15 công nhân làm việc trong 6 ngày sẽ tạo ra 360 sản phẩm. Nếu năng suất của các công nhân là như nhau và không đổi trong suốt quá trình làm việc thì 5 công nhân làm việc trong 12 ngày sẽ tạo ra bao nhiêu sản phẩm?

Lý thuyết Các phép toán với đa thức nhiều biến – Toán lớp 8

Thực hiện phép tính (1/2 x – 1)(2x – 3)

Xem đáp án

* Lời giải:

(1/2 x – 1) (2x – 3) = 1/2x.2x - 1/2x.3 - 1.2x + 1.3 = x^2 - 3/2x - 2x + 3

= x^2 - 7/2x + 3

* Phương pháp giải:

Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các lũy thừa cùng biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau.

* Lý thuyết nắm thêm

1. Cộng và trừ hai đa thức

Để cộng, trừ hai đa thức ta thực hiện các bước:

- Bỏ dấu ngoặc (sử dụng quy tắc dấu ngoặc);

- Nhóm các đơn thức đồng dạng (sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp);

- Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

2. Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các lũy thừa cùng biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau.

Ví dụ: $(- 3 x^{2} y) (4 x y) = [(- 3.4)] . (x^{2} . x) . (y . y) = - 12. x^{3} . y^{2}$

3. Nhân đơn thức với đa thức

Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

4. Nhân hai đa thức

Để nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} (x y + 1) (x y - 3) \\ = (x y) . (x y) + x y - 3 x y - 3 \\ = x^{2} y^{2} - 2 x y - 3 \end{array}$

5. Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (với A chia hết cho B), ta làm như sau:

- Chia hệ số của A cho hệ số của B.

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

- Nhân các kết quả vừa tìm được cho nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} 16 x^{4} y^{3} : (- 8 x^{3} y^{2}) \\ = (16 : (- 8)) . (x^{4} : x^{3}) . (y^{3} : y^{2}) \\ = - 2 x y \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 1: Đa thức

Câu 3:

Có bao nhiêu cách xếp 5 người đứng thành một hàng ngang?

Xem đáp án

* Lời giải:

Số cách xếp 5 người đứng thành một hàng ngang là 5! = 120 cách.

* Phương pháp giải:

vận dụng các quy tắc về xắp xếp: hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp để làm

Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

* Lý thuyết nắm thêm

Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ∈ ℕ^*).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

3. Hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

4. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp:

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

    (a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

7. Phép toán trên các biến cố:

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

    + Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

    + Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

    + Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là:

trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

9. Tính chất của xác suất:

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

    P(∅) = 0, P(Ω) = 1

    0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

    Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

    Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

    A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Tổ hợp - xác suất hay, chi tiết

Giải Toán 11 Chương 2: Tổ hợp – xác suất

Các dạng bài tập Tổ hợp - Xác suất

Câu 4:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 2xy + 3z + 6y + xz;

b) $a^{4} - 9 a^{3} + a^{2}$ - 9a;

c) 3 $x^{2}$ + 5y - 3xy + (-5x);

d) $x^{2}$ - (a + b)x + ab;

e) 4 $x^{2}$ - 4xy + $y^{2}$ - 9 $t^{2}$ ;

g) $x^{3}$ – 3 $x^{2}$ y + 3x $y^{2}$ – $y^{3}$ – $z^{3}$

h) x2 - y2 + 8x + 6y + 7.

Xem đáp án

* Lời giải:

a) Cách 1.

Ta có 2xy + 3z + 6y + xz = (2xy + xz) + (3z + 6y)

= x(2 y + z)+3(z + 2 y) = (z + 2y)(x + 3).

Cách 2.

Ta có 2xy + 3z + 6y + xz = (2x1/ + 6y) + (3z + xz)

= 2y(x + 3) + z(3 + x) = (z + 2y)(x + 3).

b) Biến đổi được $a^{4} - 9 {rt}^{3} + a^{2}$ -9a = (a- 9)a( $a^{2}$ +1).

c) Biến đổi được 3 $x^{2}$ + 5y - 3xy + (-5x) = (x - y)(3x - 5).

d) Biến đổi được $x^{2}$ - (a + b)x + ab = (x- a)(x - b).

e) Ta có 4x2 – 4xy + y2 – 9t2

= (2x − y)2 − (3t)2

= (2x – y – 3t )(2x – y + 3t).

g) Ta có $x^{3} - 3 x^{2} y + 3 {xy}^{2} - y^{3} - z^{3}$

= ${(x - y)}^{3} - z^{3}$ = (x - y - z)( $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ - 2xy + xz - yz).

h) Ta có $x^{2} - y^{2}$ + 8x + 6y+ 7 = ( $x^{2}$ +8x + 16) - ( $y^{2}$ - 6y+ 9)

= ${(x + 4)}^{2} - {(y - 3)}^{2}$ =(x-y + 7)(x + y + l).

* Phương pháp giải:

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

* Lý thuyết nắm thêm

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Các dạng bài

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải (2024) – Toán 8

Câu 5:

Bài tập Cực trị của hàm số Toán 12 mới

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$ trên đoạn [-1;0] là

A. 0

B. -2/3

C. 2

D. -1/2

Xem đáp án

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

$\begin{array}{l} f (x) = x + \frac{4}{x} \\ \Rightarrow f^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} \\ f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 (L) \end{array} \\ f (1) = 5; f (2) = 4; f (3) = \frac{13}{3} \\ f (2) < f (3) < f (1) \\ \Rightarrow {\begin{cases} max_{[1; 3]} f (x) = f (1) = 5 \\ min_{[1; 3]} f (x) = f (2) = 4 \end{cases} \end{array}$

* Dạng bài toán về tìm cực trị hàm số:

Dạng 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

cách 1:

- Tìm f’(x)

- Tìm các điểm xi (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm xo thì hàm số có cực trị tại điểm xo

cách 2:

- Tìm f’(x)

- Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0

- Với mỗi xi tính f ”(xi)

- Nếu f ”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

- Nếu f ”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

a, Cực trị của hàm số bậc ba:

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b2 – 3ac

- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

→ Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b2 – 3ac ≤ 0

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

→ Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b2 – 3ac > 0

b, Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương:

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔

- Nếu (C)có một điểm cực trị thì y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

- Nếu (C)có ba điểm cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án)

15 đề thi THPTQG môn Toán cực hay có lời giải chi tiết

Câu 6:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Tính bằng cách thuận tiện nhất: b. 2 x 8 x 50 x 25 x 125

Xem đáp án

* Lời giải:

b. 2 x 8 x 50 x 25 x 125 = (2 × 50) × (8 × 125) × 25

= 100 × 1000 × 25

= 100000 × 25

= 2500000

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép nhân để tính: nhóm các con số nhân lại ra được số tròn chục/tròn chăm/tròn nghìn làm 1 nhóm

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 7:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x³ + 2x²y + xy² – 9x

Xem đáp án

* Lời giải:

x³ + 2x²y + xy² – 9x

(Có x là nhân tử chung)

= x(x² + 2xy + y² – 9)

(Có x² + 2xy + y² là hằng đẳng thức)

= x[(x² + 2xy + y²) – 9]

= x[(x + y)² – 3²]

(Xuất hiện hằng đẳng thức (3)]

= x(x + y – 3)(x + y + 3)

* Phương pháp giải:

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

* Lý thuyết nắm thêm

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Các dạng bài

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải (2024) – Toán 8

Câu 8:

Toán lớp 5 trang 20 (Cánh diều) Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó

Tìm hai số có tổng bằng 1149, biết rằng nếu giữ nguyên số lớn và gấp số bé lên 3 lần thì ta được tổng mới bằng 2061.

Xem đáp án

* Lời giải:

Tổng mới hơn tổng cũ là:

2061- 1149 = 912

Số bộ mới hơn số bé cũ là:

3- 1 = 2 lần

Số bé là : 912 : (3-1) =456

Số lớn là : 1149 – 456 = 693

Đ/s : SL : 693 , SB : 456

* Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

Dạng 2: Thiếu (ẩn) tổng (Cho biết tỉ số, không cho biết tổng số)

1. Phương pháp giải

Tìm tổng của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 3: Thiếu (ẩn) tỉ (Cho biết tổng số, không cho biết tỉ số)

1. Phương pháp giải

Tìm tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 4: Ẩn cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Tìm tổng và tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó lớp 4 và cách giải

Câu 9:

Lý thuyết Hình chóp tam giác đều – Hình chóp tứ giác đều – Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mp(SBM).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).

c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC).

d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM).

Xem đáp án

* Lời giải:

a) SM, CD cùng thuộc (SCD) và không song song.

Gọi N là giao điểm của SM và CD.

⇒ N ∈ CD và N ∈ SM

Mà SM ⊂ (SMB)

⇒ N ∈ (SMB)

⇒ N = (SMB) ∩ CD.

b) N ∈ CD ⊂ (ABCD)

⇒ BN ⊂ (ABCD)

⇒ AC; BN cùng nằm trong (ABCD) và không song song

Gọi giao điểm của AC và BN là H.

+ H ∈ AC ⊂ (SAC)

+ H ∈ BN ⊂ (SBM)

⇒ H ∈ (SAC) ∩ (SBM)

Dễ dàng nhận thấy giao điểm thứ hai của (SAC) và (SBM) là S

⇒ (SAC) ∩ (SBM) = SH.

c) Trong mp(SBM), gọi giao điểm của BM và SH là I, ta có:

I ∈ BM

I ∈ SH ⊂ (SAC).

⇒ I = BM ∩ (SAC).

) Trong mp(SAC), gọi giao điểm của AI và SC là P.

+ P ∈ AI, mà AI ⊂ (AMB) ⇒ P ∈ (AMB)

⇒ P = (AMB) ∩ SC.

Lại có P ∈ SC, mà SC ⊂ (SCD) ⇒ P ∈ (SCD).

⇒ P ∈ (AMB) ∩ (SCD).

Lại có: M ∈ (SCD) (gt)

⇒ M ∈ (MAB) ∩ (SCD)

Vậy giao điểm của (MAB) và (SCD) là đường thẳng MP.

*Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích của hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều

Thể tích của hình chóp tam giác đều (hình chóp tứ giác đều) bằng $\frac{1}{3}$ diện tích đáy nhân với chiều cao.

$V = \frac{1}{3} S_{đ á y} . h$ .

(V là thể tích, $S_{đ á y}$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao)

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài toán về hình chóp tam giác đều - hình chóp tứ giác đều:

1. Hình chóp tam giác đều

Hình chóp tam giác đều có:

- Đáy là tam giác đều.

- 3 cạnh bên bằng nhau.

- 3 mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung một đỉnh.

- 3 cạnh đáy bằng nhau là ba cạnh của tam giác đáy.

- Chân đường cao trùng với tâm của đáy.

2. Hình chóp tứ giác đều

Hình chóp tứ giác đều có:

- Đáy là hình vuông.

- 4 cạnh bên bằng nhau.

- 4 mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung một đỉnh.

- 4 cạnh đáy bằng nhau là bốn cạnh của hình vuông đáy.

- Chân đường cao trùng với giao điểm của hai đường chéo của mặt đáy.

Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều (hình chóp tứ giác đều) bằng tổng diện tích của các mặt bên.

Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều (hình chóp tứ giác đều) bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy: ( $S_{t p} = S_{x q} + S_{đ á y}$ ( $S_{t p}$ là diện tích toàn phần, là diện tích đáy, $S_{x q}$ là diện tích xung quanh)

Công thức tính thể tích của hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều

Thể tích của hình chóp tam giác đều (hình chóp tứ giác đều) bằng $\frac{1}{3}$ diện tích đáy nhân với chiều cao.

$V = \frac{1}{3} S_{đ á y} . h$ .

(V là thể tích, $S_{đ á y}$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Toán 8 CTST Bài 1. Hình chóp tam giác đều - Hình chóp tứ giác đều

Câu 10:

Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{x + 1}{x + 3 m}$ nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty)$

A. 3

B. 2

C. 0

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số: Dùng quy tắc đạo hàm để tìm

Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình để tìm giá trị làm đổi dấu đạo hàm

Xác định tính đơn điệu: Lập bảng biến thiên để xét dấu của trên các khoảng

Kết luận khoảng nghịch biến: Dựa vào dấu của , xác định khoảng mà giảm

* Các dạng bài tập thường gặp sự đồng biến/nghịch biến của hàm mũ:

* Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'(x).

Bước 3: Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Kết luận.

- Dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ:

Cho hàm số y = a^x, (a > 0; a ≠ 1). Khi đó:

Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R

Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R

* Dạng bài toán:

Dạng 1: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Tính f′(x).

– Bước 2: Nêu các điều kiện của bài toán:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên R⇔y′=f′(x)⩾0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên R⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

– Bước 3: Từ các điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để tìm m.

Dạng 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D đã cho trước.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Nêu các điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên D⇔y′=f′(x)⩾0, với ∀x∈D.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên D⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈D.

– Bước 2: Từ điều kiện trên hãy sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm m.

- Bước 3: Kết luận

c) Dạng 4: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

– Bước 1: Tính y′

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến và nghịch biến:

– Bước 3: Đưa ra kết luận.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số Toán 12 mới nhất

Trắc nghiệm Hàm lũy thừa (có đáp án)

Câu 11:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Hãy viết tất cả các số có ba chữ số mà tổng của ba chữ số đó bằng 3

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: 3 = 1 + 1 + 1 = 2 + 1 + 0 = 3 + 0 + 0

Các số có ba chữ số mà tổng của ba chữ số đó bằng 3 là: 111, 210, 201, 102, 120, 300

* Phương pháp giải:

Liệt kê tất cả các số sao cho tổng 3 chữ số của số cộng lại bằng 3: ví dụ: 111 vì 1+1+1=3

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 12:

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán 11 Cánh diều

Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.

Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi H là giao điểm của OC và AB, ΔAOB cân tại O (OA = OB, bán kính). OH là đường cao nên cũng là đường phân giác. Do đó:

Suy ra: CB vuông góc với OB, mà OB là bán kính của đường tròn (O)

⇒ CB là tiếp tuến của đường tròn (O) tại B. (điều phải chứng minh)

* Phương pháp giải:

Xét dấu các giá trị lượng giác

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Góc hình học và số đo của chúng

*Nhận xét:

- Đơn vị đo góc: độ hoặc radian (rad).

- Ta có: $180^{o} = π$ rad, do đó 1 rad $= {(\frac{180}{π})}^{o}$ , $1^{o} = (\frac{π}{180})$ rad.

- Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo góc.

VD: $\frac{π}{2}$ rad cũng được viết là $\frac{π}{2}$ .

2. Góc lượng giác và số đo của chúng

a, Khái niệm

- Cho 2 tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov.

Kí hiệu: (Ou, Ov).

- Mỗi góc lượng giác được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

b, Tính chất

- Cho hai góc lượng giác = và (O’u’,O’v’) có tia đầu trùng nhau $(O u \equiv O^{'} u^{'})$ , tia cuối trùng nhau $(O v \equiv O^{'} v^{'})$ .

Khi đó, nếu sử dụng đợn vị đo là độ thì ta có:

$(O u, O v) = (O^{'} u^{'}, O^{'} v^{'}) + k 360^{o}, k \in Z .$

Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì:

$(O u, O v) = (O^{'} u^{'}, O^{'} v^{'}) + k 2 π, k \in Z .$

* Hệ thức Chasles

Với 3 tia Ou, Ov, Ow bất kì ta có:

(Ou,Ov) + (Ov, Ow) = (Ou,Ow) $+ k 2 π, k \in Z .$

1. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1;0). Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

- Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

- Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn như hình vẽ. Khi đó:

$x =$ cos $α$ , $y =$ sin $α$ .

tan $α$ $= \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{y}{x} (x \neq 0)$

$\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{x}{y} (y \neq 0)$

* Dấu của các giá trị lượng giác của góc $α$

* Các công thức lượng giác cơ bản

$\begin{array}{l} \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 \\ 1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} (α \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) \\ 1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} (α \neq k π, k \in Z) \\ \tan α . \cot α = 1 (α \neq \frac{k π}{2}, k \in Z) \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Câu 13:

Lý thuyết Amino axit (mới 2024 + Bài Tập) - Hóa học 12

Số đồng phân ester có công thức phân tử C₃H₆O₂ là

Xem đáp án

* Lời giải:

Số đồng phân este có công thức phân tử C3H6O2 là (ảnh 1)

→ Ester no, đơn chức, mạch hở

→ Các đồng phân ester có công thức phân tử C₃H₆O₂là

1. HCOOCH₂CH₃

2. CH₃COOCH₃

→ Có 2 đồng phân ester

* Phương pháp giải:

Axit cóX gắn vị trí cần – NH ₂ vào mạch C4Phân tử C₄H₉NO₂ ứng với axit amin có 1 nhóm –NH₂ và 1 nhóm –COOH.
Các nhóm gắn vị trí –NH₂ vào mạch C4 bao gồm: 3 đồng mạch thẳng và 1 đồng mạch nhánh.
* Lý thuyết nắm thêm:

Khái niệm

- Amino axit là loại hợp chất hữu cơ tạp chức mà phân tử chứa đồng thời nhóm amino (NH₂) và nhóm cacboxyl (COOH).

Công thức chung: (H₂N)_x – R – (COOH)_y

Danh pháp

a) Tên thay thế: axit + vị trí nhóm NH₂ + amino + tên axit cacboxylic tương ứng.

Ví dụ: H₂N–CH₂–COOH: axit aminoetanoic

HOOC–[CH₂]₂–CH(NH₂)–COOH: axit 2-aminopentanđioic

Tên bán hệ thống: axit + vị trí chữ cái Hi Lạp (α, β, γ, δ, ε, ω) của nhóm NH₂ + amino + tên thông thường của axit cacboxylic tương ứng.

Ví dụ: CH₃–CH(NH₂)–COOH : axit α-aminopropionic

H₂N–[CH₂]₅–COOH : axit ε-aminocaproic

H₂N –[ CH₂]₆–COOH: axit ω-aminoenantoic

c) Tên thông thường: các amino axit thiên nhiên (α-amino axit) đều có tên thường.

Ví dụ: H₂N –CH₂–COOH có tên thường là glyxin (Gly) hay glicocol

Tên gọi của một số α - amino axit

Tính chất vật lý

Các amino axit là các chất rắn không màu, vị hơi ngọt, dễ tan trong nước vì chúng tồn tại ở dạng ion lưỡng cực (muối nội phân tử), nhiệt độ nóng chảy cao (vì là hợp chất ion).

H₂N – CH₂ – COOH $⇄ H_{3} \overset{+}{N} - C H_{2} - C O O^{-}$

Dạng phân tử Dạng ion lưỡng cực

Tính chất hóa học

1. Tính chất lưỡng tính

- Tác dụng với dung dịch bazơ (do có nhóm COOH)

H₂N – CH₂–COOH + NaOH → H₂N – CH₂–COONa + H₂O

- Tác dụng với dung dịch axit (do có nhóm NH₂)

H₂N – CH₂–COOH + HCl → ClH₃N– CH₂–COOH

2. Tính axit – bazơ của dung dịch aminoaxit

Xét amino axit tổng quát: (H₂N)_x – R – (COOH)_y. Khi:

- x = y thì amino axit trung tính, quỳ tím không đổi màu

- x > y thì amino axit có tính bazơ, quỳ tím hóa xanh

- x < y thì amino axit có tính axit, quỳ tím hóa đỏ

Phản ứng riêng của nhóm COOH: Phản ứng este hóa

Tương tự với axit cacboxylic, amino axit phản ứng với ancol khi có mặt axit vô cơ mạnh sinh ra este. Ví dụ:

H₂NCH₂COOH + C₂H₅OH $\overset{H C l}{⇄}$ H₂NCH₂COOC₂H₅+ H₂O

Phản ứng trùng ngưng

- Khi đun nóng, các ε – hoặc ω – amino axit tham gia phản ứng trùng ngưng tạo thành polime thuộc loại poliamit.

- Trong phản ứng này, -OH của nhóm COOH ở phân tử amino axit này kết hợp với H của nhóm NH₂ ở phân tử amino axit kia thành nước và sinh ra polime do các gốc amino axit kết hợp với nhau. Ví dụ:

Hay có thể viết gọn là:

Phản ứng đặc trưng của nhóm NH₂: phản ứng với HNO₂

Ví dụ:

H₂N – CH₂–COOH + HNO₂ → HO– CH₂ –COOH + N₂↑ + H₂O

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

TOP 40 câu Trắc nghiệm Amino axit (có đáp án 2024) - Hóa học 12

Câu 14:

Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12. Tính độ dài của vectơ $\vec{v} = \vec{G B} + \vec{G C}$ .

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 (ảnh 1)

Ta có: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{G B} + \vec{G C} = - \vec{G A}$

$\Rightarrow |\vec{v}| = |\vec{G B} + \vec{G C}| = |- \vec{G A}| = G A$

Ta lại có: $A M = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} .12 = 6$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: $A G = \frac{2}{3} A M = \frac{2}{3} .6 = 4.$

Vậy $|\vec{v}| = 4.$

*Phương pháp giải:

- áp dụng tính chất về tích vô hướng của hai vectơ:

- Định nghĩa tích vô hướng: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ( $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$ ), khi đó tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ kí hiệu là $\vec{a} . \vec{b}$ và xác định bởi công thức: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

* Lý thuyết nắm thêm và các công thức về tích vô hướng của hai vectơ:

- Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác vectơ $\vec{0}$ . Từ điểm O bất kì vẽ $\vec{O A} = \vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ , khi đó góc $\hat{A O B}$ ( $0^{o} \leq \hat{A O B} \leq 180^{o}$ ) là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Kí hiệu: $(\vec{a}, \vec{b})$ .

- Định nghĩa tích vô hướng: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ( $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$ ), khi đó tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ kí hiệu là $\vec{a} . \vec{b}$ và xác định bởi công thức: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

- Chú ý:

+) Khi ít nhất một trong hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng vectơ $\vec{0}$ ta quy ước: $\vec{a} . \vec{b} = 0$ .

+) Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (), ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

+) Tích vô hướng $\vec{a} . \vec{a}$ được kí hiệu là ${\vec{a}}^{2}$ và ta có: ${\vec{a}}^{2} = {|\vec{a}|}^{2}$ .

- Các tính chất của tích vô hướng:

- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Trong mặt phẳng $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ . Khi đó: $\vec{a} . \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ . Và với hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ đều khác $\vec{0}$ thì $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ .

- Ứng dụng của tích vô hướng:

+) Độ dài của vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ được tính theo công thức: $|\vec{a}| = \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}}$

+) Góc giữa hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ ( $\vec{a}; \vec{b} \neq \vec{0}$ ):

$\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} . \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}}$

+) Khoảng cách giữa hai điểm $A (x_{A}; y_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B})$ được tính theo công thức:

$A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$

Các dạng bài.

Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai vectơ.

- Tính tích vô hướng: Phân tích vectơ và đưa hai vectơ về chung gốc để tìm góc giữa hai vectơ hoặc đưa hai vectơ về các vectơ vuông góc. Sau đó, áp dụng công thức định nghĩa, tính chất và hằng đẳng thức để tính tích vô hướng của hai vectơ. Đối với hai vectơ biết tọa độ thì tính theo công thức $\vec{a} . \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

- Tính góc giữa hai vectơ: Phân tích vectơ và đưa hai vectơ về chung gốc để tìm góc giữa hai vectơ hoặc dùng công thức: $\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} . \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}}$

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ.

Phân tích vectơ để biến phép tính độ dài đoạn thẳng thành phép tính tích vô hướng, áp dụng công thức $A B^{2} = {|\vec{A B}|}^{2} = {\vec{A B}}^{2}$ . Nếu đề bài có liên quan đến tọa độ thì áp dụng công thức: $|\vec{A B}| = A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Tích vô hướng của hai vectơ

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vecto có đáp án – Toán lớp 10

Câu 15:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Tính giá trị biểu thức sau: A = a² sin90⁰ + b².cos90⁰ + c². cos180⁰

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có A = a².1 + b². 0 + c². (-1) = a² - c²

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cung lượng giác cơ bản

* Lý thuyết nắm thêm:

Công thức nhân đôi:

* Công thức hạ bậc:

Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác đặc biệt

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 10 Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

Câu 16:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Giải phương trình: sinx = cos3x.

Xem đáp án

* Lời giải:

sinx = cos3x $\Leftrightarrow \cos 3 x = \cos (\frac{π}{2} - x)$

$\Leftrightarrow 3 x = \frac{π}{2} - x + k 2 π$ hoặc $3 x = x - \frac{π}{2} + k 2 π$ $(k \in Z)$

$\Leftrightarrow 4 x = \frac{π}{2} + k 2 π$ hoặc $2 x = - \frac{π}{2} + k 2 π$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}$ hoặc $x = - \frac{π}{4} + k π$ $(k \in Z)$ .

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cung lượng giác cơ bản

* Lý thuyết nắm thêm:

Công thức nhân đôi:

* Công thức hạ bậc:

Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác đặc biệt

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 10 Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

Câu 17:

Sách bài tập Toán 9 Bài 3 (Kết nối tri thức): Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 2 km/h.

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi x (km) là khoảng cách giữa hai bến A và B, với x > 0.

Vì vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng chính bằng 2 lần vận tốc dòng nước nên ta có phương trình:

x = 80 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy khoảng cách giữa hai bến A và B là 80km.

(Giải thích tại sao hiệu vận tốc xuôi dòng và ngược dòng bằng 2 lần vận tốc dòng nước:

Nếu gọi vận tốc canô là v (km/h), vận tốc dòng nước là a (km/h), ta có:

Khi xuôi dòng: vận tốc canô = v + a

Khi ngược dòng: vận tốc canô = v - a

Hiệu vận tốc = v + a - (v - a) = 2a = 2 vận tốc dòng nước.)

*Phương pháp giải:

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

*Cách giải và các dạng bài toán về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Dạng 4: Bài toán về hình học

Phương pháp giải: Sử dụng đến công thức tính chu vi, diện tích các hình như hình vuông; hình chữ nhật; hình thang;…

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

TOP 40 câu Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương cách lập hệ phương trình (có đáp án 2024) – Toán 9

Câu 18:

Sách bài tập Toán 9 Bài 3 (Kết nối tri thức): Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày. Hỏi nếu A làm một nửa công việc rồi nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc trong bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày.

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi thời gian A, B làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (y > x > 6, đơn vị: ngày)

Mỗi ngày các bạn A, B lần lượt làm được $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{y}$ (công việc)

Vì hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày nên ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ (1)

Do làm một mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày nên ta có phương trình: y – x = 9 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ y - x = 9 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 9 \\ y = 18 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy B hoàn thành cả công việc trong 18 ngày.

Suy ra sau khi A làm một mình xong nửa công việc rồi nghỉ, B hoàn thành công việc còn lại trong 9 ngày.

*Phương pháp giải:

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

*Cách giải và các dạng bài toán về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Dạng 4: Bài toán về hình học

Phương pháp giải: Sử dụng đến công thức tính chu vi, diện tích các hình như hình vuông; hình chữ nhật; hình thang;…

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

TOP 40 câu Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương cách lập hệ phương trình (có đáp án 2024) – Toán 9

Câu 19:

Các dạng toán về Tỉ lệ thức và cách giải – Toán lớp 7

Tính các góc của tứ giác ABCD, biết rằng: $∠$ A: $∠$ B: $∠$ C: $∠$ D= 1 : 2 : 3 : 4

Xem đáp án

* Lời giải:

Theo bài ra, ta có:

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Vậy: góc A= 36 độ

góc B= 72 độ

góc C= 108 độ

góc D= 144 độ

*Phương pháp giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

1. Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Hay được viết: a:b=c:d . Trong đó a, d là các số hạng ngoài (ngoại tỉ), b, c là các số hạng trong (trung tỉ).

2. Tính chất:

Tính chất 1: Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì ad = bc.

Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 5.1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên.

- Viết các số hữa tỉ dưới dạng phân số.

- Thực hiện phép chia phân số.

Dạng 5.2: Lập tỉ lệ thức từ các tỉ số cho trước.

- Xét xem hai tỉ số đã cho co bằng nhau không?

- Nếu hai tỉ số bằng nhau thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.

Dạng 5.3: Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước, từ một tỉ lệ thức cho trước, từ các số cho trước.

Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước:

Nếu ad = bc và abcd ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

Lập tất cả các tỉ lệ thức từ một tỉ lệ thức cho trước:

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ta có thể lập được ba tỉ lệ thức nữa bằng cách:

- Giữ nguyên ngoại tỉ, đổi chỗ các trung tỉ: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

- Giữ nguyên trung tỉ, đổi chỗ các ngoại tỉ: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

- Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau: $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

Lập tỉ lệ thức từ các số cho trước: Từ các số đã cho, trước hết phải lập được đẳng thức dạng ad = bc. Sau khi có đẳng thức này, áp dụng tính chất 2 để lập các tỉ lệ thức.

Toán 7 Bài 5 (Cánh diều) giải sgk: Tỉ lệ thức

Câu 20:

Lý thuyết giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập chi tiết nhất

Cho $\sin a + \cos a = \frac{5}{4}$ . Khi đó sina.cos a có giá trị bằng

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có

* Phương pháp giải:

biến đổi biểu thức đã cho để thu được kết quả rút gọn

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm

Tính chất:

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng $180^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Hai góc phụ nhau là hai học có tổng bằng $90^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Các dạng bài.

Dạng 1: Góc và dấu của các giá trị lượng giác.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt và các chú ý về dấu của giá trị lượng giác liên quan tới góc.

Dạng 2: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác để từ một giá trị lượng giác suy ra các giá trị lượng giác còn lại.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 10 Bài 5 (Kết nối tri thức): Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ có đáp án – Toán lớp 10

Câu 21:

Giải SGK Toán lớp 4 Bài 25: Tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó

Điền số thích hợp vào chỗ chấm:

Số bé nhất có ba chữ số và có tổng các chữ số bằng 22 là ...

Xem đáp án

* Lời giải:

Số cần tìm có 3 chữ số vì số lớn nhất có hai chữ số là 99 mà 9+9=18(18<22)

Số cần tìm là số bé nhất có 3 chữ số thì:

- Nếu chữ số hàng trăm bằng 1 thì tổng của chữ số hàng chục và hàng đơn vị là: 22−1=21 (loại vì số lớn nhất có hai chữ số có tổng bằng 18).

- Nếu chữ số hàng trăm bằng 2 thì tổng của chữ số hàng chục và hàng đơn vị là: 22−2=20 (loại vì số lớn nhất có hai chữ số có tổng bằng 18).
- Nếu chữ số hàng trăm bằng 3 thì tổng của chữ số hàng chục và hàng đơn vị là: 22−3=19 (loại vì số lớn nhất có hai chữ số có tổng bằng 18).

- Nếu chữ số hàng trăm bằng 4 thì tổng của chữ số hàng chục và hàng đơn vị là: 22−4=18 (chọn vì số lớn nhất có hai chữ số có tổng bằng 18).

Nên số cần tìm có chữ số hàng trăm là 4 và chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 9.

Do đó, số bé nhất có tổng các chữ số bằng 22 là 499.

* Phương pháp giải

Áp dụng các công thức:

Số lớn = (Tổng + Hiệu) : 2 ;

Số bé = (Tổng – Hiệu) : 2.

*Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và hiệu

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 2: Cho biết hiệu nhưng dấu tổng

Phương pháp giải: Cần phải tìm tổng trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 3: Cho biết tổng nhưng dấu hiệu

Phương pháp giải: Cần phải tìm hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 4: Dấu cả tổng lẫn hiệu

1. Phương pháp giải

Cần phải tìm tổng và hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu): 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Chuyên đề Tìm hai số khi biết tổng và hiệu lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Câu 22:

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 Cánh diều

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\sin (x + \frac{π}{6}) = 1.$

Xem đáp án

* Lời giải:

$s i n (x + \frac{π}{6}) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z) \Leftrightarrow x = \frac{π}{3} + k 2 π (k \in Z)$

*Phương pháp giải:

$si nx = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z .$

*Lý thuyết và các dạng bài tập về phép biến đổi lượng giác:

Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Các phép biến đổi lượng giác

Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều) có đáp án - Toán 11

Câu 23:

Lý thuyết Khoa học tự nhiên 7 Bài 2. Nguyên tử - Kết nối tri thức

Nguyên tố X có số hiệu nguyên tử bằng 14. Electron cuối cùng của nguyên tử nguyên tố X điền vào lớp, phân lớp nào sau đây?

Xem đáp án

* Lời giải:

X có số electron = số hiệu nguyên tử = 14.

⇒ Cấu hình electron nguyên tử X là: 1s²2s²2p⁶3s²3p²

⇒ Electron cuối cùng điền vào lớp M (n = 3), phân lớp p.

* Phương pháp giải:

nắm lại lý thuyết về nguyên tử: số hiệu nguyên tử; cấu hình e

* Lý thuyết nắm thêm

I. Quan niệm ban đầu về nguyên tử

- Theo Đê – mô – crit: sự tồn tại của một loại hạt vô cùng nhỏ (được gọi là nguyên tử) tạo nên sự đa dạng của vạn vật. Khởi nguồn của quan niệm nguyên tử là sự chia nhỏ một vật sẽ đến một giới hạn “không thể phân chia được”.

- Theo Đan – tơn: Có các đơn vị chất tối thiểu (được gọi là nguyên tử) để các chất tác dụng vừa đủ với nhau theo các lượng xác định.

II. Mô hình nguyên tử của Rơ-dơ-pho – Bo

- Rơ-dơ-pho (E.Rutherford) (1871 – 1937), nhà vật lí người Niu-di-lân (New ZeaLand) đã đề xuất mô hình nguyên tử như sau:

+ Nguyên tử có cấu tạo rỗng.

+ Nguyên tử gồm: Hạt nhân ở tâm mang điện tích dương và các electron mang điện tích âm.

+ Các electron chuyển động xung quanh hạt nhân như các hành tinh quay xung quanh Mặt Trời.

- Bo (N. Bohr) (1885 – 1962), nhà vật lí người Đan Mạch, đã hoàn thiện mô hình nguyên tử của Rơ-dơ-pho như sau:

+ Các electron chuyển động xung quanh hạt nhân theo từng lớp khác nhau.

+ Lớp electron trong cùng chứa tối đa 2 electron và bị hạt nhân hút mạnh nhất.

+ Các lớp electron khác chứa tối đa 8 electron hoặc nhiều hơn và bị hạt nhân hút yếu hơn.

Ví dụ:

Theo mô hình nguyên tử của Bo

- Nguyên tử carbon gồm:

+ Hạt nhân ở tâm mang điện tích dương.

+ Có 6 electron chuyển động xung quanh hạt nhân và được sắp xếp thành hai lớp:

Lớp thứ nhất (lớp trong cùng gần hạt nhân nhất) có 2 electron.

Lớp thứ hai có 4 electron.

Hạt nhân nguyên tử

- Nguyên tử có kích thước vô cùng nhỏ, chỉ khoảng một phần mười tỉ mét. Kích thước của hạt nhân còn nhỏ hơn nữa và chỉ bằng khoảng một phần mười ngàn kích thước của nguyên tử.

- Hạt nhân nguyên tử được tạo thành từ các hạt proton và neutron.

+ Hạt proton kí hiệu là p. Mỗi hạt proton mang một đơn vị điện tích dương, quy ước là +1.

+ Hạt neutron khí hiệu n. Hạt neutron không mang điện.

- Số đơn vị điện tích hạt nhân, kí hiệu là Z, bằng tổng số proton có trong hạt nhân.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 20 câu Trắc nghiệm Khoa học tự nhiên 7 Bài 2 (Chân trời sáng tạo 2024) có đáp án: Nguyên tử

Câu 24:

35 Bài tập Đơn vị đo độ dài, khối lượng và diện tích lớp 5 (có đáp án)

10% của 5 dm là:

Xem đáp án

* Lời giải:

10% của 5 dm là:

5 × 10 : 100 = 0,5 (dm)

Đổi: 0,5 dm = 5 cm

Đáp số: 5 cm

* Phương pháp giải:

1 m = 10 dm = 100 cm

1 km = 1 000 m

1 yến = 10 kg; 1 tạ = 100 kg; 1 kg = 1 000g

1 giờ = 60 phút; 1 phút = 60 giây; 1 thế kỉ = 100 năm

* Lý thuyết nắm thêm:

Đơn vị đo khối lượng

- Hai đơn vị đó khối lượng liền nhau thì gấp (hoặc kém) nhau 10 lần. Như vậy khối đo khối lượng là số trong hệ thập phân.

- Trong số đo khối lượng, mỗi chữ số cũng tương ứng với một hàng đơn vị khối lượng.

Ví dụ: 5678 kg = 5 tấn 6 tạ 7 yến 8 kg.

Bảng đo đơn vị khối lượng

Lớn hơn ki-lô-gam

Ki-lô-gam

Bé hơn ki-lô-gam

Tấn

Tạ

Yến

Kg

hg

dag

g

1km

= 10 tạ

= 100 yến = 1000kg

1 tạ

= 10 yến = 100kg

1 yến

= 10kg

1kg

= 10hg

= 100dag = 1000g

1hg

= 10dag

= 100g

1dag

= 10g

1g

CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ ĐO KHỐI LƯỢNG

Vì số đo khối lượng là số đo thuộc hệ thập phân nên các phép tính về số đo khối lượng cũng thực hiện như phép tính về số tự nhiên. Cụ thể là đối với phép cộng và phép trừ cần nhớ các quy tắc sau:

- Chỉ thực hiện với các số có cùng tên đơn vị.

- Đặt tính theo quy tắc các chữ số cùng hàng phải đặt thẳng cột với nhau

- Thực hiện phép tính từ trái sang phải.

- Nếu kết quả cộng lớn hơn 9 thì nhớ sang hàng liên bên trái.

- Nếu chữ số ở một hàng nào đó của số bị trừ nhỏ hơn chữ số cùng hàng đó của số trừ thì ta thêm 10 vào chữ số ở hàng đó của số bị trừ đồng thời thêm 1 vào hàng liền sau của số trừ.

Đơn vị đo độ dài

- Hai đơn vị đó khối lượng liền nhau thì gấp (hoặc kém) nhau 10 lần. Như vậy khối đo khối lượng là số trong hệ thập phân.

- Trong số đo khối lượng, mỗi chữ số cũng tương ứng với một hàng đơn vị khối lượng.

Ví dụ: 1234m = 1 km 2hm 3 dam 4m

Lớn hơn mét

Mét

Bé hơn mét

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

1km

= 10hm

= 100dam

= 1000m

1hn

= 10dam

= 100m

1dam

= 10m

1m

= 10dm

= 100cm

= 1000mm

1dm

= 10cm

= 100mm

1cm

= 10mm

1mm

Chú ý: Thực hiện phép tính trên số đo độ dài giống như trên số đo khối lượng

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Chuyên đề Các bài toán về đại lượng và đo đại lượng lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Câu 25:

Sách bài tập Toán 9 Bài 3 (Kết nối tri thức): Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $3^{2 x} - 2 . 3^{x + 2} + 27 = 0$ bằng

A. 18

B. 27

C. 9

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng: D

* Lời giải:

*Phương pháp giải:

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

* Cách giải và các dạng bài toán về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được (công việc), làm a ngày thì được (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và ;.

- Biểu diễn số có ba chữ số , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và ;;.

Dạng 4: Bài toán về hình học

Phương pháp giải: Sử dụng đến công thức tính chu vi, diện tích các hình như hình vuông; hình chữ nhật; hình thang;…

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

TOP 40 câu Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương cách lập hệ phương trình (có đáp án 2024) – Toán 9

Câu 26:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Người ta dùng loại gạch men hình vuông có cạnh 50 cm để lát nền một phòng học hình chữ nhật có chiều dài 8 m. chiều rộng 6 m. Hỏi cần bao nhiêu viên gạch men loại đó để vừa đủ lát kín nên phòng học? (Diện tích phần mạch vữa không đáng kể.)

Xem đáp án

* Lời giải:

Diện tích nền phòng học là:

8 × 6 = 48 (m²)

Đổi: 48 m² = 480 000 cm²

Diện tích một viên gạch men là:

50 × 50 = 2 500 cm²

Để vừa lát đủ kín nền phòng học cần số viên gạch men là:

480 000 : 2 500 = 192 (viên)

Đáp số: 192 viên gạch men.

* Phương pháp giải:

Tính diện tích nền phòng

Tính diện tích một viên gạch

Tính số viên gạch cần dùng

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 27:

Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác 2 lần, một lần ở sân nhà và một lần ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là bao nhiêu?

Xem đáp án

*Lời giải

Cứ hai đội nếu đá cả lượt đi và lượt về thì có 2 trận đấu diễn ra.

Vậy có tất cả: $2. C_{10}^{2} = 90$ (trận).

*Phương pháp giải:

- tìm không gian mẫu

- tìm kết quả thuận lợi của biến cố A

- Tính xác suất cho biến cố A: P(A) = n(A) / n( $Ω$ )

*Lý thuyến cần nắm về tổ hợp - xác suất

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

3. Hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

4. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp:

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

(a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

7. Phép toán trên các biến cố:

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

+ Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

+ Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

+ Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là:

trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

9. Tính chất của xác suất:

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

P(∅) = 0, P(Ω) = 1

0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Câu 28:

Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả, tính xác suất sao cho:

a. Bốn quả lấy ra cùng màu;

b. Có ít nhất một quả màu trắng.

Xem đáp án

*Lời giải

Không gian mẫu là kết quả việc chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp 10 quả cầu.

a. A: “ Bốn quả lấy ra cùng màu”

TH1: Bốn quả lấy ra cùng đen

TH2: Bốn quả lấy ra cùng trắng

b. B: “ Cả 4 quả lấy ra đều màu đen”

⇒ B−: “ Có ít nhất 1 quả màu trắng”.

*Phương pháp giải:

- tìm không gian mẫu

- tìm kết quả thuận lợi của biến cố A

- Tính xác suất cho biến cố A: P(A) = n(A) / n( $Ω$ )

*Lý thuyến cần nắm về tổ hợp - xác suất

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

3. Hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

4. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp:

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

(a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

7. Phép toán trên các biến cố:

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

+ Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

+ Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

+ Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là:

trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

9. Tính chất của xác suất:

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

P(∅) = 0, P(Ω) = 1

0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Câu 29:

Một hộp có 10 lá thăm có kích thước giống nhau và được đánh số từ 1 đến 10. Lấy ngẫu nhiên 1 lá thăm từ hộp.

a) Hãy nêu các điểm cần lưu ý khi tính xác suất liên quan đến hoạt động trên.

b) Gọi A là biến cố “Lấy được lá thăm ghi số 9”. Hãy tính xác suất của biến cố A.

c) Gọi B là biến cố “Lấy được lá thăm ghi số nhỏ hơn 11”. Hãy tính xác suất của biến cố B.

Xem đáp án

*Lời giải

a) Các điểm cần lưu ý khi tính xác suất của hoạt động trên là:

- Có 10 kết quả xảy ra.

- Do 10 lá thăm có kích thước giống nhau nên mỗi kết quả đều có khả năng xảy ra bằng nhau.

b) Lá thăm ghi số 9 là 1 trong 10 lá thăm nên P(A) = $\frac{1}{10}$ .

c) 10 lá thăm đều ghi số nhỏ hơn 11 nên biến cố B là biến cố chắc chắn.

Do đó P(B) = 1

*Phương pháp giải:

- tìm không gian mẫu

- tìm kết quả thuận lợi của biến cố A

- Tính xác suất cho biến cố A: P(A) = n(A) / n( $Ω$ )

*Lý thuyến cần nắm về tổ hợp - xác suất

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

3. Hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

4. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp:

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

(a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

7. Phép toán trên các biến cố:

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

+ Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

+ Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

+ Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là:

trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

9. Tính chất của xác suất:

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

P(∅) = 0, P(Ω) = 1

0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Câu 30:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một kho có 31 tấn 5 tạ muối. Người ta chuyển muối từ kho lên miền núi, đợt Một chuyển được $\frac{2}{5}$ số muối trong kho, đợt Hai chuyển được $\frac{3}{7}$ số muối trong kho. Hỏi cả hai đợt chuyển được bao nhiêu tạ muối?

Xem đáp án

*Lời giải

Đổi: 31 tấn 5 tạ = 315 tạ

Cả hai đợt chuyển được số tạ muối là:

315 × ( $\frac{2}{5}$ + $\frac{3}{7}$ ) = 261 (tạ)

Đáp số: 261 tạ muối

* Phương pháp giải:

Đổi đơn vị ra tạ

Tính cả hai đợt chuyển bao nhiêu tạ muối: sử dụng phép cộng và nhân với số tạ của cả kho

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 31:

Một hộp chứa 2 quả bóng xanh và một số quả bóng trắng. Lấy ra ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Biết rằng xác suất chọn được 2 quả bóng khác màu là $\frac{10}{21}$ .

a) Tính xác suất 2 quả bóng lấy ra có cùng màu.

b) Hỏi trong hộp có bao nhiêu quả bóng?

Xem đáp án

*Lời giải

a) Xác xuất 2 quả bóng lấy ra có cùng màu là: $1 - \frac{10}{21} = \frac{11}{21}$ .

b) Gọi k là số quả bóng trắng trong hộp (k ℕ^*)

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = $C_{k + 2}^{2}$

Vì 2 quả bóng được chọn khác màu nên ta có mỗi loại 1 quả và có xác suất là $\frac{10}{21}$

Ta có $\frac{C_{2}^{1} . C_{k}^{1}}{C_{k + 2}^{2}} = \frac{10}{21}$

$\Leftrightarrow \frac{2 k}{C_{k + 2}^{2}} = \frac{10}{21}$

$\Leftrightarrow 42 k = 10 C_{k + 2}^{2}$

$\Leftrightarrow 42 k = 10. \frac{(k + 2)!}{2! k!}$

$\Leftrightarrow 42 k = 5. \frac{(k + 2) (k + 1) . k!}{k!}$

$\Leftrightarrow$ 42k = 5(k + 2)(k + 1)

$\Leftrightarrow$ 5k² – 27k + 10 = 0

$\Leftrightarrow$ k = 5 hoặc k = $\frac{2}{5}$

Kết hợp với điều kiện k = 5 thoả mãn

Vậy trong hộp có 7 quả bóng

*Phương pháp giải:

a) Sử dụng biến cố đối

b)Sử dụng công thức tổ hợp

*Lý thuyến cần nắm về tổ hợp - xác suất

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

3. Hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

4. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp:

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

(a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

7. Phép toán trên các biến cố:

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

+ Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

+ Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

+ Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là:

trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

9. Tính chất của xác suất:

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

P(∅) = 0, P(Ω) = 1

0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Câu 32:

Một hộp chứa 15 quả cầu gồm 6 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 6 và 9 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên hai quả từ hộp đó, xác suất để lấy được hai quả khác màu đồng thời tổng hai số ghi trên chúng là số chẵn bằng

Xem đáp án

*Lời giải

Số cách lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp là: $C_{15}^{2} = 105$ cách

Để tổng hai số ghi trên hai quả cầu là số chẵn ta có 2 TH sau:

TH1: Hai quả cầu khác màu cùng đánh số lẻ: $C_{3}^{1} . C_{5}^{1} = 15$ cách

TH2: Hai quả cầu khác màu nhau cùng đánh số chẵn: $C_{3}^{1} . C_{4}^{1} = 12$ cách

Vậy xác suất cần tính là: $P = \frac{12 + 15}{105} = \frac{9}{35} .$

*Phương pháp giải:

Bước 1: Liệt kê kết quả có thể xảy ra và viết không gian mẫu Ω.

Bước 2: Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố.
Bước 3: Tính xác suất

*Lý thuyến cần nắm về tổ hợp - xác suất

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

3. Hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

4. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp:

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

(a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

7. Phép toán trên các biến cố:

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

+ Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

+ Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

+ Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là:

trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

9. Tính chất của xác suất:

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

P(∅) = 0, P(Ω) = 1

0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Câu 33:

Một hộp đựng 10 viên bi đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 15 viên bi xanh được đánh số từ 1 đến 15. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ trong hộp. Gọi A là biến cố “Viên bi lấy ra có màu đỏ”, B là biến cố “Viên bi lấy ra ghi số chẵn”. Xác suất của biến cố AB là

Xem đáp án

*Lời giải

Không gian mẫu của phép thử là $n (Ω) = C_{25}^{1} = 25$ .

Biến cố AB là “Viên bi lấy ra có màu đỏ và mang số chẵn”.

Số trường hợp của biến cố AB là 5.

Xác suất của biến cố AB là $P (A B) = \frac{5}{25} = 0,2$ .

*Phương pháp giải:

Bước 1: Liệt kê kết quả có thể xảy ra và viết không gian mẫu Ω.

Bước 2: Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố.
Bước 3: Tính xác suất

*Lý thuyến cần nắm về tổ hợp - xác suất

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

3. Hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

4. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp:

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

(a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

7. Phép toán trên các biến cố:

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

+ Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

+ Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

+ Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là:

trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

9. Tính chất của xác suất:

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

P(∅) = 0, P(Ω) = 1

0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Câu 34:

Lý thuyết Khối lượng riêng. Áp suất chất lỏng – Vật lí 10 Cánh diều

Người ta đổ thêm 100 cm3 nước vào một nhánh của một bình hình chữ U có hai nhánh giống nhau đang chứa thủy ngân. Hỏi mặt thoáng của thủy ngân ở nhánh bên kia của bình di chuyển bao nhiêu cm? Biết đường kính trong của bình d = 2 cm, khối lượng riêng của thủy ngân $ρ_{H g}$ = 13600kg/m3 và của nước $ρ_{H_{2} O}$ = 1000kg/m3.

Xem đáp án

*Lời giải

Mặt thoáng của thủy ngân ban đầu ở vị trí A. Khi đổ thêm nước vào thì A ở nhánh có nước chuyển xuống B, mặt thoáng ở nhánh còn lại chuyển tới C, như hình vẽ.

Ta có: AB = A’C

Suy ra: $h_{H g} = B' C = 2 A' C; A B = \frac{h_{H g}}{2}$

Gọi áp suất ở mặt thoáng của nước là p2: p2 = pa (áp suất khí quyển)

Gọi áp suất ở mặt thoáng của Hg là p’2: p’2 = pa, suy ra p2 = p’2 (1)

Gọi áp suất của nước ở B là p1; áp suất của thủy ngân ở B’ là p’1.

Vì B và B’ nằm trên cùng một mặt phẳng ngang nên p1 = p’1 (2)

Ta có:

$Δ p = p_{1} - p_{2} = ρ_{H_{2} O} . g . h_{H_{2} O}$

$Δ p' = p_{1}' - p_{2}' = ρ_{H g} . g . h_{H g}$

Từ (1) và (2) suy ra: $Δ p = Δ p'$

$\Rightarrow Δ h = \frac{h_{H g}}{2}$ = 1,17cm

* Phương pháp giải:

Sử dụng phương trình liên tục

Áp dụng định luật Bernoulli cho ống dòng nằm ngang

Giải phương trình Bernoulli để tìm $p_{2}$

Lưu ý về mật độ $ρ$

Kiểm tra kết quả (giả sử có $ρ$ )

* Lý thuyết nắm thêm:

I. Định luật I Newton

- Khối lượng riêng của một chất là khối lượng của một đơn vị thể tích chất đó

$ρ = \frac{m}{V}$

+ Trong đó: $ρ$ đọc là (rô), m, V lần lượt là kí hiệu khối lượng riêng, khối lượng, thể tích.

- Khối lượng riêng là một thuộc tính của các chất, có thể đo được qua phép đo khối lượng và thể tích.

II. Áp suất

- Áp suất đặc trưng cho tác dụng của áp lực lên mỗi đơn vị diện tích bị ép.

- Công thức tính áp suất: $p = \frac{F}{S}$

+ Trong đó: F là độ lớn áp lực, được đo bằng niutơn (N).

S là diện tích bị ép, được đo bằng mét vuông (m2)

p là áp suất, được đo bằng Pascan (Pa)

+ Ngoài ra, áp suất được đo bằng một số đơn vị khác như atmôtphe (atm), mmHg…theo liên hệ: 1atm = 760 mmHg $\approx 10^{5} P a .$

- Diện tích bị ép càng lớn thì tác dụng của áp lực lên diện tích đó càng nhỏ, hay áp suất càng nhỏ.

III. Áp suất chất lỏng

- Chất lỏng gây ra áp suất không chỉ lên đáy bình chứa mà còn lên thành bình và lên mọi điểm trong chất lỏng.

- Công thức tính áp suất chất lỏng tại mỗi điểm ở độ sâu h trong lòng chất lỏng:

$p = p_{0} + ρ g h$

+ Trong đó: p0 là áp suất khí quyển.

h: là độ sâu

- Chênh lệch áp suất giữa hai điểm trong chất lỏng là: $Δ p = ρ g Δ h$

( không phụ thuộc vào áp suất p0 tại mặt thoáng)

- Chênh lệch mực chất lỏng giữa hai nhánh của bình thông nhau chứa chất lỏng thường được ứng dụng để đo áp suất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 15 câu Trắc nghiệm Khối lượng riêng. Áp suất chất lỏng có đáp án - Vật lí lớp 10 Cánh diều

Câu 35:

Lý thuyết Lực ma sát - Vật lí 10 Kết nối tri thức

Người ta kéo một cái thùng nặng 30 kg trượt trên sàn nhà nằm ngang bằng một dây hợp với phương nằm ngang một góc 45⁰, lực tác dụng lên dây là 150 N. Tính công của lực đó khi thùng trượt được 10 m.

Xem đáp án

*Lời giải

Áp dụng công thức tính công của lực ta có

$A = {F.d.cosθ = 150.10.cos45}^{0} = 1060$ J

*Phương pháp giải:

áp dụng công thức tính công của lực

* Lý thuyết cần nắm và các dạng bài về lực kéo và lực ma sát:

Lực ma sát nghỉ là lực ma sát tác dụng lên mặt tiếp xúc của vật, khi vật có xu hướng chuyển động nhưng chưa chuyển động.

Lực ma sát trượt

Lực ma sát trượt là lực ma sát cản trở vật trượt trên bề mặt tiếp xúc.

Công thức của lực ma sát trượt

- Tỉ số giữa độ lớn của lực ma sát trượt ${\vec{F}}_{ms}$ và áp lực $\vec{N}$ gọi là hệ số ma sát trượt, kí hiệu là $μ$ . Hệ số $μ$ phụ thuộc vào vật liệu và tình trạng của hai mặt tiếp xúc.

- Công thức tính lực ma sát trượt $F_{ms} = μ . N$

Xem thêm các bài viết liên quan hay chi tiết:

Lý thuyết Tổng hợp và phân tích lực. Cân bằng lực - Vật lí 10 Kết nối tri thức

Trắc nghiệm Lực ma sát (Kết nối tri thức) có đáp án - Vật lí 10

Câu 36:

Bài tập Bài 37. Hình lăng trự đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác có đáp án

Một lăng trụ đứng, đáy là một tam giác thì lăng trụ đó có:

A. 6 mặt, 9 cạnh, 5 đỉnh

B. 5 mặt, 9 cạnh, 6 đỉnh

C. 6 mặt, 5 cạnh, 9 đỉnh

D. 5 mặt, 6 cạnh, 9 đỉnh

Kết quả nào trên đây là đúng?

Xem đáp án

* Lời giải:

Một lăng trụ đứng, đáy là một tam giác thì lăng trụ đó có 5 mặt, 9 cạnh, 6 đỉnh.

Vậy chọn đáp án B

*Phương pháp giải:

- Dựa vào khái niệm và tính chất của lăng trụ đứng tam giác

*Các dạng bài về lăng trụ đứng tam giác và tứ giác

Dạng 1. Nhận biết các yếu tố của lăng trụ đứng tam giác, tứ giác.

+ Để vẽ hình lăng trụ đứng, ta thường vẽ một đáy, sau đó vẽ các cạnh bên là các đoạn thẳng song song và bằng nhau.

Dạng 2. Tính diện tích, thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác.
+ Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tam giác bằng tích của chu vi đáy với chiều cao của nó.

S C h=
Trong đóxqS
: Diện tích xung quanh của hình lăng trụ,C
: Chu vi một đáy của hình lăng trụ,h
: chiều cao của lăng trụS C h=
Trong đóxqS
: Diện tích xung quanh của hình lăng trụ,C
: Chu vi một đáy của hình lăng trụ,h
: chiều cao của lăng trụ

+ Diện tích toàn phần: Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng diện tích hai đáy.
+ Thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

Dạng 3. Tính diện tích, thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác.
+ Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tứ giác bằng tích của chu vi đáy với chiều cao của nó.
+ Diện tích toàn phần: Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng diện tích hai đáy.
+ Thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Toán lớp 7 Lăng trụ đứng tam giác và tứ giác

Trắc nghiệm Hình lăng trụ đứng có đáp án (Nhận biết)

Câu 37:

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

Một lớp có 50 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách phân công 3 học sinh để làm vệ sinh lớp học trong một ngày?

Xem đáp án

*Lời giải

Số cách phân công 3 học sinh để làm vệ sinh lớp học là

*Phương pháp giải:

Sử dụng chỉnh hợp

*Lý thuyến cần nắm

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức:

$A_{n}^{k}$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ (1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy P_n = $A_{n}^{n}$

Ví dụ: Một nhóm có 8 học sinh, giáo viên muốn chọn ra hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn lần lượt 2 bạn trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó là một chỉnh hợp chập 2 của 8 học sinh.

Ta có : $A_{8}^{2} = \frac{8!}{(8 - 2)!} = 56$

Vậy có 56 cách chọn ra 2 trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án ) – Toán 11

Câu 38:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 54 m, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính chu vi và diện tích của mảnh đất đó.

Xem đáp án

*Lời giải

Chiều rộng hình chữ nhật là:

54 : 3 = 18 (m)

Chu vi hình chữ nhật là:

(54 + 18) × 2 = 144 (m)

Diện tích hình chữ nhật là:

54 × 18 = 972 (m²)

Đáp số: chu vi: 144 m; diện tích 972 m²

* Phương pháp giải:

Tính chiều rộng

Tính chu vi = (chiều rộng+chiều dài)x2

Tính diện tích = chiều rộng x chiều dài

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 39:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một người đi xe đạp từ A lúc 8 giờ 30 phút để đến B với vận tốc 15 km/giờ. Sau đó một người đi xe máy cũng xuất phát từ A để đến B với vận tốc 36 km/giờ. Hỏi người đi xe máy phải khởi hành lúc nào để đến B cùng lúc với người đi xe đạp. Biết quãng đường AB dài 54km.

Xem đáp án

*Lời giải

Đổi 8 giờ 30 phút = 8,5 giờ

Thời gian xe đạp đi là:

54 : 15 = 3,6 (giờ)

Thời gian xe máy đi là:

54 : 36 = 1,5 (giờ)

Thời gian xe đạp đi nhiều hơn thời gian xe máy đi là:

3,6 – 1,5 = 2,1 (giờ)

Xe máy khởi hành lúc:

8,5 + 2,1 = 10,6 (giờ) = 10 giờ 36 phút

Vậy người đi xe máy phải khởi hành lúc 10 giờ 36 phút.

* Phương pháp giải:

Đổi đơn vị thời gian

Tính thời gian xe đạp đi

Tính thời gian xe máy đi

Tính xe máy khởi hành lúc mấy giờ

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 40:

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao 4,2m. Trong đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính 40cm và 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính 26cm. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380.000 đồng/ $m^{2}$ (gồm cả tiền thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn 10 cây cột đó ? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn).

Xem đáp án

*Lời giải

Diện tích cần sơn chính là tổng diện tích xung quanh của các hình trụ.

Tổng diện tích xung quanh của 4 cây cột đường kính 40cm là

Tổng diện tích xung quanh của 6 cây cột đường kính 26cm là

Số tiền cần dùng là

(đồng).

* Phương pháp giải:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình nói trên.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện và kết luận.

* Lý thuyết nắm thêm về phương trình

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình nói trên.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện và kết luận.

Phương trình tích

Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x)….M(x) = 0, ở đó A(x); B(x); … M(x) là những biểu thức.

Ví dụ 3: $(x + 1) (x^{2} - 6 x + 5); {(x + 1)}^{2} (2 x^{2} + 12 x + 18)$ …

b) Các bước giải phương trình tích

Bước 1: Giải từng nhân tử A(x) = 0; B(x) = 0; …của phương trình

Bước 2: So sánh điều kiện kết luận tập nghiệm.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

a) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Định nghĩa: Phương trình chứ ẩn ở mẫu là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số.

Ví dụ 2: $\frac{2 x + 3}{x + 5} + \frac{1}{x - 5} = 0$ ; $\frac{4 x}{x + 3} - \frac{2 x - 3}{x + 1} = 6$ … là những phương trình chứa ẩn ở mẫu.

b) Các bước giải phương trình chứa ân ở mẫu.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được, loại các giá trị không thỏa mãn và kết luận nghiệm của phương trình.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

Câu 41:

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ ;

b) \ $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ .

Xem đáp án

* Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Do đó: $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{B A} + \vec{A B} = \vec{B B} = \vec{0}$ .

Vậy $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ .

b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do đó: $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}; \vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M C} = (\vec{M O} + \vec{O A}) + (\vec{M O} + \vec{O C})$

$= \vec{M O} + \vec{M O} + (\vec{O A} + \vec{O C}) = \vec{M O} + \vec{M O} + \vec{0} = \vec{M O} + \vec{M O}$ (1)

Và $\vec{M B} + \vec{M D} = (\vec{M O} + \vec{O B}) + (\vec{M O} + \vec{O D})$

$= \vec{M O} + \vec{M O} + (\vec{O B} + \vec{O D}) = \vec{M O} + \vec{M O} + \vec{0} = \vec{M O} + \vec{M O}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ .

* Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hai vecto bằng nhau.

*Một số lý thuyết và dạng bài tập về vectơ:

Hai vectơ $\vec{AB}$ , $\vec{CD}$ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu: $\vec{AB} = \vec{CD} .$

Nhận xét:

– Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\vec{a}$ = $\vec{b}$ .

– Khi cho trước vectơ $\vec{a}$ và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho $\vec{OA} = \vec{a} .$

Tổng của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Lấy một điểm A tùy ý, vẽ Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ Ta kí hiệu tổng của hai vectơ

Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án tùy ý ta có

• Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án (tính chất giao hoán);

• Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án (tính chất kết hợp);

• Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án (tính chất của vectơ – không).

Hiệu của hai vectơ

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án là vectơ .

Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Ta gọi hiệu của hai vectơ là vectơ

Như vậy Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Chú ý

1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án (quy tắc ba điểm);

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án (quy tắc trừ).

Áp dụng

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

TOP 30 câu Trắc nghiệm Chương 4: Vectơ (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 10

Câu 42:

Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ thỏa mãn $|\vec{a}| = 1$ , $|\vec{b}| = 1$ và hai vectơ $\vec{u} = \frac{2}{5} \vec{a} - 3 \vec{b}$ , $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ vuông góc với nhau. Xác định góc α giữa hai vectơ

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hai vecto bằng nhau.

*Một số lý thuyết và dạng bài tập về vectơ:

Hai vectơ $\vec{AB}$ , $\vec{CD}$ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu: $\vec{AB} = \vec{CD} .$

Nhận xét:

– Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\vec{a}$ = $\vec{b}$ .

– Khi cho trước vectơ $\vec{a}$ và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho $\vec{OA} = \vec{a} .$

Tổng của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ Lấy một điểm A tùy ý, vẽ Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ Ta kí hiệu tổng của hai vectơ

Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì

Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ tùy ý ta có

• (tính chất giao hoán);

• (tính chất kết hợp);

• (tính chất của vectơ – không).

Hiệu của hai vectơ

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ là vectơ .

Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ Ta gọi hiệu của hai vectơ là vectơ

Như vậy

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có

Chú ý

1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có

(quy tắc ba điểm);

(quy tắc trừ).

Áp dụng

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

TOP 30 câu Trắc nghiệm Chương 4: Vectơ (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 10

Câu 43:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một thùng đựng 28,75 kg đường. Người ta lấy từ thùng đó tra 10,5kg đường sau đó lại lấy ra 8kg đường nữa. Hỏi trong thùng còn bao nhiêu ki-lô-gam đường?

Xem đáp án

* Lời giải:

Người ta lấy ra tất cả:

10,5 + 8 = 18,5 (kg)

Trong thùng còn lại: 28,75 - 18,5 =10,25 (kg)

Đáp số: 10,25 kg đường.

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính số thập phân cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 44:

Bất phương trình logarit và cách giải các dạng bài tập (2024)

Biết phương trình $\log_{2} (5 - 2^{x}) = 2 - x$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ . Tính $P = x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}$

Xem đáp án

* Lời giải:

*Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình về dạng cơ bản $\log_{a} f (x) = m \Leftrightarrow f (x) = a^{m}$

*Lý thuyết nắm thêm về bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

1. Định nghĩa

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

2. Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho $a, b > 0, a \neq 1$

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng:

$\log_{a} f (x) > b; \log_{a} f (x) \geq b; \log_{a} f (x) < b; \log_{a} f (x) \leq b$

3. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit

+ Đưa về cùng cơ số

Nếu $a > 1$ thì $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} g (x) > 0 \\ f (x) > g (x) \end{cases}$

Nếu $0 < a < 1$ thì $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ f (x) < g (x) \end{cases}$

+ Đặt ẩn phụ

+ Mũ hóa

+ Phương pháp hàm số và đánh giá

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit (có đáp án 2024) - Toán 12

Câu 45:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Buổi sáng cửa hàng bán được 30kg gạo. Số gạo buổi chiều bán được bằng số gạo buổi sáng giảm đi 2 lần. Hỏi buổi chiều cửa hàng đó bán được bao nhiêu ki-lô-gam gạo?

Xem đáp án

* Lời giải:

Bài giải

Buổi chiều cửa hàng đó bán được số kg gạo là:

30 : 2 = 15 (kg)

Đáp số: 15 kg gạo

* Phương pháp giải:

Vẽ sơ đồ tóm tắt cho bài toán

Tính xem buổi chiều bán được bao nhiêu kg gạo

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 46:

Lý thuyết Tam giác cân – Toán 7 Cánh diều

Cho tam giác ABC có đường cao AD, và trực tâm H. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của HA, HB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh

a) Bốn điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn.

b) Điểm D cũng thuộc đường tròn đi qua bốn điểm E, F, I, K.

Xem đáp án

* Lời giải:

a) Ta có: IK là đường trung bình của tam giác ABH vì I, K là trung điểm HA, HB

⇒ IK // AB và IK = $\frac{1}{2} A B$

Tương tự: FE là đường trung bình của ∆ABC

⇒ FE // AB và FE = $\frac{1}{2} A B$

⇒ IK // FE và IK = FE

Nên IKEF là hình bình hành (1)

Giả sử giao điểm IE và KF là O

IF là đường trung bình của ∆AHC nên IF // HC

Lại có: IF ⊥ IK (2) (vì IF // HC, IK // AB, HC ⊥ AB)

Từ (1) và (2) suy ra: IKEF là hình chữ nhật.

Ta có: OE = OF = OI = OK nên bốn điểm E, F, I, K cùng nằm trên đường tròn (O; OE)

b) Tam giác IDE vuông tại D, DO là đường trung tuyến nên DO = OI = OE

Vậy D cũng nằm trên đường tròn (O; OE).

*Phương pháp giải

Áp dụng tính chất đường trung trực của tam giác và tính chất Thales để suy ra tính chất song song

*Một số lý thuyết nắm thêm tam giác cân và đường trung trực đoạn thẳng

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Khi đó, ta gọi:

• Tam giác ABC là tam giác cân tại A;

• AB, AC là các cạnh bên và BC là cạnh đáy;

• $\hat{B}, \hat{C}$ là các góc ở đáy và $\hat{A}$ là góc ở đỉnh.

Dấu hiệu nhận biết

– Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

– Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Chú ý:

+ Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều.

+ Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

– Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.

Quan sát hình vẽ trên, ta có:

+ Đoạn thẳng AB; trung điểm I của đoạn thẳng AB;

+ Đường thẳng d ⊥ AB tại I.

Do đó, đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Tính chất

– Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Quan sát hình trên, ta có:

Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng DE;

Điểm O nằm trên đường thẳng a.

Khi đó ta có OD = OE.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 7 Bài 9 (Cánh diều): Đường trung trực của một đoạn thẳng

Tam giác cân, Tam giác đều và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 7

Câu 47:

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Tính chu vi một mảnh đất hình chữ nhật, biết chiều dài bằng $\frac{3}{2}$ chiều rộng và hơn chiều rộng 10m.

Xem đáp án

* Lời giải:

Tóm tắt

Hiệu số phần bằng nhau:

3 – 2 = 1 (phần)

Chiều rộng hình chữ nhật:

10 : 1 × 2 = 20 (m)

Chu vi hình chữ nhật là:

(20 + 30) × 2 = 100 (m)

Đáp số: 100m

* Phương pháp giải:

Để giải bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số ta có thể làm như sau:

Bước 1: Vẽ sơ đồ biểu diễn hai số đó.

Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau.

Bước 3: Tìm số lớn hoặc số bé:

Số lớn = (Hiệu: hiệu số phần bằng nhau) × số phần của số lớn;

Số bé = (Hiệu : hiệu số phần bằng nhau) × số phần của số bé.

Bước 4. Kết luận đáp số

* Lý thuyết nắm thêm

Các dạng bài tập

Dạng 1: Cho biết cả hiệu và tỉ số

1. Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ sơ đồ biểu diễn hai số đó.

Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau.

Bước 3: Tìm số lớn hoặc số bé:

Số lớn = (Hiệu: hiệu số phần bằng nhau) × số phần của số lớn;

Số bé = (Hiệu : hiệu số phần bằng nhau) × số phần của số bé.

Bước 4. Kết luận đáp số

Dạng 2: Thiếu (ẩn) hiệu (Cho biết tỉ số, không cho biết hiệu)

1. Phương pháp giải

Tìm hiệu của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 3: Thiếu (ẩn) tỉ (Cho biết hiệu, không cho biết tỉ số)

1. Phương pháp giải

Tìm tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 4: Ẩn cả hiệu và tỉ số

1. Phương pháp giải

Tìm hiệu và tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ của hai số đó lớp 4 và cách giải

Câu 48:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một lớp học có 33 học sinh, phòng học của lớp đó chỉ có loại bàn 2 cho ngồi. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bàn học như thế ?

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: 33 : 2 = 16 (dư 1)

Số bàn có 2 học sinh ngồi là 16 bàn, còn dư 1 học sinh nên cần thêm 1 bàn nữa

Vậy số bàn cần có ít nhất là:

16 + 1 = 17 ( bàn)

Đáp số: 17 bàn

* Phương pháp giải:

Tính xem mỗi bàn 2 học sinh thì 33 bạn cần bao nhiêu bàn và dư ra mấy bạn

Lấy số bàn (sau kết quả phép chia) + số học sinh dư = số bàn cần

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 49:

Lý thuyết Quy đồng mẫu số các phân số (mới 2022 + Bài Tập) - Toán lớp 4

Mẹ có một số quả quýt. Mẹ cho chị $\frac{1}{3}$ số quả quýt đó, cho em $\frac{2}{5}$ số quả quýt đó. Hỏi ai được mẹ cho nhiều quả quýt hơn?

Xem đáp án

* Lời giải:

Quy đồng mẫu số:

Vậy em được mẹ cho nhiều quýt hơn

*Phương pháp giải:

Khi quy đồng mẫu số hai phân số có thể làm như sau:

Lấy tử số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai.

Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất.

*Các lý thuyết cần nằm thêm

Khi quy đồng mẫu số hai phân số có thể làm như sau:

Lấy tử số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai.

Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất.

Dạng 1: Quy đồng mẫu số hai phân số

Phương pháp:

Khi quy đồng mẫu số hai phân số có thể làm như sau:

Lấy tử số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai.

Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất,

Dạng 2: Quy đồng mẫu số hai phân số (Một mẫu chia hết cho mẫu còn lại)

Phương pháp:

Nếu mẫu số của phân số thứ hai mà chia hết cho mẫu số của phân số thứ nhất thì ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số như sau:

+ Lấy mẫu số chung là mẫu số của phân số thứ hai.

+ Tìm thừa số phụ bằng cách lấy mẫu số thứ hai cho cho mẫu số thứ nhất.

+ Nhân cả tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với thừa số phụ tương ứng.

+ Giữ nguyên phân số thứ hai

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

35 Bài tập Quy đồng mẫu số các phân số lớp 4 (có đáp án)

Câu 50:

Chuyên đề Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu mới nhất - Toán 12

Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = $a \sqrt{3}$ . Tính độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.

A. l = $a \sqrt{3}$

B. l = $a \sqrt{2}$

C. l = $(1 + \sqrt{3}) a$

D. l = 2a

Xem đáp án

'Đáp án đúng: D

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh sau đó giải phương trình để suy ra độ dài đường sinh

* Các lý thuyết thêm về mặt trụ, mặt cầu và mặt nón:

1. Diện tích và thể tích hình trụ

Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: Sxq = 2πRh.

- Diện tích toàn phần: Stp = 2πRh + 2πR2.

- Thể tích: V = πR2h.

2. Diện tích và thể tích của hình nón

Đặt AC = l; l là đường sinh.

Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l, chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: Sxq = πRl.

- Diện tích toàn phần: Stp = πRl + πR2.

- Thể tích: $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ .

3. Diện tích và thể tích hình nón cụt

Cho hình nón cụt có các bán kính đáy R và r, chiều cao h, đường sinh l.

- Diện tích xung quanh: S_xq = π (R + r) l.

- Thể tích: $V = \frac{1}{3} π h (R^{2} + R r + r^{2})$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

190 Bài trắc nghiệm Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải chi tiết

Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu có đáp án

Câu 51:

Lý thuyết Hai đường thẳng song song – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC có ∠A = $60^{0}$ Chứng minh rằng:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ - AB.AC

Xem đáp án

* Lời giải:

Kẻ đường cao BH

Xét tam giác ABH vuông tại H có ∠(BAC) = $60^{0}$

BH = AB.sin A = AB.sin $60^{0}$ = (AB $\sqrt{3}$ )/2

AH = AB.cos A = AB.cos $60^{0}$ = AB/2

Xét tam giác BHC vuông tại H có:

$B C^{2} = B H^{2} + H C^{2} = B H^{2} + {(A C - A H)}^{2}$

= $B H^{2} + A C^{2} - 2 A C . A H + A H^{2}$

Phương pháp giải:

Tính chất hai góc trong cùng phía: Nếu hai đường thẳng cắt nhau bởi một đường thẳng thứ ba và tạo ra hai góc trong cùng phía bù nhau, thì hai đường thẳng đó song song.

Sử dụng tính chất các đường vuông góc: Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba, thì hai đường thẳng này song song.

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm về hai đường thẳng song song:

1. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A và B. Với mỗi cặp góc gồm một góc đỉnh A và một góc đỉnh B, ta có:

a) Hai góc $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{1}}$ (tương tự $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{2}}$ ) gọi là hai góc so le trong.

b) Hai góc $\hat{A_{1}}$ và $\hat{B_{1}}$ (tương tự $\hat{A_{2}}$ và $\hat{B_{2}}$ ; $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{3}}$ ; $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{4}}$ ;) gọi là hai góc đồng vị.

Tính chất: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

2. Tiên đề Euclid về hai đường thẳng song song.

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

3. Tính chất của hai đường thẳng song song

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

- Hai góc so le trong bằng nhau

- Hai góc đồng vị bằng nhau.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Toán 7 Bài 9 (Kết nối tri thức): Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

TOP 20 câu Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

Câu 52:

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau?

Xem đáp án

* Lời giải:

Số đoạn thẳng được tạo thành là $C_{10}^{2} = 45.$

*Phương pháp giải:

Sử dụng tổ hợp

*Lý thuyến cần nắm

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức:

$A_{n}^{k}$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ (1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy P_n = $A_{n}^{n}$

Ví dụ: Một nhóm có 8 học sinh, giáo viên muốn chọn ra hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn lần lượt 2 bạn trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó là một chỉnh hợp chập 2 của 8 học sinh.

Ta có : $A_{8}^{2} = \frac{8!}{(8 - 2)!} = 56$

Vậy có 56 cách chọn ra 2 trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó.

Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức :

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} (0 \leq k \leq n)$

Chú ý :

+) < $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án ) – Toán 11

Câu 53:

Công thức tính Cấp số nhân (2025) và cách giải các dạng bài tập chi tiết nhất

Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1 ; đồng thời các số x ; 2y ; 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q.

Xem đáp án

* Lời giải:

Theo giả thiết ta có :

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y = x q; z = x q^{2} \\ x + 3 z = 2 (2 y) \end{cases} \\ \Rightarrow x + 3 x q^{2} = 4 x q \\ \Rightarrow x (3 q^{2} - 4 q + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 3 q^{2} - 4 q + 1 = 0 \end{array} . \end{array}$

Nếu $x = 0 \Rightarrow y = z = 0 \Rightarrow$ công sai của cấp số cộng: x ; 2y ; 3z bằng 0 (vô lí).

nếu

$\begin{array}{l} 3 q^{2} - 4 q + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} q = 1 \\ q = \frac{1}{3} \end{array} \Leftrightarrow q = \frac{1}{3} (q = 1) . \end{array}$

* Phương pháp giải:

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1. q

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1. q với $n \in ℕ^{*} .$

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁; 0; 0; … 0; …

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁; u₁; … u₁;…

- Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁. q^{n - 1} với $n \geq 2.$

Tính chất cấp số nhân

Ba số hạng u_{k - 1}, u_k, u_{k + 1}là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{k}^{2} = u_{k - 1} . u_{k + 1}$ với $k \geq 2.$

(Hay $|u_{k}| = \sqrt{u_{k - 1} . u_{k + 1}}$ ).

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} = \frac{u_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}$

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 11 Bài 7 (Kết nối tri thức): Cấp số nhân

Câu 54:

Các bài toán thực tế hình không gian (có đáp án)

Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng 9. Tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất.

A. $144 \sqrt{6}$

B. 144

C. 576

D. $576 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: C

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Xác định phương trình đường thẳng MI, tìm điểm J(a;b;c) trên MI sao cho tam giác MHI vuông tại H, tìm giá trị t và giải bài toán

* Lý thuyết nắm thêm:

Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Cho mặt cầu S(I; R).

Diện tích mặt cầu: $S = 4 π R^{2}$

Thể tích khối cầu: $V = \frac{4}{3} π R^{3}$

Dạng 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

* Phương pháp giải:

- Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

- Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục ∆ của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).

- Giao điểm I của (P) và d (hoặc của ∆ và d) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

- Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Dạng 1.1: Hình chóp có các điểm cùng nhìn một cạnh của hình chóp dưới một góc vuông.

+) Hình chóp tam giác:

Mặt cầu và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm I của SC

Bán kính là: $R = \frac{S C}{2}$

+) Hình chóp tứ giác

A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm J của SC

Bán kính mặt cầu là: $R = \frac{S C}{2}$

Dạng 1.2: Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy

* Phương pháp giải: Gọi h là chiều cao hình chóp và $R_{b}, R_{d}$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp mặt bên, mặt đáy và $\partial$ là độ dài cạnh chung của mặt bên vuông góc với đáy thì bán kính mặt cầu là:

$R = \sqrt{{R_{b}}^{2} + {R_{d}}^{2} - {(\frac{\partial}{2})}^{2}}$

Dạng 1.3: Mặt cầu nội tiếp khối đa diện

* Phương pháp giải: Nếu đặt V là thể tích khối chóp và $S_{t p}$ là tổng diện tích mặt đáy và các mặt bên của chóp thì bán kính r của mặt cầu nội tiếp khối chóp: $r = \frac{3 V}{S_{t p}}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Bài tập Mặt cầu Toán 12

Phương trình mặt cầu (lý thuyết và cách giải các dạng bài tập)

Câu 55:

Lý thuyết Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức

Tập xác định của hàm số y = tan2x là

Xem đáp án

* Lời giải:

Xét hàm số y = tan2x

Điều kiện xác định: $cos2 x \neq 0$

$\Leftrightarrow 2 x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$

$\Leftrightarrow x \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ$

Vậy điều kiện xác định của hàm số: $x \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ$ .

* Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định cho hàm số. Chỉ cần cho cos x khác 0

* Lý thuyết và các dạng bài cần nắm thêm về hàm số lượng giác:

a. Hàm số y = sinx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

b. Hàm số y = cosx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

c. Hàm số y = tanx

- Tập xác định: $D = R \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$

- Tập giá trị: R

d. Hàm số y = cotx

- Tập xác định: $D = R \ \{k π, k \in ℤ\}$

- Tập giá trị: R

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

$y = \frac{f (x)}{g (x)}$ xác định khi $g (x) \neq 0$

$y = \sqrt{f (x)}$ xác định khi $f (x) \geq 0$

$y = \frac{f (x)}{\sqrt{g (x)}}$ xác định khi g(x) > 0

y = tan[u(x)] xác định khi $u (x) \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$

y = cot[u(x)] xác định khi $u (x) \neq k π, k \in ℤ$

$\sin x \neq 0$ khi $x \neq k π (k \in ℤ)$

$\cos x \neq 0$ khi $x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$

$x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$

- Phương pháp giải:

Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

$- 1 \leq \sin [u (x)] \leq 1; 0 \leq \sin^{2} [u (x)] \leq 1;$ $0 \leq |\sin [u (x)]| \leq 1$

$- 1 \leq \cos [u (x)] \leq 1; 0 \leq \cos^{2} [u (x)] \leq 1;$ $0 \leq |\cos [u (x)]| \leq 1$

$0 \leq |\cos [u (x)]| \leq 1$

$\begin{array}{l} m \geq f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m \geq \max_{x \in [a; b]} f (x) \\ m > f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m > \max_{x \in [a; b]} f (x) \\ m \leq f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m \leq \min_{x \in [a; b]} f (x) \\ m < f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m < \min_{x \in [a; b]} f (x) \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Kết nối tri thức) có đáp án - Toán 11

Bài tập Hàm số lượng giác Toán 11 mới nhất

Câu 56:

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Một hình chữ nhật có chu vi 48 cm. Biết chiều dài hơn chiều rộng 6 cm. Tính diện tích của hình chữ nhật đó.

Xem đáp án

* Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

48 : 2 = 24 (cm).

Một hình chữ nhật có chu vi 48 cm. Biết chiều dài hơn chiều rộng 6 cm. Tính diện tích của hình chữ nhật đó. (ảnh 1)

Chiều dài hình chữ nhật là:

(24 + 6) : 2 = 15 (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

15 – 6 = 9 (cm).

Diện tích của hình chữ nhật là:

15 × 9 = 135 (cm²).

Đáp số: 135 cm².

* Phương pháp giải:

Để giải bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số ta có thể làm như sau:

Bước 1: Vẽ sơ đồ biểu diễn hai số đó.

Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau.

Bước 3: Tìm số lớn hoặc số bé:

Số lớn = (Hiệu: hiệu số phần bằng nhau) × số phần của số lớn;

Số bé = (Hiệu : hiệu số phần bằng nhau) × số phần của số bé.

Bước 4. Kết luận đáp số

* Lý thuyết nắm thêm

Các dạng bài tập

Dạng 1: Cho biết cả hiệu và tỉ số

1. Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ sơ đồ biểu diễn hai số đó.

Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau.

Bước 3: Tìm số lớn hoặc số bé:

Số lớn = (Hiệu: hiệu số phần bằng nhau) × số phần của số lớn;

Số bé = (Hiệu : hiệu số phần bằng nhau) × số phần của số bé.

Bước 4. Kết luận đáp số

Dạng 2: Thiếu (ẩn) hiệu (Cho biết tỉ số, không cho biết hiệu)

1. Phương pháp giải

Tìm hiệu của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 3: Thiếu (ẩn) tỉ (Cho biết hiệu, không cho biết tỉ số)

1. Phương pháp giải

Tìm tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 4: Ẩn cả hiệu và tỉ số

1. Phương pháp giải

Tìm hiệu và tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ của hai số đó lớp 4 và cách giải

Câu 57:

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng (2024) các dạng bài tập và cách giải

Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ thỏa mãn $|\vec{a}| = 1$ , $|\vec{b}| = 1$ và hai vectơ $\vec{u} = \frac{2}{5} \vec{a} - 3 \vec{b}$ , $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ vuông góc với nhau. Xác định góc α giữa hai vectơ

Xem đáp án

*Lời giải

^*Phương pháp giải

Sử dụng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng suy ra 2 đường thẳng vuông góc suy ra góc cần tìm

*Lý thuyến cần nắm về góc giữa hai mặt phẳng:

1. Góc giữa hai đường thẳng là gì?

- Góc giữa hai đường thẳng là góc $α$ được tạo bởi hai đường thẳng d và d’ có số đo $0^{o} \leq α \leq 90^{o}$ . Khi d song song hoặc trùng với d’, ta quy ước góc giữa chúng bằng $0^{o}$ .

- Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của chúng.

2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b, ta lấy điểm O thuộc 1 trong 2 đương thẳng sau đó vẽ 1 đường thẳng đi qua O và song song với 2 đường còn lại.

Nếu vector u là vector chỉ phương của đường thẳng a, đồng thời vector v là vector chỉ phương của đường thẳng b, góc giữa (u, v) = $α$ thì ta có thể suy ra góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng $α$ ( $0 ° \leq α \leq 90 °$ )

- Cho hai đường thẳng d và d’ có vectơ chỉ phương lần lượt là: $\vec{u} = (a; b)$ và $\vec{u'} = (a'; b')$ . Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$\cos (d, d') = |c o s (\vec{u}, \vec{u'})| = \frac{|a . a' + b . b'|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} . \sqrt{a'^{2} + b'^{2}}}$

- Cho hai đường thẳng d và d’ có vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\vec{n} = (a; b)$ và $\vec{n'} = (a'; b')$ . Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$\cos (d, d') = |c o s (\vec{n}, \vec{n'})| = \frac{|a . a' + b . b'|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} . \sqrt{a'^{2} + b'^{2}}}$

- Gọi k và k’ lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng d và d’. Ta có:

$\tan (d, d') = |\frac{k - k'}{1 + k . k'}|$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp góc giữa 2 đường thẳng

Câu 58:

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian – Toán 11 Kết nối tri thức

Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Chọn khẳng định sai?

A. Có duy nhất một mặt phẳng song song với a và b

B. Có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b

C. Có vô số đường thẳng song song với a và cắt b

D. Có duy nhất một mặt phẳng chứa b và song song với a

Xem đáp án

Đáp án đúng: A

*Lời giải

Có vô số mặt phẳng song song với a và b

*Phương pháp giải

- nắm kỹ kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để chọn đáp án cho đúng

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài toán về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian:

- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

- Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

- Nếu có một đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

- Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Kí hiệu $d \subset (P)$ hoặc .

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến, kí hiệu .

- Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hìn $d = (P) \cap (Q)$ h học phẳng đều đúng.

Cách xác định mặt phẳng

1) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

2) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Khi đó điểm A và đường thẳng d xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp(A, d) hay (A, d) hoặc mp(d, A) hay (d, A).

3) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Khi đó hai đường thẳng a và b xác định một mặt phẳng và kí hiệu là mp(a, b) hay (a, b) hoặc mp(b, a) hay (b, a).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 11 Bài 10 SGK (Kết nối tri thức): Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

TOP 40 câu Trắc nghiệm Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng (có đáp án) – Toán 11

Câu 59:

50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án 2024) – Toán 12

Một cái phễu có dạng hình nón. Chiều cao của phễu là 20 cm. người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10 cm. Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?

Xem đáp án

*Lời giải

Gọi thể tích của phếu là V, bán kính đáy phễu là R, bán kính của cột nước có dạng khối nón trong hình 1 là $R_{1}$ .

Ta có:

Gọi là thể tích của nước ta có:

Sau khi úp ngược phễu lên, thể tích của phần không có nước có dạng khối nón có thể tích là:

Gọi $V_{1}$ là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước ở hình 2, ta có:

và

Chiều cao của cột nước trong hình 2 là: $(20 - 10 \sqrt[3]{7}) c m$

* Phương pháp giải:

Muốn tính thể tích khối nón, ta xác định bán kính đáy là nửa cạnh huyền tam giác vuông cân, còn chiều cao là đoạn vuông góc từ đỉnh đến đáy.

Áp dụng công thức thể tích khối nón: $V = \frac{1}{3} {πR}^{2} h$ , rồi thay biểu thức và theo cạnh huyền đã cho.

Rút gọn biểu thức để được thể tích theo ẩn , như bài toán yêu cầu.

* Lý thuyết cần nắm về khối chóp và thể tích khối chóp:

- Định nghĩa hình chóp: Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của chóp.

- Có 2 loại chóp phổ biến là chóp tam giác và chóp tứ giác

- Chú ý:

+ Đường cao của hình chóp là đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với đáy.

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy của mặt bên đó.

+ 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của chúng vuông góc với đáy.

Công thức tính thể tích khối chóp

Cho khối chóp có đường cao là h

Diện tích đa giác đáy là S

Khi đó thể tích $V = \frac{1}{3} h . S$

$V = \frac{1}{3} h . S$

a. Khối tứ diện đều: Là khối chóp có tất cả các cạnh bằng nhau $V = \frac{1}{3} h . S$

Tất cả các mặt đều là các tam giác đều. Chân đường cao là trọng tâm của đáy

b. Khối chóp tam giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đáy là tam giác. Chân đường cao là trọng tâm của tam giác đáy.

c. Khối chóp tứ giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Đáy là hình vuông, chân đường cao là tâm của hình vuông.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Công thức tính thể tích khối chóp và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Câu 60:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x⁴ – 2x²

Xem đáp án

*Lời giải

x⁴ – 2x²

(Có x² là nhân tử chung)

= x²(x²– 2)

* Phương pháp giải:

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

* Lý thuyết nắm thêm

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Các dạng bài

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải (2024) – Toán 8

Câu 61:

Lý thuyết Đồ thị của hàm số y=ax^2 (a ≠ 0) (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Vẽ đồ thị của các hàm số y = x + 1 và y = -x +3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Xem đáp án

*Lời giải

- Với hàm số y = x + 1:

Cho x = 0 => y = 1 ta được M(0; 1).

Cho y = 0 => x + 1 = 0 => x = -1 ta được B(-1; 0).

Nối MB ta được đồ thị hàm số y = x + 1.

- Với hàm số y = -x + 3:

Cho x = 0 => y = 3 ta được E(0; 3).

Cho y = 0 => -x + 3 = 0 => x = 3 ta được A(3; 0).

Nối EA ta được đồ thị hàm số y = -x + 3.

* Phương pháp giải:

Vẽ hệ trục tọa độ Oxy.

Xác định các điểm cho trước trên mặt phẳng tọa độ.

Nối các cặp điểm để vẽ đường thẳng tương ứng với mỗi hàm số.

* Lý thuyết nắm thêm:

- Đồ thị của hàm số: Đồ thị của hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) là một parabol đi qua gốc tọa độ O, nhận Oy làm trục đối xứng (O là đỉnh của parabol)

+) Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

+) Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

Dạng 1: Cách vẽ đồ thị của hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị (thường từ 3 đến 4 giá trị) tương ứng giữa x và y sao cho các điểm tương ứng nằm bên phải trục Oy.

Bước 3: Vẽ trục tọa độ Oxy và đánh dấu điểm O, các điểm đã lập trong bảng giá trị và các điểm đối xứng với chúng qua trục Oy.

Bước 4: Đồ thị hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) luôn đi qua gốc tọa độ O và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Vẽ đường cong parabol đi qua các điểm đã đánh dấu ta được đồ thị hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) và kết luận.

Dạng 2: Điểm thuộc, không thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp giải:

Điểm M $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) khi và chỉ khi $a {x_{0}}^{2} = y_{0}$

Dạng 3: Các bài toán về đường thẳng và parabol

Phương pháp giải:

- Cho đường thẳng y = a’x + b và parabol y = a $x^{2}$ (a khác 0). Hoành độ giao điểm của chúng là nghiệm của phương trình: a’x + b = a $x^{2}$ (*). Giải phương trình ta tìm được hoành độ giao điểm, từ đó tìm được tọa độ giao điểm. Tọa độ giao điểm vừa là nghiệm của phương trình đường thẳng, vừa là nghiệm của phương trình parabol.

- Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đường thẳng và parabol, ngược lại, số giao điểm của đường thẳng và parabol là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các dạng bài tập Đồ thị hàm số y = a.x^2 (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 62:

Tam giác cân, Tam giác đều và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 7

Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O sao cho $\hat{A O C} = 60 °$ .

a) Tính số đo các góc còn lại.

b) Vẽ tia Ot là phân giác của $\hat{A O C}$ và Ot' là tia đối của tia Ot. Chứng minh Ot' là tia phân giác của $\hat{B O D}$

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180 độ và tính chất 1 góc đối đỉnh sẽ có số đo bằng nhau

* Lý thuyết nắm thêm

1. Định nghĩa

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Ví dụ: Ta có tam giác cân ABC cân tại A (AB = AC). Ta gọi AB và AC là các cạnh bên, BC là cạnh đáy, ∠B và ∠C là các góc ở đáy, ∠A là góc ở đỉnh.

2. Tính chất

Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Dấu hiệu nhận biết:

• Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

• Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Định nghĩa tam giác vuông cân: Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.

Ví dụ: ΔABC vuông cân tại A

Tính chất: Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 45^o

Ví dụ: ΔABC vuông cân tại A ⇒ ∠B = ∠C = 45^o.

3. Tam giác đều

Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau: ΔABC đều ⇔ AB = BC = AC

Tính chất: Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60^o: ΔABC đều ⇔ ∠A = ∠B = ∠C = 60^o

Dấu hiệu nhận biết:

• Nếu tam giác có ba cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

• Nếu tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

• Nếu một tam giác cân có một góc nhọn bằng 60^o thì tam giác đó là tam giác đều.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Tam giác cân có đáp án - Toán lớp 7

Toán 7 Cánh diều Bài 7: Tam giác cân

Câu 63:

Lý thuyết Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương (mới 2024 + Bài Tập) - Toán lớp 5

Biết rằng thể tích của một khối lập phương bằng 8. Tính tổng diện tích các mặt của hình lập phương đó.

Xem đáp án

* Lời giải:

Khối lập phương có thể tích bằng 8 nên hình lập phương có cạnh bằng 2

Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông bằng nhau nên tổng diện tích cần tìm là 6. 2² = 24.

* Phương pháp giải:

Thể tích khối lập phương cạnh a là V = $a^{3}$

* Lý thuyết nắm thêm:

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là những hình vuông.

- Thể tích hình lập phương: V = a.a.a = $a^{3}$

- Diện tích mỗi mặt của hình lập phương là S = a²

- Diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt) của hình lập phương là Stp = 6a²

- Độ dài đường chéo của hình lập phương là d = $a \sqrt{3}$

- Độ dài đường chéo mỗi mặt của hình lập phương là $a \sqrt{2}$

- d(A, (A'BD)) = $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

- d(A, (CB'D')) = $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

- d (AC', CD) = d(AC', A'B') = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

1. Định nghĩa

Hình hộp chữ nhật là một hình không gian có 6 mặt đều là hình chữ nhật.

Hai mặt đối diện nhau của hình chữ nhật được xem là hai mặt đáy của hình chữ nhật. Các mặt còn lại đều là mặt bên của hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật ba chiều: chiều dài, chiều rộng, chiều cao

Hình hộp chữ nhật có:

+ 12 cạnh: AB, BC, CD, DA, A’B’, B’C’, C’D’, D’A’, AA’, BB’, CC’, DD’

+ 8 đỉnh: đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C, đỉnh D, đỉnh A’, đỉnh B’, đỉnh C, đỉnh D’

+ 6 mặt: ABCD, BCC’B’, A’B’C’D’, DCD’C’, ADD’C’, ABB’A’.

2. Công thức

Cho hình vẽ:

Trong đó:

a: Chiều dài

b: Chiều rộng

h: Chiều cao

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức tính thể tích hình lập phương (chính xác nhất) và cách giải các dạng bài tập

Câu 64:

50 Bài toán về tỉ số phần trăm lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Tìm tỉ số phần trăm của : 0,3 và 0,96

Xem đáp án

* Lời giải:

0,3 : 0,96

= 0,3125 = 31,25 %

* Phương pháp giải:

Tỉ số phần trăm của a và b là $\frac{a}{b} .100 %$ .

* Lý thuyết nắm thêm

Tỷ số của hai số là thương của phép chia số a cho số b với b khác 0, được viết dưới dạng a / b hoặc a : b.

Tỷ số phần trăm chính là tỉ số của hai số mà ở đó ta sẽ quy mẫu số của tỉ số về số 100. Tỷ số phần trăm thường được sử dụng để biểu thị độ lớn tương đối của một lượng này so với lượng khác. Ví dụ: 2/100 = 2%, 35/100 = 35%

Ký hiệu thường dùng là “%” – ký hiệu phần trăm. Ví dụ: 50% (đọc là “năm mươi phần trăm”) tương đương với 50/100, nói cách khác là 0,5.

Cách tính tỉ số phần trăm của 1 số

Trong toán học, phần trăm là tỷ lệ được hiển thị dưới dạng phân số với mẫu số luôn luôn bằng 100. Ngoài ra, phần trăm còn được biểu diễn ở dạng khác bằng cách dùng ký hiệu % mà bạn thường gặp như 1%, 5%, 10%,… Điều đặc biệt là phần trăm không có đơn vị đo lường.

Bạn sẽ thường thấy rằng phần trăm được dùng để chỉ ra mức độ (hay độ lớn) của một lượng này so với một lượng kia. Ví dụ, một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 15 học sinh là nữ thì ta có thể nói rằng số học sinh nữ chiếm tỉ lệ 50% trong tổng số học sinh của lớp học đó.

Để hiểu rõ hơn về tỷ lệ phần trăm, dưới đây là cách tính phần trăm của 1 số:

Tính phần trăm khi biết tổng thể với a là một số, b là tổng thể, ta tính như sau: (a/b)*100 (%).

Ví dụ, một một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 5 học sinh là nữ. Thì ta có, 20 học sinh là tổng thể, 5 học sinh nữ là số bạn cần so sánh. Ta có phép tính như sau: (5/20)*100(%).

Tính phần trăm khi chưa biết tổng thể với a là một số, b là một số, ta tính như sau: a/(a+b))*100 hay b/(a+b))*100 (%).

- Cách tính phần trăm của 2 số

Cách tính phần trăm của 2 số a, b đó chính là lấy số a đem chia số b và nhân cho 100. Chúng ta sẽ ghi ký hiệu phần trăm (%) ở đằng sau kết quả mình nhận được. Cụ thể là:

(a : b) x 100 = a/b x 100 (%)

- Cách tính phần trăm của một tổng

Đây là cách tính phần trăm được dùng nhiều nhất trong tất cả. Khi tính phần trăm 1 tổng, bạn sẽ biết đại lượng này chiếm bao nhiêu phần trong tổng chung.

Cách tính phần trăm A so với tổng (A+B): A/(A+B)*100

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

35 Bài tập Tỉ số phần trăm lớp 5 (có đáp án)

Câu 65:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Cho đường gấp khúc ABCD (xem hình vẽ).

Biết độ dài đường gấp khúc ABC là 23cm, độ dài đường gấp khúc BCD là 15cm, độ dài đoạn thẳng BC là 9cm. Hãy tính:

a) Độ dài đoạn thẳng AB và độ dài đoạn thẳng CD.

b) Độ dài đường gấp khúc ABCD.

Xem đáp án

* Lời giải:

a) Độ dài đoạn thẳng AB là:

23 – 9 = 14 (cm)

Độ dài đoạn thẳng CD là:

15 – 9 = 6 (cm)

b) Độ dài đường gấp khúc ABCD là:

14 + 6 + 9 = 29 (cm)

Đáp số:

a) 14cm; 6cm

b) 29cm.

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép trừ để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 66:

50 bài tập về Các bài toán về Tỉ số lượng giác của góc nhọn (có đáp án 2024) - Toán 9

Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD . Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD

a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD).

b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)

Xem đáp án

* Lời giải:

a) Nhận xét:

Do giả thiết cho IJ không song song với CD và chúng cùng nằm trong mặt phẳng (BCD) nên khi kéo dài chúng gặp nhau tại một điểm.

Gọi K = IJ ∩ CD.

Ta có: M là điểm chung thứ nhất của (ACD) và (IJM);

Vậy (MIJ) ∩ (ACD) = MK

b) Với L = JN ∩ AB ta có:

Như vậy L là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)

Gọi P = JL ∩ AD, Q = PM ∩ AC

Ta có:

Nên Q là điểm chung thứ hai của (MNJ) và (ABC)

Vậy LQ = (ABC) ∩ (MNJ).

*Phương pháp giải:

- Áp dụng các công thức lượng giác để biến đổi

* Lý thuyết và các dạng bài về tỉ số lượng giác

Cho tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ).

Ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn như sau:

Cách nhớ gợi ý: Sin đi học (đối / huyền) , Cos không hư (kề / huyền), Tan đoàn kết (đối / kề) , Cot kết đoàn (kề / đối).

Các tính chất:

(1) Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

Tức là: Cho hai góc $α, β$ , biết: $α + β = 90^{o}$

Khi đó, ta có:

$\sin α = \cos β;$ $\sin β = \cos α$

$\tan α = \cot β;$ $\tan β = \cot α$

(2) Nếu hai góc nhọn $α, β$ , có $\sin α = \sin β$ hoặc $\cos α = \cos β$ thì $α = β$ .

(3) Nếu là một góc nhọn bất kì thì

*Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt

B. Các dạng bài

Dạng 1: Tính toán các tỉ số lượng giác, độ dài các cạnh trong tam giác

Phương pháp giải:

Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.

Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác, các góc

Phương pháp giải :

Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại, áp dụng tính chất nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia và so sánh dựa trên các tính chất:

Nếu hai góc nhọn $α, β$ , có $\sin α = \sin β$ hoặc $\cos α = \cos β$ thì $α = β$ .

Dạng 3: Rút gọn, tính toán các biểu thức lượng giác

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia. Nếu là một góc nhọn bất kì thì:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Toán 9 Bài 11 (Kết nối tri thức): Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Câu 67:

Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác – Toán 10 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có BC = 12cm,góc B = 60 độ, góc C = 40 độ. Tính: Đường cao CH và cạnh AC

Xem đáp án

Lời giải:

*Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

*Lý thuyết nắm thêm

1. Định lí Côsin

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a² = b² + c² – 2bc.cosA.

b² = c² + a² – 2ca.cosB.

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

2. Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2 R$ .

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (Kết nối tri thức) | Chuyên đề dạy thêm Toán 10

Câu 68:

50 bài toán về công thức lũy thừa, logarit và cách giải (có đáp án 2024) – Toán 12

Rút gọn biểu thức sau: (x + 3)(x² – 3x + 9) – (54 + x³)

Xem đáp án

Lời giải:

(x + 3)(x² – 3x + 9) – (54 + x³)

= x³ + 3³ – (54 + x³) (Áp dụng HĐT (6) với A = x và B = 3)

= x³ + 27 – 54 – x³

= –27

*Phương pháp làm:

Áp dụng công thức luỹ thừa

*Lý thuyết nắm thêm:

Nhóm công thức 1	Nhóm công thức 2

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án 2024) - Toán 12

Câu 69:

Lý thuyết Tập hợp và các phép toán trên tập hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

Cho A = {2; 5}, B = {5; x}, C = {2; y}. Tìm x, y để A = B = C.

Xem đáp án

Lời giải:

Ta có A = {2; 5} và B = {5; x}

Để A = B thì x = 2.

Ta lại có A = {2; 5} và C = {2; y}

Để A = C thì y = 5.

Vậy x = 2, y = 5 thì A = B = C.

*Phương pháp giải:

- Dựa vào các phép toán cơ bản về tập hợp:

*Lý thuyết nắm thêm về tập hợp:

1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp

1.1. Tập hợp

• Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau:

Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;

Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

a ∈ S: phần tử a thuộc tập hợp S.
a ∉ S: phần tử a không thuộc tập hợp S.

Chú ý: Số phần tử của tập hợp S được kí hiệu là n(S).

1.2. Tập hợp con

• Nếu mọi phần tử của tập hợp T đều là phần tử của tập hợp S thì ta nói T là một tập hợp con (tập con) của S và viết là T ⊂ S (đọc là T chứa trong S hoặc T là tập con của S).

- Thay cho T ⊂ S, ta còn viết S ⊃ T (đọc là S chứa T).

- Kí hiệu T ⊄ S để chỉ T không là tập con của S.

Nhận xét:

- Từ định nghĩa trên, T là tập con của S nếu mệnh đề sau đúng:

∀ x, x ∈ T ⇒ x ∈ S.

- Quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

• Người ta thường minh họa một tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.

Minh họa T là một tập con của S như sau:

1.3. Hai tập hợp bằng nhau

- Hai tập hợp S và T được gọi là hai tập hợp bằng nhau nếu mỗi phần tử của T cũng là phần tử của tập hợp S và ngược lại. Kí hiệu là S = T.

- Nếu S ⊂ T và T ⊂ S thì S = T.

2. Các tập hợp số

2.1. Mối quan hệ giữa các tập hợp số

- Tập hợp các số tự nhiên ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ....}.

- Tập hợp các số nguyên ℤ gồm các số tự nhiên và số nguyên âm:

ℤ = {...; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3}.

- Tập hợp các số hữu tỉ ℚ gồm các số được viết dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ , với a, b ∈ ℤ, b ≠ 0.

Số hữu tỉ còn được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

- Tập hợp các số thực ℝ gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

- Mối quan hệ giữa các tập hợp số: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

2.2. Các tập con thường dùng của ℝ

- Một số tập con thường dùng của tập số thực ℝ:

+ Khoảng:

$(a; b) = \{x \in ℝ | a < x < b\}$

$(a; + \infty) = \{a \in ℝ | x > a\}$

$(- \infty; b) = \{x \in ℝ | x < b\}$

$(- \infty; + \infty)$

+ Đoạn

$[a; b] = \{x \in ℝ | a \leq x \leq b\}$

+ Nửa khoảng

$[a; b) = \{x \in ℝ | a \leq x < b\}$

$(a; b] = \{x \in ℝ | a < x \leq b\}$

$[a; + \infty) = \{x \in ℝ | x \geq a\}$

$(- \infty; b] = \{x \in ℝ | x \leq b\}$

- Kí hiệu + ∞: Đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng).

- Kí hiệu – ∞: Đọc là âm vô cực (hoặc âm vô cùng).

- a, b gọi là các đầu mút của đoạn, khoảng hay nửa khoảng.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 10 Bài 2 (Cánh diều): Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2. Tập hợp có đáp án

Câu 70:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Cô Huyền có 11 500 000 đồng. Cô mua một chiếc máy với giá 2 750 000 đồng. Sau đó, cô bán chiếc máy đó với giá 3 250 000 đồng. Hỏi sau khi bán cô Huyền có bao nhiêu tiền?

Xem đáp án

Lời giải:

Sau khi bán, cô Huyền có số tiền là:

(11 500 000 – 2 750 000) + 3 250 000 = 12 000 000 (đồng)

Đáp số: 12 000 000 đồng

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép chia và phép nhân để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 71:

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác có đáp án – Toán lớp 10

Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5 cm

Xem đáp án

Lời giải:

* Phương pháp giải:

Nắm lại lý thuyết về đường tròn

* Lý thuyết nắm thêm:

a) Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn:

* Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. 1 rađian còn viết tắt là 1 rad. Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.

* Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian: $180^{o} = π r a d$ suy ra $1^{o} = \frac{π}{180} r a d$ và $1 r a d = {(\frac{180}{π})}^{o}$

* Độ dài cung tròn: Một cung của đường tròn bán kính R có số đo $α r a d$ thì độ dài $l = R α$ .

*) Một số dạng bài:

a) Dạng 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã cho trước một giá trị

* Phương pháp giải: Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

b) Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức giữa các giá trị lượng giác

* Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi. Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

+ Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

+ Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

+ Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

c) Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác

* Phương pháp giải: Để giải dạng bài này, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

100 câu trắc nghiệm Cung và góc lượng giác nâng cao

Câu 72:

100 câu trắc nghiệm Cung và góc lượng giác nâng cao

Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, c = 13.

a) Tam giác ABC có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C. Tính độ dài BD.

Xem đáp án

Lời giải:

a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosC = $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} = \frac{8^{2} + 10^{2} - 13^{2}}{2.8.10} = - 0, 03125$

⇒ $\hat{C} \approx 91^{o} 47' 26''$

Suy ra $\hat{C} > 90^{o}$

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

b) Do AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của BC, tức là MB = MC = BC : 2 = 4.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ACM ta có:

AM² = AC² + CM² – 2.AC.CM.cosC = 10² + 4² – 2.10.4.cos91°47'26" = 118,5

⇒ AM ≈ 10,9.

Nửa chu vi của tam giác ABC là :

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 10 + 13}{2} = 15, 5$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là:

$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{15, 5. (15, 5 - 8) . (15, 5 - 10) . (15, 5 - 13)} \approx 40$

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có:

$S = \frac{a b c}{4 R} \Rightarrow R = \frac{a b c}{4 S} = \frac{8.10.13}{4.40} = 6, 5$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM ≈ 10,9; diện tích tam giác ABC là 40; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,5.

c) Vì D đối xứng với A qua C nên C là trung điểm của AD.

Suy ra AD = 2AC = 2.10 = 20.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

cosA = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{10^{2} + 13^{2} - 8^{2}}{2.10.13} = \frac{205}{260} = \frac{41}{52}$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABD ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cosA = 20² + 13² – 2.20.13. $\frac{41}{52}$ = 159

⇒ BD = $\sqrt{159}$ ≈ 12,6.

Vậy BD ≈ 12,6.

*Phương pháp giải:

- Nắm vững lại tính chất về số đo cung tròn

* Các dạng bài tập và lý thuyết thêm về độ dài cung tròn:

a) Cho đường tròn (O; R) như hình sau:

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo α rad có độ dài l = Rα,

trong đó: + R là bán kính đường tròn;

+ α là số đo bằng rad của cung tròn;

+ l là độ dài cung tròn.

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo a° có độ dài l = $\frac{πRa}{180}$ ,

trong đó: + R là bán kính đường tròn;

+ a là số đo bằng độ của cung tròn;

+ l là độ dài cung tròn.

b) Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

Độ dài (C) của một đườn tròn bán kính R được tính theo công thức:

$C = 2 π R$ hoặc $C = π d$ (với d = 2R)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác cơ bản

100 câu trắc nghiệm Cung và góc lượng giác cơ bản (p3)

Câu 73:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Axit – bazơ – muối (có đáp án 2023) – Hóa học 8

Cho 3,6 gam Mg tác dụng hết với dung dịch HNO₃ (dư), sinh ra 2,24 lít (ở đktc) khí X (sản phẩm khử duy nhất của N⁺⁵). Khí X là

Xem đáp án

Lời giải:

Mg → Mg²⁺ + 2e N⁺⁵ + (5 – n)e → N⁺ⁿ

0,15 0,3 0,1

Bảo toàn e có 0,1 . (5 - n) = 0,3 => n =2

=> khí là NO

* Phương pháp giải:

Vận dụng tính chất hóa học của kim loại - acid - base - muối để hoàn thành phương trình

* Lý thuyết nắm thêm

1. Axit

- Khái niệm: Phân tử axit gồm một hay nhiều nguyên tử hiđro liên kết với gốc axit, các nguyên tử hiđro này có thể thay thế bằng các nguyên tử kim loại.

- Công thức hóa học: một hay nhiều nguyên tử H + gốc axit.

- Phân loại:

+ axit không có oxi: HCl, H₂S,…

+ axit có oxi: H₂SO₄, H₃PO₄, HNO₃, H₂SO₃…

- Tên gọi

+ Axit không có oxi:

Tên axit: axit + tên phi kim + hiđric.

2. Bazơ

- Khái niệm: Phân tử bazơ gồm có một nguyên tử kim loại liên kết với một hay nhiều nhóm hiđroxit (-OH)

- Công thức hóa học: Có một nguyên tử kim loại và một hay nhiều nhóm -OH.

- Công thức chung: M(OH)_n

Trong đó:

+ M: là nguyên tử kim loại.

+ n: là số nhóm hiđroxit (n có giá trị bằng hóa trị của kim loại)

- Tên gọi: Tên kim loại + hoá trị (nếu kim loại có nhiều hoá trị) + hiđroxit.

3. Muối (xét muối kim loại)

- Khái niệm: Phân tử muối gồm có một hay nhiều nguyên tử kim loại liên kết với một hay nhiều gốc axit.

- Công thức hóa học:

+ Gồm 2 thành phần: kim loại và gốc axit.

+ Công thức hóa học dạng: M_xA_y

Trong đó: M là nguyên tử kim loại và A : là gốc axit.

- Tên gọi = Tên KL + hoá trị (nếu KL có nhiều hoá trị) + tên gốc axit

- Phân loại:

+ Muối trung hòa: Muối mà trong gốc axit không có nguyên tử hiđro có thể thay thế nguyên tử kim loại.

VD: Na₂SO₄, Na₂CO₃.

+ Muối axit: Muối mà trong gốc axit còn nguyên tử hiđro chưa được thay thế bằng nguyên tử kim loại.

VD: NaHCO₃, NaHSO₄.

4. Xác định công thức hóa học khi biết thành phần các nguyên tố

Gọi công thức tổng quát của hợp chất là A_xB_y

Bước 1: Tìm khối lượng mỗi nguyên tố có trong 1 mol hợp chất.

$m_{A} = \frac{% m_{A} . M_{A_{x} B_{y}}}{100}; m_{B} = \frac{% m_{B} . M_{A_{x} B_{y}}}{100}$

Bước 2: Tìm số mol nguyên tử mỗi nguyên tố trong 1 mol hợp chất.

$n_{A} = \frac{m_{A}}{M_{A}}; n_{B} = \frac{m_{B}}{M_{B}}$

Bước 3: Lập công thức hóa học của hợp chất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về xác định công thức hóa học và gọi tên axit, bazơ và muối (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 74:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Nghiệm của bất phương trình $3^{x - 2} \leq 243$ là

Xem đáp án

Lời giải:

BPT $\Leftrightarrow x - 2 \leq 5 \Leftrightarrow x \leq 7$

*Phương pháp giải

a^f(x) $\geq$ b(*)

- Nếu $\{\begin{cases} 0 < a \neq 1 \\ b \leq 0 \end{cases}$ thì (*) luôn đúng

- Nếu $\{\begin{cases} b > 0 \\ 0 < a < 1 \end{cases}$ thì (*) $\Leftrightarrow f (x) \leq \log_{a} b$

- Nếu $\{\begin{cases} b > 0 \\ 1 < a \end{cases}$ thì (*) $\Leftrightarrow f (x) \geq \log_{a} b$

*Một số dạng bài về bất phương trình mũ

- Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^{x} > b$ (hoặc $a^{x} \geq b$ , $a^{x} < b$ , $a^{x} \leq b$ )

với $a > 0, a \neq 1$ .

Tập nghiệm của bất phương trình mũ cơ bản

a. Tập nghiệm của bất phương trình $a^{x} > b (a > 0, a \neq 1)$

b. Tập nghiệm của bất phương trình $a^{x} \geq b (a > 0, a \neq 1)$

c. Tập nghiệm của bất phương trình $a^{x} < b (a > 0, a \neq 1)$

d. Tập nghiệm của bất phương trình $a^{x} \leq b (a > 0, a \neq 1)$

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3: a^f(x) > b(*)

Dạng 4: a^f(x) < b(**)

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

Tương tự với bất phương trình dạng:

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài toán về bất phương trình mũ và cách giải

Toán 11 Bài 21 (Kết nối tri thức): Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Câu 75:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Có 18 quả bóng bàn đựng trong 3 hộp đều nhau. Hỏi 42 quả bóng bàn thì đựng trong mấy hộp như vậy?

Xem đáp án

Lời giải:

Một hộp đựng số quả bóng bàn là:

18 : 3 = 6 (quả bóng)

Số hộp cần để đựng hết 42 quả bóng bàn là:

42 : 6 = 7 (hộp)

Đáp số: 7 hộp

* Phương pháp giải:

sử dụng các phép tính toán để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 76:

Lý thuyết Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó (mới 2024 + Bài Tập) - Toán lớp 5

Một mảnh đất hình chữ nhật bị xén đi một góc (hình vẽ), phần còn lại có dạng hình tứ giác ABCD với độ dài các cạnh là AB = 15m, BC = 19m, CD = 10m, DA = 20m. Diện tích mảnh đất ABCD bằng bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một mảnh đất hình chữ nhật bị xén đi một góc (hình vẽ), phần còn lại có dạng hình (ảnh 1)

Xem đáp án

Lời giải:

*Phương pháp giải:

áp dụng công thức Heron để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

- Bước 1: Vẽ sơ đồ biểu diễn hai số

- Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

- Bước 3: Tính giá trị của một phần

Giá trị của một phần = Tổng : Tổng số phần bằng nhau

- Bước 4: Tìm số lớn hoặc số bé:

Cách 1: Tìm số bé trước

Số bé = Giá trị của một phần × Số phần của số bé

Số lớn = Tổng – Số bé

Cách 2: Tìm số lớn trước

Số lớn = Giá trị của một phần × Số phần của số lớn

Số bé = Tổng – Số lớn

- Bước 5: Kết luận, đáp số

(Học sinh có thể tiến hành thêm bước thử lại kết quả để kiểm chứng)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó lớp 4 và cách giải

Câu 77:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Lớp 5A có 35 học sinh, trong đó có $\frac{1}{5}$ số học sinh giỏi Toán, $\frac{1}{7}$ số học sinh giỏi vẽ, $\frac{4}{7}$ số học sinh giỏi Tiếng Việt. Tìm số học sinh giỏi Toán, giỏi Tiếng Việt, giỏi Vẽ của lớp đó?

Xem đáp án

Lời giải:

Số học sinh giỏi Toán là : 35 x $\frac{1}{5}$ = 7 (học sinh)

Số học sinh giỏi Tiếng Việt là : 35 x $\frac{4}{7}$ = 20 (học sinh)

Số học sinh giỏi Vẽ là : 35 x $\frac{1}{7}$ = 5 (học sinh)

Đáp số: giỏi Toán : 7 học sinh

* Phương pháp giải:

Tính số học sinh từng môn bằng các phép tính: Tìm phân số của một số

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 78:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một cửa hàng có 350 m vải hoa. Lần thứ nhất bán được 75 m vải hoa, lần thứ hai bán được gấp đôi số mét vài hoa ở lần thứ nhất, lần thứ ba bán nốt số vải hoa còn lại thì vừa hết. Hỏi lần thứ ba cửa hàng bán được bao nhiêu mét vải hoa?

Xem đáp án

Lời giải:

Lần thứ hai bán được số vải là:

75 × 2 = 150 (m)

Lần thứ ba bán được số vải là:

350 – (75 + 150) = 125 (m)

Đáp số: 125 mét vải

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép tính toán số tự nhiên để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 79:

50 bài tập về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (có đáp án 2024) – Toán 12

Cho hàm số $y = \frac{x + m}{x - 1}$ m là tham số thực) thỏa mãn $\min_{[2; 4]} y = 3 .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. m<-1

B. $3 < m \leq 4$

C. $m > 4$

D. $1 \leq m \leq 3$

Xem đáp án

Đáp án đúng: C

Lời giải:

Ta có: $1 - m {(x - 1)}^{2}$

Trường hợp 1: nếu $0 \Rightarrow m < - 1,$ lúc này hàm số đồng biến $\min_{[2; 4]} y = y (2) = \frac{2 + m}{2 - 1} = 3 \Rightarrow m = 1$ (mâu thuẫn với m < -1) => loại

Trường hợp 2: nếu $0 \Rightarrow m > - 1,$ lúc này hàm số nghịch biến

$\min_{[2; 4]} y = y (4) = \frac{4 + m}{4 - 1} = 3 \Rightarrow m = 5$ (thỏa mãn với m > -1) => chọn

*Phương pháp giải

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

• Nếu $f^{'} (x) \geq 0$ với mọi $x \in K$ và $f^{'} (x) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x \in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

• Nếu $f^{'} (x) \leq 0$ với mọi $x \in K$ và $f^{'} (x) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x \in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

Phương pháp giải chung

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm $y^{'} = f^{'} (x)$ .

Bước 2. Tìm các điểm tại đó $f^{'} (x) = 0$ hoặc $f^{'} (x)$ không xác định.

Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y'.

Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y'.

Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y'.

*Một số lý thuyết nắm thêm về hàm số đồng biến/nghịch biến:

1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

Lưu ý

– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Phần I. Các bài toán không chứa tham số.

Dạng 1: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x). Tìm các giá trị x_i(i=1, 2, .., n) mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 4. Sắp xếp các giá trị x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 5. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và chọn đáp án chính xác nhất.

Dạng 2: Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số của hàm số f’(x), xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho.

1. Phương pháp giải.

- Dựa vào bảng biến thiên có sẵn, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và chọn đáp án đúng.

- Từ đồ thị hàm số của hàm số f’(x), ta có:

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó giá trị f'(x) > 0 (nằm phía trên trục hoành).

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó f'(x) < 0 (nằm phía dưới trục hoành).

Xét bài toán: Cho bảng biến thiên của hàm số f’(x). Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) theo f(x).

- Các bước giải:

Bước 1: Ta tính đạo hàm .

Bước 2: Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) và bảng biến thiên của f’(x) để có được bảng xét dấu cho .

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu của vừa có để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x).

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

• Nếu $f^{'} (x) \geq 0$ với mọi $x \in K$ và $f^{'} (x) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x \in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

• Nếu $f^{'} (x) \leq 0$ với mọi $x \in K$ và $f^{'} (x) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x \in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

Phương pháp giải chung

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm $y^{'} = f^{'} (x)$ .

Bước 2. Tìm các điểm tại đó $f^{'} (x) = 0$ hoặc $f^{'} (x)$ không xác định.

Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y'.

Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y'.

Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y'.

Chú ý:

• Đối với hàm phân thức hữu tỉ $y = \frac{a x + b}{c x + d} (x \neq - \frac{d}{c})$ thì dấu “=” khi xét dấu đạo hàm y' không xảy ra.

• Giả sử:

$y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

$\Rightarrow f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c .$

+ Hàm số đồng biến trên R

$\Leftrightarrow f^{'} (x) \geq 0; \forall x \in ℝ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ \leq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \\ c > 0 \end{cases} \end{array} .$

+ Hàm số nghịch biến trên R

$\Leftrightarrow f^{'} (x) \leq 0; \forall x \in ℝ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a < 0 \\ Δ \leq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \\ c < 0 \end{cases} \end{array} .$

Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f(x) = d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

• Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng 1 ta giải như sau:

Bước 1: Tính $y^{'} = f^{'} (x; m) = a x^{2} + b x + c .$

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên $(x_{1}; x_{2}) \Leftrightarrow y^{'} = 0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ > 0 \\ a \neq 0 \end{cases} (*)$

Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng 1

$\Leftrightarrow |x_{1} - x_{2}| = l \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = l^{2} \Leftrightarrow S^{2} - 4 P = l^{2} (* *)$

Bước 4: Giả (*) và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số (2024) chi tiết nhất – Toán 12

Câu 80:

Lý thuyết Nguyên tố hóa học – Hóa 10 Chân trời sáng tạo

Cho các nguyên tố X, Y, Z với số hiệu nguyên tử lần lượt là 4, 12, 20. Phát biểu nào sau đây sai?

A. Các nguyên tố này đều là các kim loại mạnh nhất trong chu kì

B. Các nguyên tố này không cùng thuộc 1 chu kì

C. Thứ tự tăng dần tính bazơ là: X(OH)_2,Y(OH)₂, Z(OH)₂

D. Thứ tự tăng dần độ âm điện là: Z<Y<X

Xem đáp án

Đáp án đúng: A

Lời giải:

Dễ thấy X; Y; Z thuộc nhóm IIA

Vậy A sai vì nguyên tố nhóm IA mới là kim loại mạnh nhất trong chu kỳ.

* Phương pháp giải:

Nắm kỹ lý thuyết mối quan hệ giữa các nguyên tử có cùng số proton

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Hạt nhân nguyên tử

- Số đơn vị điện tích hạt nhân (Z) = số proton (P) = số electron (E).

- Điện tích hạt nhân = + Z.

- Số khối (A) = số proton (P) + số neutron (N)

Ví dụ: Nguyên tử aluminium (Al) có 13 proton, 14 neutron. Suy ra:

+ Nguyên tử aluminium có số đơn vị điện tích hạt nhân = số proton = số electron = 13.

+ Điện tích hạt nhân nguyên tử aluminium là +13.

+ Số khối A = số proton (P) + số neutron (N) = 13 + 14 = 27.

II. Nguyên tố hóa học

1. Số hiệu nguyên tử

- Số đơn vị điện tích hạt nhân nguyên tử của một nguyên tố được gọi là số hiệu nguyên tử (Z) của nguyên tố đó.

- Mỗi nguyên tố hóa học có một số hiệu nguyên tử.

- Số hiệu nguyên tử (kí hiệu là Z) cho biết:

+ Số proton trong hạt nhân nguyên tử.

+ Số electron trong nguyên tử.

Ví dụ: Nguyên tố carbon có số hiệu nguyên tử là 6. Suy ra:

+ Số proton trong hạt nhân nguyên tử carbon = 6

+ Số electron trong nguyên tử carbon = 6

2. Nguyên tố hóa học

- Nguyên tố hóa học là tập hợp những nguyên tử có cùng điện tích hạt nhân.

Ví dụ: Protium; deuterium và tritium là các loại nguyên tử của nguyên tố hydrogen.

3. Kí hiệu nguyên tử

- Số đơn vị điện tích hạt nhân nguyên tử (số hiệu nguyên tử) của một nguyên tố hóa học và số khối được xem là những đặc trưng cơ bản của nguyên tử.

- Để kí hiệu nguyên tử, người ta thường ghi các chỉ số đặc trưng ở bên trái kí hiệu nguyên tố với số khối A ở phía trên, số hiệu nguyên tử Z ở phía dưới.

Ví dụ:

III. Đồng vị

- Các đồng vị của một nguyên tố hóa học là những nguyên tử có cùng số proton (P), cùng số hiệu nguyên tử (Z), nhưng khác nhau về số neutron (N). Do đó, số khối (A) của chúng khác nhau.

- Ví dụ: Potassium (K) có 3 đồng vị là: ${}_{19}^{39}K; {}_{19}^{40}K; {}_{19}^{41}K$

- Trong tự nhiên, hầu hết các nguyên tố được tìm thấy dưới dạng hỗn hợp của các đồng vị.

- Ngoài các đồng vị bền, các nguyên tố hóa học còn có một số đồng vị không bền, gọi là các đồng vị phóng xạ, được sử dụng nhiều trong đời sống, y học, nghiên cứu khoa học…

IV. Nguyên tử khối và nguyên tử khối trung bình

1. Nguyên tử khối

- Nguyên tử khối là khối lượng tương đối của nguyên tử.

- Nguyên tử khối của một nguyên tử cho biết khối lượng của nguyên tử đó nặng gấp bao nhiêu lần đơn vị khối lượng nguyên tử (1 amu).

- Một cách gần đúng, coi nguyên tử khối có giá trị bằng số khối.

Ví dụ: Nguyên tử của nguyên tố magnesium (Mg) có 12 proton và 12 neutron.

⇒ Nguyên tử khối của Mg = 12 + 12 = 24 amu

2. Nguyên tử khối trung bình

- Mỗi nguyên tố thường có nhiều đồng vị, do đó trong thực tế người ta thường sử dụng giá trị nguyên tử khối trung bình.

- Muốn xác định giá trị nguyên tử khối trung bình của một nguyên tố, ta cần phải biết được phần trăm số nguyên tử các đồng vị của nguyên tố đó trong tự nhiên. Người ta thường dùng phương pháp phổ khối lượng để xác định phần trăm số nguyên tử các đồng vị tự nhiên của các nguyên tố.

- Công thức tính nguyên tử khối trung bình của nguyên tố X:

$\bar{A_{X}} = \frac{a_{1} \times A_{1} + a_{2} \times A_{2} + . .. + a_{i} \times A_{i}}{100}$

Trong đó:

$\bar{A_{X}}$ : là nguyên tử khối trung bình của X

Ai: là nguyên tử khối đồng vị thứ i

ai: là tỉ lệ % số nguyên tử đồng vị thứ i

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Hóa 10 Bài 2 (Kết nối tri thức): Nguyên tố hóa học

Câu 81:

Lý thuyết Đồ thị của hàm số y=ax^2 (a ≠ 0) (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Vẽ đồ thị của các hàm số y = x + 1 và y = -x +3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Xem đáp án

* Lời giải:

- Với hàm số y = x + 1:

Cho x = 0 => y = 1 ta được M(0; 1).

Cho y = 0 => x + 1 = 0 => x = -1 ta được B(-1; 0).

Nối MB ta được đồ thị hàm số y = x + 1.

- Với hàm số y = -x + 3:

Cho x = 0 => y = 3 ta được E(0; 3).

Cho y = 0 => -x + 3 = 0 => x = 3 ta được A(3; 0).

Nối EA ta được đồ thị hàm số y = -x + 3.

* Phương pháp giải:

Vẽ hệ trục tọa độ Oxy.

Xác định các điểm cho trước trên mặt phẳng tọa độ.

Nối các cặp điểm để vẽ đường thẳng tương ứng với mỗi hàm số.

* Lý thuyết nắm thêm:

- Đồ thị của hàm số: Đồ thị của hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) là một parabol đi qua gốc tọa độ O, nhận Oy làm trục đối xứng (O là đỉnh của parabol)

+) Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

+) Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

Dạng 1: Cách vẽ đồ thị của hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị (thường từ 3 đến 4 giá trị) tương ứng giữa x và y sao cho các điểm tương ứng nằm bên phải trục Oy.

Bước 3: Vẽ trục tọa độ Oxy và đánh dấu điểm O, các điểm đã lập trong bảng giá trị và các điểm đối xứng với chúng qua trục Oy.

Bước 4: Đồ thị hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) luôn đi qua gốc tọa độ O và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Vẽ đường cong parabol đi qua các điểm đã đánh dấu ta được đồ thị hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) và kết luận.

Dạng 2: Điểm thuộc, không thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp giải:

Điểm M $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) khi và chỉ khi $a {x_{0}}^{2} = y_{0}$

Dạng 3: Các bài toán về đường thẳng và parabol

Phương pháp giải:

- Cho đường thẳng y = a’x + b và parabol y = a $x^{2}$ (a khác 0). Hoành độ giao điểm của chúng là nghiệm của phương trình: a’x + b = a $x^{2}$ (*). Giải phương trình ta tìm được hoành độ giao điểm, từ đó tìm được tọa độ giao điểm. Tọa độ giao điểm vừa là nghiệm của phương trình đường thẳng, vừa là nghiệm của phương trình parabol.

- Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đường thẳng và parabol, ngược lại, số giao điểm của đường thẳng và parabol là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các dạng bài tập Đồ thị hàm số y = a.x^2 (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 82:

Giải Toán 9 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình bậc hai một ẩn

Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức: Q = 2 $x^{2}$ – 6x

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: Q = 2 $x^{2}$ – 6x = 2( $x^{2}$ – 3x) = 2( $x^{2}$ – 2.3/2 x + 9/4 - 9/4)

= 2[ ${(x - 3 / 2)}^{2}$ - 9/4 ] = 2 ${(x - 3 / 2)}^{2}$ - 9/2

Vì ${(x - 3 / 2)}^{2}$ ≥ 0 nên 2 ${(x - 3 / 2)}^{2}$ ≥ 0 ⇒ 2 ${(x - 3 / 2)}^{2}$ - 9/2 ≥ - 9/2

Suy ra: Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất khi ${(x - 3 / 2)}^{2}$ = 0 ⇒ x = 3/2

Vậy Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 3/2.

* Phương pháp giải:

- Biến đổi về dạng Hằng đẳng thức +/- 1 số lẻ bên ngoài

- Khi đó min/max chính là số lẻ đó

- Đạt được khi dấu bằng xảy ra

* Lý thuyết nắm thêm:

Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (1)

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (2)

- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac

+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 2: x1 + x2 +...+xn $\geq n . \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 3: ${(\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n})}^{n} \geq x_{1} . x_{2} . . . x_{n}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =....= xn

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

Dạng 1: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}} \geq \frac{n^{2}}{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}$

Dạng 2: (x1 + x2 + ... + xn) $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}) \geq n^{2}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2025 + Bài tập)

Câu 83:

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Cho tam giác ABC có các góc $\hat{A} = 105 °, \hat{B} = 45 °$ . Tỉ số $\frac{A B}{A C}$ bằng

Xem đáp án

*Lời giải:

Xét tam giác ABC, có:

$\hat{C} = 180 ° - (\hat{A} + \hat{B}) = 180 ° - (105 ° + 45 °) = 30 °$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta được:

$\frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} \Leftrightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sin 30 °}{\sin 45 °} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

*Phương pháp giải:

- Áp dụng định lý cosin trong tam giác:

Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó:

a² = b² + c² – 2bccosA,

b² = c² + a² – 2cacosB,

c²= a² + b² – 2abcosC.

Lưu ý:

cosA = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ ,

cosB = $\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}$ ,

cosC = $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$ .

*Các dạng bài tập về giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ:

- Từ định nghĩa ta có:

$tanα = \frac{sinα}{cosα} (α \neq 90 °);$ $cotα = \frac{cosα}{sinα} (α \neq 0 ° và α \neq 180 °);$ $tanα = \frac{1}{cotα} (α \notin {0 °; 90 °; 180 °})$

- Bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:

Chú ý: Kí hiệu || chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

- Tính chất:

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng $180^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Hai góc phụ nhau là hai học có tổng bằng $90^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

- Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:

- Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác vectơ $\vec{0}$ . Từ điểm O bất kì vẽ $\vec{O A} = \vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ , khi đó góc $\hat{A O B}$ ( $0^{o} \leq \hat{A O B} \leq 180^{o}$ ) là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Kí hiệu: $(\vec{a}, \vec{b})$ .

- Các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác :

- Chú ý:

Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó:

a² = b² + c² – 2bccosA,

b² = c² + a² – 2cacosB,

c²= a² + b² – 2abcosC.

Lưu ý:

cosA = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ ,

cosB = $\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}$ ,

cosC = $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$ .

Định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Khi đó:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$

Lưu ý:

a = 2RsinA,

b = 2RsinB,

c = 2RsinC.

Các dạng bài.

Dạng 1: Góc và dấu của các giá trị lượng giác.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt và các chú ý về dấu của giá trị lượng giác liên quan tới góc.

Dạng 2: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác để từ một giá trị lượng giác suy ra các giá trị lượng giác còn lại.

Dạng 3: Chứng minh, rút gọn một biểu thức lượng giác.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, bảng các giá trị lượng giác đặc biệt, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác, hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức lượng giác hay chứng minh một đẳng thức lượng giác ( bằng cách chứng minh hai vế bằng nhau hoặc từ đẳng thức đã cho biến đổi về một đẳng thức được công nhận là đúng).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Câu 84:

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác có đáp án – Toán lớp 10

Tam giác ABC có BC = 10 và góc A = 30⁰. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xem đáp án

*Lời giải:

Áp dụng định lí sin, ta có

*Phương pháp giải:

- Nắm lại lý thuyết về đơn vị đo góc, cung tròn, độ dài cung tròn để đổi

*Một số dạng bài về cung và lượng giác:

a) Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn:

* Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. 1 rađian còn viết tắt là 1 rad. Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.

* Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian: $180^{o} = π r a d$ suy ra $1^{o} = \frac{π}{180} r a d$ và $1 r a d = {(\frac{180}{π})}^{o}$

* Độ dài cung tròn: Một cung của đường tròn bán kính R có số đo $α r a d$ thì độ dài $l = R α$ .

*) Một số dạng bài:

a) Dạng 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã cho trước một giá trị

* Phương pháp giải: Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

b) Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức giữa các giá trị lượng giác

* Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi. Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

+ Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

+ Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

+ Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

c) Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác

* Phương pháp giải: Để giải dạng bài này, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

100 câu trắc nghiệm Cung và góc lượng giác nâng cao

Câu 85:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Cho A,B,C là các góc của tam giác ABC khi đó P=sinA+sinB+sinC tương đương với gì

Xem đáp án

*Lời giải:

*Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức lượng giác sau để biến đổi biểu thức

* Lý thuyết và các dạng bài về góc và cung lượng giác:

Công thức nhân đôi:

* Công thức hạ bậc:

Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác đặc biệt

Hệ quả:

+) $\sin α, \cos α$ xác định với mọi giá trị của $α$ và $- 1 \leq \sin α \leq 1, - 1 \leq \cos α \leq 1$ .

+) $\tan α$ được xác định khi $α \neq \frac{π}{2} + k π$ , xác định khi $α \neq k π$

+) $\sin α = \sin (α + k 2 π), \cos α = \cos (α + k 2 π)$

$\tan α = \tan (α + k π), \cot α = \cot (α + k π)$

+) Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác.

Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 10 Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

Câu 86:

Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $\vec{I J} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{C B})$

B. $\vec{I J} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{D B})$

C. $\vec{I J} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{B} C)$

D. $\vec{I J} = \frac{1}{2} (\vec{C A} + \vec{D B})$

Xem đáp án

Đáp án đúng: C

* Lời giải:

Ta có: $\vec{I J} = \vec{I A} + \vec{A D} + \vec{D J}$ .

$\vec{I J} = \vec{I B} + \vec{B C} + \vec{C J}$ .

Suy ra: $2 \vec{I J} = (\vec{I A} + \vec{I B}) + \vec{A D} + \vec{B C} + (\vec{D J} + \vec{J C}) = \vec{0} + \vec{A D} + \vec{B C} + \vec{0} = \vec{A D} + \vec{B C}$ .

Vậy: $\vec{I J} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{B C})$ .

* Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hai vecto bằng nhau.

*Một số lý thuyết và dạng bài tập về vectơ:

Hai vectơ $\vec{AB}$ , $\vec{CD}$ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu: $\vec{AB} = \vec{CD} .$

Nhận xét:

– Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\vec{a}$ = $\vec{b}$ .

– Khi cho trước vectơ $\vec{a}$ và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho $\vec{OA} = \vec{a} .$

Tổng của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ Lấy một điểm A tùy ý, vẽ Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ Ta kí hiệu tổng của hai vectơ

Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì

Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ tùy ý ta có

• (tính chất giao hoán);

• (tính chất kết hợp);

• (tính chất của vectơ – không).

Hiệu của hai vectơ

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ là vectơ .

Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ Ta gọi hiệu của hai vectơ là vectơ

Như vậy

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có

Chú ý

1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có

(quy tắc ba điểm);

(quy tắc trừ).

Áp dụng

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

TOP 30 câu Trắc nghiệm Chương 4: Vectơ (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 10

Câu 87:

Giải Toán 8 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 3 trang 74

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Xem đáp án

*Lời giải:

+) Do BE và CF lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C nên ta có:

Mà tam giác ABC cân tại A nên $∠$ B = $∠$ C

Suy ra: $∠$ ABE = $∠$ ACF

Xét hai tam giác AEB và AFC

Có AB = AC ( $∆$ ABC cân tại A)

$∠$ ABE = $∠$ ACF (chứng minh trên)

$∠$ A là góc chung

⇒ $∆$ AEB = $∆$ AFC (g.c.g) ⇒ AE = AF ⇒ $∆$ AEF cân tại A

⇒ $∠$ AFE = (null− $∠$ A) / 2 và trong tam giác $∆$ ABC: $∠$ B = (null− ∠A) / 2

⇒ $∠$ AFE = $∠$ B ⇒ FE//BC ( có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).

⇒ Tứ giác BFEC là hình thang.

Vì FE//BC nên ta có: $∠$ FEB = $∠$ EBC (so le trong)

Lại có: $∠$ FBE = $∠$ EBC ( vì BE là tia phân giác của góc B)

⇒ $∠$ FBE = $∠$ FEB

⇒ $∆$ FBE cân ở F ⇒ FB = FE

⇒ Hình thang BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên (đpcm)

*Phương pháp giải:

Năm vững dấu hiệu nhận biết các hình để chứng minh

Nắm lại lý thuyết và cách chứng minh các đường trung trực, trung tuyến,...

*Lý thuyết nắm thêm

1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song

Tứ giác ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \{\begin{cases} A B / / C D \\ A D / / B C \end{cases}$

2. Tính chất: Trong hình bình hành

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

II. Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài tập về hình bình hành (có đáp án 2024) – Toán 8

Câu 88:

50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án 2024) – Toán 12

Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, SB =2a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

Xem đáp án

*Lời giải:

Ta chọn (SBC) làm mặt đáy => chiều cao khối chóp là

Tam giác SBC vuông cân tại S nên

Vậy thể tích khối chóp

*Phương pháp giải

- áp dụng công thức tính thể tích khối chóp:

V = \frac{1}{3} B . h

+ tính được S đáy của khối chóp trước

*Lý thuyến cần nắm về khối chóp và thể tích khối chóp:

- Định nghĩa hình chóp: Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của chóp.

- Có 2 loại chóp phổ biến là chóp tam giác và chóp tứ giác

- Chú ý:

+ Đường cao của hình chóp là đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với đáy.

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy của mặt bên đó.

+ 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của chúng vuông góc với đáy.

Công thức tính thể tích khối chóp

Cho khối chóp có đường cao là h

Diện tích đa giác đáy là S

Khi đó thể tích $V = \frac{1}{3} h . S$

$V = \frac{1}{3} h . S$

a. Khối tứ diện đều: Là khối chóp có tất cả các cạnh bằng nhau $V = \frac{1}{3} h . S$

Tất cả các mặt đều là các tam giác đều. Chân đường cao là trọng tâm của đáy

b. Khối chóp tam giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đáy là tam giác. Chân đường cao là trọng tâm của tam giác đáy.

c. Khối chóp tứ giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Đáy là hình vuông, chân đường cao là tâm của hình vuông.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Công thức tính thể tích khối chóp và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Câu 89:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Chuyển phân số sau thành phân số thập phân:

$\frac{14}{70}$

Xem đáp án

*Lời giải:

* Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu số của các phân số (nếu cần).

So sánh các tử số khi mẫu số đã bằng nhau.

* Lý thuyết nắm thêm:

- Các phép toán liên quan đến phân số đó là các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia, phân số.

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

35 Bài tập tổng hợp Phân số và hỗn số lớp 5 (có đáp án)

Câu 90:

Công thức tính Cấp số cộng và cách giải các dạng bài tập

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ thỏa mãn $\{\begin{cases} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10 \\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{cases}$ . Tính $S = u_{1} + u_{2} + u_{7} + . . . + u_{2017}$

A. S = 2023736

B. D= 2035825

C. S = 673044

D. S = 3034

Xem đáp án

Đáp án đúng: B

*Lời giải:

*Phương pháp giải

(u_n) là cấp số cộng khi u_n+1 = u_n + d, n ∈ N^* (d gọi là công sai)

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức: u_n = u₁ + (n – 1)d với n ∈ N^*, n ≥ 2.

*Lý thuyết nắm thêm về cấp số cộng:

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

un+1 = un + d với $n \in ℕ^{*}$ (1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; công sai d = 3.

Số hạng tổng quát

- Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2.

Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

- Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}; k \geq 2$

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

- Định lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.

Khi đó: $S_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2}$ .

- Chú ý: vì un = u1 + (n – 1)d nên ta có: $S_{n} = n u_{1}^{} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Câu 91:

Giải Toán 8 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 3 trang 74

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Vẽ ID ⊥ AB (D ∈ AB), IE ⊥ BC (E ∈ BC), IF ⊥ CA (F ∈ CA). Chứng minh ID = IE = IF.

Xem đáp án

*Lời giải:

Xét ΔBID (góc D = 90º) và ΔBIE (góc E = 90º) có:

BI là cạnh chung

góc IBD = góc IBE (do BI là tia phân giác góc ABC)

⇒ ΔBID = ΔBIE (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ ID = IE (2 cạnh tương ứng) (1)

Tương tự, xét ΔCIE (góc E = 90º) và ΔCIF (góc F = 90º) có:

CI là cạnh chung

góc ICE = góc ICF (do CI là tia phân giác góc ACB)

⇒ ΔICE = ΔICF (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ IE = IF (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ID = IE = IF (đpcm)

*Phương pháp giải:

Năm vững dấu hiệu nhận biết các hình để chứng minh

Nắm lại lý thuyết và cách chứng minh các đường trung trực, trung tuyến,...

*Lý thuyết nắm thêm

1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song

Tứ giác ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \{\begin{cases} A B / / C D \\ A D / / B C \end{cases}$

2. Tính chất: Trong hình bình hành

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

II. Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài tập về hình bình hành (có đáp án 2024) – Toán 8

Câu 92:

Lý thuyết Hình chóp tam giác đều – Hình chóp tứ giác đều – Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo

Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng 30^o. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:

Xem đáp án

*Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC). Khối chóp S.ABC đều nên H là trọng tâm tam giác (ABC).

Xét tam giác ABI:

Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên:

Lại có: AH là hình chiếu của SA lên (ABC)

Xét tam giác SAH:

Diện tích tam giác ABC:

Vậy

* Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích của hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều

Thể tích của hình chóp tam giác đều (hình chóp tứ giác đều) bằng $\frac{1}{3}$ diện tích đáy nhân với chiều cao.

$V = \frac{1}{3} S_{đ á y} . h$ .

(V là thể tích, $S_{đ á y}$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao)

* Lý thuyết cần nắm và dạng bài toán về hình chóp tam giác đều - hình chóp tứ giác đều:

1. Hình chóp tam giác đều

Hình chóp tam giác đều có:

- Đáy là tam giác đều.

- 3 cạnh bên bằng nhau.

- 3 mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung một đỉnh.

- 3 cạnh đáy bằng nhau là ba cạnh của tam giác đáy.

- Chân đường cao trùng với tâm của đáy.

2. Hình chóp tứ giác đều

Hình chóp tứ giác đều có:

- Đáy là hình vuông.

- 4 cạnh bên bằng nhau.

- 4 mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung một đỉnh.

- 4 cạnh đáy bằng nhau là bốn cạnh của hình vuông đáy.

- Chân đường cao trùng với giao điểm của hai đường chéo của mặt đáy.

Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều (hình chóp tứ giác đều) bằng tổng diện tích của các mặt bên.

Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều (hình chóp tứ giác đều) bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy: ( $S_{t p} = S_{x q} + S_{đ á y}$ ( $S_{t p}$ là diện tích toàn phần, là diện tích đáy, $S_{x q}$ là diện tích xung quanh)

Công thức tính thể tích của hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều

Thể tích của hình chóp tam giác đều (hình chóp tứ giác đều) bằng $\frac{1}{3}$ diện tích đáy nhân với chiều cao.

$V = \frac{1}{3} S_{đ á y} . h$ .

(V là thể tích, $S_{đ á y}$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Toán 8 CTST Bài 1. Hình chóp tam giác đều - Hình chóp tứ giác đều

Câu 93:

Phương trình đường thẳng (Lý thuyết, công thức), các dạng bài tập và cách giải

Cho M(2;-5;7) Tìm tọa độ điểm đối xứng của M qua mặt phẳng Oxy

Xem đáp án

*Lời giải:

Gọi M(x;y;z) Khi đó M'(x';y';z') là điểm đối xứng của M qua (Oxy) khi và chỉ khi

*Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức về các phương trình đường thẳng để viết:

+ xác định ra 1 điểm thuộc cả 2 mặt phẳng

+ xác định vectơ pháp tuyến / chỉ phương từ 2 mặt phẳng

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về phương trình đường thẳng:

Phương trình tham số của đường thẳng

a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\vec{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu $\vec{u}$ ≠ $\vec{0}$ và giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét:

– Nếu $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của ∆ thì k $\vec{u}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Phương trình tham số của đường thẳng

Hệ $\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \end{cases}$ (a² + b² > 0 và t là tham số) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M₀(x₀ ; y₀₎và nhận $\vec{u}$ = (a ; b) làm vectơ chỉ phương.

Nhận xét: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \end{cases}$ (a² + b² > 0 và t là tham số).

+ Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆. Ngược lại, với mỗi điểm trên đường thẳng ∆, ta xác định được một giá trị cụ thể của t.

+ Vectơ $\vec{u}$ = (a ; b) là một vectơ chỉ phương của ∆.

Phương trình tổng quát của đường thẳng

a. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ $\vec{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu $\vec{n}$ ≠ $\vec{0}$ và giá của vectơ $\vec{n}$ vuông góc với ∆.

Nhận xét:

– Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của ∆ thì k $\vec{n}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

– Nếu một đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}$ = (a ; b) thì vectơ $\vec{n}$ = (–b ; a) là một vectơ pháp tuyến của ∆.

b. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét:

– Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x₀ ; y₀) và nhận $\vec{n}$ = (a ; b) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0 ⇔ ax + by + (–ax₀ – by₀) = 0.

– Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng ∆ trong mặt phẳng tọa độ nhận một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ = (a ; b).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Giải Toán 10 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình đường thẳng

TOP 20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 10

Câu 94:

Giải Toán lớp 2 trang 43 Bài 49: Các số tròn trăm, tròn chục – Kết nối tri thức

Tìm 5 số lẻ liên tiếp có tổng là 105

Xem đáp án

*Lời giải:

Cách 1:

Vì đây là dãy só 5 số lẻ liên tiếp nên số chính giữa chính là trung bình cộng của 5 số

Số chính giữa (số thứ ba) là: 105 : 5 = 21

Số thứ hai là: 21 – 2 = 19

Số thứ nhất là: 19 – 2 = 17

Số thứ tư là: 21 + 2 = 23

Số thứ năm là 23 + 2 = 25

Đáp số: 17, 19, 21, 23, 25

Cách 2:

Nhận xét: vì hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên nếu ta xem số tự nhiên thứ nhất là 1 đoạn thẳng thì số tự nhiên thứ hai là 1 đoạn thẳng như thế và thêm 2 đơn vị. Cứ tiếp tục như thế ta sẽ có sơ đồ:

5 lần số thứ nhất là: 105 – (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) = 85

Số thứ nhất là: 85 : 5 = 17

Số thứ hai là: 17 + 2 = 19

Số thứ ba là: 19 + 2 = 21

Số thứ tư là: 21 + 2 = 23

Số thứ năm là: 23 + 2 = 25

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Đọc và viết số tròn chục có ba chữ số.

- Đọc số theo thứ tự các hàng từ trái sang phải.

- Từ cách đọc số, em viết được số tròn chục có ba chữ số thỏa mãn.

Số tròn chục là số có hàng đơn vị là chữ số 0.

Ví dụ:

Dạng 2: So sánh các số tròn chục

+ Số có ít chữ số hơn thì có giá trị bé hơn.

+ Số có số chữ số bằng nhau thì so sánh các hàng từ trái sang phải.

Ví dụ: Điền dấu >; <; = vào chỗ chấm:

100...110

Giải:

Số 100 và số 110 đều là số có 3 chữ số; chữ số hàng trăm là 1; chữ số hàng chục có 0<1.

Vậy 100 < 110

Dấu cần điền vào chỗ chấm là “<”.

Dạng 3: Thứ tự các số tròn chục.

Ghi nhớ thứ tự các số tròn chục trong phạm vi từ 110 đến 200 là:

110;120;130;140;150;160;170;180;190;200.

Ví dụ: Điền số thích hợp vào chỗ chấm:

130;140;.....;160

Giải

Ta có: 130;140;150;160

Số cần điền vào chỗ chấm là 150.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Vở bài tập Toán lớp 2 trang 42 Bài 49: Các số trong trăm, tròn chục – Kết nối tri thức

Câu 95:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một trường tiểu học có 672 học sinh, số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là 92 em. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh nữ, nam?

Xem đáp án

*Lời giải

Cách 1: Số học sinh nam là: (672 – 92) : 2 = 290 (học sinh)

Số học sinh nữ là: 290 + 92 = 382 (học sinh)

Cách 2: Số học sinh nữ là: (672 + 92) : 2 = 382 (học sinh)

Số học sinh nam là: 382 – 92 = 290 (học sinh)

Đáp số: 290 học sinh nam và 382 học sinh nữ

* Phương pháp giải:

Bài toán tìm hai số biết tổng - hiệu. Áp dụng công thức tìm ra số lớn/số bé trước

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 96:

Trắc nghiệm Công thức lượng giác có đáp án – Toán lớp 10

Một người đứng ở điểm A cách đường quốc lộ h = 100m nhìn thấy một xe ô tô vừa đến B cách A d = 500m đang chạy trên đường với vận tốc v₁ = 50km/h như hình vẽ.

Đúng lúc nhìn thấy xe thì người đó chạy theo hướng AC biết với vận tốc v₂.

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính

* Một số dạng bài về hệ thức lượng trong tam giác:

Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Đối với hai góc bù nhau, α và 180° – α, ta có:

sin (180° – α) = sin α;

cos (180° – α) = – cos α;

tan (180° – α) = – tan α (α ≠ 90°);

cot (180° – α) = – cot α (0° < α < 180°).

Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c:

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Hệ quả

Định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Định lí Côsin

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.

b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB.

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có ma, mb, mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết tổng hợp cuối chương 4 – Toán 10

Câu 97:

Lý thuyết Ước chung, ước chung lớn nhất chi tiết

Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng 480 ⋮ a và 600 ⋮ a

Xem đáp án

* Lời giải:

Vì 480 ⋮ a và 600 ⋮ a nên a ∈ ƯC(480; 600)

Vì a là số tự nhiên lớn nhất nên a là ƯCLN của 480 và 600

Ta có: 480 = 25.3.5

600 = 23.3.52

ƯCLN(480;600) = 23.3.5 = 120

Vậy a = 120

* Phương pháp giải:

Cách 1: Liệt kê các ước chung của các số rồi chọn ra ƯCLN

Để tìm ước chung lớn nhất của các số, ta tìm tập hợp các ước của từng số đó. Sau đó chọn ước chung lớn nhất.

Cách 2: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các tích thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.Tích đó là ƯCLN phải tìm.

* Lý thuyết nắm thêm

1. Ước chung và ước chung lớn nhất

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Ta kí hiệu:

ƯC(a, b) là tập hợp các ước chung của a và b.

ƯCLN(a, b) là ước chung lớn nhất của a và b.

2. Cách tìm ước chung lớn nhất

Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 6 Bài 11 (Kết nối tri thức): Ước chung. Ước chung lớn nhất

Câu 98:

50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án 2024) – Toán 12

Khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Xem đáp án

*Lời giải

Ta có $V = \frac{1}{3} S . h = \frac{1}{3} a^{2} .4 a = \frac{4}{3} a^{3}$

*Phương pháp giải

- áp dụng công thức tính thể tích khối chóp:

+ tính được S đáy của khối chóp trước

*Lý thuyến cần nắm về khối chóp và thể tích khối chóp:

- Định nghĩa hình chóp: Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của chóp.

- Có 2 loại chóp phổ biến là chóp tam giác và chóp tứ giác

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

- Chú ý:

+ Đường cao của hình chóp là đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với đáy.

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy của mặt bên đó.

+ 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của chúng vuông góc với đáy.

Công thức tính thể tích khối chóp

Cho khối chóp có đường cao là h

Công thức tính thể tích khối chóp đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Diện tích đa giác đáy là S

Khi đó thể tích

a. Khối tứ diện đều: Là khối chóp có tất cả các cạnh bằng nhau

Tất cả các mặt đều là các tam giác đều. Chân đường cao là trọng tâm của đáy

b. Khối chóp tam giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đáy là tam giác. Chân đường cao là trọng tâm của tam giác đáy.

c. Khối chóp tứ giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Đáy là hình vuông, chân đường cao là tâm của hình vuông.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Công thức tính thể tích khối chóp và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Câu 99:

Các dạng toán về Tỉ lệ thức và cách giải – Toán lớp 7

Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất cày trong 5 ngày, đội thứ hai cày trong 4 ngày và đội thứ ba cày trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy cày, biết rằng ba đội có tất cả 37 máy? (Năng suất các máy là như nhau)

Xem đáp án

*Lời giải

Gọi số máy cày của đội thứ nhất,thứ hai và thứ ba lần lượt là a,b,c (máy; $a, b, c \in ℕ *; a, b, c < 37)$ .

Vì số máy cày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên theo đề bài ta có:

$5 a = 4 b = 6 c$ và $a + b + c = 37$

$5 a = 4 b = 6 c \Rightarrow \frac{5 a}{60} = \frac{4 b}{60} = \frac{6 c}{60} \Rightarrow \frac{a}{12} = \frac{b}{15} = \frac{c}{10}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a}{12} = \frac{b}{15} = \frac{c}{10} = \frac{a + b + c}{12 + 15 + 10} = \frac{37}{37} = 1 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 12 \\ b = 15 \\ c = 10 \end{cases} \end{array}$ (tmđk)

Vậy số máy cày của đội thứ nhất là 12 máy ,đội thứ hai là 15 máy,đội thứ ba là 10 máy.

*Phương pháp giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

1. Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Hay được viết: a:b=c:d . Trong đó a, d là các số hạng ngoài (ngoại tỉ), b, c là các số hạng trong (trung tỉ).

2. Tính chất:

Tính chất 1: Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì ad = bc.

Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 5.1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên.

- Viết các số hữa tỉ dưới dạng phân số.

- Thực hiện phép chia phân số.

Dạng 5.2: Lập tỉ lệ thức từ các tỉ số cho trước.

- Xét xem hai tỉ số đã cho co bằng nhau không?

- Nếu hai tỉ số bằng nhau thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.

Dạng 5.3: Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước, từ một tỉ lệ thức cho trước, từ các số cho trước.

Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước:

Nếu ad = bc và abcd ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

Lập tất cả các tỉ lệ thức từ một tỉ lệ thức cho trước:

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ta có thể lập được ba tỉ lệ thức nữa bằng cách:

- Giữ nguyên ngoại tỉ, đổi chỗ các trung tỉ: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

- Giữ nguyên trung tỉ, đổi chỗ các ngoại tỉ: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

- Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau: $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

Lập tỉ lệ thức từ các số cho trước: Từ các số đã cho, trước hết phải lập được đẳng thức dạng ad = bc. Sau khi có đẳng thức này, áp dụng tính chất 2 để lập các tỉ lệ thức.

Toán 7 Bài 5 (Cánh diều) giải sgk: Tỉ lệ thức

Câu 100:

Công thức tính thể tích khối lăng trụ và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A, $\hat{B A C} = 120^{o}$ và BC =AA' = a $\sqrt{3}$ . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Xem đáp án

* Lời giải:

*Phương pháp giải:

+ Tính diện tích đáy là tam giác ABC đều cạnh a

- áp dụng công thức thể tích lăng trụ để tính ra V:

*Lý thuyến cần nắm và dạng bài tập về thể tích khối lăng trụ:

Công thức thể tích:

a) Thể tích khối lăng trụ

với: S: Diện tích đáy

h: Chiều cao.

b) Thể tích khối hộp chữ nhật

với a, b, c là ba kích thước.

c) Thể tích khối lập phương

Trong đó a là độ dài cạnh.

PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

+) Trong nhiều trường hợp, chiều cao của khối đa diện được cho ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc (chiều cao cho gián tiếp), hay dùng nhất là: định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, …

+) Tính độ dài chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, định lý cosin, …

+) Có thể tính chiều cao bằng cách chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Nếu thì

Nếu thì (định lý Ta-lét)

Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức.

Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích.

Dạng 1: Thể tích lăng trụ đứng tam giác:

Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác.

(1) Chiều cao h là cạnh bên AA’ (hoặc BB’, CC’).

(2) Mặt đáy là tam giác ABC (hoặc tam giác A’B’C’).

Khi đó thể tích lăng trụ ABC. A’B’C’ là

Dạng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ xiên

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài toán về thể tích khối lăng trụ (có đáp án 2024) – Toán 12

Câu 101:

Công thức tính thể tích khối lăng trụ và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Một chiếc bánh kem có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 30 cm, chiều rộng 20 cm và chiều cao 15 cm. Người ta cắt đi một miếng bánh có dạng hình lập phương cạnh 5 cm. Tính thể tích phần còn lại của chiếc bánh kem.

Xem đáp án

* Lời giải:

Thể tích ban đầu của chiếc bánh kem dạng hình hộp chữ nhật là:

30 . 20 . 15 = 9 000 (cm³)

Thể tích miếng bánh bị cắt đi có dạng hình lập phương là:

5³ = 125 (cm³)

Thể tích phần còn lại của chiếc bánh kem là:

9 000 – 125 = 8 875 (cm³)

Vậy thể tích phần còn lại của chiếc bánh kem là 8 875 cm³.

* Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết thể tích hình hộp chữ nhật

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài tập về thể tích khối lăng trụ:

Công thức thể tích:

a) Thể tích khối lăng trụ

$V_{L T} = S . h$

với: S: Diện tích đáy

h: Chiều cao.

b) Thể tích khối hộp chữ nhật

$V = a . b . c$

với a, b, c là ba kích thước.

c) Thể tích khối lập phương

$V = a^{3}$

Trong đó a là độ dài cạnh.

PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

+) Trong nhiều trường hợp, chiều cao của khối đa diện được cho ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc (chiều cao cho gián tiếp), hay dùng nhất là: định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, …

+) Tính độ dài chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, định lý cosin, …

+) Có thể tính chiều cao bằng cách chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Nếu $O A / / (α)$ thì $d (O, (α)) = d (A, (α))$

Nếu $O A \cap (α) = \{I\}$ thì $\frac{d (O, (α))}{d (A, (α))} = \frac{I O}{I A}$ (định lý Ta-lét)

Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức.

Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích.

Dạng 1: Thể tích lăng trụ đứng tam giác:

Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác.

(1) Chiều cao h là cạnh bên AA’ (hoặc BB’, CC’).

(2) Mặt đáy là tam giác ABC (hoặc tam giác A’B’C’).

Khi đó thể tích lăng trụ ABC. A’B’C’ là $V = S_{A B C} . A A'$

Dạng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ xiên

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài toán về thể tích khối lăng trụ (có đáp án 2024) – Toán 12

Câu 102:

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác có đáp án – Toán lớp 10

Tam giác ABC cân tại A, BC = 12cm, đường cao AH = 4cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xem đáp án

*Lời giải:

Kéo dài đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC. Suy ra AD là đường trung trực của BC.

Khi đó O thuộc AD hay AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tam giác ACD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên suy ra góc (ACD) = Tam giác ACD vuông tại C nên theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: null = HA.HD

*Phương pháp giải:

- Nắm lại lý thuyết về đơn vị đo góc, cung tròn, độ dài cung tròn để đổi

*Một số dạng bài về cung và lượng giác:

a) Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn:

* Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. 1 rađian còn viết tắt là 1 rad. Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.

* Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian: $180^{o} = π r a d$ suy ra $1^{o} = \frac{π}{180} r a d$ và $1 r a d = {(\frac{180}{π})}^{o}$

* Độ dài cung tròn: Một cung của đường tròn bán kính R có số đo $α r a d$ thì độ dài $l = R α$ .

*) Một số dạng bài:

a) Dạng 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã cho trước một giá trị

* Phương pháp giải: Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

b) Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức giữa các giá trị lượng giác

* Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi. Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

+ Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

+ Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

+ Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

c) Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác

* Phương pháp giải: Để giải dạng bài này, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

100 câu trắc nghiệm Cung và góc lượng giác nâng cao

Câu 103:

Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên 8 tấm , tính xác suất để chọn được 5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn trong đó ít nhất 2 tấm thẻ mang số chia hết cho 4.

Xem đáp án

*Lời giải

Trong 20 tấm thẻ có 10 tấm mang

số lẻ, có 5 tấm mang số chẵn không chia hết cho 4 và 5 tấm thẻ mang số chẵn

chia hết cho 4

TH1: Lấy được 5 tấm mang số lẻ, 2 tấm mang số chẵn chia hết cho 4 và tấm mang 1 số chẵn không chi hết cho 4 có

TH2: Lấy được 5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn chia hết cho 4 có

*Phương pháp giải:

- tìm không gian mẫu

- tìm kết quả thuận lợi của biến cố

- Tính xác suất cho biến cố A: P(A) = n(A) / n( $Ω$ )

*Lý thuyến cần nắm về tổ hợp - xác suất

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

3. Hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

4. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp:

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

(a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

7. Phép toán trên các biến cố:

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

+ Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

+ Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

+ Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là:

trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

9. Tính chất của xác suất:

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

P(∅) = 0, P(Ω) = 1

0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Câu 104:

Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác – Toán 10 Kết nối tri thức

Tam giác đều ABC có đường cao AH. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sin \hat{B A H} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\cos \hat{B A H} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

C. $\sin \hat{A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\sin \hat{A H C} = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: C

*Lời giải:

Do tam giác ABC là tam giác đều có AH là đường cao nên đồng thời là đường phân giác .

Suy ra: $\hat{B A H} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = 30^{0}; \hat{A B C} = 60^{0}; \hat{A H C} = 90^{0}$

Do đó, $\sin \hat{B A H} = \frac{1}{2}; c os \hat{B A H} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Do đó A sai; B sai.

Ta có $\hat{A B C} = 60^{0} \Rightarrow \sin \hat{A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$ Do đó C đúng.

*Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

*Lý thuyết nắm thêm

1. Định lí Côsin

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a² = b² + c² – 2bc.cosA.

b² = c² + a² – 2ca.cosB.

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

2. Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2 R$ .

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (Kết nối tri thức) | Chuyên đề dạy thêm Toán 10

Câu 105:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Viết biểu thức 25x² – 20xy + 4y² dưới dạng bình phương của một hiệu

Xem đáp án

*Lời giải:

Ta có 25x² – 20xy + 4y² = (5x)² – 2.5x.2y + (2y)² = (5x – 2y)²

* Phương pháp giải:

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

* Lý thuyết nắm thêm

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Các dạng bài

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải (2024) – Toán 8

Câu 106:

Lý thuyết Khoa học tự nhiên 7 Bài 9. Đồ thị quãng đường – thời gian- Chân trời sáng tạo

Một vật A được thả rơi từ độ cao 45 m xuống mặt đất. Lấy g = 10 m/s². Quãng đường vật rơi được trong 2 giây cuối cùng là

Xem đáp án

*Lời giải:

Chọn gốc tọa độ tại vị trí vật rơi, chiều dương hướng xuống dưới.

Ta có x = 0,5gt² = 5t² (m)

Thời gian vật rơi là nghiệm phương trình 5t² = 45 → t = 3s.

Quãng đường vật rơi trong 2 s cuối cùng là s = x₃ – x₁ = 45 – 5.1² = 40 m.

*Phương pháp giải:

- dưa vào khái niệm và tính chất của đồ thị quãng đường - thời gian

* Các lý thuyết thêm và các dạng bài toán về đồ thị quãng đường - thời gian:

Đồ thị quãng đường – thời gian

Để mô tả chuyển động của một vật ta có thể sử dụng bảng ghi số liệu hoặc đồ thị.

Cách 1: Lập bảng ghi số liệu về thời gian và quãng đường.

Cách 2: Vẽ đồ thị quãng đường – thời gian.

Bước 1: Vẽ trục nằm ngang Ot biểu diễn thời gian và trục thẳng đứng Os biểu diễn quãng đường theo một tỉ lệ thích hợp.

Bước 2: Xác định các điểm có giá trị s và t tương ứng trong bảng số liệu ở cách 1.

Bước 3: Nối các điểm xác định ở bước 2. Đường thẳng nối các điểm gọi là đồ thị quãng đường – thời gian.

Nhận xét: Quan sát chuyển động của vật bằng đồ thị cho ta hình ảnh trực quan hơn so với bảng ghi số liệu.

1. Phương pháp giải

Bài toán 1: Bài tập định tính

Vận dụng các kiến thức lý thuyết trọng tâm sau:

Đồ thị quãng đường – thời gian cho biết tốc độ chuyển động, quãng đường đi được và thời gian đi.

+ Nếu đồ thị là đường thẳng song song với trục thời gian thì vật không chuyển động.

+ Nếu đồ thị là đường thẳng nghiêng một góc so với trục thời gian thì vật đang chuyển động.

+ Hai đường biểu diễn cho hai vật trên đồ thị cắt nhau thể hiện vị trí hai vật gặp nhau.

Bài toán 2: Vẽ đồ thị và xác định các đại lượng trên đồ thị

Bước 1. Vẽ đồ thị:

- Lập bảng ghi quãng đường đi được theo thời gian

- Vẽ hệ trục tọa độ tOs:

+ Trục Os thẳng đứng (trục tung) dùng để biểu diễn các độ lớn của quãng đường đi được theo một tỉ lệ xích thích hợp.

+ Trục Ot nằm ngang (trục hoành) dùng để biểu diễn thời gian theo các tỉ lệ xích thích hợp.

- Xác định các điểm biểu diễn quãng đường đi được và thời gian tương ứng.

- Nối các điểm biểu diễn đã xác định ở bước 3 với nhau và nhận xét về các đường nối này (thẳng hay cong, nghiêng hay song song với trục hoành).

Bước 2: Xác định các đại lượng trên đồ thị

- Từ đường biểu diễn chuyển động của vật ta xác định các đại lượng s, t tương ứng trên trục tung và trục hoành.

- Tính tốc độ vật chuyển động theo công thức: $v = \frac{s}{t}$ với giá trị của s và t tương ứng trên đồ thị.

- Hai xe gặp nhau tại điểm giao nhau của hai đường biểu diễn chính là vị trí hai xe gặp nhau. Từ đó, xác định tọa độ s, t tương ứng.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Khoa học tự nhiên 7 Bài 9 (Chân trời sáng tạo): Đồ thị quãng đường - thời gian

TOP 10 câu Trắc nghiệm Khoa học tự nhiên 7 Bài 9 (Chân trời sáng tạo 2024) có đáp án: Đồ thị quãng đường - thời gian

Câu 107:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Trong kho có 3 tấn 8 tạ gạo tẻ. Số gạo nếp ít hơn số gạo tẻ 12 tạ. Hỏi trong kho có bao nhiêu tạ gạo tẻ và gạo nếp ?

Xem đáp án

*Lời giải:

Tóm tắt

Gạo tẻ : 3 tấn 8 tạ

Gạo nếp ít hơn gạo tẻ : 12 tạ

Gạo tẻ và gạo nếp ; ….tạ ?

Bài giải

Số gạo tẻ có trong kho là :

3 tấn 8 tạ = 38 (tạ)

Số gạo nếp có trong kho là :

38 – 12 = 26 (tạ)

Đáp số : 38 tạ gạo tẻ ;

26 tạ gạo nếp

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 108:

Quy tắc tính đạo hàm và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: $y = \cos^{2} x$

Xem đáp án

*Lời giải:

* Phương pháp giải:

Nắm vững bảng quy tắc đạo hàm

* Lý thuyết nắm thêm

1. Định nghĩa đạo hàm

Giới hạn nếu có của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại $x_0$ , khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ .

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $(a;b)$ và $x_0\in(a;b)$ :

$f'({x_0})$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ $(\Delta x = x – x_0, \Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$

Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0; tính :

∆y= f( x0+ ∆x)- f( x0) .

+ Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x.

+ Bước 3:

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

* Định lí: Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

* Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Đạo hàm một bên, Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

a. Đạo hàm bên trái, bên phải

+ Nếu tồn tại giới hạn( hữu hạn) bên phải

ta gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại x=x0 và kí hiệu f'(x0+)

+ Tương tự; đạo hàm bên trái của hàm số là

Hệ quả : Hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f'(x0+) và f;(x0-) đồng thời f' (x0+ )=f'(x0-) .

b. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

Hàm số y= f(x) có đạo hàm trên[a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái tại x= b và đạo hàm phải tại x= a.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) taị điểm x=x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y – y0= f’(x0) ( x- x0)

trong đó y0= f( x0)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm – Toán 11 Kết nối tri thức

Câu 109:

Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Tổng của hai số là 50. Số thứ nhất bằng $\frac{2}{3}$ số thứ hai. Hai số đó là:

Xem đáp án

*Lời giải:

Số thứ nhất là:
50 : (2 + 3) × 2 = 20
Số thứ hai là:
50 – 20 = 30
Hai số đó là 20 và 30.

Vậy hai số lẻ cần tìm là 9; 11.

* Phương pháp giải

Dạng bài: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu

Cách 1: Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn - hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2: Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

* Các dạng bài: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4

Dạng 1: Cho biết cả tổng và hiệu

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 2: Cho biết hiệu nhưng dấu tổng

Phương pháp giải: Cần phải tìm tổng trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 3: Cho biết tổng nhưng dấu hiệu

Phương pháp giải: Cần phải tìm hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 4: Dấu cả tổng lẫn hiệu

1. Phương pháp giải

Cần phải tìm tổng và hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu): 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Giải SGK Toán lớp 4 Bài 25: Tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Câu 110:

Chuyên đề Vectơ lớp 10 (có đáp án)

Tổng $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R N} + \vec{N P} + \vec{Q R}$ bằng

Xem đáp án

*Lời giải:

Tổng $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R N} + \vec{N P} + \vec{Q R} = \vec{M N} + \vec{P R} + \vec{R P} = \vec{M N}$

* Phương pháp giải:

- Nắm kỹ lý thuyết về vectơ và dạng bài tính tổng hiệu hai vecto

*Một số dạng bài về tích của vectơ với một số

*Lý thuyết cần nắm:

- Tích của vectơ với một số: Cho số k $\neq$ 0 và vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Tích của vectơ $\vec{a}$ với số k là một vectơ, kí hiệu là $k \vec{a}$ , cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược lại, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $|k| |\vec{a}|$ .

- Tính chất: Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bất kì, với mọi số h và k, ta có:

- Quy tắc trung điểm: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$

- Quy tắc trọng tâm: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

Dạng 1: Tính độ dài vectơ khi biết tích vectơ với một số.

* Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa tích của vectơ với một số, các quy tắc về tổng, hiệu của các vectơ và các hệ thức lượng, định lý Py-ta-go để tính độ dài vectơ đó.

Dạng 2: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước.

* Phương pháp giải: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng $\vec{A M} = \vec{u}$ trong đó A là một điểm cố định, $\vec{u}$ cố định và dựng điểm M là điểm thỏa mãn $\vec{A M} = \vec{u}$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Trắc nghiệm Tổng hiệu của hai vecto có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Tích của vecto với một số có đáp án – Toán lớp 10

Câu 111:

Lý thuyết Hình chóp tam giác đều – Toán lớp 8 Cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $\hat{B A D} = 60 °, S A = a$ và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng

Xem đáp án

*Lời giải:

* Phương pháp giải:

áp dụng công thức tính thể tích hình chóp để tính: V =

* Lý thuyết nắm thêm về hình chóp

(ảnh 1)

Hình chóp tứ giác đều có:

- Đáy là hình vuông.

- 4 cạnh bên bằng nhau.

- 4 mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung một đỉnh.

- 4 cạnh đáy bằng nhau là bốn cạnh của hình vuông đáy.

- Chân đường cao trùng với giao điểm của hai đường chéo của mặt đáy.

(ảnh 2)

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng nửa chu vi đáy với độ dài trung đoạn.

( là diện tích xung quanh, p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn)

(ảnh 3)

Thể tích của hình chóp tam giác đều (hình chóp tứ giác đều) bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

(V là thể tích, là diện tích đáy, h là chiều cao)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Câu 112:

Toán lớp 5 trang 20 (Cánh diều) Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó

Tổng của hai số là 96. Tỉ số của hai số đó là 3/5. Tìm hai số đó?

Xem đáp án

*Lời giải:

Tổng số phần bằng nhau là:3 + 5 = 8 (phần)

Số bé là: 96 : 8 x 3 = 36

Số lớn là: 96 – 36 = 6

Đáp số : Số bé: 36

Số lớn: 60

* Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

Dạng 2: Thiếu (ẩn) tổng (Cho biết tỉ số, không cho biết tổng số)

1. Phương pháp giải

Tìm tổng của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 3: Thiếu (ẩn) tỉ (Cho biết tổng số, không cho biết tỉ số)

1. Phương pháp giải

Tìm tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 4: Ẩn cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Tìm tổng và tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó lớp 4 và cách giải

Câu 113:

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ – Toán 10 Cánh diều

Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính $|\vec{O B} + \vec{O C}|$

Xem đáp án

*Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

= 2OM = AB = a.

*Phương pháp giải

- vận dụng quy tắc hình bình hành và quy tắc cộng để biến đổi, tính toán

+ tách vectơ AB thành 2 vectơ nhỏ liên quan

+ cộng hai vế lại ta sẽ ra được kết quả cần tính

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài toán về tích của một số với một vectơ:

a) Tính chất

Với hai vectơ bất kì $\vec{a}$ , $\vec{b}$ và hai số thực h, k, ta có:

+) k( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ + k $\vec{b}$ ; k( $\vec{a}$ – $\vec{b}$ ) = k $\vec{a}$ – k $\vec{b}$ ;

+) (h + k) $\vec{a}$ = h $\vec{a}$ + k $\vec{a}$ ;

+) h(k $\vec{a}$ ) = (hk) $\vec{a}$ ;

+) 1 $\vec{a}$ = $\vec{a}$ ; (–1) $\vec{a}$ = – $\vec{a}$ .

Nhận xét: k $\vec{a}$ = $\vec{0}$ khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\vec{a}$ = $\vec{0}$ .

b) Một số ứng dụng

Trung điểm của đoạn thẳng

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\vec{MA} + \vec{MB} = 2 \vec{MI}$ với điểm M bất kì.

Trọng tâm của tam giác

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3 \vec{MG}$ với điểm M bất kì.

Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

– Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ( $\vec{b}$ ≠ 0) cùng phương là có một số thực k để $\vec{a}$ = k $\vec{b}$ .

– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để $\vec{AB} = k \vec{AC}$ .

Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Với mỗi vectơ $\vec{c}$ có duy nhất cặp số (x; y) thoả mãn $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 10 Bài 5 (Cánh diều): Tích của một số với một vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 5. Tích Của Một Số Với Một Vectơ có đáp án (Phần 2)

Câu 114:

Bất phương trình logarit và cách giải các dạng bài tập (2024)

Cho $\log_{2} 6 = a .$ Khi đó giá trị của $\log_{3} 18$ được tính theo a là:

Xem đáp án

*Lời giải:

*Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình về dạng cơ bản $\log_{a} f (x) = m \Leftrightarrow f (x) = a^{m}$

*Lý thuyết nắm thêm về bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

1. Định nghĩa

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

2. Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho $a, b > 0, a \neq 1$

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng:

$\log_{a} f (x) > b; \log_{a} f (x) \geq b; \log_{a} f (x) < b; \log_{a} f (x) \leq b$

3. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit

+ Đưa về cùng cơ số

Nếu $a > 1$ thì $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} g (x) > 0 \\ f (x) > g (x) \end{cases}$

Nếu $0 < a < 1$ thì $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ f (x) < g (x) \end{cases}$

+ Đặt ẩn phụ

+ Mũ hóa

+ Phương pháp hàm số và đánh giá

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit (có đáp án 2024) - Toán 12

Câu 115:

Toán 7 Bài 9 (Kết nối tri thức): Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng thuộc mp $(α)$ . Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?

Xem đáp án

*Lời giải:

Vì a và b là 2 đường thẳng phân biệt nên không xảy ra trường hợp trùng nhau

Vì a, b cùng nằm trong 1 mặt phẳng nên không thể chéo nhau

Do đó, chúng chỉ có thể song song hoặc cắt nhau.

Vậy có 2 vị trí tương đối giữa a và b.

* Phương pháp giải:

Nắm kỹ lý thuyết về đường thẳng trong không gian

* Lý thuyết nắm thêm:

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A và B. Với mỗi cặp góc gồm một góc đỉnh A và một góc đỉnh B, ta có:

a) Hai góc $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{1}}$ (tương tự $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{2}}$ ) gọi là hai góc so le trong.

b) Hai góc $\hat{A_{1}}$ và $\hat{B_{1}}$ (tương tự $\hat{A_{2}}$ và $\hat{B_{2}}$ ; $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{3}}$ ; $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{4}}$ ;) gọi là hai góc đồng vị.

Tính chất: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

Tiên đề Euclid về hai đường thẳng song song

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Tính chất của hai đường thẳng song song

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

- Hai góc so le trong bằng nhau

- Hai góc đồng vị bằng nhau.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 20 câu Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

Câu 116:

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

Xem đáp án

*Lời giải:

Gọi số có 4 chữ số cần tìm có dạng: $\bar{a b c d}$ và a, b, c, d ∈ A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, a ≠ 0, a ≠ b ≠ c ≠ d.

Để $\bar{a b c d}$ chia hết cho 5 thì d phải thuộc tập hợp {0; 5}, do đó có 2 cách chọn d.

+ Trường hợp 1: d = 0.

Chọn a ∈ A \ {0}, a có 9 cách chọn.

Chọn 2 số b, c ∈ A \ {0; a} và sắp thứ tự chúng, nên có $A_{8}^{2} = 56$ cách chọn.

Do đó có: 9 . 56 = 504 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 0.

+ Trường hợp 2: d = 5.

Chọn a ∈ A \ {0; 5}, a có 8 cách chọn.

Chọn 2 số b, c ∈ A \ {5; a} và sắp thứ tự chúng, nên có $A_{8}^{2} = 56$ cách chọn.

Do đó có: 8 . 56 = 448 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 5.

Vì hai trường hợp là rời nhau, vậy theo quy tắc cộng có 504 + 448 = 952 số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau.

* Phương pháp giải:

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức :

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} (0 \leq k \leq n)$

* Lý thuyết nắm thêm

1. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là P_n, được tính bằng công thức

P_n= n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : P_n= n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P₃ = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

2. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức:

$A_{n}^{k}$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ (1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy P_n = $A_{n}^{n}$

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức :

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} (0 \leq k \leq n)$

Chú ý :

+) < $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính P_n, $A_{n}^{k}$ , $C_{n}^{k}$ sẽ được dùng rất nhiều.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án 2023) – Toán 11

Câu 117:

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 Cánh diều

Giải phương trình sau: cos3x - cos5x = sinx

Xem đáp án

* Lời giải:

cos 3x – cos 5x = sin x

$\Leftrightarrow$ 2sin 4x sin x = sin x

$\Leftrightarrow$ sin x (2sin 4x – 1) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ 2 \sin 4 x - 1 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \sin 4 x = \frac{1}{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ 4 x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ 4 x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{π}{24} + k \frac{π}{2} \\ x = \frac{5 π}{24} + k \frac{π}{2} \end{array} (k \in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = k π$ ; $x = \frac{π}{24} + k \frac{π}{2}$ ; $x = \frac{5 π}{24} + k \frac{π}{2}$ $(k \in Z)$

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi lượng giác để biến đổi

*Lý thuyết nắm thêm

I. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

II. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 12 câu Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 11

Câu 118:

Toán lớp 5 trang 20 (Cánh diều) Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó

a) Tổng của hai số là 80. Số thứ nhất bằngsố thứ hai. Tìm hai số đó.

b) Hiệu của hai số là 55. Số thứ nhất bằngsố thứ hai. Tìm hai số đó.

Xem đáp án

* Lời giải:

a) Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:

7 + 9 = 16 (phần)

Số thứ nhất là:

80 : 16 x 7 = 35

Số thứ hai là:

80 - 35 = 45

Đáp số: 35 và 45.

b) Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:

9 - 4 = 5 (phần)

Số thứ hai là:

55 : 5 x 4 = 44

Số thứ nhất là:

44 + 55 = 99

Đáp số: 99 và 44.

* Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

Dạng 2: Thiếu (ẩn) tổng (Cho biết tỉ số, không cho biết tổng số)

1. Phương pháp giải

Tìm tổng của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 3: Thiếu (ẩn) tỉ (Cho biết tổng số, không cho biết tỉ số)

1. Phương pháp giải

Tìm tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 4: Ẩn cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Tìm tổng và tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó lớp 4 và cách giải

Câu 119:

Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (2024) chính xác nhất

Cho hình chữ nhật ABCD có $A B = 2 B C = 2 a$ . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ABCD quanh trục AB.

Xem đáp án

* Lời giải:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2BC=2a. Tính thể tích khối tròn xoay (ảnh 1)

Theo giả thiết ta có $r = B C = a$ .

Độ dài đường cao là $h = A B = 2 a$ .

Thể tích khối trụ là $V = π r^{2} h = π . a^{2} .2 a = 2 π a^{3}$ .

* Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h: V= sh

* Lý thuyết nắm thêm:

Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh AB cố định, ta được một hình trụ.

- Hai hình tròn (A) và (B) bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song được gọi là hai đáy của hình trụ.

- Đường thẳng AB được gọi là trục của hình trụ.

- Mỗi vị trí của CD được gọi là một đường sinh. Các đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài của đường sinh là chiều cao của hình trụ.

Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: S_xq = 2πRh.

- Diện tích toàn phần: S_tp = 2πRh + 2πR².

- Thể tích: V = πR²h.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 Bài tập Hình Trụ, Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ Toán 9 mới nhất

Câu 120:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Cho biết tanα = 1/2. Tính cotα.

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: tanα.cotα = 1

* Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\tan x = \frac{1}{\cot x}$ để tìm , sau đó áp dụng công thức $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ để xác định $\sin^2 x$ .

Xác định dấu của dựa vào khoảng $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ để tính .

Dùng công thức $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ để tìm và hoàn tất bài toán.

* Lý thuyết nắm thêm:

Công thức nhân đôi:

* Công thức hạ bậc:

Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác đặc biệt

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 10 Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

Câu 121:

Có 5 nam, 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để nam, nữ đứng xen kẽ nhau.

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi A là biến cố: “nam, nữ đứng xen kẽ nhau.“

-Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω)=10!

-Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: 5!.5!

-Số cách xếp để nữ đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: 5!.5!

=> n(A)=5!.5!+5!.5!=28800.

=>P(A)= $\frac{n (A)}{|Ω|} = \frac{28800}{10!} = \frac{1}{126}$ .

*Phương pháp giải:

- tìm không gian mẫu

- tìm kết quả thuận lợi của biến cố A

- Tính xác suất cho biến cố A: P(A) = n(A) / n( $Ω$ )

*Lý thuyến cần nắm về tổ hợp - xác suất

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

3. Hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

4. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp:

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

(a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

7. Phép toán trên các biến cố:

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

+ Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

+ Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

+ Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là:

trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

9. Tính chất của xác suất:

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

P(∅) = 0, P(Ω) = 1

0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Câu 122:

Giải Toán 9 (Kết nối tri thức): Giải phương trình hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình độ II làm việc nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi thời gian đội I và đội II làm một mình xong công việc lần lượt là x; y (ngày)

Điều kiện : x, y > 12, x,y ∈ N.

Một ngày đội I làm được : (công việc).

Một ngày đội II làm được : (công việc).

+ Hai đội cùng làm sẽ xong trong 12 ngày nên ta có phương trình:

+ Hai đội cùng làm trong 8 ngày được: công việc.

⇒ còn lại đội II phải hoàn thành một mình công việc.

Vì đội II tăng năng suất gấp đôi nên một ngày đội II làm được công việc.

Đội II hoàn thành công việc còn lại trong 3,5 ngày nên ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Vậy nếu làm một mình, đội I làm xong công việc trong 28 ngày, đội II làm xong công việc trong 21 ngày.

* Phương pháp giải:

Gọi ẩn và điều kiện xác định cho ẩn

Từ đề bài lập các phương trình. Từ đó ta được 1 hệ phương trình 2 ẩn

Giaỉ hệ phương trình vừa lập

* Lý thuyết nắm thêm về hệ phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

Câu 123:

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là

A. 840

B. 3843

C. 2170

D. 3003

Xem đáp án

Đáp án đúng: C

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức :

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} (0 \leq k \leq n)$

* Lý thuyết nắm thêm

1. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là P_n, được tính bằng công thức

P_n= n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : P_n= n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P₃ = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

2. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức:

$A_{n}^{k}$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ (1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy P_n = $A_{n}^{n}$

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức :

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} (0 \leq k \leq n)$

Chú ý :

+) < $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính P_n, $A_{n}^{k}$ , $C_{n}^{k}$ sẽ được dùng rất nhiều.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án 2023) – Toán 11

Câu 124:

Lý thuyết Bội chung. Bội chung nhỏ nhất chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Tìm BCNN của: 9, 10 và 11

Xem đáp án

* Lời giải:

Vì 9,10 và 11 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau nên:

BCNN(9,10,11) = 9.10.11 = 990

*Phương pháp giải:

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đã cho.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu:

BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.

BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.

*Lý thuyết nắm thêm

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đã cho.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu:

BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.

BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Nhận xét: Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó.

Nếu a $⋮$ b thì BCNN(a, b) = a.

Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:

BCNN(a, 1) = a; BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng;

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

Quy đồng mẫu các phân số

Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số:

Để quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ , ta phải tìm mẫu chung của hai phân số đó. Thông thường ta nên chọn mẫu chung là BCNN của hai mẫu.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 6 Bài 13 (Cánh diều): Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Câu 125:

Cho hai điểm cố định A; B. gọi I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm M thoả: $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$ là:

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hai vecto bằng nhau.

*Một số lý thuyết và dạng bài tập về vectơ:

Hai vectơ $\vec{AB}$ , $\vec{CD}$ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu: $\vec{AB} = \vec{CD} .$

Nhận xét:

– Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\vec{a}$ = $\vec{b}$ .

– Khi cho trước vectơ $\vec{a}$ và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho $\vec{OA} = \vec{a} .$

Tổng của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ Lấy một điểm A tùy ý, vẽ Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ Ta kí hiệu tổng của hai vectơ

Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì

Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ tùy ý ta có

• (tính chất giao hoán);

• (tính chất kết hợp);

• (tính chất của vectơ – không).

Hiệu của hai vectơ

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ là vectơ .

Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ Ta gọi hiệu của hai vectơ là vectơ

Như vậy

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có

Chú ý

1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có

(quy tắc ba điểm);

(quy tắc trừ).

Áp dụng

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

TOP 30 câu Trắc nghiệm Chương 4: Vectơ (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 10

Câu 126:

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh vào một ghế dài từ một nhóm gồm 10 học sinh?

Xem đáp án

* Lời giải:

Số cách sắp xếp 5 học sinh vào một ghế dài từ một nhóm gồm 10 học sinh là: $A_{10}^{5} .$

* Phương pháp giải:

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức:

$A_{n}^{k}$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ (1 ≤ k ≤ n).

* Lý thuyết nắm thêm

1. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là P_n, được tính bằng công thức

P_n= n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : P_n= n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P₃ = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

2. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức:

$A_{n}^{k}$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ (1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy P_n = $A_{n}^{n}$

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức :

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} (0 \leq k \leq n)$

Chú ý :

+) < $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính P_n, $A_{n}^{k}$ , $C_{n}^{k}$ sẽ được dùng rất nhiều.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án 2023) – Toán 11

Câu 127:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một ô tô cứ đi được 100km thì tiêu thụ hết 15l xăng. Hỏi ô tô đó đã đi được 80km thì tiêu thụ hết bao nhiêu lít xăng ?

Xem đáp án

* Lời giải:

Tóm tắt

100km : tiêu thụ 15l

80km : tiêu thụ? l

Số lít xăng ô tô tiêu thụ trong 1km là :

15 : 100 = 0,15 (l)

Số lít xăng ô tô tiêu thụ trong 80km là :

0,15 ⨯ 80 = 12 (l)

Đáp số : 12l

* Phương pháp giải:

Sử dụng những phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 128:

50 bài tập về Các bài toán về Tỉ số lượng giác của góc nhọn (có đáp án 2024) - Toán 9

Cho tứ diện ABCD. Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM) là:

Xem đáp án

* Lời giải:

*Phương pháp giải:

- Áp dụng các công thức lượng giác để biến đổi

* Lý thuyết và các dạng bài về tỉ số lượng giác

Cho tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ).

Ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn như sau:

Cách nhớ gợi ý: Sin đi học (đối / huyền) , Cos không hư (kề / huyền), Tan đoàn kết (đối / kề) , Cot kết đoàn (kề / đối).

Các tính chất:

(1) Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

Tức là: Cho hai góc $α, β$ , biết: $α + β = 90^{o}$

Khi đó, ta có:

$\sin α = \cos β;$ $\sin β = \cos α$

$\tan α = \cot β;$ $\tan β = \cot α$

(2) Nếu hai góc nhọn $α, β$ , có $\sin α = \sin β$ hoặc $\cos α = \cos β$ thì $α = β$ .

(3) Nếu là một góc nhọn bất kì thì

*Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt

B. Các dạng bài

Dạng 1: Tính toán các tỉ số lượng giác, độ dài các cạnh trong tam giác

Phương pháp giải:

Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.

Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác, các góc

Phương pháp giải :

Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại, áp dụng tính chất nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia và so sánh dựa trên các tính chất:

Nếu hai góc nhọn $α, β$ , có $\sin α = \sin β$ hoặc $\cos α = \cos β$ thì $α = β$ .

Dạng 3: Rút gọn, tính toán các biểu thức lượng giác

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia. Nếu là một góc nhọn bất kì thì:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Toán 9 Bài 11 (Kết nối tri thức): Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Câu 129:

Lý thuyết Ứng dụng hình học của Ứng dụng hình học của tích phân– Toán lớp 12 Cánh diều

Một bình chứa hình trụ, thành mỏng, có chiều cao h₁ = 20 cm và diện tích đáy S₁ = 100 cm² đặt trên mặt bàn nằm ngang. Đổ vào bình 1 lít nước ở nhiệt độ t₁ = 80^oC. Thả vào bình một khối trụ đồng tính khối lượng m, diện tích đáy S₂ = 80 cm², chiều cao h₂ = 25 cm và nhiệt độ . Khi cân bằng nhiệt được thiết lập thì đáy dưới của khối trụ song song và cách đáy của bình một đoạn x = 4 cm nhiệt độ nước trong bình là t₀ = 65^oC. Bỏ qua sự nở vì nhiệt, sự trao đổi nhiệt với bình và với môi trường xung quanh. Biết khối lượng riêng của nước D = 1000 kg/m³, nhiệt dung riêng của nước và chất làm khối trụ lần lượt là C_n = 4200 J/(kg.K) và C_tr = 2000 J/(kg.K). Xác định:

a, Khối lượng m của khối trụ

b, Nhiệt độ ban đầu t₂ của khối trụ

c, Khối lượng tối thiểu của vật phải đặt lên khối trụ để khi cân bằng thì khối trụ chạm đáy bình

Xem đáp án

*Lời giải:

a,

Giả sử khi thả khối trụ vào bình thì nước chưa tràn ra ngoài (y < h₁ - x = 16cm).

S₁.x + (S₁ – S₂).y = 1000 ⟹ y = 15 cm (thỏa mãn)

Điều kiện cân bằng cho khối trụ:

m = D.V_c = D.y.S₂ = 1000.0,15.60.10^-4 = 0,9 kg

b, Bảo toàn năng lượng: m_nc_n(t₁ – t₀) = m_tr.c_tr(t₀ – t₂)

1.4200.15 = 0,9.2000.(65 - t₂) => t₂ = 30^oC

c, Khi khối trụ chạm đáy thì thể tích của phần bình xung quanh khối trụ còn là:

V = h₁(S₁ - S₂) = 20(100 - 60) = 800cm³ < 1000cm³

=> thể tích phần trụ chìm trong chất lỏng là: V_c = h₁.S₂ = 20.60 = 1200 cm³.

ĐKCB cho khối trụ: m + ∆m = D.V_c = D.h₁.S₂ = 1000.0,2.60.10-4 = 1,2 kg

=> ∆m = 0,3kg

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính thể tích của khối trụ tròn xoay

* Các lý thuyết thêm về thể tích khối tròn xoay:

Công thức tính thể tích khối tròn xoay

* Quay quanh trục Ox:

Hình giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V = π \int_{a}^{b} {[f (x)]}^{2} d x$

Hình giới hạn bởi hai đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V = π \int_{a}^{b} |f^{2} (x) - g^{2} (x)| d x$

* Quay quanh trục Oy:

Hình giới hạn bởi đường cong x = f(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c; y = d (trong đó f(x) liên tục trên đoạn [c; d]) quay quanh trục Oy, ta được khối tròn xoay.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V = π \int_{a}^{b} {[f (y)]}^{2} d y$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức tính thể tích khối tròn xoay (đầy đủ, chính xác nhất)

50 bài toán về ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay (có đáp án 2024) – Toán 12

Câu 130:

Lý thuyết Dao động điều hòa - Vật lí 11 Kết nối tri thức

Một quả cầu bắt đầu lăn từ đỉnh một dốc dài 150 m, sau 15 giây thì nó đến chân dốc. Sau đó nó tiếp tục chuyển động trên mặt ngang được 75 m thì dừng lại. Chọn chiều dương là chiều chuyển động của quả cầu. Thời gian chuyển động của quả cầu từ đỉnh dốc đến khi dừng lại là

A. 22,5s

B. 18,5s

C. 25,8s

D. 24,6s

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Nắm kỹ lý thuyết mối quan hệ giữa chu kỳ dao động và khối lượng

* Lý thuyết nắm thêm:

- Chu kì dao động là khoảng thời gian để vật thực hiện được một dao động, đơn vị: giây (s)

- Tần số dao động được xác định bởi số dao động mà vật thực hiện được trong một giây, đơn vị: héc (Hz)

$f = \frac{1}{T}$

- Pha dao động là một đại lượng đặc trung cho trạng thái của vật trong quá trình dao động

- Độ lệch pha giữa hai dao động điều hòa cùng chu kì (cùng tần số) được xác định theo công thức:

$Δ φ = 2 π \frac{Δ t}{T}$

- Tần số góc của dao động là đại lượng đặc trưng cho tốc độ biến thiên của pha dao động. Đối với dao động điều hòa tần số góc có giá trị không đổi và được xác định theo công thức

$ω = \frac{φ_{2} - φ_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{2 π}{T}$

Với $φ_{1}$ và $φ_{2}$ lần lượt là pha dao động tại thời điểm $t_{1}$ và $t_{2}$ , đơn vị của tần số góc là radian trên giây (rad/s)

- Dao động cơ là chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng.

- Dao động cơ của một vật có thể là tuần hoàn hoặc không tuần hoàn.

- Sau những khoảng thời gian bằng nhau, vật trở lại vị trí cũ theo hướng cũ thì dao động của vật đó là tuần hoàn

- Dao động tuần hoàn đơn giản nhất là dao động điều hòa

Đồ thị của dao động điều hòa

- Đồ thị của dao động điều hòa là đường cong có dạng hình sin, cho biết vị trí của vật trên trục x tại những thời điểm khác nhau

Phương trình của dao động điều hòa

$x = A \cos (ω t + φ)$

Trong đó:

+ x: li độ của dao động

+ A: biên độ dao động (A>0)

+ ω: tần số góc của dao động (đơn vị: rad/s)

+ ωt+φ: pha của dao động tại thời điểm t (đơn vị: rad)

+ φ: pha ban đầu của dao động

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

TOP 10 câu Trắc nghiệm Mô tả dao động điều hoà (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Vật lí 11

Câu 131:

Lý thuyết Hàm số lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. tanx + 3 = 0

B. sinx + 3 = 0

C. 3sinx - 2 = 0

D. 2cos^2 - cosx -1 = 0

Xem đáp án

Đáp án đúng: B

*Lời giải:

Giải từng phương trình ra và kết luận phương trình vô nghiệm.

Chú ý tập giá trị của hàm sin và hàm

Xét đáp án B ta có Phương trình vô nghiệm

*Phương pháp giải:

- Biến đổi và giải phương trình tìm ra nghiệm x

*Một số lý thuyết và dạng bài tập về hàm số lượng giác:

1. Định nghĩa hàm số lượng giác

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là $R$ .

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là $R$ .

- Hàm số cho bằng công thức $y = \frac{\sin α}{\cos α}$ được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là $R ∖ {\frac{π}{2} + k π | k \in Z}$ .

- Hàm số cho bằng công thức $y = \frac{\cos α}{\sin α}$ được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là $R ∖ {k π | k \in Z}$ .

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

a, Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

+) Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f (- x) = f (x)$ . Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.

+) Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f (- x) = - f (x)$ . Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

b, Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T $\neq$ 0 sao cho với mọi $x \in D$ ta có:

+) $x + T \in D$ và $x - T \in D$

+) $f (x + T) = f (x)$

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

* Nhận xét:

Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2 $π$ .

Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì $π$ .

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx

- Tập xác định là $R$ .

- Tập giá trị là [-1;1].

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2 $π$ .

- Đồng biến trên mỗi khoảng $(- \frac{π}{2} + k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(\frac{π}{2} + k 2 π; \frac{3 π}{2} + k 2 π)$ .

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

Tập xác định là $R$ .

Tập giá trị là [-1;1].

Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2 $π$ .

Đồng biến trên mỗi khoảng $(- π + k 2 π; k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k 2 π; π + k 2 π)$ .

Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx

Tập xác định là $R ∖ {\frac{π}{2} + k π | k \in Z}$ .

Tập giá trị là $R$ .

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $π$ .

Đồng biến trên mỗi khoảng $(- \frac{π}{2} + k π; \frac{π}{2} + k π)$ , $k \in Z$ .

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx

Tập xác định là $R ∖ {k π | k \in Z}$ .

Tập giá trị là $R$ .

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $π$ .

Đồng biến trên mỗi khoảng $(k π; π + k π)$ , $k \in Z$ .

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Toán 11 Bài 3 giải vở bài tập (Kết nối tri thức): Hàm số lượng giác

50 bài tập về Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác (có đáp án 2024) và cách giải

Câu 132:

Dấu hiệu nhận biết hình vuông và bài tập vận dụng

Hai mảnh vườn có dạng hình vuông. Mảnh vườn thứ nhất có độ dài cạnh là 19,5 m. Mảnh vườn thứ hai có độ dài cạnh là 6,5 m. Diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp bao nhiêu lần mảnh vườn thứ hai?

Xem đáp án

*Lời giải:

Diện tích mảnh vườn thứ nhất là:

19,5² = 380,25 (m²)

Diện tích mảnh vườn thứ hai là:

6,5² = 42,25 (m²)

Diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp mảnh vườn thứ hai số lần là:

380,25 : 42,25 = 9 (lần).

Vậy diện tích mảnh vườn thứ nhất gấp 9 lần mảnh vườn thứ hai.

* Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích hình vuông

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Khái niệm

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

2. Tính chất

- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

Ví dụ:

Hình d là hình vuông

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Toán lớp 3 Bài 15. Hình vuông có đáp án

Câu 133:

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 Cánh diều

Giải phương trình sau: $\cos^{2} 2 x = \frac{1}{4}$

Xem đáp án

*Lời giải:

Vậy phương trình có 4 họ nghiệm

*Phương pháp giải:

áp dụng công thức biến đổi lượng giác để biến đổi: Công thức biến đổi tích thành tổng

*Lý thuyết nắm thêm

I. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

II. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 12 câu Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 11

Câu 134:

Lý thuyết Tam giác cân – Toán 7 Cánh diều

Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở F. Chứng minh CF =DK

Xem đáp án

*Lời giải:

*Phương pháp giải

Áp dụng tính chất tam giác cân và trung điểm

Xét 2 tam giác bằng nhau để suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau

Để chứng minh vuông góc ta chứng minh góc tạo bởi 2 đoạn đó = 90 độ

*Một số lý thuyết nắm thêm tam giác cân và đường trung trực đoạn thẳng

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Khi đó, ta gọi:

• Tam giác ABC là tam giác cân tại A;

• AB, AC là các cạnh bên và BC là cạnh đáy;

• $\hat{B}, \hat{C}$ là các góc ở đáy và $\hat{A}$ là góc ở đỉnh.

Dấu hiệu nhận biết

– Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

– Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Chú ý:

+ Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều.

+ Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

– Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.

Quan sát hình vẽ trên, ta có:

+ Đoạn thẳng AB; trung điểm I của đoạn thẳng AB;

+ Đường thẳng d ⊥ AB tại I.

Do đó, đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Tính chất

– Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Quan sát hình trên, ta có:

Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng DE;

Điểm O nằm trên đường thẳng a.

Khi đó ta có OD = OE.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 7 Bài 9 (Cánh diều): Đường trung trực của một đoạn thẳng

Tam giác cân, Tam giác đều và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 7

Câu 135:

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau

Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 20 cạnh. Xét tam giác có đúng 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H).

Có _______ tam giác có đúng 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H).

Có _______ tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của (H).

Có _______ tam giác có đúng một cạnh là cạnh của (H).

Có _______ tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H).

Xem đáp án

*Lời giải:

Có 1140 tam giác có đúng 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H).

Có 20 tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của (H).

Có 320 tam giác có đúng một cạnh là cạnh của (H).

Có 800 ta

m giác không có cạnh nào là cạnh của (H).

Giải thích

a) Mỗi tam giác được tạo thành từ 3 trong số 20 đỉnh của đa giác (H) ứng với một tổ hợp chập 3 của 20 phần tử.

Vậy có tất cả $C_{20}^{3} = 1140$ tam giác.

b) Chọn đỉnh thứ nhất của tam giác là đỉnh của $(H)$ nên có 20 cách.

Chọn hai đỉnh còn lại của tam giác kề với đỉnh đã chọn (bên trái và bên phải) nên có 1 cách.

Vậy có tất cả $20.1 = 20$ tam giác.

c) Chọn một cạnh của tam giác là cạnh của đa giác $(H)$ nên có 20 cách.

Chọn đỉnh còn lại của tam giác không kề với 2 đỉnh đã chọn nên có $20 - 4 = 16$ cách.

Vậy số tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác là $20.16 = 320$ tam giác.

d) Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là $1140 - (20 + 320) = 800$ tam giác.

* Phương pháp giải:

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức :

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} (0 \leq k \leq n)$

* Lý thuyết nắm thêm

1. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là P_n, được tính bằng công thức

P_n= n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : P_n= n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P₃ = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

2. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức:

$A_{n}^{k}$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ (1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy P_n = $A_{n}^{n}$

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức :

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} (0 \leq k \leq n)$

Chú ý :

+) < $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính P_n, $A_{n}^{k}$ , $C_{n}^{k}$ sẽ được dùng rất nhiều.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án 2023) – Toán 11

Câu 136:

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Hai số chẵn liên tiếp có tổng là 46. Tìm hai số chẵn liên tiếp đó.

Xem đáp án

*Lời giải:

Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị. Vậy hiệu của chúng là: 2

Số lớn là:

(46 + 2) : 2 = 24

Số bé là:

46 – 24 = 22

Đáp số: Số lớn: 24

Số bé: 22

* Phương pháp giải:

Để giải bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số ta có thể làm như sau:

Bước 1: Vẽ sơ đồ biểu diễn hai số đó.

Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau.

Bước 3: Tìm số lớn hoặc số bé:

Số lớn = (Hiệu: hiệu số phần bằng nhau) × số phần của số lớn;

Số bé = (Hiệu : hiệu số phần bằng nhau) × số phần của số bé.

Bước 4. Kết luận đáp số

* Lý thuyết nắm thêm

Các dạng bài tập

Dạng 1: Cho biết cả hiệu và tỉ số

1. Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ sơ đồ biểu diễn hai số đó.

Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau.

Bước 3: Tìm số lớn hoặc số bé:

Số lớn = (Hiệu: hiệu số phần bằng nhau) × số phần của số lớn;

Số bé = (Hiệu : hiệu số phần bằng nhau) × số phần của số bé.

Bước 4. Kết luận đáp số

Dạng 2: Thiếu (ẩn) hiệu (Cho biết tỉ số, không cho biết hiệu)

1. Phương pháp giải

Tìm hiệu của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 3: Thiếu (ẩn) tỉ (Cho biết hiệu, không cho biết tỉ số)

1. Phương pháp giải

Tìm tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 4: Ẩn cả hiệu và tỉ số

1. Phương pháp giải

Tìm hiệu và tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ của hai số đó lớp 4 và cách giải

Câu 137:

Lý thuyết Hai đường thẳng song song – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Cho hai góc kề bù AOB và BOC. Tia OM nằm giữa hai tia OB và OC. Tia ON là tia đối của tia OM. Khi đó cặp góc đối đỉnh là cặp góc nào trong các cặp góc sau đây?

A. $\hat{B O M}$ và $\hat{C O N}$ ;

B. $\hat{A O B}$ và $\hat{A O N}$ ;

C. $\hat{A O M}$ và $\hat{C O N}$ ;

D. $\hat{C O M}$ và $\hat{C O N}$ .

Xem đáp án

*Lời giải:

Từ hình vẽ ta thấy cặp góc đối đỉnh là $\hat{A O M}$ và $\hat{C O N}$ vì OA là tia đối của tia OC và OM là tia đối của tia ON.

Đáp án đúng là C.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180

Sử dụng tính chất: tia phân giác trong một góc

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm về hai đường thẳng song song:

1. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A và B. Với mỗi cặp góc gồm một góc đỉnh A và một góc đỉnh B, ta có:

a) Hai góc $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{1}}$ (tương tự $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{2}}$ ) gọi là hai góc so le trong.

b) Hai góc $\hat{A_{1}}$ và $\hat{B_{1}}$ (tương tự $\hat{A_{2}}$ và $\hat{B_{2}}$ ; $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{3}}$ ; $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{4}}$ ;) gọi là hai góc đồng vị.

Tính chất: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

2. Tiên đề Euclid về hai đường thẳng song song.

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

3. Tính chất của hai đường thẳng song song

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

- Hai góc so le trong bằng nhau

- Hai góc đồng vị bằng nhau.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Toán 7 Bài 9 (Kết nối tri thức): Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

TOP 20 câu Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

Câu 138:

Giải SGK Toán lớp 4 Bài 25: Tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó

Mai làm được 27 tấm thiệp, số tấm thiệp làm được của Rô-bốt gấp 3 lần của Mai. Hỏi Rô-bốt làm được bao nhiêu tấm thiệp?

Xem đáp án

*Lời giải:

Bài giải

Rô-bốt làm được số tấm thiệp là:

27 x 3 = 81 (tấm)

Đáp số: 81 tấm thiệp

* Phương pháp giải

Dạng bài: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu

Cách 1: Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn - hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2: Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

*Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và hiệu

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 2: Cho biết hiệu nhưng dấu tổng

Phương pháp giải: Cần phải tìm tổng trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 3: Cho biết tổng nhưng dấu hiệu

Phương pháp giải: Cần phải tìm hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 4: Dấu cả tổng lẫn hiệu

1. Phương pháp giải

Cần phải tìm tổng và hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu): 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Chuyên đề Tìm hai số khi biết tổng và hiệu lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Câu 139:

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 Cánh diều

Giải phương trình sau: sin3x.cotx = 0

Xem đáp án

*Lời giải:

sin3x.cotx = 0

(Điều kiện xác định: x ≠ kπ ∀ k ∈ Z).

Kết hợp với điều kiện ta được

Vậy phương trình có các họ nghiệm

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi lượng giác để biến đổi

*Lý thuyết nắm thêm

I. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

II. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 12 câu Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 11

Câu 140:

Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Có 5 bạn nam và 6 bạn nữ. Biết rằng 1 bạn nam trồng được ít hơn 1 bạn nữ 5 cây hoa và 6 bạn nữ trồng được tất cả 222 cây hoa. Hỏi 5 bạn nam trồng được tất cả bao nhiêu cây hoa?

Xem đáp án

*Lời giải:

1 bạn nữ trong được số cây là :

222 : 6 = 37 ( cây)

1 bạn nam trồng được số cây là :

37 - 5 = 32 ( cây)

5 bạn nam trồng được số cây là :

32 x 5 = 160 ( cây)

Đáp số : 160 cây hoa

*Phương pháp giải:

Dạng bài: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu

Cách 1: Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn - hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2: Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

*Lời giải:

Trường Tiểu học Lê Lợi trồng được số cây là:

(450 – 28) : 2 = 211 (cây)

Trường Tiểu học Kim Đồng trồng được số cây là:

450 – 211 = 239 (cây)

Đáp số: Trường Lê Lợi: 211 cây

Trường Kim Đồng: 239 cây.

* Các dạng bài: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4

Dạng 1: Cho biết cả tổng và hiệu

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 2: Cho biết hiệu nhưng dấu tổng

Phương pháp giải: Cần phải tìm tổng trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 3: Cho biết tổng nhưng dấu hiệu

Phương pháp giải: Cần phải tìm hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 4: Dấu cả tổng lẫn hiệu

1. Phương pháp giải

Cần phải tìm tổng và hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu): 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Vở bài tập Toán lớp 4 Bài 25: Tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó – Kết nối tri thức

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Câu 141:

Công thức tính thể tích khối lăng trụ và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa cạnh bên của lăng trụ và mặt đáy bằng 30⁰. Tính thể tích của lăng trụ đã cho theo a.

Xem đáp án

*Lời giải:

Ta có góc giữa cạnh bên AA' với mặt đáy (ABC) là:

góc $\hat{A' A H}$ và $\tan \hat{A' A H} = \frac{A' H}{A H}$

Suy ra $A' H = \frac{a}{2} . \tan 30^{°} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Do đó $V = A' H . S_{A B C} = \frac{a \sqrt{3}}{6} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{8}$

*Phương pháp giải:

+ Tính diện tích đáy là tam giác ABC đều cạnh a

- áp dụng công thức thể tích lăng trụ để tính ra V:

*Lý thuyến cần nắm và dạng bài tập về thể tích khối lăng trụ:

Công thức thể tích:

a) Thể tích khối lăng trụ

với: S: Diện tích đáy

h: Chiều cao.

b) Thể tích khối hộp chữ nhật

với a, b, c là ba kích thước.

c) Thể tích khối lập phương

Trong đó a là độ dài cạnh.

PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

+) Trong nhiều trường hợp, chiều cao của khối đa diện được cho ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc (chiều cao cho gián tiếp), hay dùng nhất là: định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, …

+) Tính độ dài chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, định lý cosin, …

+) Có thể tính chiều cao bằng cách chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Nếu thì

Nếu thì (định lý Ta-lét)

Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức.

Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích.

Dạng 1: Thể tích lăng trụ đứng tam giác:

Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác.

(1) Chiều cao h là cạnh bên AA’ (hoặc BB’, CC’).

(2) Mặt đáy là tam giác ABC (hoặc tam giác A’B’C’).

Khi đó thể tích lăng trụ ABC. A’B’C’ là

Dạng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ xiên

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài toán về thể tích khối lăng trụ (có đáp án 2024) – Toán 12

Câu 142:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp (2024) và cách giải các dạng bài tập

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: y = sin⁶x + cos⁶x

Xem đáp án

*Lời giải:

* Phương pháp giải

- Dùng công thức :

sin2
α+cos2α=1

- Và công thức: sin2x = 2 sinxcosx để biến đổi vài giải bài toán:

+ giá trị của sinx nằm trong đoạn từ 0 đến 1. từ đó giải ra sẽ nhìn thấy min và max

* Lý thuyết nắm thêm và các dạng bài toán về phương trình lượng giác:

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

- Phương pháp giải: Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp: Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để đưa về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at² + bt + c = 0

Trong đó a; b; c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

-Phương pháp giải: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác đã học để biến đổi đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Công thức biến đổi biểu thức a.sinx + b.cosx

Ta có công thức biến đổi sau:

$a \sin x + b . c osx = \sqrt{a {}_{2} + b^{2}} . \sin (x + α) (1)$

Trong đó;

$cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}; \sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Phương trình dạng: asinx + b.cosx = c.

Xét phương trình: asinx + bcosx = c (2)

Với a; b; c ; a, b không đồng thời bằng 0.

- Nếu a = 0 ; b ≠ 0 hoặc a ≠ 0; b = 0 phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản.

- Nếu a ≠ 0; b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

50 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản Toán 11 mới nhất

Toán 11 Bài 2 giải bài tập SGK: Phương trình lượng giác cơ bản

Câu 143:

Giải Toán 9 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình bậc hai một ẩn

Cho tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ bên để được một cái hộp không nắp. Với giá trị nào của x thì hộp nhận được có thể tích lớn nhất?

Xem đáp án

*Lời giải:

Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh: 12 - 2x

Chiều cao của hình hộp là: x

Thể tích hình hộp là $y = x (12 - 2 x)^{2}$

Bài toán đưa về tìm x ∈ (0; 6) để hàm số $y = f (x) = x (12 - 2 x)^{2}$ có giá trị lớn nhất.

$y' = 1 (12 - 2 x)^{2} + x . 2 . (12 - 2 x) . (- 2)$

= $12 x^{2} - 96 x + 144;$

y' xác định ∀ x ∈ (0; 6)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=2

* Phương pháp giải:

- Biến đổi về dạng Hằng đẳng thức +/- 1 số lẻ bên ngoài

- Khi đó min/max chính là số lẻ đó

- Đạt được khi dấu bằng xảy ra

* Lý thuyết nắm thêm:

Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (1)

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (2)

- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac

+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 2: x1 + x2 +...+xn $\geq n . \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 3: ${(\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n})}^{n} \geq x_{1} . x_{2} . . . x_{n}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =....= xn

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

Dạng 1: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}} \geq \frac{n^{2}}{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}$

Dạng 2: (x1 + x2 + ... + xn) $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}) \geq n^{2}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2025 + Bài tập)

Câu 144:

Các dạng toán về Tỉ lệ thức và cách giải – Toán lớp 7

Tìm các số nguyên x và y biết:

$\frac{x}{7} = \frac{6}{21}$

Xem đáp án

*Lời giải:

Từ

Suy ra x . 21 = 6 . 7

x . 21 = 42

x = 42 : 21

x = 2.

Vậy x = 2.

*Phương pháp giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

1. Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Hay được viết: a:b=c:d . Trong đó a, d là các số hạng ngoài (ngoại tỉ), b, c là các số hạng trong (trung tỉ).

2. Tính chất:

Tính chất 1: Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì ad = bc.

Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 5.1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên.

- Viết các số hữa tỉ dưới dạng phân số.

- Thực hiện phép chia phân số.

Dạng 5.2: Lập tỉ lệ thức từ các tỉ số cho trước.

- Xét xem hai tỉ số đã cho co bằng nhau không?

- Nếu hai tỉ số bằng nhau thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.

Dạng 5.3: Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước, từ một tỉ lệ thức cho trước, từ các số cho trước.

Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước:

Nếu ad = bc và abcd ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

Lập tất cả các tỉ lệ thức từ một tỉ lệ thức cho trước:

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ta có thể lập được ba tỉ lệ thức nữa bằng cách:

- Giữ nguyên ngoại tỉ, đổi chỗ các trung tỉ: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

- Giữ nguyên trung tỉ, đổi chỗ các ngoại tỉ: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

- Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau: $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

Lập tỉ lệ thức từ các số cho trước: Từ các số đã cho, trước hết phải lập được đẳng thức dạng ad = bc. Sau khi có đẳng thức này, áp dụng tính chất 2 để lập các tỉ lệ thức.

Toán 7 Bài 5 (Cánh diều) giải sgk: Tỉ lệ thức

Câu 145:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Phân tích đa thức thành nhân tử: $3 x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 5$

Xem đáp án

*Lời giải:

* Phương pháp giải:

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

* Lý thuyết nắm thêm

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Các dạng bài

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải (2024) – Toán 8

Câu 146:

Lý thuyết Các phép toán với đa thức nhiều biến – Toán lớp 8

Tìm các số nguyên x biết: $3^{4 - x} = 27$

Xem đáp án

*Lời giải:

* Phương pháp giải:

Chuyển hết x về một vế, số tự do về một vế

Thực hiện phép tính tìm x

* Lý thuyết nắm thêm

Cộng và trừ hai đa thức

Để cộng, trừ hai đa thức ta thực hiện các bước:

- Bỏ dấu ngoặc (sử dụng quy tắc dấu ngoặc);

- Nhóm các đơn thức đồng dạng (sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp);

- Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các lũy thừa cùng biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau.

Ví dụ: $(- 3 x^{2} y) (4 x y) = [(- 3.4)] . (x^{2} . x) . (y . y) = - 12. x^{3} . y^{2}$

3. Nhân đơn thức với đa thức

Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

Nhân hai đa thức

Để nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} (x y + 1) (x y - 3) \\ = (x y) . (x y) + x y - 3 x y - 3 \\ = x^{2} y^{2} - 2 x y - 3 \end{array}$

Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (với A chia hết cho B), ta làm như sau:

- Chia hệ số của A cho hệ số của B.

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

- Nhân các kết quả vừa tìm được cho nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} 16 x^{4} y^{3} : (- 8 x^{3} y^{2}) \\ = (16 : (- 8)) . (x^{4} : x^{3}) . (y^{3} : y^{2}) \\ = - 2 x y \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 1: Đa thức

Câu 147:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một cái đồng hồ cứ 45 phút lại nhanh 3 giây. Buổi sáng, lúc 6h chỉnh đồng hồ về giờ đúng. Hỏi 6h chiều (theo giờ đúng) thì đồng hồ đó chỉ bao nhiêu giờ?

Xem đáp án

*Lời giải:

Vì 1 giờ có 60 phút, nên 1 giờ đồng hồ sẽ chạy nhanh:

3 × 60 : 45 = 4 (giây)

Từ 6 giờ sáng đến 6 giờ chiều là 12 giờ, nên đồng hồ sẽ chạy nhanh:

4 × 12 = 48 (giây)

Vậy lúc đó đồng hồ chỉ 6 giờ 48 giây chiều.

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép chia và phép nhân để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 148:

Giải Toán 6 Bài 36 (Kết nối tri thức): Góc

Biết A ; B ; C là các góc của tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng:

A. sin(A+C) = -sinB

B. cos(A+B) = -cosC

C. tan(A+C) = tanB

D. cot(A+C) = cotB

Xem đáp án

Đáp án đúng B.

*Lời giải:

Tổng số đo 3 góc của 1 tam giác là π nên A + B + C = π

Suy ra : A + B = π - C

Do đó cos(A + B) = cos( π - C) = -cosC.

* Phương pháp giải:

- Tính số đo góc: tia nằm giữa hai tia sẽ tạo thành 2 góc. Khi đó số đo góc lớn = tổng số đo hai góc nhỏ

* Lý thuyết cần nắm thêm về góc:

Góc

Góc là hình gồm hai tia chung gốc . Gốc chung của hai tia gọi là đỉnh của góc . Hai tia là hai cạnh của góc

Kí hiệu:

Góc bẹt

Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau

Điểm nằm trong góc

Khi hai tia Ox và Oy không đối nhau, điểm M gọi là điểm nằm trong góc xOy nếu tia OM nằm giữa hai tia Ox và Oy. Khi đó tia OM nằm trong góc xOy

Nếu tia OM nằm trong góc xOy thì mọi điểm thuộc tia OM đều nằm trong góc xOy

Đo góc

+ Mỗi góc có một số đo xác định, lớn hơn 0 và không vượt quá 180o

+ Số đo của góc bẹt là 180o

So sánh hai góc

+ Góc ∠A và ∠B bằng nhau nếu số đo hai góc của chúng bằng nhau. Kí hiệu ∠A = ∠B

+ Góc A có số đo lớn hơn số đo góc B thì góc A lớn hơn góc B. Kí hiệu ∠A > ∠B

Góc vuông. Góc nhọn. Góc tù

+ Góc vuông là góc có số đo bằng 90o. số đo góc vuông còn được kí hiệu là 1v

+ Góc nhọn là góc có số đo lớn hơn 0o và nhỏ hơn 90o

+ Góc tù là góc có số đo lớn hơn 90o và nhỏ hơn 180o

Chú ý: Đơn vị đo góc là độ, phút giây: 1o = 60'; 1' = 60''

Hai góc kề nhau, phụ nhau, kề bù

a. Hai góc kề nhau

+ Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa cạnh chung

+ Hai góc ∠xOy và ∠xOy là hai góc kề nhau vì có cạnh Oy chung và hai cạnh Ox; Oz nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng chứa tia Oy

b. Hai góc phụ nhau

Hai góc phụ nhau là hai tổng số đo bằng 90o

Ví dụ:

Nếu ∠A = 30o và ∠B = 60o thì ∠A và ∠B là hai góc phụ nhau ( vì ∠A + ∠B = 180o )

c. Hai góc bù nhau

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 180o

d. Hai góc kề bù

+ Hai góc kề bù là hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau ( hai góc có 1 cạnh chung và 2 cạnh 2 cạnh còn lại là 2 tia đối nhau, , tổng số đo hai góc bằng 180° )

+ Hai góc xOy và yOz trên hình vẽ vẽ là hai góc kề bù vì có cạnh Oy chung và hai cạnh Ox và Oz là hai tia đối nhau và tổng số đo hai góc bằng 180°.

Tia phân giác của một góc

Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau

Từ định nghĩa ta suy ra

Tia Oz là tia phân giác của ∠xOy ⇔ ∠xOz = ∠zOy và tia Oz nằm giữa hai tia Ox; Oy

Hoặc tia Oz là tia phân giác cuả

Hoặc tia Oz là tia phân giác của

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 9 câu Trắc nghiệm Góc (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 6

TOP 10 câu Trắc nghiệm Số đo góc. Các góc đặc biệt có đáp án - Toán lớp 6 Chân trời sáng tạo

Câu 149:

Sách bài tập Toán 9 Bài 3 (Kết nối tri thức): Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một ô tô đi tới điểm O của một ngã tư đường có 4 hướng: Đông, Tây, Nam, Bắc với tốc độ không đổi 36 km/h. Nếu ô tô đi tiếp thì sau 10 s:

a) Quãng đường đi tiếp của ô tô là bao nhiêu mét?

b) Vị trí của ô tô ở điểm nào trên hình vẽ?

Xem đáp án

*Lời giải:

Đổi 36 km/h = 10 m/s

a) Quãng đường đi tiếp của ô tô là: s = v.t = 10.10 = 100 m

b) Vì không biết hướng chuyển động của ô tô nên ta không thể xác định được vị trí của ô tô.

Đặt giả thiết:

- Nếu ô tô chuyển động theo hướng Bắc thì vị trí của ô tô ở điểm B.

- Nếu ô tô chuyển động theo hướng Tây thì vị trí của ô tô ở điểm H.

- Nếu ô tô chuyển động theo hướng Nam thì vị trí của ô tô ở điểm E.

- Nếu ô tô chuyển động theo hướng Đông thì vị trí của ô tô ở điểm L.

* Phương pháp giải:

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

* Cách giải và các dạng bài toán về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được (công việc), làm a ngày thì được (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và ;.

- Biểu diễn số có ba chữ số , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và ;;.

Dạng 4: Bài toán về hình học

Phương pháp giải: Sử dụng đến công thức tính chu vi, diện tích các hình như hình vuông; hình chữ nhật; hình thang;…

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

TOP 40 câu Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương cách lập hệ phương trình (có đáp án 2024) – Toán 9

Câu 150:

Giải Toán 9 (Kết nối tri thức): Giải phương trình hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ?

Xem đáp án

*Lời giải:

Gọi $x, y$ là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch .

ĐK: x, y nguyên dương và x < 600; y < 600.

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: $x + y = 600 (1)$

Số sản phẩm tăng của tổ I là: $\frac{18}{100} x$ (sp), Số sản phẩm tăng của tổ II là: $\frac{21}{100} y$ (sp).

Do số sản phẩm của hai tổ vượt mức 120(sp) nên ta có phương trình: $\frac{18}{100} x + \frac{21}{100} y = 120 (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = 600 \\ \frac{18}{100} x + \frac{21}{100} y = 120 \end{cases}$

Giải hệ ta được x = 200 , y = 400 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số sản phẩm được giao theo kế hoạch của tổ I là 200, của tổ II là 400.

* Phương pháp giải:

Gọi ẩn và điều kiện xác định cho ẩn

Từ đề bài lập các phương trình. Từ đó ta được 1 hệ phương trình 2 ẩn

Giaỉ hệ phương trình vừa lập

* Lý thuyết nắm thêm về hệ phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

Câu 151:

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

Viết tập hợp P các số tự nhiên khác 0 và nhỏ hơn 12 bằng hai cách.

Xem đáp án

*Lời giải:

Cách 1: $P = \{1; 2; 3; .....; 10; 11\}$ .

Cách 2: $P = \{x \in ℕ * | x < 12\}$

* Phương pháp giải:

Bội của một số là các số có thể viết dưới dạng $k \cdot n$ với là số nguyên dương.

Tập hợp bội của thường được viết dưới dạng: $B(n) = \{ n, 2n, 3n, 4n, \dots \}$

* Lý thuyết nắm thêm

1. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là P_n, được tính bằng công thức

P_n= n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : P_n= n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P₃ = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

2. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức:

$A_{n}^{k}$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ (1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy P_n = $A_{n}^{n}$

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức :

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} (0 \leq k \leq n)$

Chú ý :

+) < $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính P_n, $A_{n}^{k}$ , $C_{n}^{k}$ sẽ được dùng rất nhiều.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án 2023) – Toán 11

Câu 152:

Giải Toán lớp 2 trang 43 Bài 49: Các số tròn trăm, tròn chục – Kết nối tri thức

Viết số thích hợp vào chỗ chấm.

An viết 1 số có hai chữ số và 1 số có bốn chữ số cạnh nhau thì được 1 số có sáu chữ số là: 140 293.

Vậy An đã viết số ....... và số …….

Xem đáp án

*Lời giải:

An viết 1 số có hai chữ số và 1 số có bốn chữ số cạnh nhau thì được 1 số có sáu chữ số là: 140 293.

Vậy An đã viết số 1 402 và số 93

* Phương pháp giải:

- Đọc số theo thứ tự các hàng từ trái sang phải.

- Từ cách đọc số, em viết được số tròn chục có ba chữ số thỏa mãn.

Số tròn chục là số có hàng đơn vị là chữ số 0

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Đọc và viết số tròn chục có ba chữ số.

- Đọc số theo thứ tự các hàng từ trái sang phải.

- Từ cách đọc số, em viết được số tròn chục có ba chữ số thỏa mãn.

Số tròn chục là số có hàng đơn vị là chữ số 0.

Ví dụ:

Dạng 2: So sánh các số tròn chục

+ Số có ít chữ số hơn thì có giá trị bé hơn.

+ Số có số chữ số bằng nhau thì so sánh các hàng từ trái sang phải.

Ví dụ: Điền dấu >; <; = vào chỗ chấm:

100...110

Giải:

Số 100 và số 110 đều là số có 3 chữ số; chữ số hàng trăm là 1; chữ số hàng chục có 0<1.

Vậy 100 < 110

Dấu cần điền vào chỗ chấm là “<”.

Dạng 3: Thứ tự các số tròn chục.

Ghi nhớ thứ tự các số tròn chục trong phạm vi từ 110 đến 200 là:

110;120;130;140;150;160;170;180;190;200.

Ví dụ: Điền số thích hợp vào chỗ chấm:

130;140;.....;160

Giải

Ta có: 130;140;150;160

Số cần điền vào chỗ chấm là 150.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Vở bài tập Toán lớp 2 trang 42 Bài 49: Các số trong trăm, tròn chục – Kết nối tri thức

Câu 153:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

May 15 bộ quần áo như nhau hết 45 m vải. Hỏi may 25 bộ quần áo cùng loại hết bao nhiêu mét vải?

Xem đáp án

* Lời giải:

Số mét may 1 bộ quần áo là:

45 : 15 = 3 (m)

Số mét may 25 bộ quần áo là:

3 × 25 = 75 (m)

Đáp số: 75 m .

