Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân– Toán lớp 12 Kết nối tri thức
Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân- Kết nối tri thức
A. Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân
1. Tính diện tích hình phẳng
1.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:
.
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 – 3x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.
Hướng dẫn giải
Với mọi x ∈ [0; 3], ta có x2 – 3x ≤ 0, do đó |x2 – 3x| = – (x2 – 3x) = 3x – x2.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 – 3x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là:
.
1.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b
Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:
.
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x3 + 2x + 2, y = x3 + x + 3 và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Hướng dẫn giải
Diện tích hình phẳng đã cho là:
= 1.
2. Tính thể tích của hình khối
2.1. Thể tích của vật thể
Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = a và x = b (a < b).
Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x (a ≤ x ≤ b) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S(x). Giả sử hàm số S(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó, thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên được tính bởi công thức
.
Chú ý: Nếu S(x) = S không đổi với mỗi x ∈ [a; b] thì V = (b – a)S.
Ví dụ 3. Tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.
Hướng dẫn giải
Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trục và hai đáy nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h.
Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ h) cắt khối lăng trụ theo mặt cắt có diện tích không đổi là S(x) = S.
Do đó, thể tích của khối lăng trụ là V = (h – 0)S = Sh.
2.2. Thể tích của khối tròn xoay
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng
.
Ví dụ 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.
Hướng dẫn giải
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3, quay quanh trục Ox là:
B. Bài tập Ứng dụng hình học của tích phân
Bài 1. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3 quay quanh trục Ox được khối tròn xoay có thể tích tính theo công thức là:
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Thể tích khối tròn xoay được cho là:
.
Bài 2. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3.
a) Tính diện tích S của hình phẳng H.
b) Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox.
Hướng dẫn giải
a) Diện tích của hình phẳng H là:
.
b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox là:
.
Bài 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.
Hướng dẫn giải
Thể tích tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = , quay quanh trục Ox là:
Bài 4. Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là một hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình dưới đây.
Tính diện tích của cửa hầm.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ trên. Khi đó, parabol đi qua các điểm có tọa độ (0; 0), (2; 4) và (4; 0).
Giả sử parabol có dạng y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).
Vì parabol đi qua các điểm có tọa độ (0; 0), (2; 4) và (4; 0) nên ta có:
.
Do đó, parabol có phương trình là y = – x2 + 4x.
Diện tích của cửa hầm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = – x2 + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4.
Vậy diện tích của cửa hầm là:
(m2).
Bài 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x, y = x3 và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là:
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Với x ∈ [1; 2], x – x3 ≤ 0, do đó |x – x3| = x3 – x.
Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x, y = x3 và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là:
.
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Chân trời sáng tạo (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - Friends Global
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – Friends Global
- Giải sgk Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Công nghệ 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo