m.

a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian.

b) Nhà bạn Minh và Hiền có vị trí tọa độ lần lượt là M(1; 2; 0) và N(−3; 1; 0). Hỏi bạn Minh và Hiền dùng điện thoại tại nhà thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không?

Hướng dẫn giải

a) Phương trình mặt cầu (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 25.

b) Có $IM=\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(2+2\right)}^2+{\left(0+3\right)}^2}=5=R$.

Suy ra điểm M nằm trên mặt cầu. Do đó bạn Minh có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

Có $IN=\sqrt{{\left(-3-1\right)}^2+{\left(1+2\right)}^2+{\left(0+3\right)}^2}=\sqrt{34}>R$.

Suy ra điểm N nằm ngoài mặt cầu. Do đó bạn Hiền không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

Trắc nghiệm: Phương trình mặt cầu

I. Nhận biết

Câu 1. Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm $I\left(x_0;y_0;z_0\right)$ bán kính R có phương trình là:

A. ${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=R^2.$

B. $\left(x-x_0\right)+\left(y-y_0\right)+\left(z-z_0\right)=R.$

C. $\left(x-x_0\right)+\left(y-y_0\right)+\left(z-z_0\right)=R^2.$

D. ${\left(x-x_0\right)}^2-{\left(y-y_0\right)}^2-{\left(z-z_0\right)}^2=R^2.$

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

A. $x^2+y^2+z^2-2x=0.$

B. $x^2+y^2-z^2+2x-y+1=0.$

C. $2x^2+y^2={\left(x+y\right)}^2-z^2+2x+1.$

D. ${\left(x+y\right)}^2=2xy-z^2-1.$

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (S): ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+3\right)}^2=16$ có tâm là

A. $I\left(1;0;3\right).$

B. $I\left(-1;0;-3\right).$

C. $I\left(1;0;-3\right).$

D. $I\left(1;2;-3\right).$

Câu 4. Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu $S\left(O;R\right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $OM<R.$

B. $OM=R.$

C. $OM>R.$

D. $OM\le R.$

Câu 5. Điều kiện đề phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là phương trình mặt cầu là

A. $a+b+c-d>0.$

B. $a^2+b^2+c^2+d>0.$

C. $a^2+b^2+c^2-d>0.$

D. $a^2+b^2+c^2-d\ge 0.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z-3=0$ và một điểm $M\left(4;2;-2\right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm M là tâm của mặt cầu (S).

B. Điểm M nằm trên mặt cầu (S).

C. Điểm M nằm trong mặt cầu (S).

D. Điểm M nằm ngoài mặt cầu (S).

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+10y+3z+1=0$ đi qua điểm có tọa độ nào sau đây

A. $\left(3;-2;-4\right).$

B. $\left(4;-1;0\right).$

C. $\left(2;1;9\right).$

D. $\left(-1;3;-1\right).$

Câu 8. Phương trình mặt cầu tâm $I\left(1;-2;3\right)$ bán kính R = 3 là

A. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=3.$

B. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9.$

C. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=9.$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=3.$

Câu 9. Xác định tâm và bán kính mặt cầu $x^2+y^2+z^2+8x-6y+2z-10=0$ ta được

A. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 6

B. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 36

C. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 6

D. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 36

III. Vận dụng

Câu 10. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm $G\left(-6;-12;18\right)$. Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là

A. $\left(9;18;-27\right).$

B. $\left(-3;-6;9\right).$

C. $\left(3;6;-9\right).$

D. $\left(-9;-18;27\right).$