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 154:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Tổng của hai số bằng 43,75. Tìm hai số đó, biết rằng nếu số thứ nhất gấp 5 lần và giữ nguyên số thứ hai thì được tổng mới bằng 124,95.

Xem đáp án

* Lời giải:

Vì gấp số thứ nhất lên 5 lần thì tổng mới là 124,95 nên ta có 4 lần số thứ nhất là :

124,95 - 43,75 = 81,2

Số thứ nhất là : 81,2 : 4 = 20,3

Số thứ hai là : 43,75 - 20,3 = 23,45

Đáp số : 20,3 và 23,45

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 155:

Lý thuyết Các phép toán với đa thức nhiều biến – Toán lớp 8

Tìm x biết: 125-5(4+x)=15

Xem đáp án

* Lời giải:

$i) 125 - 5 (4 + x) = 15$

$5 (4 + x) = 125 - 15$

$5 (4 + x) = 110$

$4 + x = 110 : 5$

$4 + x = 22$

$x = 18$

* Phương pháp giải:

Chuyển hết x về một vế, số tự do về một vế

Thực hiện phép tính tìm x

* Lý thuyết nắm thêm

Cộng và trừ hai đa thức

Để cộng, trừ hai đa thức ta thực hiện các bước:

- Bỏ dấu ngoặc (sử dụng quy tắc dấu ngoặc);

- Nhóm các đơn thức đồng dạng (sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp);

- Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các lũy thừa cùng biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau.

Ví dụ: $(- 3 x^{2} y) (4 x y) = [(- 3.4)] . (x^{2} . x) . (y . y) = - 12. x^{3} . y^{2}$

3. Nhân đơn thức với đa thức

Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

Nhân hai đa thức

Để nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} (x y + 1) (x y - 3) \\ = (x y) . (x y) + x y - 3 x y - 3 \\ = x^{2} y^{2} - 2 x y - 3 \end{array}$

Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (với A chia hết cho B), ta làm như sau:

- Chia hệ số của A cho hệ số của B.

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

- Nhân các kết quả vừa tìm được cho nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} 16 x^{4} y^{3} : (- 8 x^{3} y^{2}) \\ = (16 : (- 8)) . (x^{4} : x^{3}) . (y^{3} : y^{2}) \\ = - 2 x y \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 1: Đa thức

Câu 156:

Quy tắc tính đạo hàm và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Tính đạo hàm của hàm số

y = 3^{x}

Xem đáp án

* Lời giải:

$y = 3^{x} \Rightarrow y' = 3^{x} \ln 3$

* Phương pháp giải:

Nắm vững bảng quy tắc đạo hàm

* Lý thuyết nắm thêm

1. Định nghĩa đạo hàm

Giới hạn nếu có của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại $x_0$ , khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ .

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $(a;b)$ và $x_0\in(a;b)$ :

$f'({x_0})$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ $(\Delta x = x – x_0, \Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$

Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0; tính :

∆y= f( x0+ ∆x)- f( x0) .

+ Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x.

+ Bước 3:

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

* Định lí: Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

* Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Đạo hàm một bên, Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

a. Đạo hàm bên trái, bên phải

+ Nếu tồn tại giới hạn( hữu hạn) bên phải

ta gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại x=x0 và kí hiệu f'(x0+)

+ Tương tự; đạo hàm bên trái của hàm số là

Hệ quả : Hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f'(x0+) và f;(x0-) đồng thời f' (x0+ )=f'(x0-) .

b. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

Hàm số y= f(x) có đạo hàm trên[a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái tại x= b và đạo hàm phải tại x= a.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) taị điểm x=x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y – y0= f’(x0) ( x- x0)

trong đó y0= f( x0)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm – Toán 11 Kết nối tri thức

Câu 157:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Axit – bazơ – muối (có đáp án 2023) – Hóa học 8

Nung nóng m gam hỗn hợp X gồm Mg, Al, Cu trong O₂ dư, thu được 16,2 gam hỗn hợp Y gồm các oxit. Hoà tan hết Y bằng lượng vừa đủ dung dịch gồm HCl 1M và H₂SO₄ 0,5M, thu được dung dịch chứa 43,2 gam hỗn hợp muối trung hoà. Biết các phản ứng xảy ra hoàn toàn. Giá trị của m là

Xem đáp án

* Lời giải:

Đặt $n_{H C l} = 2 x \to n_{H_{2} S O_{4}} = x$

Bảo toàn $H \to n_{H_{2} O} = 2 x$

$\to$ Y gồm kim loại (m gam) và O (2x mol)

$m_{Y} = m + 16.2 x = 16, 2$

m muối $= m + 35, 5.2 x + 96 x = 43, 2$

$\to$ m = 9,8 và x = 0,2

* Phương pháp giải:

Vận dụng tính chất hóa học của kim loại - acid - base - muối để hoàn thành phương trình

* Lý thuyết nắm thêm

1. Axit

- Khái niệm: Phân tử axit gồm một hay nhiều nguyên tử hiđro liên kết với gốc axit, các nguyên tử hiđro này có thể thay thế bằng các nguyên tử kim loại.

- Công thức hóa học: một hay nhiều nguyên tử H + gốc axit.

- Phân loại:

+ axit không có oxi: HCl, H₂S,…

+ axit có oxi: H₂SO₄, H₃PO₄, HNO₃, H₂SO₃…

- Tên gọi

+ Axit không có oxi:

Tên axit: axit + tên phi kim + hiđric.

2. Bazơ

- Khái niệm: Phân tử bazơ gồm có một nguyên tử kim loại liên kết với một hay nhiều nhóm hiđroxit (-OH)

- Công thức hóa học: Có một nguyên tử kim loại và một hay nhiều nhóm -OH.

- Công thức chung: M(OH)_n

Trong đó:

+ M: là nguyên tử kim loại.

+ n: là số nhóm hiđroxit (n có giá trị bằng hóa trị của kim loại)

- Tên gọi: Tên kim loại + hoá trị (nếu kim loại có nhiều hoá trị) + hiđroxit.

3. Muối (xét muối kim loại)

- Khái niệm: Phân tử muối gồm có một hay nhiều nguyên tử kim loại liên kết với một hay nhiều gốc axit.

- Công thức hóa học:

+ Gồm 2 thành phần: kim loại và gốc axit.

+ Công thức hóa học dạng: M_xA_y

Trong đó: M là nguyên tử kim loại và A : là gốc axit.

- Tên gọi = Tên KL + hoá trị (nếu KL có nhiều hoá trị) + tên gốc axit

- Phân loại:

+ Muối trung hòa: Muối mà trong gốc axit không có nguyên tử hiđro có thể thay thế nguyên tử kim loại.

VD: Na₂SO₄, Na₂CO₃.

+ Muối axit: Muối mà trong gốc axit còn nguyên tử hiđro chưa được thay thế bằng nguyên tử kim loại.

VD: NaHCO₃, NaHSO₄.

4. Xác định công thức hóa học khi biết thành phần các nguyên tố

Gọi công thức tổng quát của hợp chất là A_xB_y

Bước 1: Tìm khối lượng mỗi nguyên tố có trong 1 mol hợp chất.

$m_{A} = \frac{% m_{A} . M_{A_{x} B_{y}}}{100}; m_{B} = \frac{% m_{B} . M_{A_{x} B_{y}}}{100}$

Bước 2: Tìm số mol nguyên tử mỗi nguyên tố trong 1 mol hợp chất.

$n_{A} = \frac{m_{A}}{M_{A}}; n_{B} = \frac{m_{B}}{M_{B}}$

Bước 3: Lập công thức hóa học của hợp chất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về xác định công thức hóa học và gọi tên axit, bazơ và muối (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 158:

Công thức tính Cấp số cộng và cách giải các dạng bài tập

Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng 20. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là: $u_{1}; u_{2}; u_{3}; u_{4}; u_{5} .$

Theo đề bài ta có: $u_{1} - u_{5} = 20 \Leftrightarrow u_{1} - (u_{1} + 4 d) = 20 \Leftrightarrow d = - 5.$

*Phương pháp giải

(u_n) là cấp số cộng khi u_n+1 = u_n + d, n ∈ N^* (d gọi là công sai)

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức: u_n = u₁ + (n – 1)d với n ∈ N^*, n ≥ 2.

*Lý thuyết nắm thêm về cấp số cộng:

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

un+1 = un + d với $n \in ℕ^{*}$ (1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; công sai d = 3.

Số hạng tổng quát

- Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2.

Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

- Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}; k \geq 2$

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

- Định lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.

Khi đó: $S_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2}$ .

- Chú ý: vì un = u1 + (n – 1)d nên ta có: $S_{n} = n u_{1}^{} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Câu 159:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Trong một cửa hàng bánh kẹo, người ta đóng gói kẹo thành các loại: mỗi gói có 10 cái kẹo; mỗi hộp có 10 gói; mỗi thùng có 10 hộp. Một người mua 9 thùng, 9 hộp và 9 gói kẹo. Hỏi người đó đã mua tất cả bao nhiêu cái kẹo?

Xem đáp án

* Lời giải:

Vì mỗi gói có 10 cái kẹo và mỗi hộp có 10 gói nên mỗi hộp có 10.10 = 100 cái kẹo. Vì mỗi thùng có 10 hộp nên mỗi thùng có 10.100 = 1000 (cái kẹo).Vậy người đó đã mua:

9.1000 + 9.100 + 9.10 = 9990 (cái kẹo).

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 160:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11

Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất phương trình $\sin (3 x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ bằng

Xem đáp án

* Lời giải:

*Phương pháp giải:

áp dụng các công thức lượng giác để biến đổi và giải tìm ra nghiệm

*Lý thuyết nắm thêm

Phương trình cosx=a

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $|cosx| \leq 1$ với mọi x.

- Trường hợp $|a| \leq 1$ .

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x = \pm α + k 2 π; k \in ℤ$

Phương trình tanx=a

- Điều kiện xác định của phương trình là $x \neq \frac{π}{2} + k π; k \in ℤ$

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x = \arctan a + k π; k \in ℤ$

+) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: $x = α + k π; k \in ℤ$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f (x) = g (x) + k π; k \in ℤ$ .

+) Phương trình tanx = tanβ⁰ có các nghiệm là: $x = β^{0} + k {.180}^{0}; k \in ℤ$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án)– Toán 11

Câu 161:

Giải Toán 9 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình bậc hai một ẩn

Tìm giá trị lớn nhất của đa thức: N = 2x – 2 $x^{2}$ – 5

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: N = 2x – 2 $x^{2}$ – 5

= - 2( $x^{2}$ – x + 5/2 )

= - 2( $x^{2}$ – 2.x. 1/2 + 1/4 + 9/4 )

= - 2[ ${(x - 1 / 2)}^{2}$ + 9/4 ]

= - 2 ${(x - 1 / 2)}^{2}$ - 9/2

Vì ${(x - 1 / 2)}^{2}$ ≥ 0 với mọi x nên - 2 ${(x - 1 / 2)}^{2}$ ≤ 0

Suy ra: N = - 2 ${(x - 1 / 2)}^{2}$ - 9/2 ≤ - 9/2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là - 9/2 khi x- ½ = 0 hay x = 1/2 .

* Phương pháp giải:

- Biến đổi về dạng Hằng đẳng thức +/- 1 số lẻ bên ngoài

- Khi đó min/max chính là số lẻ đó

- Đạt được khi dấu bằng xảy ra

* Lý thuyết nắm thêm:

Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (1)

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (2)

- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac

+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 2: x1 + x2 +...+xn $\geq n . \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 3: ${(\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n})}^{n} \geq x_{1} . x_{2} . . . x_{n}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =....= xn

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

Dạng 1: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}} \geq \frac{n^{2}}{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}$

Dạng 2: (x1 + x2 + ... + xn) $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}) \geq n^{2}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2025 + Bài tập)

Câu 162:

có đồ thị như hình bên. Trong các giá trị

Cho hàm số

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

a

,

b

,

c

,

d

có bao nhiêu giá trị dương?

Xem đáp án

* Lời giải:

Dựa vào xu hướng của đồ thị hàm số ta có $lim_{x \to + \infty} y = - \infty \Rightarrow a < 0$

Tại $x = 0 \Rightarrow y = d < 0$

$y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d \Rightarrow y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c .$

Xét thấy 2 điểm cực trị $x_{1} < 0$ và $x_{2} > 0.$ </>

Ta có: ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- 2 b}{3 a} > 0 \Rightarrow b > 0 \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{3 a} < 0 \Rightarrow c > 0 \end{cases}$ </>

Vậy có 2 giá trị dương trong 4 giá trị $a, b, c, d .$

* Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc giới hạn của hiệu

Áp dụng quy tắc giới hạn của tích với hằng số

Giới hạn của hằng số

Thay các giá trị đã biết

* Lý thuyết nắm thêm:

I. Đường tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a; + \infty); (- \infty; b);$ $(- \infty; + \infty)$ ). Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = y_{0}; \lim_{x \to - \infty} f (x) = y_{0}$

Ví dụ 1. Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{x^{2} + 1}$ .

Hàm số xác định trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ .

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 vì $\lim_{x \to + \infty} \frac{x + 2}{x^{2} + 1} = 0;$ $\lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2}{x^{2} + 1} = 0$

II. Đường tiệm cận đứng

- Định nghĩa:

Đường thẳng x = x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

- Ví dụ 2. Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 4}$ .

Lời giải:

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} \frac{x + 2}{x - 4} = 1;$ $\lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2}{x - 4} = 1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

Lại có: $\lim_{x \to 4_{}^{+}} \frac{x + 2}{x - 4} = + \infty;$ $\lim_{x \to 4^{-}} \frac{x + 2}{x - 4} = - \infty;$

Suy ra: đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 4.

Xem thêm một số bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Đường tiệm cận (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

50 bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 163:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một nhà máy có hai tổ công nhân, tổ Một có nhiều hơn tổ Hai 18 công nhân, biết rằng nếu nhà máy có thêm 8 công nhân thì nhà máy sẽ có 100 công nhân. Hỏi mỗi tổ công nhân có bao nhiêu người?

Xem đáp án

* Lời giải:

Tổng số công nhân của nhà máy là:

100 – 8 = 92 (công nhân)

Hai lần số công nhân của tổ Hai là:

92 – 18 = 74 (công nhân)

Số công nhân của tổ Hai là:

74 : 2 = 37 (công nhân)

Số công nhân của tổ Một là:

37 + 18 = 55 (công nhân)

Đáp số: Tổ Một: 55 công nhân

Tổ Hai: 37 công nhân

* Phương pháp giải:

Tính tổng số tuổi của Hạnh và Thanh để bằng mẹ

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 164:

Giải Toán 8 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 3 trang 74

Hình thang trong Hình 3.23 có là hình thang cân không? Vì sao

Xem đáp án

* Lời giải:

Để hình thang ABCD là hình thang cân thì $\hat{A} = \hat{B} = 120 °; \hat{C} = \hat{D} = 80 °$ .

Suy ra $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 120 ° + 120 ° + 80 ° + 80 ° = 400 ° > 360 °$ (không thỏa mãn định lí tổng bốn góc trong một tứ giác).

Khi đó, ACBD không phải là tứ giác.

Do đó ACBD cũng không phải là hình thang cân.

* Phương pháp giải:

Năm vững dấu hiệu nhận biết các hình để chứng minh

Nắm lại lý thuyết và cách chứng minh các đường trung trực, trung tuyến,...

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song

Tứ giác ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \{\begin{cases} A B / / C D \\ A D / / B C \end{cases}$

2. Tính chất: Trong hình bình hành

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

II. Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về hình bình hành (có đáp án 2024) – Toán 8

Câu 165:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một đội trồng rừng trung bình cứ 3 ngày trồng được 1200 cây thông. Hỏi trong 12 ngày đội đó trồng được bao nhiêu cây thông?

Xem đáp án

* Lời giải:

Tóm tắt:

3 ngày : 1200 cây thông

12 ngày : ... cây thông?

Giải

12 ngày so với 3 ngày thì gấp:

12 : 3 = 4 (lần)

Trong 12 ngay đội đó trồng được:

1200 x 4 = 4800 (cây thông)

Đáp số: 4800 cây thông.

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 166:

Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác – Toán 10 Kết nối tri thức

Cho 5 điểm A ; B ; C ; D ; E trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba trong 5 điểm trên

Xem đáp án

* Lời giải:

Có $10$ tam giác mà các đỉnh là ba trong năm điểm đã cho là:

$Δ A B C; Δ A B D; Δ A B E; Δ B C D; Δ B C E$ ; $Δ C D A; Δ C D E; Δ D E B; Δ D E A; Δ A E C$

$Δ C D A; Δ C D E; Δ D E B; Δ D E A; Δ A E C$

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về hệ thức lượng trong tam giác:

Định lí Côsin

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a² = b² + c² – 2bc.cosA.

b² = c² + a² – 2ca.cosB.

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2 R$ .

Độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có ma, mb, mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C.

Ta có

Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Công thức tính diện tích tam giác

Đối với tam giác ABC: A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC sau:

+) S = pr = $\frac{(a + b + c) r}{2}$

+) S = $\frac{1}{2}$ bc sin A = $\frac{1}{2}$ ca sin B = $\frac{1}{2}$ ab sin C.

+) S = $\frac{abc}{4 R}$

+) Công thức Heron: S = $\sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Giải Toán 10 Bài 6 (Kết nối tri thức): Hệ thức lượng trong tam giác

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (Kết nối tri thức) | Chuyên đề dạy thêm Toán 10

Câu 167:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một kho chứa 472kg muối, lần đầu chuyển đi 200kg muối, lần sau chuyển đi 170kg muối. Hỏi trong kho còn lại bao nhiêu ki-lô-gam muối?

Xem đáp án

* Lời giải:

Còn lại số muối sau khi chuyển đi lần đầu là:

472 – 200 = 272 (kg)

Trong kho còn lại số muối là:

272 – 170 = 102 (kg)

Đáp số: 102 kg muối

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 168:

Lý thuyết Hai đường thẳng song song – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Cho hai góc kề nhau xOy và yOz có tổng bằng $150 °$ và $\hat{x O y} - \hat{y O z} = 90 °$ .

a) Tính số đo $\hat{x O y}$ và $\hat{y O z}$

b) Gọi Oz' là tia đối của tia Oz. Hãy so sánh $\hat{x O y}$ và $\hat{y O z}$

Xem đáp án

* Lời giải:

Cho hai góc kề nhau xOy và yOz có tổng bằng 150 độ và góc xOy - góc yOz = 90 độ (ảnh 2)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180

Sử dụng tính chất: tia phân giác trong một góc

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm về hai đường thẳng song song:

1. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A và B. Với mỗi cặp góc gồm một góc đỉnh A và một góc đỉnh B, ta có:

a) Hai góc và (tương tự và ) gọi là hai góc so le trong.

b) Hai góc và (tương tự và ; và ; và ;) gọi là hai góc đồng vị.

Tính chất: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

2. Tiên đề Euclid về hai đường thẳng song song.

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

3. Tính chất của hai đường thẳng song song

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

- Hai góc so le trong bằng nhau

- Hai góc đồng vị bằng nhau.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Toán 7 Bài 9 (Kết nối tri thức): Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

TOP 20 câu Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

Câu 169:

TOP 10 câu Trắc nghiệm Số đo góc. Các góc đặc biệt có đáp án - Toán lớp 6

Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA = 4cm, OB = 8cm.

a) Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B không? Vì sao?

b) Tính AB?

c) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Cách đo góc. Số đo góc

- Bước 1: Ta đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với đỉnh O của góc.

- Bước 2: Xoay thước sao cho một cạnh của góc (chẳng hạn, cạnh Oy) đi qua vạch 0 của thước và thước chồng lên phần trong của góc (như hình vẽ).

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Thước đo góc

Trong hình vẽ trên là thước đo góc được dùng để đo hoặc vẽ góc. Thước có dạng một nửa hình tròn và được chia thành 180 phần bằng nhau bởi các vạch được ghi từ 0 đến 180. Mỗi một phần của thước ứng với 1 độ. Dấu ^o thay cho chữ “độ”.

Độ là đơn vị đo góc.

Ta gọi tâm của nửa hình tròn này là tâm của thước.

Ví dụ 1. 30 độ được kí hiệu là 30^o.

2. Cách đo góc. Số đo góc

- Bước 1: Ta đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với đỉnh O của góc.

- Bước 2: Xoay thước sao cho một cạnh của góc (chẳng hạn, cạnh Oy) đi qua vạch 0 của thước và thước chồng lên phần trong của góc (như hình vẽ).

- Bước 3: Xác định xem cạnh còn lại của góc (cạnh Ox) đi qua vạch chỉ số nào trên thước đo góc, ta sẽ được số đo của góc đó.

Chẳng hạn: trong hình vẽ trên, tia Ox đi qua vạch chỉ số 130 của thước đo góc.

Do đó, số đo góc xOy là 130^o.

Nhận xét:

- Mỗi góc có một số đo. Số đo của góc bẹt là 180^o.

- Số đo của mỗi góc không vượt quá 180^o.

Chú ý:

- Trên thước đo góc, người ta ghi các số từ 0 đến 180 ở hai vòng cung theo hai chiều ngược nhau để việc đo góc được thuận tiện. Nếu một cạnh của góc trùng với cạnh ở nửa bên phải của thước đo thì chúng ta sử dụng thang ở bên trong, nếu nửa bên trái thì chúng ta sử dụng thang bên ngoài.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Câu 170:

Chuyên đề Phương trình lượng giác cơ bản - Toán 11

Cho hai góc nhọn a và b thỏa mãn cosa = 1/3, cos b = 1/4.Giá trị của cos( a + b) cos (a - b) bằng

Xem đáp án

* Lời giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng và công thức nhân đôi ta có:

cos( a + b) cos (a - b)= ½ . ( cos 2a + cos2b)

= cos²a + cos²b - 1 =

*Phương pháp giải:

- Vận dụng các kiến thức và cách giải của các phương trình lượng giác cơ bản để giải tìm ra nghiệm

* Lý thuyết cần nắm và một số phương trình lượng giác thường gặp:

a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

*Phương pháp giải:

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình dạng at+b=0 (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

b) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

*Phương pháp giải:

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

1. Hàm số y = sinx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = sinx :

+ Xác định với mọi x $\in ℝ$ và – 1 ≤ sinx ≤ 1.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số y = sinx.

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π].

Hàm số y = sinx đồng biến trên $[0; \frac{π}{2}]$ và nghịch biến trên $[\frac{π}{2}; π]$ .

Bảng biến thiên:

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; π] đi qua các điểm (0; 0); (x1; sinx1); (x2; sinx2); (x3; sinx3); (x4; sinx4); (π; 0).

c) Tập giá trị của hàm số y = sinx

Tập giá trị của hàm số này là [– 1; 1].

2. Hàm số y = cosx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = cosx:

+ Xác định với mọi x $\in ℝ$ và – 1 ≤ cosx ≤ 1.

+ Là hàm số chẵn.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Với mọi x $\in ℝ$ ta có: $\sin (x + \frac{π}{2}) = c os x$ .

Từ đó, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo vecto $\vec{u} = (\frac{- π}{2}; 0)$ (sang trái một đoạn có độ dài bằng $\frac{π}{2}$ , song song với trục hoành), ta được đồ thị hàm số y = cos x.

+ Hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn [– π; 0] và nghịch biến trên đoạn [0; π].

+ Bảng biến thiên:

+ Tập giá trị của hàm số y = cosx là [– 1; 1].

+ Đồ thị của các hàm số y = cosx; y = sinx được gọi chung là các đường hình sin.

3. Hàm số y = tanx.

Từ định nghĩa hàm số y = tan x:

+ Có tập xác định: $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π; k \in ℤ\}$ .

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng $[0; \frac{π}{2})$

+ Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng $[0; \frac{π}{2})$ .

+ Bảng biến thiên:

+ Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng $[0; \frac{π}{2})$ đi qua các điểm tìm được.

4. Hàm số y = cot x

Hàm số y = cotx:

+ Có tập xác định là $D = ℝ \ \{k π; k \in ℤ\}$ .

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Sự biến thiên của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoàn (0; π).

Bảng biến thiên:

Hình biểu diễn của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) – Toán 11

Trắc nghiệm Một số phương trình lượng giác thường gặp (có đáp án)

Câu 171:

Trắc nghiệm Chuyển động thẳng đều có đáp án – Vật lí lớp 10

Một người đi xe đạp từ A đến B có chiều dài 24km. Nếu đi liên tục không nghỉ thì sau 3h người đó sẽ đến B. Nhưng khi đi được 30 phút, người đó dừng lại 15 phút rồi mới đi tiếp. Hỏi ở quãng đường sau, người đó phải đi với vận tốc bao nhiêu để kịp đến B.

Xem đáp án

* Lời giải:

Một người đi xe đạp từ A đến B có chiều dài 24km đi liên tục không nghỉ thì sau 3h người đó sẽ đến B, hì người đó đi với vận tốc $v = \frac{24}{3} = 8 (k m / h)$

Sau 30 phút người đó đi được quãng đường $s = v . t = 8.0, 5 = 4 k m$

Vậy còn lại 24-4=20km mà thời gian còn lại là $t_{1} = 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4} h$

Vậy vận tốc lúc sau người đó đi để đến kịp B là

$v_{1} = \frac{s_{1}}{t_{1}} = \frac{20}{} = \frac{80}{9} (k m / h)$

* Phương pháp giải:

Tính vận tốc v2 lúc xuống dốc chính là vtb của cả quãng đường

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm

- Tốc độ trung bình của vật (kí hiệu v_tb) được xác định bằng thương số giữa quãng đường vật đi được và thời gian để vật thực hiện quãng đường đó

$v_{t b} = \frac{s}{Δ t}$

Trong hệ SI, đơn vị của tốc độ là m/s

Một số đơn vị thường dùng khác của tốc độ là km/h, km/s, cm/s,…

- Tốc độ trung bình tính trong khoảng thời gian rất nhỏ là tốc độ tức thời (kí hiệu v) diễn tả sự nhanh, chậm của chuyển động tại thời điểm đó.

Độ dịch chuyển được xác định bằng độ biến thiên tọa độ của vật

$d = x_{2} - x_{1} = Δ x$

- Độ dịch chuyển là đại lượng vecto, kí hiệu là $\vec{d}$

- Độ dịch chuyển có thể nhận giá trị dương, âm hoặc bằng không. Quãng đường là đại lượng không âm.

- Vận tốc trung bình là đại lượng vecto được xác định bằng thương số giữa độ dịch chuyển của vật và thời gian để vật thực hiện độ dịch chuyển đó

${\vec{v}}_{t b} = \frac{\vec{d}}{Δ t} = \frac{Δ \vec{x}}{Δ t}$

- Xét trong một khoảng thời gian rất nhỏ, vận tốc trung bình sẽ trở thành vận tốc tức thời. Độ lớn của vật tốc tức thời chính là tốc độ tức thời.

- Tốc độ trung bình chỉ bằng độ lớn của vận tốc trung bình khi vật chuyển động thẳng không đổi chiều.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Chuyển động thẳng – Vật lí 10

Câu 172:

Lý thuyết Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp – Toán 10 Cánh diều

Cho các tập hợp A = {-1; -2; -3; -4; -5; -6; -8; -10}; B = {-1; -3; -5; -7; -9; -11}

Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.

Xem đáp án

* Lời giải:

F = {-1; -2; -3; -4; -5; -6; -7; -8; -9; -10; -11}

*Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức về tập hợp để làm

*Lý thuyết cần nắm thêm

• Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản trong toán học.

Để chỉ x là một phần tử của tập hợp A, ta viết x ∈ A (đọc là x thuộc A).

Để chỉ x không phải một phần tử của tập hợp A, ta viết x ∉ A (đọc là x không thuộc A).

• Biểu diễn tập hợp bằng một trong 2 cách:

+ Liệt kê các phần tử của tập hợp.

+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

• Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập con của tập B, kí hiệu là A ⊂ B. Ta còn đọc là A chứa trong B.

Quy ước: Tập hợp rỗng $\emptyset$ là tập con của mọi tập hợp.

Chú ý:

+ A ⊂ B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B).

+ Khi A ⊂ B, ta cũng viết B ⊃ A, đọc là B chứa A.

+ Nếu A không phải tập con của B, ta viết A ⊄ B.

Tính chất:

+ A ⊂ A với mọi tập hợp A.

+ Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C.

• Khi A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau, viết là A = B.

Xem thêm một số bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức về tập hợp (2024) chi tiết nhất

Câu 173:

50 bài tập Giải bài toán có lời văn về số thập phân lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Tính bằng cách thuận tiện nhất:

4,68 + 6,03 + 3,97

Xem đáp án

* Lời giải:

4,68 + 6,03 + 3,97

= 4,68 + (6,03 + 3,97)

= 4,68 + 10

= 14,68

* Phương pháp giải:

- Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:

+ Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

+ Cộng như cộng các số tự nhiên.

+ Viết dấu phẩy ở cột thẳng cột với các dấu phẩy của các số hạng

- Để tính tổng của nhiều số thập phân, ta làm tương tự như tính tổng của hai số thập phân.

* Lý thuyết nắm thêm

Cấu tạo số thập phân

- Mỗi số thập phân gồm hai phần: phần nguyên và phần thập phân, chúng được phân cách bởi dấu phẩy.

- Những chữ số ở bên trái dấu phẩy thuộc về phần nguyên, những chữ số ở bên phải dấu phẩy thuộc về phần thập phân.

Ví dụ:

9,85 đọc là: chín phẩy tám mươi lăm

Dạng 1: Các bài toán đơn về số thập phân

1. Phương pháp giải

- Đối với dạng toán này, chúng ta thực hiện các bước giải giống như thực hiện giải bài toán có lời văn liên quan đến số tự nhiên.

- Chúng ta chỉ cần thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia liên quan đến số thập phân để tính kết quả.

Dạng 2: Bài toán hợp về số thập phân

1. Phương pháp giải

- Đối với dạng toán này chúng ta cũng thực hiện các bước giải như giải các bài toán liên quan đến số tự nhiên.

- Tuy nhiên ta cần thực hiện nhiều bước giải hơn để tìm ra đáp án so với dạng toán đầu tiên.

Dạng 1: Cộng số thập phân

1. Phương pháp giải

- Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:

+ Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

+ Cộng như cộng các số tự nhiên.

+ Viết dấu phẩy ở cột thẳng cột với các dấu phẩy của các số hạng

- Để tính tổng của nhiều số thập phân, ta làm tương tự như tính tổng của hai số thập phân.

Dạng 2: Trừ số thập phân

1. Phương pháp giải

- Muốn trừ một số thập phân cho một số thập ta làm như sau:

+ Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

+ Trừ như trừ các số tự nhiên.

+ Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và số trừ.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

- Nhân một số thập phân với một số tự nhiên:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên

+ Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số, rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

- Nhân một số thập với 10, 100, 1000, ... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001 ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với một số thập ta làm như sau:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên.

+ Đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các phép toán với số thập phân lớp 5 và cách giải

Câu 174:

Lý thuyết Các phép toán với đa thức nhiều biến – Toán lớp 8

Tìm x, biết: $3 x (x - 5) - x^{2} + 25 = 0$

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Chuyển hết x về một vế, số tự do về một vế

Thực hiện phép tính tìm x

* Lý thuyết nắm thêm

Cộng và trừ hai đa thức

Để cộng, trừ hai đa thức ta thực hiện các bước:

- Bỏ dấu ngoặc (sử dụng quy tắc dấu ngoặc);

- Nhóm các đơn thức đồng dạng (sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp);

- Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các lũy thừa cùng biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau.

Ví dụ: $(- 3 x^{2} y) (4 x y) = [(- 3.4)] . (x^{2} . x) . (y . y) = - 12. x^{3} . y^{2}$

3. Nhân đơn thức với đa thức

Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

Nhân hai đa thức

Để nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} (x y + 1) (x y - 3) \\ = (x y) . (x y) + x y - 3 x y - 3 \\ = x^{2} y^{2} - 2 x y - 3 \end{array}$

Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (với A chia hết cho B), ta làm như sau:

- Chia hệ số của A cho hệ số của B.

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

- Nhân các kết quả vừa tìm được cho nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} 16 x^{4} y^{3} : (- 8 x^{3} y^{2}) \\ = (16 : (- 8)) . (x^{4} : x^{3}) . (y^{3} : y^{2}) \\ = - 2 x y \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 1: Đa thức

Câu 175:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Tính giá trị của biểu thức sau: $x^{2}$ – $y^{2}$ tại x = 87 và y = 13

Xem đáp án

'* Lời giải:

Ta có: $x^{2}$ – $y^{2}$ = (x + y)(x – y)

Thay x = 87, y = 13, ta được:

$x^{2}$ – $y^{2}$ = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

* Phương pháp giải:

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

* Lý thuyết nắm thêm

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Các dạng bài

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải (2024) – Toán 8

Câu 176:

Công thức tính Cấp số cộng và cách giải các dạng bài tập

Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là:

Xem đáp án

* Lời giải:

Ba cạnh a, b, c ( a < b < c) của một tam giác theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu thì:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ a + b + c = 3 \\ a + c = 2 b \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ 3 b = 3 \\ a + c = 2 b \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ b = 1 \\ a = 2 b - c = 2 - c \end{cases} . \end{array}$

Ta có

$a^{2} + b^{2} = c^{2} \to_{a = 2 - c}^{b = 1} {(2 - c)}^{2} + 1 = c^{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 4 c + 5 = 0 \\ \Leftrightarrow c = \frac{5}{4} \Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{3}{4} \\ b = 1 \\ c = \frac{5}{4} \end{cases} . \end{array}$

*Phương pháp giải

(u_n) là cấp số cộng khi u_n+1 = u_n + d, n ∈ N^* (d gọi là công sai)

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức: u_n = u₁ + (n – 1)d với n ∈ N^*, n ≥ 2.

*Lý thuyết nắm thêm về cấp số cộng:

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

un+1 = un + d với $n \in ℕ^{*}$ (1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; công sai d = 3.

Số hạng tổng quát

- Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2.

Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

- Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}; k \geq 2$

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

- Định lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.

Khi đó: $S_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2}$ .

- Chú ý: vì un = u1 + (n – 1)d nên ta có: $S_{n} = n u_{1}^{} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Câu 177:

35 Bài tập Biểu thức có chứa một chữ lớp 4 (có đáp án)

Tính giá trị của các biểu thức: x + 123 với x = -23

Xem đáp án

* Lời giải:

Với x = -23 ta có x + 123 = -23 + 123 = 100

* Phương pháp giải:

- thay giá trị xvào biểu thức và thực hiện phép tính toán

* Lý thuyết cần nắm và dạng toán về biểu thức chữ:

1. Tính chất của phép cộng

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

a + b = b + a

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

a + b + c = (a + b)+ c = a + (b + c)

2. Tính chất của phép trừ

+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại

a – (b + c) = (a – b) – c

+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại

(a + b)– c = (a – c) + b = (b – c)+ a

3. Tính chất của phép nhân

+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

a × b = b × a

+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.

a × 1 = 1 × a = a

+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

a × (b + c) = a × b + a × c

+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau

a × (b – c) = a × b – a × c

4. Tính chất của phép chia

+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

(a + b) : c = a : c + b : c

+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau

(a – b) : c = a : c – b : c

+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.

a : (b × c) = a : b : c = a : c : b

+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.

(a × b) : c = a : c × b = b : c × a

+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó

a : 1 = a

Các dạng bài tập

Dạng 1: Nhóm các số hạng trong biểu thức thành từng nhóm có tổng (hoặc hiệu) là các số tròn chục , tròn trăm, tròn nghìn,….rồi cộng (trừ) các kết quả lại

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của phép cộng và phép trừ để nhóm các số hạng trong biểu thức thành từng nhóm có tổng (hoặc hiệu) là các số tròn chục , tròn trăm, tròn nghìn,….rồi cộng (trừ) các kết quả lại.

Dạng 2: Vận dụng tính chất: một số nhân với một tổng, một số nhân với một hiệu, một tổng chia cho một số….

Phương pháp giải

Vận dụng tính chất: một số nhân với một tổng, một số nhân với một hiệu, một tổng chia cho một số….

Dạng 3: Vận dụng một số kiến thức về dãy số để tính giá trị của biểu thức theo cách thuận tiện nhất

Phương pháp giải

Số các số hạng = (Số hạng cuối - số hạng đầu) : khoảng cách + 1

Sau khi học sinh tìm được số hạng của một dãy số cách đều, học sinh thực hiện tính nhanh tổng dãy số cách đều theo các bước:

Bước 1: Tìm số số hạng của dãy số đó

Bước 2: Tính số cặp có thể tạo được từ số các số hạng đó (Lấy số các số hạng chia 2)

Bước 3: Nhóm các số hạng thành từng cặp, thông thường nhóm số hạng đầu tiên với số cuối cùng của dãy số, cứ lần lượt làm như vậy đến hết

Bước 4: Tính giá trị của một cặp ( các giá trị của từng cặp là bằng nhau)

Bước 5: Ta tính tổng của dãy số bằng cách lấy số cặp nhân với giá trị của một cặp

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Tính giá trị của biểu thức lớp 4 và cách giải

Câu 178:

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 Cánh diều

Cho sina + cosa = 1. Tính: sin2a.

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: sina + cosa = 1

Þ (sina + cosa)² = 1²

Þ sin²a + 2sina cosa + cos²a = 1

Þ 2sina cosa + (sin²a + cos²a) = 1

Þ sin2a + 1 = 1

Þ sin2a = 0.

Vậy với sina + cosa = 1 thì sin2a = 0.

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi lượng giác để biến đổi

*Lý thuyết nắm thêm

I. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

II. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 12 câu Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 11

Câu 179:

Lý thuyết Ôn tập: Khái niệm về phân số. Tính chất cơ bản của phân số - Toán lớp 5

a) Số đối của

\frac{9}{25}

là…..

Xem đáp án

* Lời giải:

a) Số đối của $\frac{9}{25}$ là – $\frac{9}{25}$ .

*Phương pháp giải:

-Tìm phân số đối của phân số

*Các dạng bài tập về tính chất cơ bản của phân số:

- Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

- Nếu chia hết cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Ứng dụng tính chất cơ bản của phân số

Dạng 1: Rút gọn phân số

Bước 1: Xét xem cả tử số và mẫu số của phân số đó cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1

Bước 2: Chia cả tử số và mẫu số của phân số đó cho số vừa tìm được

Bước 3: Cứ làm thế cho đến khi tìm được phân số tối giản

Chú ý:

Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho số nào lớn hơn 1

Dạng 2: Quy đồng mẫu số các phân số

a) Trường hợp mẫu số chung bằng tích của hai mẫu số của hai phân số đã cho

Bước 1: Lấy cả tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai

Bước 2: Lấy cả tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Sách bài tập Toán lớp 5 trang 4: Ôn tập: Tính chất cơ bản của phân số

Bài tập Quy đồng mẫu số các phân số lớp 5 và cách giải

Câu 180:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Tính: $\frac{1}{4} + \frac{5}{12} - \frac{1}{13} - \frac{7}{8}$

Xem đáp án

* Lời giải:

Mẫu số chung là BCNN(4 ; 12 ; 13 ; 8) = 312.

* Phương pháp giải:

Muốn nhân các phân số với nhau: nhân tử với tử, mẫu số với mẫu số ta được một phân số mới bằng phân số đã cho

* Lý thuyết nắm thêm

- Các phép toán liên quan đến phân số đó là các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia, phân số.

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

35 Bài tập tổng hợp Phân số và hỗn số lớp 5 (có đáp án)

Câu 181:

Lý thuyết Hàm số bậc nhất (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = x (x - 2)^{3}$ , với mọi $x \in R$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây

A. (-1;0)

B. (1;3)

C. (0;1)

D. (-2,0)

Xem đáp án

Đáp án đúng: C

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

- Hàm số bậc nhất xác định bởi mọi x $\in ℝ$ .

- Hàm số bậc nhất đồng biến trên $ℝ$ khi a > 0.

- Hàm số bậc nhất nghịch biến trên $ℝ$ khi a < 0.

* Một số lý thuyết liên quan:

1. Khái niệm về tính đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc $ℝ$ .

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị y = f(x) tương ứng cũng tăng thì hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của y = f(x) tương ứng giảm thì hàm số y = f(x) là hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

2. Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến

Cách 1: Dựa vào khái nệm

Với x1, x2 bất kì thuộc :

- Nếu $x_{1} < x_{2}$ và $f (x_{1}) < f (x_{2})$ thì hàm số y = f(x) đồng biến trên $ℝ$ .

- Nếu $x_{1} < x_{2}$ và $f (x_{1}) > f (x_{2})$ thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên $ℝ$ .

Cách 2: Xét dấu của giá trị T

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x), ta xét dấu của T, với $T = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ và $x_{1}, x_{2} \in ℝ$

Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hàm số bậc nhất (có đáp án 2024) – Toán 9

Lý thuyết Các khái niệm về hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Câu 182:

Lý thuyết Căn bậc hai (và Bài Tập) - Toán 9

Tìm x, biết: $\sqrt{x - 10} = - 2$

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất của căn bậc hai để giải bài toán ( do x không âm ):

ví dụ: ${(\sqrt{x})}^{2} = x$

* Lý thuyết và dạng bài về bài toán căn bậc hai:

Khái niệm căn thức bậc hai:

Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng $\sqrt{A}$ , trong đó A là một biểu thức đại số. A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

Điều kiện xác định của căn thức bậc hai

$\sqrt{A}$ xác định khi A lấy giá trị không âm và ta thường viết là $A \geq 0$ . Ta nói $A \geq 0$ là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của $\sqrt{A}$ .

Hằng đẳng thức $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Với A là một biểu thức, ta có:

Với $A \geq 0$ ta có $\sqrt{A} \geq 0$ ; ${(\sqrt{A})}^{2} = A$ ;
$\sqrt{A^{2}} = | A |$ .

So sánh các căn bậc hai số học

Định lí. Với hai số a và b không âm, ta có: $a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

Tìm điều kiện để √A có nghĩa

Phương pháp giải

√A có nghĩa ⇔ A ≥ 0

có nghĩa ⇔ A > 0

Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai (dạng √(A2))

Phương pháp giải: Vận dụng hằng đẳng thức:

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn

Phương pháp giải: Dựa vào điều kiện:

Dấu bằng xảy ra khi A = 0.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Toán 9 Bài 7 SGK (Kết nối tri thức): Căn bậc hai và căn thức bậc hai

TOP 40 câu Trắc nghiệm Căn bậc hai (có đáp án) – Toán 9

Câu 183:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Tính (5x – 1)³

Xem đáp án

* Lời giải:

(5x – 1)³

= (5x)³ – 3.(5x)².1 + 3.5x.1²– 1³ (Áp dụng HĐT (5))

= 125x³ – 75x² + 15x – 1

* Phương pháp giải:

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

* Lý thuyết nắm thêm

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Các dạng bài

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải (2024) – Toán 8

Câu 184:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11

Giải phương trình:

$\cot x - 3 = \sqrt{3} (1 - \cot x)$ .

Xem đáp án

* Lời giải:

$\cot x - 3 = \sqrt{3} (1 - \cot x)$

$\Leftrightarrow \cot x - 3 = \sqrt{3} - \sqrt{3} \cot x$

$\Leftrightarrow (1 + \sqrt{3}) \cot x = \sqrt{3} + 3$

$\Leftrightarrow \cot x = \frac{\sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow \cot x = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{π}{6}$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + k π (k \in Z)$ .

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = \frac{π}{6} + k π$ với k ∈ ℤ.

*Phương pháp giải:

áp dụng các công thức lượng giác để biến đổi và giải tìm ra nghiệm

*Lý thuyết nắm thêm

Phương trình cosx=a

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $|cosx| \leq 1$ với mọi x.

- Trường hợp $|a| \leq 1$ .

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x = \pm α + k 2 π; k \in ℤ$

Phương trình tanx=a

- Điều kiện xác định của phương trình là $x \neq \frac{π}{2} + k π; k \in ℤ$

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x = \arctan a + k π; k \in ℤ$

+) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: $x = α + k π; k \in ℤ$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f (x) = g (x) + k π; k \in ℤ$ .

+) Phương trình tanx = tanβ⁰ có các nghiệm là: $x = β^{0} + k {.180}^{0}; k \in ℤ$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án)– Toán 11

Câu 185:

Toán lớp 5 trang 20 (Cánh diều) Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó

Tổng số cân nặng của hai anh em là 67 kg, biết rằng cân nặng của em bằng cân nặng của anh. Hỏi mỗi anh em nặng bao nhiêu ki-lo-gam?

Xem đáp án

* Lời giải:

Tỉ số cân nặng của em so với cân nặng của anh là:

$\frac{5}{14} : \frac{3}{5} = \frac{25}{42}$

Tổng số phần bằng nhau là:

42 + 25 = 67 ( phần)

Giá trị của mỗi phần là:

67 : 67 = 1 (kg)

Số cân nặng của anh: 42 (kg)

Số cân nặng của em là: 25 (kg)

Đáp số: Anh nặng 42 kg;

Em nặng 25 kg.

* Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

Dạng 2: Thiếu (ẩn) tổng (Cho biết tỉ số, không cho biết tổng số)

1. Phương pháp giải

Tìm tổng của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 3: Thiếu (ẩn) tỉ (Cho biết tổng số, không cho biết tỉ số)

1. Phương pháp giải

Tìm tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 4: Ẩn cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Tìm tổng và tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó lớp 4 và cách giải

Câu 186:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Tìm x biết: $\frac{x}{3} = \frac{2}{3} + \frac{- 1}{7}$

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Muốn nhân các phân số với nhau: nhân tử với tử, mẫu số với mẫu số ta được một phân số mới bằng phân số đã cho

* Lý thuyết nắm thêm

- Các phép toán liên quan đến phân số đó là các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia, phân số.

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

35 Bài tập tổng hợp Phân số và hỗn số lớp 5 (có đáp án)

Câu 187:

Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác – Toán 10 Kết nối tri thức

Tam giác ABC có AB = 4; BC = 6 và $A C = 2 \sqrt{7}$ . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài cạnh AM.

Xem đáp án

* Lời giải:

Theo định lí hàm cosin, ta có :

Do MC = 2MB nên BM = 1/3.BC = 2.

Theo định lí hàm cosin, ta có: AM²= AB²+ BM²- 2AB.BM.cos B = 4²+ 2²-2.4.2.1/2 = 12

Do đó: .

*Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

*Lý thuyết nắm thêm

1. Định lí Côsin

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a² = b² + c² – 2bc.cosA.

b² = c² + a² – 2ca.cosB.

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

2. Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2 R$ .

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (Kết nối tri thức) | Chuyên đề dạy thêm Toán 10

Câu 188:

200 bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án 2025) và cách giải

Chứng tỏ rằng: 4x – $x^{2}$ – 5 < 0 với mọi x

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: 4x – $x^{2}$ – 5 = -( $x^{2}$ – 4x + 4) – 1 = - ${(x - 2)}^{2}$ -1

Vì ${(x - 2)}^{2}$ ≥ 0 với mọi x nên – ${(x - 2)}^{2}$ ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: - ${(x - 2)}^{2}$ -1 ≤ -1 với mọi x

Vậy 4x – $x^{2}$ – 5 < 0 với mọi x.(đpcm)

* Phương pháp giải:

Vận dụng hằng đẳng thức biến đổi để ra được điều cần chứng minh

1. Bình phương của một tổng

${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

2. Bình phương của một hiệu

${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

3. Hiệu hai bình phương

$A^{2} - B^{2}$ = (A – B)(A + B)

Các dạng bài

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Sử dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đã học để khai triển các biểu thức

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức

Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức, lựa chọn vế có thể dễ dàng áp dụng các hằng đẳng thức.

Dạng 3: Tính nhanh

Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức cho các số tự nhiên

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Sử dụng các hằng đẳng thức và cần chú ý:

$A^{2} \geq 0$ và $- A^{2} \leq 0$

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 8

Câu 189:

Toán lớp 5 trang 20 (Cánh diều) Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó

Hiện nay tổng số tuổi của hai bố con là 48 tuổi. Biết rằng cách đây 4 năm, tuổi bố gấp 4 lần tuổi con. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.

Xem đáp án

* Lời giải:

4 năm trước tổng số tuổi của bố và con là:

48 – 4 × 2 = 40 (tuổi)

Hiện nay tổng số tuổi của hai bố con là 48 tuổi. Biết rằng cách đây 4 năm, tuổi bố gấp 4 lần tuổi con. Tính tuổi của mỗi người hiện nay. (ảnh 1)

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:

1 + 4 = 5 (phần)

Giá trị của một phần là:

40 : 5 = 8 (tuổi)

Tuổi của bố 4 năm trước là:

8 × 4 = 32 (tuổi).

Số tuổi của bố hiện tại là:

32 + 4 = 36 (tuổi)

Số tuổi của con hiện tại là:

8 + 4 = 12 (tuổi).

Đáp số: Tuổi bố: 36 tuổi, tuổi con: 12 tuổi.

* Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

Dạng 2: Thiếu (ẩn) tổng (Cho biết tỉ số, không cho biết tổng số)

1. Phương pháp giải

Tìm tổng của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 3: Thiếu (ẩn) tỉ (Cho biết tổng số, không cho biết tỉ số)

1. Phương pháp giải

Tìm tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 4: Ẩn cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Tìm tổng và tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó lớp 4 và cách giải

Câu 190:

Giải Toán 9 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình bậc hai một ẩn

Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức: M = $x^{2}$ + $y^{2}$ – x + 6y + 10

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: M = $x^{2}$ + $y^{2}$ – x + 6y + 10 = ( $y^{2}$ + 6y + 9) + ( $x^{2}$ – x + 1)

= ${(y + 3)}^{2}$ + ( $x^{2}$ – 2.1/2 x + 1/4) + 3/4 = ${(y + 3)}^{2}$ + ${(x - 1 / 2)}^{2}$ + 3/4

Vì ${(y + 3)}^{2}$ ≥ 0 và ${(x - 1 / 2)}^{2}$ ≥ 0 nên ${(y + 3)}^{2}$ + ${(x - 1 / 2)}^{2}$ ≥ 0

⇒ M = ${(y + 3)}^{2}$ + ${(x - 1 / 2)}^{2}$ + 3/4 ≥ 3/4

⇒ M = 3/4 khi

Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2

* Phương pháp giải:

- Biến đổi về dạng Hằng đẳng thức +/- 1 số lẻ bên ngoài

- Khi đó min/max chính là số lẻ đó

- Đạt được khi dấu bằng xảy ra

* Lý thuyết nắm thêm:

Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (1)

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (2)

- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac

+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 2: x1 + x2 +...+xn $\geq n . \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 3: ${(\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n})}^{n} \geq x_{1} . x_{2} . . . x_{n}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =....= xn

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

Dạng 1: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}} \geq \frac{n^{2}}{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}$

Dạng 2: (x1 + x2 + ... + xn) $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}) \geq n^{2}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2025 + Bài tập)

Câu 191:

Giải Toán 9 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình bậc hai một ẩn

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{16 - x^{2}}$ là

Xem đáp án

* Lời giải:

TXĐ: D = [–4; 4].

Ta có –x2 ≤ 0, ∀x.

⇔ 16 – x2 ≤ 16, ∀x.

$\Leftrightarrow \sqrt{16 - x^{2}} \leq 4, \forall x$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0.

Vậy $\max_{[- 4; 4]} y = 4$

* Phương pháp giải:

- Biến đổi về dạng Hằng đẳng thức +/- 1 số lẻ bên ngoài

- Khi đó min/max chính là số lẻ đó

- Đạt được khi dấu bằng xảy ra

* Lý thuyết nắm thêm:

Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (1)

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (2)

- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac

+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 2: x1 + x2 +...+xn $\geq n . \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 3: ${(\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n})}^{n} \geq x_{1} . x_{2} . . . x_{n}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =....= xn

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

Dạng 1: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}} \geq \frac{n^{2}}{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}$

Dạng 2: (x1 + x2 + ... + xn) $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}) \geq n^{2}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2025 + Bài tập)

Câu 192:

50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án) – Toán 12

Gọi là số cạnh của hình chóp có 101 đỉnh. Tìm n

A. 202

B. 200

C. 101

D. 203

Xem đáp án

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

*Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều để tính toán: mặt đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông, các cạnh từ đỉnh chóp xuống 4 góc sẽ bằng nhau

*Lý thuyết về hình chóp tứ giác đều

a) Hình chóp

- Đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh.

– Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao.

b) Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

+ Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.

+ Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.

a) Diện tích xung quanh của hình chop đều

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

S_xq = p.d (p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)

b) Diện tích toàn phần của hình chóp

Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:

S_tp = S_xq + S (S: diện tích đáy)

c) Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao:

V = 1/3S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 Bài tập Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Toán 12

Câu 193:

Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án)

Tìm số giá trị nguyên của tham số $m \in (- 10; 10)$ để phương trình ${(\sqrt{10} + 1)}^{x^{2}} + m {(\sqrt{10} - 1)}^{x^{2}}$ $= 2 . 3^{x^{2} + 1}$ có đúng hai nghiệm phân biệt?

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Giải phương trình rồi lập bảng biến thiên

* Các dạng bài tập thường gặp sự đồng biến/nghịch biến của hàm mũ:

* Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'(x).

Bước 3: Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Kết luận.

- Dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ:

Cho hàm số y = a^x, (a > 0; a ≠ 1). Khi đó:

Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R

Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R

* Dạng bài toán:

Dạng 1: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Tính f′(x).

– Bước 2: Nêu các điều kiện của bài toán:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên R⇔y′=f′(x)⩾0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên R⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

– Bước 3: Từ các điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để tìm m.

Dạng 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D đã cho trước.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Nêu các điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên D⇔y′=f′(x)⩾0, với ∀x∈D.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên D⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈D.

– Bước 2: Từ điều kiện trên hãy sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm m.

- Bước 3: Kết luận

c) Dạng 4: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

– Bước 1: Tính y′

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến và nghịch biến:

– Bước 3: Đưa ra kết luận.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số Toán 12 mới nhất

Trắc nghiệm Hàm lũy thừa (có đáp án)

Câu 194:

Giải Toán 9 (Kết nối tri thức): Giải phương trình hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h , rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h . Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB.

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB và BC lần lượt là x; y

(x > 0; y > 0,5; đơn vị: giờ ) .

Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là 1,5 giờ . Thời gian ô tô đi hết quãng đường BC là 2 giờ.

* Phương pháp giải:

Gọi ẩn và điều kiện xác định cho ẩn

Từ đề bài lập các phương trình. Từ đó ta được 1 hệ phương trình 2 ẩn

Giaỉ hệ phương trình vừa lập

* Lý thuyết nắm thêm về hệ phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

Câu 195:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một xe tải chỉ có thể chở được 300 bao gạo, mỗi bao 50 kg. Nếu chất lên xe đó loại bao gạo 75 kg thì xe chở được bao nhiêu bao?

Xem đáp án

* Lời giải:

Tóm tắt:

1 xe tải chở:

300 bao , 1 bao: 50 kg

? bao , 1 bao: 75 kg

Giải:

Số ki-lô-gam gạo là:

50 x 300 = 15 000 (kg)

Số bao loại 75 kg là:

15 000 : 75 = 200 (bao)

Đáp số: 200 bao.

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 196:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Tìm số x khi biết 12% của x là 500.

Xem đáp án

* Lời giải:

Số x là: $\frac{500.100}{12} = \frac{12500}{3}$ .

* Phương pháp giải:

Muốn tìm số b khi biết a% của b là c, ta tính: b = $\frac{c}{a} .100$

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 197:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Tìm x trong tỉ lệ thức $\frac{5}{3} = \frac{x}{9}$

Xem đáp án

* Lời giải:

$\frac{5}{3} = \frac{x}{9}$

5 . 9 = 3 . x

3x = 45

x = 45 : 3

x = 15

Vậy x = 15.

* Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức giải phương trình để tìm x

* Lý thuyết nắm thêm:

- Các phép toán liên quan đến phân số đó là các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia, phân số.

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

35 Bài tập tổng hợp Phân số và hỗn số lớp 5 (có đáp án)

Câu 198:

Công thức tính Cấp số cộng và cách giải các dạng bài tập

Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,...Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?

Xem đáp án

* Lời giải:

Giả sử có tất cả n hàng cây được trồng

Số cây các hàng là 1; 2; 3; 4; .... ; n - 1; n

Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng có u₁ = 1; d = 1

Giả sử có n hàng cây thì

*Phương pháp giải

(u_n) là cấp số cộng khi u_n+1 = u_n + d, n ∈ N^* (d gọi là công sai)

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức: u_n = u₁ + (n – 1)d với n ∈ N^*, n ≥ 2.

*Lý thuyết nắm thêm về cấp số cộng:

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

un+1 = un + d với $n \in ℕ^{*}$ (1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; công sai d = 3.

Số hạng tổng quát

- Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2.

Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

- Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}; k \geq 2$

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

- Định lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.

Khi đó: $S_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2}$ .

- Chú ý: vì un = u1 + (n – 1)d nên ta có: $S_{n} = n u_{1}^{} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Câu 199:

50 Bài toán về tỉ số phần trăm lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Một trại nuôi gà có số gà trống bằng 30% số gà mái. Nếu trại mua thêm 60 con gà trống thì số gà trống bằng 40% số gà mái. Hỏi lúc đầu trại nuôi tất cả bao nhiêu con gà?

Xem đáp án

* Lời giải:

Vì số gà mái không đổi nên 60 con gà trống ứng với số phần trăm là

40% - 30% = 10% ( số gà mái)

Số gà mái ban đầu là :

60 : 10 x 100 = 600( con)

Số gà trống ban đầu là

600 x 30 : 100 = 180 ( con)

Lúc đầu có tất cả số con gà là :

600 + 180 = 780 ( con)

Đáp số : 780 con

* Phương pháp giải:

Tỉ số phần trăm của a và b là $\frac{a}{b} .100 %$ .

* Lý thuyết nắm thêm

Tỷ số của hai số là thương của phép chia số a cho số b với b khác 0, được viết dưới dạng a / b hoặc a : b.

Tỷ số phần trăm chính là tỉ số của hai số mà ở đó ta sẽ quy mẫu số của tỉ số về số 100. Tỷ số phần trăm thường được sử dụng để biểu thị độ lớn tương đối của một lượng này so với lượng khác. Ví dụ: 2/100 = 2%, 35/100 = 35%

Ký hiệu thường dùng là “%” – ký hiệu phần trăm. Ví dụ: 50% (đọc là “năm mươi phần trăm”) tương đương với 50/100, nói cách khác là 0,5.

Cách tính tỉ số phần trăm của 1 số

Trong toán học, phần trăm là tỷ lệ được hiển thị dưới dạng phân số với mẫu số luôn luôn bằng 100. Ngoài ra, phần trăm còn được biểu diễn ở dạng khác bằng cách dùng ký hiệu % mà bạn thường gặp như 1%, 5%, 10%,… Điều đặc biệt là phần trăm không có đơn vị đo lường.

Bạn sẽ thường thấy rằng phần trăm được dùng để chỉ ra mức độ (hay độ lớn) của một lượng này so với một lượng kia. Ví dụ, một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 15 học sinh là nữ thì ta có thể nói rằng số học sinh nữ chiếm tỉ lệ 50% trong tổng số học sinh của lớp học đó.

Để hiểu rõ hơn về tỷ lệ phần trăm, dưới đây là cách tính phần trăm của 1 số:

Tính phần trăm khi biết tổng thể với a là một số, b là tổng thể, ta tính như sau: (a/b)*100 (%).

Ví dụ, một một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 5 học sinh là nữ. Thì ta có, 20 học sinh là tổng thể, 5 học sinh nữ là số bạn cần so sánh. Ta có phép tính như sau: (5/20)*100(%).

Tính phần trăm khi chưa biết tổng thể với a là một số, b là một số, ta tính như sau: a/(a+b))*100 hay b/(a+b))*100 (%).

- Cách tính phần trăm của 2 số

Cách tính phần trăm của 2 số a, b đó chính là lấy số a đem chia số b và nhân cho 100. Chúng ta sẽ ghi ký hiệu phần trăm (%) ở đằng sau kết quả mình nhận được. Cụ thể là:

(a : b) x 100 = a/b x 100 (%)

- Cách tính phần trăm của một tổng

Đây là cách tính phần trăm được dùng nhiều nhất trong tất cả. Khi tính phần trăm 1 tổng, bạn sẽ biết đại lượng này chiếm bao nhiêu phần trong tổng chung.

Cách tính phần trăm A so với tổng (A+B): A/(A+B)*100

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

35 Bài tập Tỉ số phần trăm lớp 5 (có đáp án)

Câu 200:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11

Giải phương trình: sinx + cosx + 1 + sin2x + cos2x = 0

Xem đáp án

* Lời giải:

*Phương pháp giải:

áp dụng các công thức lượng giác để biến đổi và giải tìm ra nghiệm

*Lý thuyết nắm thêm

Phương trình cosx=a

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $|cosx| \leq 1$ với mọi x.

- Trường hợp $|a| \leq 1$ .

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x = \pm α + k 2 π; k \in ℤ$

Phương trình tanx=a

- Điều kiện xác định của phương trình là $x \neq \frac{π}{2} + k π; k \in ℤ$

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x = \arctan a + k π; k \in ℤ$

+) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: $x = α + k π; k \in ℤ$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f (x) = g (x) + k π; k \in ℤ$ .

+) Phương trình tanx = tanβ⁰ có các nghiệm là: $x = β^{0} + k {.180}^{0}; k \in ℤ$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án)– Toán 11

Câu 201:

Lý thuyết Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó (mới 2024 + Bài Tập) - Toán lớp 5

Một hình chữ nhật có chiều dài là $2 \frac{5}{8} m$ , chiều rộng kém chiều dài $\frac{5}{6} m$ . Diện tích hình chữ nhật đó là: $\frac{...}{64} m^{2}$

Số thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Tính chiều dài

Tính chiều rộng

Tính diện tích

* Lý thuyết nắm thêm:

- Bước 1: Vẽ sơ đồ biểu diễn hai số

- Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

- Bước 3: Tính giá trị của một phần

Giá trị của một phần = Tổng : Tổng số phần bằng nhau

- Bước 4: Tìm số lớn hoặc số bé:

Cách 1: Tìm số bé trước

Số bé = Giá trị của một phần × Số phần của số bé

Số lớn = Tổng – Số bé

Cách 2: Tìm số lớn trước

Số lớn = Giá trị của một phần × Số phần của số lớn

Số bé = Tổng – Số lớn

- Bước 5: Kết luận, đáp số

(Học sinh có thể tiến hành thêm bước thử lại kết quả để kiểm chứng)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó lớp 4 và cách giải

Câu 202:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Giải phương trình: $\frac{3 x + 2}{2} - \frac{3 x + 1}{6} = 2 x + \frac{5}{3}$

Xem đáp án

* Lời giải:

⇔ 3(3x + 2) – (3x + 1) = 12x + 10

⇔ 9x + 6 – 3x – 1 = 12x + 10

⇔ 6x + 5 = 12x + 10

⇔ 6x – 12x = 10 – 5

⇔ -6x = 5

⇔

Vậy phương trình có tập nghiệm

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính phân số

* Lý thuyết nắm thêm:

- Các phép toán liên quan đến phân số đó là các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia, phân số.

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

35 Bài tập tổng hợp Phân số và hỗn số lớp 5 (có đáp án)

Câu 203:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Hệ $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y < 5 (1) \\ x + \frac{3}{2} y < 5 (2) \end{matrix}$ . Gọi $S_{1}$ là tập nghiệm của bất phương trình (1), $S_{2}$ là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta thấy (0;0) là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

*Phương pháp giải

a^f(x) $\geq$ b(*)

- Nếu $\{\begin{cases} 0 < a \neq 1 \\ b \leq 0 \end{cases}$ thì (*) luôn đúng

- Nếu $\{\begin{cases} b > 0 \\ 0 < a < 1 \end{cases}$ thì (*) $\Leftrightarrow f (x) \leq \log_{a} b$

- Nếu $\{\begin{cases} b > 0 \\ 1 < a \end{cases}$ thì (*) $\Leftrightarrow f (x) \geq \log_{a} b$

*Một số dạng bài về bất phương trình mũ

- Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^{x} > b$ (hoặc $a^{x} \geq b$ , $a^{x} < b$ , $a^{x} \leq b$ )

với $a > 0, a \neq 1$ .

Tập nghiệm của bất phương trình mũ cơ bản

a. Tập nghiệm của bất phương trình $a^{x} > b (a > 0, a \neq 1)$

b. Tập nghiệm của bất phương trình $a^{x} \geq b (a > 0, a \neq 1)$

c. Tập nghiệm của bất phương trình $a^{x} < b (a > 0, a \neq 1)$

d. Tập nghiệm của bất phương trình $a^{x} \leq b (a > 0, a \neq 1)$

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3: a^f(x) > b(*)

Dạng 4: a^f(x) < b(**)

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

Tương tự với bất phương trình dạng:

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài toán về bất phương trình mũ và cách giải

Toán 11 Bài 21 (Kết nối tri thức): Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Câu 204:

Hàm số mũ và hàm số lôgarit | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Đặt a = log₂3 ; b = log₅3 . Hãy biểu diễn log₆45 theo a và b.

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có:

* Phương pháp giải:

-Áp dụng các công thức:

- Với các cơ số lôgarit a và b bất kì (0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1) và M là số thực dương tùy ý ta có:

+) $l {og}_{a} M = \frac{{log}_{b} M}{{log}_{b} a}$ hay logba ⋅ logaM = logbM.

- Định lí 2: Với các số dương a, x, y và a ≠ 1 ta có:

* Lý thuyết cần nắm và dạng toán về logarit:

1. Định nghĩa logarit

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.

$α = \log_{a} b \Leftrightarrow a^{α} = b$

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

2. Tính chất của logarit

Cho hai số dương a và b; a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây:

loga1 = 0; logaa = 1

$a^{\log_{a} b} = b; \log_{a} (a^{α}) = α$

Quy tắc tính logarit

Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

$\log_{a} (b_{1} . b {}_{2}) = \log_{a} b_{1} + \log_{a} b {}_{2}$

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

$\log_{a} \frac{b_{1}}{b_{2}} = \log_{a} b_{1} - \log_{a} b {}_{2}$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: $\log_{a} \frac{1}{b} = - \log_{a} b$ ( a > 0; b > 0; a ≠ 1)

Logarit của một lũy thừa

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

$\log_{a} b^{α} = α \log_{a} b$

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: $\log_{a} \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} \log_{a} b$

Đổi cơ số logarit

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1; c ≠ 1, ta có:

$\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$

– Đặc biệt:

$\begin{array}{l} \log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} ( b \neq 1) \\ \log_{a^{α}} b = \frac{1}{α} \log_{a} b (α \neq 0) \end{array}$

Logarit thập phân. Logarit tự nhiên

Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log10b thường được viết là logb hoặc lgb.

Logarit tự nhiên

– Logarit tự nhiên là logarit cơ số e. Logeb được viết là lnb. $\begin{array}{l} \log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} ( b \neq 1) \\ \log_{a^{α}} b = \frac{1}{α} \log_{a} b (α \neq 0) \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

50 Bài tập Lôgarit Toán 12 mới nhất

Câu 205:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Axit – bazơ – muối (có đáp án 2023) – Hóa học 8

Cho 2,7 gam hỗn hợp bột X gồm Fe và Zn tác dụng với dung dịch CuSO₄. Sau một thời gian, thu được dung dịch Y và 2,84 gam chất rắn Z. Cho toàn bộ Z vào dung dịch H₂SO₄ (loãng, dư). Sau khi các phản ứng kết thúc thì khối lượng chất rắn giảm 0,28 gam và dung dịch thu được chỉ chứa một muối duy nhất. Phần trăm khối lượng của Fe trong X là:

Xem đáp án

* Lời giải:

Zn có tính khử mạnh hơn Fe, Zn sẽ phản ứng với dung dịch CuSO₄ trước.

Theo đề: hỗn hợp rắn Z phản ứng với dung dịch H₂SO₄ loãng thu được 1 muối duy nhất → trong hỗn hợp rắn Z có Cu và Fe dư. Vậy m_{Fe dư} = 0,28 (g) và m_Cu = 2,84 - 0,28 = 2,56 (g)

Ta có: khối lượng hỗn hợp X phản ứng với Cu²⁺ = 2,7 - 0,28 = 2,42 (g)

Gọi n_Zn = x mol; n_{Fe pư} = y mol

Ta có hệ:

m_Feban đầu = 0,02.56 + 0,28 = 1,4 (g)

* Phương pháp giải:

Vận dụng tính chất hóa học của kim loại - acid - base - muối để hoàn thành phương trình

* Lý thuyết nắm thêm

1. Axit

- Khái niệm: Phân tử axit gồm một hay nhiều nguyên tử hiđro liên kết với gốc axit, các nguyên tử hiđro này có thể thay thế bằng các nguyên tử kim loại.

- Công thức hóa học: một hay nhiều nguyên tử H + gốc axit.

- Phân loại:

+ axit không có oxi: HCl, H₂S,…

+ axit có oxi: H₂SO₄, H₃PO₄, HNO₃, H₂SO₃…

- Tên gọi

+ Axit không có oxi:

Tên axit: axit + tên phi kim + hiđric.

2. Bazơ

- Khái niệm: Phân tử bazơ gồm có một nguyên tử kim loại liên kết với một hay nhiều nhóm hiđroxit (-OH)

- Công thức hóa học: Có một nguyên tử kim loại và một hay nhiều nhóm -OH.

- Công thức chung: M(OH)_n

Trong đó:

+ M: là nguyên tử kim loại.

+ n: là số nhóm hiđroxit (n có giá trị bằng hóa trị của kim loại)

- Tên gọi: Tên kim loại + hoá trị (nếu kim loại có nhiều hoá trị) + hiđroxit.

3. Muối (xét muối kim loại)

- Khái niệm: Phân tử muối gồm có một hay nhiều nguyên tử kim loại liên kết với một hay nhiều gốc axit.

- Công thức hóa học:

+ Gồm 2 thành phần: kim loại và gốc axit.

+ Công thức hóa học dạng: M_xA_y

Trong đó: M là nguyên tử kim loại và A : là gốc axit.

- Tên gọi = Tên KL + hoá trị (nếu KL có nhiều hoá trị) + tên gốc axit

- Phân loại:

+ Muối trung hòa: Muối mà trong gốc axit không có nguyên tử hiđro có thể thay thế nguyên tử kim loại.

VD: Na₂SO₄, Na₂CO₃.

+ Muối axit: Muối mà trong gốc axit còn nguyên tử hiđro chưa được thay thế bằng nguyên tử kim loại.

VD: NaHCO₃, NaHSO₄.

4. Xác định công thức hóa học khi biết thành phần các nguyên tố

Gọi công thức tổng quát của hợp chất là A_xB_y

Bước 1: Tìm khối lượng mỗi nguyên tố có trong 1 mol hợp chất.

$m_{A} = \frac{% m_{A} . M_{A_{x} B_{y}}}{100}; m_{B} = \frac{% m_{B} . M_{A_{x} B_{y}}}{100}$

Bước 2: Tìm số mol nguyên tử mỗi nguyên tố trong 1 mol hợp chất.

$n_{A} = \frac{m_{A}}{M_{A}}; n_{B} = \frac{m_{B}}{M_{B}}$

Bước 3: Lập công thức hóa học của hợp chất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về xác định công thức hóa học và gọi tên axit, bazơ và muối (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 206:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau : 0, 3, 7, 12, ...

Xem đáp án

* Lời giải:

Số hạng thứ hai là :

3 = 0 + 1 + 2

Số hạng thứ ba là :

7 = 3 + 1 + 3

Số hạng thứ tư là :

12 = 7 + 1 + 4

Từ đó rút ra quy luật của dãy là : Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 và cộng với số thứ tự của số hạng ấy .

Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau.

0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, ...

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 207:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một can nhựa chứa 100 lít dầu hỏa. Biết một lít dầu hỏa cân nặng 0,8kg, can rỗng cân nặng 12,5kg. Hỏi can dầu hỏa đó cân nặng bao nhiêu ki-lô-gam?

Xem đáp án

* Lời giải:

100 lít dầu hỏa nặng số ki-lô-gam là:

0,8 × 100 = 80 (kg)

Can dầu hỏa đó nặng số ki-lô-gam là:

80 + 12,5 = 92,5 (kg)

Đáp số: 92,5kg.

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 208:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

10 người làm xong một công việc phải hết 7 ngày. Nay muốn làm xong công việc đó trong 5 ngày thì cần bao nhiêu người? (Mức làm của mỗi người như nhau)

Xem đáp án

* Lời giải:

Tóm tắt:

7 ngày : 10 người

5 ngày : ... người?

Giải:

Muốn làm xong công việc trong một ngày thì cần:

10 x 7 = 70 (người)

Muốn làm xong công việc trong 5 ngày thì cần:

70 : 5 = 14 (người)

Đáp số: 14 người.

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 209:

50 bài tập Các dạng toán Hình học lớp 5 điển hình (có đáp án 2025) và cách giải

Tính diện tích miếng bìa có kích thước như hình vẽ sau:

Xem đáp án

* Lời giải:

Tính diện tích miếng bìa có kích thước như hình vẽ sau: (ảnh 2)

Ta chia miếng bìa thành 3 hình chữ nhật như hình trên.

Độ dài cạnh EF bằng cạnh AD nên EF = 20 (cm).

Độ dài cạnh MC là:

MC = BC − BM = 20 − 10 = 10 (cm).

Độ dài cạnh CH là:

CH = DE − DC − HE = 50 − 20 − 10 = 20 (cm).

Diện tích hình vuông ABCD là:

20 × 20 = 400 (cm²).

Diện tích hình chữ nhật MNHC là:

10 × 20 = 200 (cm²).

Diện tích hình chữ nhật GFEH là:

10 × 20 = 200 (cm²).

Vậy tổng diện tích miếng bìa là:

400 + 200 + 200 = 800 (cm²).

Đáp số: 800 (cm²).

* Phương pháp giải:

+ Công thức: S = a x b.

+ Muốn tính diện tích hình chữ nhật, ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng (cùng một đơn vị đo).

* Lý thuyết nắm thêm

1. Công thức tính diện tích Hình chữ nhật

+ Công thức: S = a x b.

+ Muốn tính diện tích hình chữ nhật, ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Biết diện tích tìm cạnh bằng cách lấy diện tích chia cạnh đã biết.

2. Công thức tính diện tích Hình vuông

+ Công thức: S = a x a = a2.

+ Muốn tính diện tích hình vuông, ta lấy độ dài một cạnh nhân với chính nó.

+ Mở rộng: Nếu biết diện tích hình vuông, ta có thể tìm cạnh hình vuông bằng cách nhẩm.

3. Công thức tính diện tích Hình bình hành

+ Công thức: S = a x h

+ Muốn tính diện tích hình bình hành, ta lấy độ dài đáy nhân với chiều cao (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Biết diện tích hình bình hành, ta có thể tính: Độ dài đáy: a = S : h; Chiều cao: h = S : a

4. Công thức tính diện tích Hình thoi

+ Công thức: S = m x n : 2

+ Muốn tính diện tích hình thoi, ta lấy tích độ dài hai đường chéo chia cho 2 (cùng một đơn vị đo).

5. Công thức tính diện tích Hình tam giác

+ Công thức: S = h x a : 2

+ Muốn tính diện tích hình tam giác, ta lấy độ dài đáy nhân với chiều cao rồi chia cho 2 (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Nếu ta biết diện tích hình tam giác, ta có thể tính:

Chiều cao: h = (S x 2) : a

Cạnh đáy: a = (S x 2) : h

6. Công thức tính diện tích hình tứ giác

Sẽ không có công thức chung để tính diện tích hình tứ giác mà chúng ta dựa vào cụ thể hình tứ giác đó là gì để có cách tính diện tích khác nhau.

7. Công thức tính diện tích Hình thang

+ Công thức: S = (a + b) x h : 2

+ Muốn tính diện tích hình thang, ta lấy tổng độ dài hai đáy nhân với chiều cao rồi đem chia cho 2 (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Nếu biết diện tích hình thang, ta có thể tính

Chiều cao: h = (S x 2) : a

Cạnh đáy: a = (S x 2) : h

8. Công thức tính diện tích Hình tròn

+ Công thức: S = π. r2 (π ≈ 3,14)

+ Muốn tính diện tích hình tròn, ta lấy bán kinh nhân với bán kính rồi nhân với số 3,14.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật (2024) chính xác nhất

Câu 210:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Tổng diện tích của ba vườn cây là 5,4ha. Diện tích của vườn cây thứ nhất là 2,6ha. Diện tích của vườn cây thứ hai bé hơn diện tích của vườn cây thứ hai bé hơn diện tích của vườn cây thứ nhât là 0,8ha. Hỏi diện tích của vườn cây thứ ba bằng bao nhiêu mét vuông? (Giải bằng hai cách)

Xem đáp án

* Lời giải:

*Cách 1

Diện tích vườn cây thứ 2 và thứ 3 là:

5,4 – 2,6 = 2,8 (ha)

Diện tích của vườn cây thứ hai là:

2, 6 – 0,8 =1,8 (ha)

Diện tích của vườn cây thứ ba là:

2,8 – 1, 8 = 1 (ha)

= 10000 (m2)

Đáp số: 10000m2

*Cách 2

Diện tích của vườn cây thứ hai là:

2,6 – 0,8 = 1,8 (ha)

Diện tích vườn cây thứ 1 và thứ 2 là:

2,6 + 1,8 = 4,4 (ha)

Diện tích của vườn cây thứ ba là:

5,4 – 4,4 = 1 (ha)

= 10000m2

Đáp số: 10000m2

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 211:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Hiện nay tổng số tuổi của hai mẹ con là 48 tuổi, biết rằng 5 năm trước mẹ hơn con 24 tuổi. Hỏi hiện nay mẹ bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi?

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta thấy mẹ thêm 1 tuổi thì con cũng thêm 1 tuổi nên hiệu số tuổi của hai mẹ con không thay đổi theo thời gian. Nên hiệu số tuổi của hai mẹ con hiện nay là 24 tuổi.

Số tuổi của con hiện nay là : (48 - 24 ) : 2 = 12 (tuổi)

Số tuổi của mẹ hiện nay là : 12 + 24 = 36 (tuổi)

Đáp số : Con: 12 tuổi ; mẹ : 36 tuổi

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 212:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Mai có quả cân 100 g và quả cân 200 g, cùng một chiếc cân thăng bằng. Bạn ấy có một túi gạo 1 kg. Với một lần cân, em hãy chỉ cách giúp Mai lấy ra:

Xem đáp án

* Lời giải:

Đổi: 1 kg = 1000 g

Mai để một quả cân 100 g, một quả cân 200 g lên một bên đĩa cân.

Mai để từ từ gạo lên đĩa cân còn lại cho đến khi cân ở trạng thái cân bằng.

Số gạo trong đĩa cân chính là 300 g gạo cần lấy.

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 213:

Giải Toán 9 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình bậc hai một ẩn

Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^{3} - 3 x + 2 m - 1|$ trên đoạn $[0; 2]$ là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng?

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

- Biến đổi về dạng Hằng đẳng thức +/- 1 số lẻ bên ngoài

- Khi đó min/max chính là số lẻ đó

- Đạt được khi dấu bằng xảy ra

* Lý thuyết nắm thêm:

Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (1)

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (2)

- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac

+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 2: x1 + x2 +...+xn $\geq n . \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 3: ${(\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n})}^{n} \geq x_{1} . x_{2} . . . x_{n}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =....= xn

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

Dạng 1: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}} \geq \frac{n^{2}}{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}$

Dạng 2: (x1 + x2 + ... + xn) $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}) \geq n^{2}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2025 + Bài tập)

Câu 214:

Công thức tính tương đối của vận tốc và cách giải các dạng bài tập (2025) chi tiết nhất

Một xe chuyển động thẳng không đổi chiều, trong nửa thời gian đầu xe chạy với vận tốc 12 km/h. Trong nửa thời gian sau xe chạy với vận tốc 18 km/h. Vận tốc trung bình trong suốt thời gian đi là

Xem đáp án

* Lời giải:

Vận tốc trung bình trong suốt thời gian đi là:

* Phương pháp giải:

Nắm kỹ lý thuyết vận tốc tương đối

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Khái niệm

- Nếu vật chuyển động ngược dòng thì có lực cản của dòng nước; nếu chuyển động xuôi dòng thì có thêm vận tốc dòng nước.

2. Công thức

- Một chiếc thuyền đang chạy trên một dòng sông. Ta sẽ xét chuyển động của thuyền trong hai hệ qui chiếu:

+ Hệ quy chiếu (x0y) gắn với bờ coi như hệ quy chiếu đứng yên.

+ Hệ quy chiếu (x’0y’) gắn với một vật trôi theo dòng nước là hệ quy chiếu chuyển động.

- Gọi thuyền là số 1 (ứng với vật chuyển động), nước là số 2 (ứng với hệ quy chiếu chuyển động), bờ là số 3 (ứng với hệ quy chiếu đứng yên). Ta có:

$\vec{v_{1, 3}}$ là vận tốc của thuyền đối với bờ, tức là đối với hệ quy chiếu đứng yên. Vận tốc này gọi là vận tốc tuyệt đối.

$\vec{v_{1, 2}}$ là vận tốc của thuyền đối với nước, tức là đối với hệ quy chiếu chuyển động. Vận tốc này gọi là vận tốc tương đối.

$\vec{v_{2, 3}}$ là vận tốc của nước đối với bờ. Đó là vận tốc của hệ quy chiếu chuyển động so với hệ quy chiếu đứng yên. Vận tốc này gọi là vận tốc kéo theo.

Ta có hệ thức: $\vec{v_{1, 3}} = \vec{v_{1, 2}} + \vec{v_{2, 3}} (1)$

3. Kiến thức mở rộng

- Trường hợp: $\vec{v_{1, 2}}$ cùng hướng với $\vec{v_{2, 3}}$ => (1) trở thành $v_{1, 3} = v_{1, 2} + v_{2, 3}$

- Trường hợp: $\vec{v_{1, 2}}$ khác hướng với $\vec{v_{2, 3}}$ => (1) trở thành: $v_{1, 3} = |v_{1, 2} - v_{2, 3}|$

- Trường hợp: $\vec{v_{1, 2}} ⊥ \vec{v_{2, 3}}$ => (1) trở thành: $v_{1, 3} = \sqrt{{v^{2}}_{1, 2} + {v^{2}}_{2, 3}}$

- Trường hợp: $α = (\vec{v_{1, 2}}, \vec{v_{2, 3}})$ => (1) trở thành: $v_{1, 3} = \sqrt{{v^{2}}_{1, 2} + {v^{2}}_{2, 3} + 2 . v_{1, 2} . v_{2, 3} . \cos α}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Tính tương đối của chuyển động có đáp án – Vật lí lớp 10

Câu 215:

Công thức tính thể tích khối lăng trụ và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng $\frac{a \sqrt{3}}{4}$ . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. A'B'C'.

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của BC

Ta có $A' G ⊥ (A B C)$ nên $A' G ⊥ B C; B C ⊥ A M \Rightarrow B C ⊥ (M A A')$

Kẻ $M I ⊥ A A'$ ; $B C ⊥ I M$ nên $d (A A'; B C) = I M = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

Kẻ $G H ⊥ A A'$ , ta có

*Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức về trọng tâm tam giác đều để biến đổi

*Lý thuyến cần nắm và dạng bài tập về thể tích khối lăng trụ:

Công thức thể tích:

a) Thể tích khối lăng trụ

$V_{L T} = S . h$

với: S: Diện tích đáy

h: Chiều cao.

b) Thể tích khối hộp chữ nhật

$V = a . b . c$

với a, b, c là ba kích thước.

c) Thể tích khối lập phương

$V = a^{3}$

Trong đó a là độ dài cạnh.

PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

+) Trong nhiều trường hợp, chiều cao của khối đa diện được cho ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc (chiều cao cho gián tiếp), hay dùng nhất là: định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, …

+) Tính độ dài chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, định lý cosin, …

+) Có thể tính chiều cao bằng cách chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Nếu $O A / / (α)$ thì $d (O, (α)) = d (A, (α))$

Nếu $O A \cap (α) = \{I\}$ thì $\frac{d (O, (α))}{d (A, (α))} = \frac{I O}{I A}$ (định lý Ta-lét)

Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức.

Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích.

Dạng 1: Thể tích lăng trụ đứng tam giác:

Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác.

(1) Chiều cao h là cạnh bên AA’ (hoặc BB’, CC’).

(2) Mặt đáy là tam giác ABC (hoặc tam giác A’B’C’).

Khi đó thể tích lăng trụ ABC. A’B’C’ là $V = S_{A B C} . A A'$

Dạng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ xiên

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài toán về thể tích khối lăng trụ (có đáp án 2024) – Toán 12

Câu 216:

Lý thuyết Viết các số đo độ dài dưới dạng số thập phân (mới 2022 + Bài Tập) - Toán lớp 5

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta có OA = OB = OC = OD (tính chất) nên bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn (tâm O, bán kính OA)

Theo định lí Pitago trong tam giác vuông ABC có:

Nên bán kính đường tròn là OA = 13 : 2 = 6.5 cm

*Phương pháp giải

- Vẽ hình chữ nhật đã biết chiều dài và chiều rộng

- Áp dụng định lý Pitago để tính ra AC từ đó tìm ra bán kính

* Lý thuyết cần nắm và dạng bài tập về tính diện tích các hình học:

Dạng 1: Các bài toán về các hình học phẳng

Phương pháp giải

Các bài toán về các hình học phẳng được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Các bài toán không có nội dung thực tế: là các bài toán đề bài cho một hình vẽ, cho số liệu và yêu cầu tính diện tích, chu vi hoặc một cạnh nào đó...

- Các bài toán có chứa nội dung thực tế: Trong đề bài toán có những dữ liệu liên quan đến đời sống thực tế.

- Đối với dạng toán này chúng ta cần nhớ và áp dụng công thức tính chu vi, diện tích các hình học phẳng đã học: hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác, hình tròn, hình thang, hình bình hành..

Dạng 2: Các bài toán về các hình khối

Phương pháp giải

- Dạng toán này bao gồm những bài tập liên quan đến hình lập phương, hình hộp chữ nhật

- Để giải được các dạng toán này, các em cần nắm rõ cách tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của các hình.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Sách bài tập Toán lớp 5 trang 13: Ôn tập: Bảng đơn vị đo độ dài

Bài tập Đơn vị đo độ dài, khối lượng và diện tích lớp 5 (có đáp án)

Câu 217:

Quy tắc tính đạo hàm và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + x^{2} + 8 x + \cos x$ . Với hai số thực $a, b$ sao cho $a < b$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

* Lời giải:

Tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x + 8 - \sin x = (3 x^{2} + 2 x + 1) + (7 - \sin x) > 0, \forall x \in ℝ$ Suy ra $f (x)$ đồng biến trên R. Do đó $a < b \Rightarrow f (a) < f (b)$ .

* Phương pháp giải:

Nắm vững bảng quy tắc đạo hàm

* Lý thuyết nắm thêm

1. Định nghĩa đạo hàm

Giới hạn nếu có của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại $x_0$ , khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ .

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $(a;b)$ và $x_0\in(a;b)$ :

$f'({x_0})$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ $(\Delta x = x – x_0, \Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$

Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0; tính :

∆y= f( x0+ ∆x)- f( x0) .

+ Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x.

+ Bước 3:

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

* Định lí: Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

* Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Đạo hàm một bên, Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

a. Đạo hàm bên trái, bên phải

+ Nếu tồn tại giới hạn( hữu hạn) bên phải

ta gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại x=x0 và kí hiệu f'(x0+)

+ Tương tự; đạo hàm bên trái của hàm số là

Hệ quả : Hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f'(x0+) và f;(x0-) đồng thời f' (x0+ )=f'(x0-) .

b. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

Hàm số y= f(x) có đạo hàm trên[a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái tại x= b và đạo hàm phải tại x= a.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) taị điểm x=x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y – y0= f’(x0) ( x- x0)

trong đó y0= f( x0)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm – Toán 11 Kết nối tri thức

Câu 218:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Tính nhẩm kết quả tìm x:

5,4 x x = 5,4 9,8 x x = 6,2 x 9,8

Xem đáp án

* Lời giải:

x = 1 (vì 5,4 x 1 = 5,4 )

x = 6,2 (hai tích bằng nhau đã có một thừa số bằng nhau thì thừa số còn lại cũng bằng nhau).

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép tính nhân/chia để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 219:

Lý thuyết Hình thoi và hình vuông – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

Một hình thoi có diện tích 42 cm², độ dài một đường chéo là 6 cm. Tính độ dài đường chéo còn lại.

Xem đáp án

* Lời giải:

Độ dài đường chéo còn lại là:

$\frac{42 \times 2}{6} = 14$ (cm)

Đáp số: 14 cm.

* Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính diện tích hình thoi để giải bài toán

* Lý thuyết nắm thêm:

I. Hình thoi

1. Khái niệm

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

2. Tính chất

Trong hình thoi:

a. Hai đường chéo vuông góc với nhau;

b. Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc trong hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

a. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

b. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

c. Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

II. Hình vuông

1. Khái niệm

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

2. Tính chất

Trong một hình vuông, hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và là các đường phân giác của các góc của hình vuông.

3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

a. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

b. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

1. Công thức tính chu vi hình thoi

Muốn tính chu vi hình thoi, ta lấy tổng độ dài của các cạnh hoặc độ dài một cạnh nhân với 4. Công thức tính chu vi hình thoi như sau:

P = a + a + a + a = 4 x a

Trong đó:

a là độ dài 1 cạnh hình thoi

P là chu vi hình thoi

2. Công thức tính diện tích hình thoi

Diện tích hình thoi bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo. Đường chéo của hình thoi là đường thẳng nối các đỉnh đối diện với nhau (hai đường chéo của hình thoi sẽ vuông góc với nhau và cắt nhau tại một điểm).

S = $\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

Trong đó: S là diện tích hình thoi

d₁, d₂ lần lượt là hai đường chéo của hình thoi

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Công thức, cách tính chu vi và diện tích hình thoi (2024) chính xác nhất

Câu 220:

50 bài tập Các dạng toán Hình học lớp 5 điển hình (có đáp án 2025) và cách giải

Người ta lát sàn một căn phòng hình vuông có cạnh 8m bằng những mảnh gỗ hình chữ nhật có chiều dài 80cm, chiều rộng 20cm. Hỏi cần bao nhiêu mảnh gỗ để lát kín sàn căn phòng đó ?

Xem đáp án

* Lời giải:

Diện tích căn phòng là:

8 × 8 = 64 (m2)

$64 m^{2} = 640 000 c m^{2}$

Diện tích một mảnh gỗ:

80 × 20 = 1600 $(c m^{2})$

Số mảnh gỗ dùng để lát sàn căn phòng đó là:

640 000 : 1600 = 400 (mảnh)

Đáp số: 400 mảnh gỗ.

* Phương pháp giải:

+ Công thức: S = a x b

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Công thức tính diện tích Hình chữ nhật

+ Công thức: S = a x b.

+ Muốn tính diện tích hình chữ nhật, ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Biết diện tích tìm cạnh bằng cách lấy diện tích chia cạnh đã biết.

2. Công thức tính diện tích Hình vuông

+ Công thức: S = a x a = a2.

+ Muốn tính diện tích hình vuông, ta lấy độ dài một cạnh nhân với chính nó.

+ Mở rộng: Nếu biết diện tích hình vuông, ta có thể tìm cạnh hình vuông bằng cách nhẩm.

3. Công thức tính diện tích Hình bình hành

+ Công thức: S = a x h

+ Muốn tính diện tích hình bình hành, ta lấy độ dài đáy nhân với chiều cao (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Biết diện tích hình bình hành, ta có thể tính: Độ dài đáy: a = S : h; Chiều cao: h = S : a

4. Công thức tính diện tích Hình thoi

+ Công thức: S = m x n : 2

+ Muốn tính diện tích hình thoi, ta lấy tích độ dài hai đường chéo chia cho 2 (cùng một đơn vị đo).

5. Công thức tính diện tích Hình tam giác

+ Công thức: S = h x a : 2

+ Muốn tính diện tích hình tam giác, ta lấy độ dài đáy nhân với chiều cao rồi chia cho 2 (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Nếu ta biết diện tích hình tam giác, ta có thể tính:

Chiều cao: h = (S x 2) : a

Cạnh đáy: a = (S x 2) : h

6. Công thức tính diện tích hình tứ giác

Sẽ không có công thức chung để tính diện tích hình tứ giác mà chúng ta dựa vào cụ thể hình tứ giác đó là gì để có cách tính diện tích khác nhau.

