Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân

1. Tính diện tích hình phẳng

1.1. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = x² – 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = x² – 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4 là: $S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|x^2-4x\right|dx$.

Ta có: x² – 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.

Với x ∈ [0; 4] thì f(x) ≤ 0.

Vậy $S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|x^2-4x\right|dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(4x-x^2\right)dx={\left.\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^4=\frac{32}{3}$.

Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn [a; b] thì

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\right|$.

Nếu phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (a; b) thì công thức trên vẫn đúng.

1.2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Cho hai hàm số y = f₁(x), y = f₂(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f₁(x), y = f₂(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right|dx$.

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x² + 2x + 2, y = 6x – 1 và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|\left(x^2+2x+2\right)-\left(6x-1\right)\right|dx$$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4x+3\right|dx$.

Ta có: x² – 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

Vậy $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^2-4x+3\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4x+3\right|dx$

$=\left|\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2-4x+3\right)dx\right|+\left|\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-4x+3\right)dx\right|$

$=\left|{\left.\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)\right|}_0^1\right|+\left|{\left.\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)\right|}_1^2\right|$

$=\left|\frac{4}{3}\right|+\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=2$.

2. Tính thể tích hình khối

2.1. Thể tích của vật thể

Trong không gian, cho một vật thể nằm ngang trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b) cắt vật thể theo mặt phẳng có diện tích S(x).

Khi đó, nếu S(x) là hàm số liên tục trên [a; b] thì thể tích của vật thể được tính bằng công thức:

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$.

Ví dụ 3. Tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Hướng dẫn giải

Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ sao cho hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h.

Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ h) cắt khối lăng trụ theo mặt cắt có diện tích không đổi S(x) = S.

Do đó, thể tích của khối lăng trụ là: V = $\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{h}{\int }}Sdx={\left.Sx\right|}_0^h=Sh$.

2.2. Thể tích khối tròn xoay

Cho y = f(x) là hàm số liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.

Quay D quanh trục Ox tạo thành một hình khối gọi là khối tròn xoay.

Cắt khối tròn xoay trên bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x với x ∈ [a; b], ta được mặt cắt là hình tròn có bán kính bằng f(x) và diện tích là S(x) = πf²(x).

Vậy khối tròn xoay có thể tích là

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$.

Ví dụ 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x² + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Hướng dẫn giải

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

$V=\pi \underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(x^2+1\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x^4+2x^2+1\right)dx$

$={\left.\pi \left(\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right)\right|}_1^3$$=\frac{1016\pi }{15}$

B. Bài tập Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x, y = x³ và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là:

A. $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x-x^3\right)dx$.

B. $\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{3}dx$.

C. $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{3}dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx$.

D. $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^3+x\right)dx$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Với x ∈ [1; 2], x – x³ ≤ 0, do đó |x – x³| = x³ – x.

Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x, y = x³ và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là:

$S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x-x^3\right|dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^3-x\right)dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{3}dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx$.

Bài 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x² + $\frac{2}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 4 quay quanh trục Ox được khối tròn xoay có thể tích tính theo công thức là:

A. $\underset{2}{\overset{4}{\int }}{\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$.

B. $\pi \underset{2}{\overset{4}{\int }}{\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$.

C. $\pi \underset{2}{\overset{4}{\int }}\left(x^2+\frac{2}{x}\right)dx$.

D. $\underset{2}{\overset{4}{\int }}\left(x^2+\frac{2}{x}\right)dx$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

$V=\pi \underset{2}{\overset{4}{\int }}{\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^{2}dx$.

Bài 3. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

a) Tính diện tích S của hình phẳng D.

b) Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Hướng dẫn giải

a) Diện tích của hình phẳng D là:

$S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|e^x\right|dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx={\left.e^x\right|}_1^2=e^2-e$.

b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox là:

$V=\pi \underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(e^x\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(e^2\right)}^{x}dx={\left.\pi \frac{e^{2x}}{2}\right|}_1^2=\frac{\pi }{2}\left(e^4-e^2\right)$.

Bài 4. Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = $\sqrt{4-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = – 2, x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Hướng dẫn giải

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

$V=\pi \underset{-2}{\overset{2}{\int }}{\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(4-x^2\right)dx$

$=\pi {\left.\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_{-2}^2$$=\pi \left[\frac{16}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)\right]=\frac{32\pi }{3}$.

Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = sinx, y = cosx và hai đường thẳng x = 0, x = $\frac{\pi }{4}$.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left|\sin x-\cos x\right|dx$.

Ta có sin x – cos x = 0 ⇔ sin x = cos x ⇔ tan x = 1 ⇔ x = $\frac{\pi }{4}$ + kπ (k ∈ ℤ).

Vậy $S=\left|\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\sin x-\cos x\right)dx\right|$$=\left|{\left.\left(-\cos x-\sin x\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{4}}\right|=\left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1$.

Bài 6. Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là một hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình dưới đây.

Tính diện tích của cửa hầm.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ trên. Khi đó, parabol đi qua các điểm có tọa độ (0; 0), (2; 4) và (4; 0).

Giả sử parabol có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Vì parabol đi qua các điểm có tọa độ (0; 0), (2; 4) và (4; 0) nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 4a+2b+c=4\\ 16a+4b+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\\ c=0\end{array}\right.$.

Do đó, parabol có phương trình là y = – x² + 4x.

Diện tích của cửa hầm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = – x² + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4.

Vậy diện tích của cửa hầm là:

$S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|-x^2+4x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(-x^2+4x\right)dx$$={\left.\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\right|}_0^4=\frac{32}{3}$ (m²).

Trắc nghiệm: Ứng dụng hình học của tích phân

I. Nhận biết

Câu 1. Thể tích V của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$ khi quay quanh trục Ox là:

A. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

B. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

C. $V={\pi }^2\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

D. $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$ được tính theo công thức

A. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx.$

B. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

C. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx.$

D. $S=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx.$

Câu 3. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-\mathrm{3,}x=2$. Đặt $a=\underset{-3}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx,b=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S=a+b.$

B. $S=a-b.$

C. $S=-a-b.$

D. $S=b-a.$

Câu 4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=3^x, y=\mathrm{0,}x=\mathrm{0,}x=2.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx.$

B. $S=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{2x}dx.$

C. $S=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx.$

D. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{2x}dx.$

Câu 5. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ.$ Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right), y=\mathrm{0,}x=-\mathrm{2,}x=3$(như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S=-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

B. $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

C. $S=-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

D. $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={\left(x-2\right)}^2-1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=\mathrm{1,}x=2$bằng

A. $\frac{1}{3}.$

B. $\frac{2}{3}.$

C. $\frac{3}{2}.$

D. $\frac{7}{3}.$

Câu 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2+\mathrm{1,}x=-\mathrm{1,}x=2$ và trục hoành.

A. S = 16

B. S = 6

C. $S=\frac{13}{6}.$

D. S = 13

Câu 8. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=x^2+1$, trục hoành và các đường thẳng $x=\mathrm{0,}x=3$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng

A. $V=12\pi .$

B. $V=\frac{348\pi }{5}.$

C. $V=32\pi .$

D. $V=9\pi .$

Câu 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=x^3-6x,y=x^2$ (phần tô đậm trong hình sau) bằng:

A. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx.$

B. $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx.$

C. $S=\underset{-2}{\overset{9}{\int }}\left(x^2-x^3+6x\right)dx.$

D. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx-\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-6x-x^2\right)dx.$

III. Vận dụng

Câu 10. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với $I\left(\frac{1}{2};8\right)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy?

A. 4 km.

B. 5 km.

C. 4,5 km.

D. 5,5 km.