7. Công thức tính diện tích Hình thang

+ Công thức: S = (a + b) x h : 2

+ Muốn tính diện tích hình thang, ta lấy tổng độ dài hai đáy nhân với chiều cao rồi đem chia cho 2 (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Nếu biết diện tích hình thang, ta có thể tính

Chiều cao: h = (S x 2) : a

Cạnh đáy: a = (S x 2) : h

8. Công thức tính diện tích Hình tròn

+ Công thức: S = π. r2 (π ≈ 3,14)

+ Muốn tính diện tích hình tròn, ta lấy bán kinh nhân với bán kính rồi nhân với số 3,14.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật (2024) chính xác nhất

Câu 221:

Công thức tính thể tích khối lăng trụ và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, biết đáy ABCD là hình vuông. Tính góc giữa A’C và BD.

A. 90

B. 30

C. 60

D. 45

Xem đáp án

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết thể tích hình hộp chữ nhật

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài tập về thể tích khối lăng trụ:

Công thức thể tích:

a) Thể tích khối lăng trụ

$V_{L T} = S . h$

với: S: Diện tích đáy

h: Chiều cao.

b) Thể tích khối hộp chữ nhật

$V = a . b . c$

với a, b, c là ba kích thước.

c) Thể tích khối lập phương

$V = a^{3}$

Trong đó a là độ dài cạnh.

PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

+) Trong nhiều trường hợp, chiều cao của khối đa diện được cho ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc (chiều cao cho gián tiếp), hay dùng nhất là: định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, …

+) Tính độ dài chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, định lý cosin, …

+) Có thể tính chiều cao bằng cách chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Nếu $O A / / (α)$ thì $d (O, (α)) = d (A, (α))$

Nếu $O A \cap (α) = \{I\}$ thì $\frac{d (O, (α))}{d (A, (α))} = \frac{I O}{I A}$ (định lý Ta-lét)

Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức.

Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích.

Dạng 1: Thể tích lăng trụ đứng tam giác:

Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác.

(1) Chiều cao h là cạnh bên AA’ (hoặc BB’, CC’).

(2) Mặt đáy là tam giác ABC (hoặc tam giác A’B’C’).

Khi đó thể tích lăng trụ ABC. A’B’C’ là $V = S_{A B C} . A A'$

Dạng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ xiên

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài toán về thể tích khối lăng trụ (có đáp án 2024) – Toán 12

Câu 222:

Lý thuyết Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó (mới 2024 + Bài Tập) - Toán lớp 5

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Người ta mở rộng chiều dài thêm 4m thì diện tích tăng thêm 32m2.Tính diện tích mảnh đất khi chưa mở rộng?

Xem đáp án

* Lời giải:

Phần đất tăng thêm là một hình chữ nhật có 1 cạnh dài 4m cạnh còn lại là Chiều rộng của phần ban đầu , chiều rộng mảnh đất ban đầu là

32 : 4 = 8(m)

Chiều dài mảnh đất ban đầu là:

8 x 3 = 24 (m)

Diện tích mảnh đất ban đầu là

24 x 8 = 192 ( m 2 )

Đáp số: 192 m 2

* Phương pháp giải:

Tính chiều dài

Tính diện tích

* Lý thuyết nắm thêm:

- Bước 1: Vẽ sơ đồ biểu diễn hai số

- Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

- Bước 3: Tính giá trị của một phần

Giá trị của một phần = Tổng : Tổng số phần bằng nhau

- Bước 4: Tìm số lớn hoặc số bé:

Cách 1: Tìm số bé trước

Số bé = Giá trị của một phần × Số phần của số bé

Số lớn = Tổng – Số bé

Cách 2: Tìm số lớn trước

Số lớn = Giá trị của một phần × Số phần của số lớn

Số bé = Tổng – Số lớn

- Bước 5: Kết luận, đáp số

(Học sinh có thể tiến hành thêm bước thử lại kết quả để kiểm chứng)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó lớp 4 và cách giả

Câu 223:

Toán lớp 5 trang 20 (Cánh diều) Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó

Lớp 5A có tất cả 45 học sinh. Biết số học sinh nữ bằng $\frac{4}{5}$ số học sinh nam. Hỏi lớp 5A có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ?

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:

4 + 5 = 9(phần)

Giá trị một phần là:

45 : 9 = 5 (học sinh)

Lớp 5A có số học sinh nữ là:

$5 x 4 = 20$ (học sinh)

Lớp 5A có số học sinh nam là

45 - 20 = 25(học sinh)

Đáp số:25 học sinh nam; 20 học sinh nữ

* Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

Dạng 2: Thiếu (ẩn) tổng (Cho biết tỉ số, không cho biết tổng số)

1. Phương pháp giải

Tìm tổng của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 3: Thiếu (ẩn) tỉ (Cho biết tổng số, không cho biết tỉ số)

1. Phương pháp giải

Tìm tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 4: Ẩn cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Tìm tổng và tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó lớp 4 và cách giải

Câu 224:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Đặt tính rồi tính:

8,216 : 5,2

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép chia số thập phân để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 225:

Chuyên đề Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu mới nhất - Toán 12

Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Diện tích xung quanh hình nón là

Xem đáp án

* Lời giải:

$S_{t p} = π r l = π r \sqrt{r^{2} + h^{2}} = 20 π a^{2}$

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh sau đó giải phương trình để suy ra độ dài đường sinh

* Các lý thuyết thêm về mặt trụ, mặt cầu và mặt nón:

1. Diện tích và thể tích hình trụ

Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: Sxq = 2πRh.

- Diện tích toàn phần: Stp = 2πRh + 2πR2.

- Thể tích: V = πR2h.

Lý thuyết Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

2. Diện tích và thể tích của hình nón

Đặt AC = l; l là đường sinh.

Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l, chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: Sxq = πRl.

- Diện tích toàn phần: Stp = πRl + πR2.

- Thể tích: $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ .

Lý thuyết Hình nón – Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

3. Diện tích và thể tích hình nón cụt

Cho hình nón cụt có các bán kính đáy R và r, chiều cao h, đường sinh l.

- Diện tích xung quanh: S_xq = π (R + r) l.

- Thể tích: $V = \frac{1}{3} π h (R^{2} + R r + r^{2})$ .

Lý thuyết Hình nón – Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

190 Bài trắc nghiệm Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải chi tiết

Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu có đáp án

Câu 226:

Công thức tính Cấp số nhân (2025) và cách giải các dạng bài tập chi tiết nhất

Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu a_n là diện tích của hình vuông thứ n và S_n là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính a_n, S_n (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limS_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

Xem đáp án

* Lời giải:

a) Diện tích của các hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn (a_n) với số hạng đầu là u₁ = 1 và công bội $\frac{1}{2}$ nên công thức tổng quát của a_n = ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Ta có: $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^{n}} + ...$

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: $S = \lim S_{n} = \lim (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^{n}} + ...) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$ .

* Phương pháp giải:

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1. q

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1. q với $n \in ℕ^{*} .$

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁; 0; 0; … 0; …

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁; u₁; … u₁;…

- Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁. q^{n - 1} với $n \geq 2.$

Tính chất cấp số nhân

Ba số hạng u_{k - 1}, u_k, u_{k + 1}là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{k}^{2} = u_{k - 1} . u_{k + 1}$ với $k \geq 2.$

(Hay $|u_{k}| = \sqrt{u_{k - 1} . u_{k + 1}}$ ).

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} = \frac{u_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}$

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 11 Bài 7 (Kết nối tri thức): Cấp số nhân

Câu 227:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Tìm x, biết: $\frac{4}{5} + \frac{5}{7} : x = \frac{1}{6}$

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Chuyển x về 1 vế, số tự do về 1 vế

Thực hiện vế có các số trước

Tìm số bị chia/số chia chưa biết trong phép tính

* Lý thuyết nắm thêm:

- Các phép toán liên quan đến phân số đó là các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia, phân số.

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

35 Bài tập tổng hợp Phân số và hỗn số lớp 5 (có đáp án)

Câu 228:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Tìm X:

X x 8,6 = 387

Xem đáp án

* Lời giải:

X x 8,6 = 387

X = 387: 8,6

X = 45

* Phương pháp giải:

Sử dụng công thức chuyển vế đổi dấu để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 229:

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Biểu thức A = cos (-53⁰) .sin( -337⁰) + sin307⁰.sin 113⁰ có giá trị bằng:

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có;

A = cos (-53⁰) .sin( -337⁰) + sin307⁰.sin 113⁰

= cos( - 53⁰) .sin( 23⁰- 360⁰) + sin( -53⁰+ 360⁰) .sin( 90⁰+ 23⁰)

= cos ( -53⁰) .sin23⁰+ sin( -53⁰) .cos 23⁰

= sin ( 23⁰- 53⁰) = sin(- 30⁰) = -1/2

*Phương pháp giải:

- Áp dụng tính chất về góc(cung) hơn kém nhau $π$ hay chính là 180 $°$ để giải quyết

ví dụ: cos( $π + α) = - cosα$

*Một số dạng bài thêm về cung và góc lượng giác:

Dạng 2.1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã cho trước một giá trị

* Phương pháp giải: Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

Dạng 2.2: Chứng minh một đẳng thức giữa các giá trị lượng giác

* Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

Dạng 2.3: Rút gọn biểu thức lượng giác

* Phương pháp giải: Để giải dạng bài này, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập chi tiết nhất

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác có đáp án (Thông hiểu)

Câu 230:

Lý thuyết Nhân một số thập phân với một số tự nhiên (mới + Bài Tập) - Toán lớp 5

Tính bằng hai cách:

(6,75 + 3,25 ) x 4,2

Xem đáp án

* Lời giải:

Cách 1:

(6,75 + 3,25 ) x 4,2

= 10 x 4,2 = 42

Cách 2:

(6,75 + 3,25 ) x 4,2

= 6,75 x 4,2 + 3,25 x 4,2

= 28,35 + 13,65

= 42

* Phương pháp giải

Muốn nhân một số thập phân với một số tự nhiên ta làm như sau:

- Nhân như nhân các số tự nhiên.

- Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

* Lý thuyết cần nắm và dạng toán về nhân/chia số thập phân với số tự nhiên:

Muốn nhân một số thập phân với một số tự nhiên ta làm như sau:

- Nhân như nhân các số tự nhiên.

- Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Muốn nhân hai số thập phân ta làm như sau:

• Đặt tính rồi nhân như nhân các số tự nhiên.

• Đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ra ở tích bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Muốn chia một số tự nhiên cho một số thập phân ta làm như sau:

• Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì viết thêm vào bên phải số bị chia bấy nhiêu chữ số 0.

• Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia các số tự nhiên.

Muốn chia một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau:

- Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì chuyển dấu phẩy ở số bị chia sang bên phải bấy nhiêu chữ số.

- Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia cho số tự nhiên.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Toán lớp 5 trang 73 Bài 31: Nhân một số thập phân với một số tự nhiên - Chân trời sáng tạo

Trắc nghiệm Nhân một số thập phân với một số tự nhiên có đáp án (Thông hiểu)

Câu 231:

50 bài tập Các dạng toán Hình học lớp 5 điển hình (có đáp án 2025) và cách giải

Mảnh đất trồng rau hình chữ nhật có chiều dài 15 m, chiều dài hơn chiều rộng 6 m. Tình diện tích của mảnh đất đó.

Xem đáp án

* Lời giải:

Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là:

15 – 6 = 9 (m)

Diện tích của mảnh đất đó là:

15 × 9 = 135 (m²)

Đáp số: 135 m²

* Phương pháp giải:

Tính chiều rộng mảnh đất
Tính diện tích mảnh đất

* Lý thuyết nắm thêm

1. Công thức tính diện tích Hình chữ nhật

+ Công thức: S = a x b.

+ Muốn tính diện tích hình chữ nhật, ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Biết diện tích tìm cạnh bằng cách lấy diện tích chia cạnh đã biết.

2. Công thức tính diện tích Hình vuông

+ Công thức: S = a x a = a2.

+ Muốn tính diện tích hình vuông, ta lấy độ dài một cạnh nhân với chính nó.

+ Mở rộng: Nếu biết diện tích hình vuông, ta có thể tìm cạnh hình vuông bằng cách nhẩm.

3. Công thức tính diện tích Hình bình hành

+ Công thức: S = a x h

+ Muốn tính diện tích hình bình hành, ta lấy độ dài đáy nhân với chiều cao (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Biết diện tích hình bình hành, ta có thể tính: Độ dài đáy: a = S : h; Chiều cao: h = S : a

4. Công thức tính diện tích Hình thoi

+ Công thức: S = m x n : 2

+ Muốn tính diện tích hình thoi, ta lấy tích độ dài hai đường chéo chia cho 2 (cùng một đơn vị đo).

5. Công thức tính diện tích Hình tam giác

+ Công thức: S = h x a : 2

+ Muốn tính diện tích hình tam giác, ta lấy độ dài đáy nhân với chiều cao rồi chia cho 2 (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Nếu ta biết diện tích hình tam giác, ta có thể tính:

Chiều cao: h = (S x 2) : a

Cạnh đáy: a = (S x 2) : h

6. Công thức tính diện tích hình tứ giác

Sẽ không có công thức chung để tính diện tích hình tứ giác mà chúng ta dựa vào cụ thể hình tứ giác đó là gì để có cách tính diện tích khác nhau.

7. Công thức tính diện tích Hình thang

+ Công thức: S = (a + b) x h : 2

+ Muốn tính diện tích hình thang, ta lấy tổng độ dài hai đáy nhân với chiều cao rồi đem chia cho 2 (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Nếu biết diện tích hình thang, ta có thể tính

Chiều cao: h = (S x 2) : a

Cạnh đáy: a = (S x 2) : h

8. Công thức tính diện tích Hình tròn

+ Công thức: S = π. r2 (π ≈ 3,14)

+ Muốn tính diện tích hình tròn, ta lấy bán kinh nhân với bán kính rồi nhân với số 3,14.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật (2024) chính xác nhất

Câu 232:

Công thức tính Cấp số cộng và cách giải các dạng bài tập

a) Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} + 2 u_{5} = 0$ và $S_{4} = 14$ . Tính số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng.

b) Cho dãy số $(u_{n})$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = 2 (3^{n})$ với $n \in N^{*} .$ Tìm công thức truy hồi của dãy số trên?

Xem đáp án

* Lời giải:

a) Ta có: $u_{1} + 2 u_{5} = 0 \Leftrightarrow u_{1} + 2 (u_{1} + 4 d) = 0 \Leftrightarrow 3 u_{1} + 8 d = 0$ ; $S_{4} = 14 \Leftrightarrow \frac{4 (2 u_{1} + 3 d)}{2} = 14 \Leftrightarrow 2 u_{1} + 3 d = 7$ .

Ta có hệ phương trình ${\begin{cases} 3 u_{1} + 8 d = 0 \\ 2 u_{1} + 3 d = 7 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} = 8 \\ d = - 3 \end{cases}$

b) Ta có: $u_{1} = {2.3}^{1} = 6, u_{2} = {2.3}^{2} = 18 = 3 u_{1}, u_{3} = {2.3}^{3} = 54 = 3 u_{2}, u_{4} = {2.3}^{4} = 162 = 3 u_{3}$ .

Do đó, công thức truy hồi của dãy số trên là: ${\begin{cases} u_{1} = 6 \\ u_{n} = 3 u_{n - 1}, n > 1 \end{cases} (n \in N *)$ ${\begin{cases} u_{1} = 6 \\ u_{n} = 3 u_{n - 1}, n > 1 \end{cases} (n \in N *)$

a) Nếu một cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d thì số hạng tổng quát $u_{n}$ của nó được xác định bởi công thức: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d, n \geq 2$ .

Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n}$ . Khi đó: $S_{n} = \frac{(u_{1} + u_{n}) n}{2} = \frac{[2 u_{1} + (n - 1) d] n}{2}$ . ${\begin{cases} u_{1} = 6 \\ u_{n} = 3 u_{n - 1}, n > 1 \end{cases} (n \in N *)$

b) Công thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

*Phương pháp giải

(u_n) là cấp số cộng khi u_n+1 = u_n + d, n ∈ N^* (d gọi là công sai)

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức: u_n = u₁ + (n – 1)d với n ∈ N^*, n ≥ 2.

*Lý thuyết nắm thêm về cấp số cộng:

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

un+1 = un + d với $n \in ℕ^{*}$ (1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; công sai d = 3.

Số hạng tổng quát

- Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2.

Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

- Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}; k \geq 2$

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

- Định lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.

Khi đó: $S_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2}$ .

- Chú ý: vì un = u1 + (n – 1)d nên ta có: $S_{n} = n u_{1}^{} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Câu 233:

Lý thuyết Các phép toán với đa thức nhiều biến – Toán lớp 8

Tính:

b) 2x – y – (3x – 5y);

Xem đáp án

* Lời giải:

2x – y – (3x – 5y)

= 2x – y – 3x + 5y

= (2x – 3x) + (–y + 5y)

= –x + 4y.

* Phương pháp giải:

Phá ngoặc có dấu - phía trước bên trong phải đổi dấu

Nhóm x vào 1 nhóm, y vào 1 nhóm

* Lý thuyết nắm thêm

Cộng và trừ hai đa thức

Để cộng, trừ hai đa thức ta thực hiện các bước:

- Bỏ dấu ngoặc (sử dụng quy tắc dấu ngoặc);

- Nhóm các đơn thức đồng dạng (sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp);

- Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các lũy thừa cùng biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau.

Ví dụ: $(- 3 x^{2} y) (4 x y) = [(- 3.4)] . (x^{2} . x) . (y . y) = - 12. x^{3} . y^{2}$

3. Nhân đơn thức với đa thức

Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

Nhân hai đa thức

Để nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} (x y + 1) (x y - 3) \\ = (x y) . (x y) + x y - 3 x y - 3 \\ = x^{2} y^{2} - 2 x y - 3 \end{array}$

Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (với A chia hết cho B), ta làm như sau:

- Chia hệ số của A cho hệ số của B.

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

- Nhân các kết quả vừa tìm được cho nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} 16 x^{4} y^{3} : (- 8 x^{3} y^{2}) \\ = (16 : (- 8)) . (x^{4} : x^{3}) . (y^{3} : y^{2}) \\ = - 2 x y \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 1: Đa thức

Câu 234:

Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (2024) chính xác nhất

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng $2 π a^{2}$ và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của hình trụ đó bằng

Xem đáp án

* Lời giải:

Với hình trụ, ta có $S_{x q} = 2 π r l \Leftrightarrow 2 π a l = 2 π a ² \Leftrightarrow l = a .$

* Phương pháp giải:

Sử dụng công thức để tính diện tích xung quanh

* Lý thuyết nắm thêm:

Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh AB cố định, ta được một hình trụ.

- Hai hình tròn (A) và (B) bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song được gọi là hai đáy của hình trụ.

- Đường thẳng AB được gọi là trục của hình trụ.

- Mỗi vị trí của CD được gọi là một đường sinh. Các đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài của đường sinh là chiều cao của hình trụ.

Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: S_xq = 2πRh.

- Diện tích toàn phần: S_tp = 2πRh + 2πR².

- Thể tích: V = πR²h.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 Bài tập Hình Trụ, Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ Toán 9 mới nhất

Câu 235:

Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng V, thể tích của khối đa diện có đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD bằng V'. Tính tỉ số V'/V.

Xem đáp án

* Lời giải:

*Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính Thể tích khối chóp là: V = 1/3. S.h

*Lý thuyến cần nắm về khối đa diện và thể tích khối đa diện

Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1.

b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1) = V(H2).

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì:

V(H) = V(H1) + V(H2).

Số dương V(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

- Định lí : Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

II. Thể tích của khối lăng trụ.

Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h

III. Thể tích khối chóp.

Định lí. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:

$V = \frac{1}{3} B . h$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài toán về thể tích khối đa diện (có đáp án 2024) – Toán 12

Câu 236:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Axit – bazơ – muối (có đáp án 2023) – Hóa học 8

Cho 2,16 gam Mg tác dụng với dung dịch HNO₃ (dư). Sau khi phản ứng xảy ra hoàn toàn thu được 0,896 lít khí NO (đktc) và dung dịch X. Khối lượng muối khan thu được khi làm bay hơi dung dịch X là

Xem đáp án

* Lời giải:

Bảo toàn electron : 2n_Mg = 3n_NO + 8n_NH4NO3

=> n_NH4NO3 = 0,0075 mol

m_{muối khan} = m_Mg(NO3)2 + m_NH4NO3 = 13,92g

* Phương pháp giải:

Vận dụng tính chất hóa học của kim loại - acid - base - muối để hoàn thành phương trình

* Lý thuyết nắm thêm

1. Axit

- Khái niệm: Phân tử axit gồm một hay nhiều nguyên tử hiđro liên kết với gốc axit, các nguyên tử hiđro này có thể thay thế bằng các nguyên tử kim loại.

- Công thức hóa học: một hay nhiều nguyên tử H + gốc axit.

- Phân loại:

+ axit không có oxi: HCl, H₂S,…

+ axit có oxi: H₂SO₄, H₃PO₄, HNO₃, H₂SO₃…

- Tên gọi

+ Axit không có oxi:

Tên axit: axit + tên phi kim + hiđric.

2. Bazơ

- Khái niệm: Phân tử bazơ gồm có một nguyên tử kim loại liên kết với một hay nhiều nhóm hiđroxit (-OH)

- Công thức hóa học: Có một nguyên tử kim loại và một hay nhiều nhóm -OH.

- Công thức chung: M(OH)_n

Trong đó:

+ M: là nguyên tử kim loại.

+ n: là số nhóm hiđroxit (n có giá trị bằng hóa trị của kim loại)

- Tên gọi: Tên kim loại + hoá trị (nếu kim loại có nhiều hoá trị) + hiđroxit.

3. Muối (xét muối kim loại)

- Khái niệm: Phân tử muối gồm có một hay nhiều nguyên tử kim loại liên kết với một hay nhiều gốc axit.

- Công thức hóa học:

+ Gồm 2 thành phần: kim loại và gốc axit.

+ Công thức hóa học dạng: M_xA_y

Trong đó: M là nguyên tử kim loại và A : là gốc axit.

- Tên gọi = Tên KL + hoá trị (nếu KL có nhiều hoá trị) + tên gốc axit

- Phân loại:

+ Muối trung hòa: Muối mà trong gốc axit không có nguyên tử hiđro có thể thay thế nguyên tử kim loại.

VD: Na₂SO₄, Na₂CO₃.

+ Muối axit: Muối mà trong gốc axit còn nguyên tử hiđro chưa được thay thế bằng nguyên tử kim loại.

VD: NaHCO₃, NaHSO₄.

4. Xác định công thức hóa học khi biết thành phần các nguyên tố

Gọi công thức tổng quát của hợp chất là A_xB_y

Bước 1: Tìm khối lượng mỗi nguyên tố có trong 1 mol hợp chất.

$m_{A} = \frac{% m_{A} . M_{A_{x} B_{y}}}{100}; m_{B} = \frac{% m_{B} . M_{A_{x} B_{y}}}{100}$

Bước 2: Tìm số mol nguyên tử mỗi nguyên tố trong 1 mol hợp chất.

$n_{A} = \frac{m_{A}}{M_{A}}; n_{B} = \frac{m_{B}}{M_{B}}$

Bước 3: Lập công thức hóa học của hợp chất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về xác định công thức hóa học và gọi tên axit, bazơ và muối (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 237:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11

Chứng minh sin 3x = 3sin x – 4sin³x, cos 3x = 4cos³x – 3cos x

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: sin 3x = sin (2x + x) = sin 2x . cos x + cos 2x . sin x

= (2sin x. cos x) . cos x + (1 – 2sin²x) . sin x

= 2sin x. cos² x + sin x – 2 sin³x

= 2sin x . (1 – sin²x) + sin x – 2 sin³x

= 2sin x – 2 sin³x + sin x – 2 sin³x

= 3sin x – 4sin³x

Vậy sin 3x = 3sin x – 4sin³x

Ta có: cos 3x = cos (2x + x) = cos 2x . cos x – sin 2x . sin x

= (–1 + 2cos²x) . cos x – 2cos x . sin x . sin x

= – cos x + 2cos³ x – 2cos x . sin² x

= – cos x + 2cos³ x – 2cos x . (1 – cos² x)

= – cos x + 2cos³ x – 2cos x + 2cos³ x

= 4cos³x – 3cos x

Vậy cos 3x = 4cos³x – 3cos x .

* Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức bằng các công thức biến đổi lượng giác được học rồi rút gọn

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm

Phương trình cosx=a

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $|cosx| \leq 1$ với mọi x.

- Trường hợp $|a| \leq 1$ .

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x = \pm α + k 2 π; k \in ℤ$

Phương trình tanx=a

- Điều kiện xác định của phương trình là $x \neq \frac{π}{2} + k π; k \in ℤ$

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x = \arctan a + k π; k \in ℤ$

+) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: $x = α + k π; k \in ℤ$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f (x) = g (x) + k π; k \in ℤ$ .

+) Phương trình tanx = tanβ⁰ có các nghiệm là: $x = β^{0} + k {.180}^{0}; k \in ℤ$ .

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f (x) = 0 \Leftrightarrow g (x) = 0$

*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để đưa về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình.

Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác

Định nghĩa.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at² + bt + c = 0

Trong đó a; b; c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án)– Toán 11

Câu 238:

Lý thuyết Hình chóp tam giác đều – Toán lớp 8 Cánh diều

Cho khối chóp $S . A B C D$ có đáy là hình chữ nhật, $A B = a$ , $A D = a \sqrt{3}$ , $S A$ vuông góc với đáy và mặt phẳng $(S B C)$ tạo với đáy một góc $60^{0}$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $S . A B C D$

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

áp dụng công thức tính thể tích hình chóp để tính: V = $\frac{1}{3} . h . S_{đ á y}$

* Lý thuyết nắm thêm về hình chóp

Hình chóp tứ giác đều có:

- Đáy là hình vuông.

- 4 cạnh bên bằng nhau.

- 4 mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung một đỉnh.

- 4 cạnh đáy bằng nhau là bốn cạnh của hình vuông đáy.

- Chân đường cao trùng với giao điểm của hai đường chéo của mặt đáy.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng nửa chu vi đáy với độ dài trung đoạn.

$S_{x q} = p . d$

( $S_{x q}$ là diện tích xung quanh, p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn)

Thể tích của hình chóp tam giác đều (hình chóp tứ giác đều) bằng $\frac{1}{3}$ diện tích đáy nhân với chiều cao.

$V = \frac{1}{3} S_{đ á y} . h$

(V là thể tích, $S_{đ á y}$ là diện tích đáy, h là chiều cao)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Câu 239:

Giải Toán 9 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình bậc hai một ẩn

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số: $y = x^{2} + \frac{2}{x}$ trên đoạn $[\frac{1}{2}; 2] .$

Xem đáp án

* Lời giải:

Hàm số xác định trên đoạn $[\frac{1}{2}; 2], y' = 2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [\frac{1}{2}; 2]$

$y (\frac{1}{2}) = \frac{17}{4}; y (1) = 3; y (2) = 5$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{2} + \frac{2}{x}$ trên đoạn $[\frac{1}{2}; 2] l à m = 3$

* Phương pháp giải:

- Biến đổi về dạng Hằng đẳng thức +/- 1 số lẻ bên ngoài

- Khi đó min/max chính là số lẻ đó

- Đạt được khi dấu bằng xảy ra

* Lý thuyết nắm thêm:

Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (1)

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (2)

- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac

+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 2: x1 + x2 +...+xn $\geq n . \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 3: ${(\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n})}^{n} \geq x_{1} . x_{2} . . . x_{n}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =....= xn

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

Dạng 1: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}} \geq \frac{n^{2}}{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}$

Dạng 2: (x1 + x2 + ... + xn) $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}) \geq n^{2}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2025 + Bài tập)

Câu 240:

Trắc nghiệm Vật lí 10 Bài 4. Chuyển động thẳng có đáp án

Một vật có khối lượng 500g chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ban đầu 2m/s. Sau thời gian 4s, nó đi được quãng đường 24m. Biết vật luôn chịu tác dụng của lực kéo $F_{k}$ và lực cản $F_{c} = 0, 5 N$ . Tính độ lớn của lực kéo

Xem đáp án

* Lời giải:

+ Chọn chiều dương là chiều chuyển động của xe

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức S=v.t tính ra quãng đường ở từng t1,t2. Do quãng đường bẳng nhau nên từ đó tìm ra t

*Lý thuyết nắm thêm về gia tốc-chuyển động thẳng đều

Tốc độ trung bình:

- Tốc độ trung bình của vật (kí hiệu vtb) được xác định bằng thương số giữa quãng đường vật đi được và thời gian để vật thực hiện quãng đường đó

$v_{t b} = \frac{s}{Δ t}$

Trong hệ SI, đơn vị của tốc độ là m/s

Tốc độ tức thời:

- Tốc độ trung bình tính trong khoảng thời gian rất nhỏ là tốc độ tức thời (kí hiệu v) diễn tả sự nhanh, chậm của chuyển động tại thời điểm đó.

Vận tốc:

+) Độ dịch chuyển: Độ dịch chuyển được xác định bằng độ biến thiên tọa độ của vật

$d = x_{2} - x_{1} = Δ x$

- Độ dịch chuyển là đại lượng vecto, kí hiệu là $\vec{d}$

- Độ dịch chuyển có thể nhận giá trị dương, âm hoặc bằng không. Quãng đường là đại lượng không âm.

+) Vận tốc:

- Vận tốc trung bình là đại lượng vecto được xác định bằng thương số giữa độ dịch chuyển của vật và thời gian để vật thực hiện độ dịch chuyển đó

${\vec{v}}_{t b} = \frac{\vec{d}}{Δ t} = \frac{Δ \vec{x}}{Δ t}$

- Xét trong một khoảng thời gian rất nhỏ, vận tốc trung bình sẽ trở thành vận tốc tức thời. Độ lớn của vật tốc tức thời chính là tốc độ tức thời.

- Tốc độ trung bình chỉ bằng độ lớn của vận tốc trung bình khi vật chuyển động thẳng không đổi chiều.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Mô tả chuyển động Lý 10

Câu 241:

Sách bài tập Toán 9 Bài 3 (Kết nối tri thức): Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Vòi 1 chay 3 giờ đầy bể.vòi 2 chảy 4 giờ đầy bể.hỏi cả hai vòi chảy bao nhiêu giờ thi đầy bề

Xem đáp án

* Lời giải:

Trong một giờ vòi 1 chảy được : 1:3=1/3(bể)

Trong một giờ vòi 2 chảy được : 1:4=1/4(bể)

Trong một giờ cả hai vòi chảy được: 1/3+1/4=7/12(bể)

Nếu cả hai vòi cùng chảy thì bể đầy sau: 1:7/12=12/7(giờ)

Đáp số : 12/7 giờ

*Phương pháp giải:

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

*Cách giải và các dạng bài toán về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Dạng 4: Bài toán về hình học

Phương pháp giải: Sử dụng đến công thức tính chu vi, diện tích các hình như hình vuông; hình chữ nhật; hình thang;…

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

TOP 40 câu Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương cách lập hệ phương trình (có đáp án 2024) – Toán 9

Câu 242:

Lý thuyết Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức

Tập xác định của hàm số $y = \tan x + \cot x$ là:

Xem đáp án

*Lời giải:

$y = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}$

ĐK: ${\begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \sin x . \cos x \neq 0.$ z

$\Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow 2 x \neq k π \Leftrightarrow x \neq \frac{k π}{2} (k \in Z) .$

*Phương pháp giải:

- tìm điều kiện xác định cho hàm số. chỉ cần cho sinx khác 0

* Lý thuyết và các dạng bài cần nắm thêm về hàm số lượng giác:

a. Hàm số y = sinx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

b. Hàm số y = cosx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

c. Hàm số y = tanx

- Tập xác định: $D = R \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$

- Tập giá trị: R

d. Hàm số y = cotx

- Tập xác định: $D = R \ \{k π, k \in ℤ\}$

- Tập giá trị: R

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

$y = \frac{f (x)}{g (x)}$ xác định khi $g (x) \neq 0$

$y = \sqrt{f (x)}$ xác định khi $f (x) \geq 0$

$y = \frac{f (x)}{\sqrt{g (x)}}$ xác định khi g(x) > 0

y = tan[u(x)] xác định khi $u (x) \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$

y = cot[u(x)] xác định khi $u (x) \neq k π, k \in ℤ$

$\sin x \neq 0$ khi $x \neq k π (k \in ℤ)$

$\cos x \neq 0$ khi $x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$

$x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$

- Phương pháp giải:

Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

$- 1 \leq \sin [u (x)] \leq 1; 0 \leq \sin^{2} [u (x)] \leq 1;$ $0 \leq |\sin [u (x)]| \leq 1$

$- 1 \leq \cos [u (x)] \leq 1; 0 \leq \cos^{2} [u (x)] \leq 1;$ $0 \leq |\cos [u (x)]| \leq 1$

$0 \leq |\cos [u (x)]| \leq 1$

$\begin{array}{l} m \geq f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m \geq \max_{x \in [a; b]} f (x) \\ m > f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m > \max_{x \in [a; b]} f (x) \\ m \leq f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m \leq \min_{x \in [a; b]} f (x) \\ m < f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m < \min_{x \in [a; b]} f (x) \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Kết nối tri thức) có đáp án - Toán 11

Bài tập Hàm số lượng giác Toán 11 mới nhất

Câu 243:

Bất phương trình logarit và cách giải các dạng bài tập (2024)

Gọi a là một nghiệm của phương trình $4 . 2^{2 \log x} - 6^{\log x} - 18 . 3^{2 \log x} = 0$ . Gía trị của a là ?

Xem đáp án

*Lời giải:

*Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định.

- Biến đổi phương trình về dạng cơ bản $\log_{a} f (x) = m \Leftrightarrow f (x) = a^{m}$

*Lý thuyết nắm thêm về bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

1. Định nghĩa

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

2. Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho $a, b > 0, a \neq 1$

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng:

$\log_{a} f (x) > b; \log_{a} f (x) \geq b; \log_{a} f (x) < b; \log_{a} f (x) \leq b$

3. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit

+ Đưa về cùng cơ số

Nếu $a > 1$ thì $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} g (x) > 0 \\ f (x) > g (x) \end{cases}$

Nếu $0 < a < 1$ thì $\log_{a} f (x) > \log_{a} g (x)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ f (x) < g (x) \end{cases}$

+ Đặt ẩn phụ

+ Mũ hóa

+ Phương pháp hàm số và đánh giá

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit (có đáp án 2024) - Toán 12

Câu 244:

Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc được hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian?

Xem đáp án

*Lời giải:

Gọi thời gian làm một mình xong công việc của lớp 9A là x (giờ)

Thời gian làm một mình xong công việc của lớp 9B là y (giờ)

Đổi 1 giờ 20 phút = $\frac{4}{3}$ giờ

Trong $\frac{4}{3}$ giờ lớp 9A làm được $\frac{4}{3 x}$ công việc

Trong $\frac{4}{3}$ giờ lớp 9B làm được $\frac{4}{3 y}$ công việc

Suy ra $\frac{4}{3 x} + \frac{4}{3 y} = 1$ (1)

Thời gian lớp 9A làm nửa công việc là $\frac{1}{2} x$

Thời gian lớp 9B làm nửa công việc là $\frac{1}{2} y$

Suy ra $\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = 3$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

${\begin{cases} \frac{4}{3 x} + \frac{4}{3 y} = 1 \\ \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \\ x + y = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} \frac{1}{6 - y} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \\ x = 6 - y \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} \frac{1}{6 - y} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \\ x = 6 - y \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} \frac{y + 6 - y}{(6 - y) y} = \frac{3}{4} \\ x = 6 - y \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 3 y (6 - y) = 24 \\ x = 6 - y \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 3 y (6 - y) = 24 \\ x = 6 - y \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} - 3 y^{2} + 18 y - 24 = 0 \\ x = 6 - y \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} (y - 2) (y - 4) = 0 \\ x = 6 - y \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} (y - 2) (y - 4) = 0 \\ x = 6 - y \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} [\begin{array}{l} y = 2 \\ y = 4 \end{array} \\ x = 6 - y \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{cases} y = 2 \\ x = 4 \end{cases} \\ {\begin{cases} y = 4 \\ x = 2 \end{cases} \end{array}$ (thỏa mãn)

Vậy nếu làm một mình lớp 9A sau 4 giờ hoàn thành công việc, lớp 9B sau 2 giờ hoàn thành công việc hoặc lớp 9A sau 2 giờ hoàn thành công việc, lớp 9B sau 4 giờ hoàn thành công việc.

* Phương pháp giải:

Gọi ẩn và điều kiện xác định cho ẩn

Từ đề bài lập các phương trình. Từ đó ta được 1 hệ phương trình 2 ẩn

Giaỉ hệ phương trình vừa lập

* Lý thuyết nắm thêm về hệ phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 9 (Kết nối tri thức): Giải phương trình hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

Câu 245:

Giải Toán 9 (Kết nối tri thức): Giải phương trình hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Xem đáp án

*Lời giải:

Gọi thời gian để người thứ nhất và người thứ hai một mình hoàn thành công việc lần lượt là x (giờ) và y (giờ). (Điều kiện x, y > 16).

⇒ Trong một giờ, người thứ nhất làm được (công việc); người thứ hai làm được (công việc).

+ Cả hai người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong 16 giờ nên ta có phương trình

+ Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình

Vậy ta có hệ phương trình

Đặt , hệ phương trình trở thành:

Vậy nếu làm riêng, người thứ nhất hoàn thành công việc sau 24 giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.

* Phương pháp giải:

Gọi ẩn và điều kiện xác định cho ẩn

Từ đề bài lập các phương trình. Từ đó ta được 1 hệ phương trình 2 ẩn

Giaỉ hệ phương trình vừa lập

* Lý thuyết nắm thêm về hệ phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

Câu 246:

Giải Toán 9 (Kết nối tri thức): Giải phương trình hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau 38 km. Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau 4 giờ.Hỏi vận tốc của mỗi người biết rằng đến khi gặp nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai là 2 km.

Xem đáp án

*Lời giải:

Gọi vận tốc người đi từ A và B lần lượt là x và y. (x, y > 0)

Họ đi ngược chiều gặp nhau sau 4 giờ nên

4x + 4y = 38 (1)

Người thứ nhất đi nhiều hơn người thứ 2 là 2km nên

4x − 4y = 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 4 x + 4 y = 38 \\ 4 x - 4 y = 2 \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} 8 x = 40 \\ 4 x - 4 y = 2 \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} x = 5 \\ 4 x - 4 y = 2 \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} x = 5 \\ y = 4, 5 \end{cases}$

Vậy vận tốc người thứ nhất là 5km/h, vận tốc người thứ hai là 4,5 km/h.

* Phương pháp giải:

Gọi ẩn và điều kiện xác định cho ẩn

Từ đề bài lập các phương trình. Từ đó ta được 1 hệ phương trình 2 ẩn

Giaỉ hệ phương trình vừa lập

* Lý thuyết nắm thêm về hệ phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

Câu 247:

Giải Toán 9 (Kết nối tri thức): Giải phương trình hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

Hai sân bay Hà Nội và Đà Nẵng cách nhau 600km. Một máy bay cánh quạt từ Đà Nẵng đi Hà Nội. Sau đó 10 phút, một máy bay phản lực từ Hà Nội bay đi Đà Nẵng với vận tốc lớn hơn vận tốc của máy bay cánh quạt là 300km/h. Nó đến Đà Nẵng trước khi máy bay kia đến Hà Nội 10 phút. Tính vận tốc của mỗi máy bay.

Xem đáp án

*Lời giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc của máy bay cánh quạt. Điều kiện: x > 0

Ta có vận tốc của máy bay phản lực là x + 300 (km/h)

Thời gian máy bay cánh quạt bay là 600/x (giờ)

Thời gian máy bay phản lực bay là 600/(x + 300) (giờ)

Máy bay phản lực bay sau 10 phút và đến trước 10 phút nên thời gian máy bay phản lực bay ít hơn máy bay cánh quạt là:

10 phút + 10 phút = 20 phút = 1/3 (giờ)

Theo đề bài, ta có phương trình:

Giá trị x = -900 không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy vận tốc của máy bay cánh quạt là 600 km/h.

vận tốc của máy bay phản lực là 600 + 300 = 900 km/h

* Phương pháp giải:

Gọi ẩn và điều kiện xác định cho ẩn

Từ đề bài lập các phương trình. Từ đó ta được 1 hệ phương trình 2 ẩn

Giaỉ hệ phương trình vừa lập

* Lý thuyết nắm thêm về hệ phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

Câu 248:

Chuyên đề Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (2024) - Toán 12

Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^{2} - 4 x + 4$ đường cong $y = x^{3}$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình (H).

A. S = 11/2

B. S= 7/12

C. S = 20/3

D. S = -11/2

Xem đáp án

Đáp án đúng: B

*Lời giải:

*Phương pháp giải:

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C₁) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C₂). Để tìm hoành độ giao điểm của (C₁)và (C₂), ta phải giải phương trình f(x) = g(x).

Giả sử phương trình trên có các nghiệm x₀; x₁; … khi đó, các giao điểm của (C₁)và (C₂) là M₀(x₀; f(x₀)); M₁(x₁; f(x₁))....

* Lý thuyết nắm thêm về sự biến thiên của đồ thị hàm số:

1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số.

2. Sự biến thiên.

+ Xét chiều biến thiên của hàm số.

- Tính đạo hàm y’.

- Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định.

- Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

3. Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị hàm số.

- Chú ý:

1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.

2. Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

3. Nên lưu ý tính chẵn, lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0).

Dạng của đồ thị y = ax⁴ + bx² + c (với a ≠ 0)

Dạng của đồ thị hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}; (c \neq 0; a d - b c \neq 0)$

Sự tương giao của các đồ thị.

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C₁) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C₂). Để tìm hoành độ giao điểm của (C₁)và (C₂), ta phải giải phương trình f(x) = g(x).

Giả sử phương trình trên có các nghiệm x₀; x₁; … khi đó, các giao điểm của (C₁)và (C₂) là M₀(x₀; f(x₀)); M₁(x₁; f(x₁))....

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 12 Bài 4 (Kết nối tri thức): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Câu 249:

Giải SGK Toán lớp 4 Bài 25: Tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó

Hai anh em có tất cả 40 viên bi, biết $\frac{1}{3}$ số bi của em bằng $\frac{1}{5}$ số bi của anh. Tính số bi của mỗi người

Xem đáp án

*Lời giải:

$\frac{1}{3}$ số bi của em bằng $\frac{1}{5}$ số bi của anh nên em có 3 phần bi, anh có 5 phần bi

Tổng số phần bằng nhau : $3 + 5 = 8$ (phần)

Số bi của em là : $40 : 8 \times 3 = 15$ (viên bi)

Số bi của anh là : $40 - 15 = 25$ (viên bi)

Đáp số: Em: 15 viên bi ; Anh : 25 viên bi

* Phương pháp giải

Dạng bài: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu

Cách 1: Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn - hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2: Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

*Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và hiệu

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 2: Cho biết hiệu nhưng dấu tổng

Phương pháp giải: Cần phải tìm tổng trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 3: Cho biết tổng nhưng dấu hiệu

Phương pháp giải: Cần phải tìm hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 4: Dấu cả tổng lẫn hiệu

1. Phương pháp giải

Cần phải tìm tổng và hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu): 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Chuyên đề Tìm hai số khi biết tổng và hiệu lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Câu 250:

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được gọi như mặt phẳng tọa độ $O x y$ với đơn vị trên các trục tính theo km). Sau khi xuất phát $t$ giờ ( $t \geq 0$ ) thì vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức ${\begin{cases} x = 3 - 35 t \\ y = - 4 + 25 t \end{cases}$ còn vị trí của tàu B có tọa độ là $N (4 - 30 t; 3 - 40 t)$ . Hỏi khi hai tàu gần nhau nhất thì cách nhau bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem đáp án

*Lời giải:

Vị trí của tàu A tại thời điểm sau khi xuất phát $t$ (giờ) ( $t \geq 0$ ) là điểm $M (3 - 35 t; - 4 + 25 t)$ .

Vị trí của tàu B tại thời điểm sau khi xuất phát $t$ (giờ) ( $t \geq 0$ ) là điểm $N (4 - 30 t; 3 - 40 t)$ .

Ta có $\vec{M N} = (1 + 5 t; 7 - 65 t)$ .

Suy ra $M N = \sqrt{{(1 + 5 t)}^{2} + {(7 - 65 t)}^{2}} = \sqrt{4250 t^{2} - 900 t + 50} = \sqrt{4250 {(t - \frac{9}{85})}^{2} + \frac{40}{17}} \geq \sqrt{\frac{40}{17}} \approx 1, 53$ km.

Do đó $M N$ nhỏ nhất xấp xỉ bằng 1,53 km khi $t = \frac{9}{85}$ giờ.

Vậy kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau khoảng 1,53 km.

*Phương pháp giải:

- sử dụng phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng

*Lý thuyết cần nắm và các dạng bài toán về phương trình mặt phẳng:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa.

- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- Nhận xét.

a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là $\vec{n} (A; B; C)$ .

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x0; y0; z0) và nhận vectơ $\vec{n} (A; B; C)$ khác là vecto pháp tuyến là: A(x- x0 ) + B( y – y0) + C(z – z0) = 0.

2. Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0.

a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

b)

- Nếu $A = 0, B \neq 0, C \neq 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

- Nếu $A \neq 0, B = 0, C \neq 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

- Nếu $A \neq 0, B \neq 0, C = 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

c)

- Nếu A = B = 0; $C \neq 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

- Nếu A = C = 0; $B \neq 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

- Nếu B = C = 0; $A \neq 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $(α) : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ . Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với $a b c \neq 0$ .

Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:

(α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0

(β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là: $\vec{n_{1}} (A {}_{1}; B_{1}; C_{1});$ $\vec{n_{2}} (A {}_{2}; B_{2}; C_{2})$

1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

- Chú ý: Để (α) cắt (β) $\Leftrightarrow \vec{n_{1}} \neq k . \vec{n_{2}}$ $\Leftrightarrow (A_{1}; B_{1}; C_{1})$ $\neq k (A_{2}; B_{2}; C_{2})$

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc. $\neq k (A_{2}; B_{2}; C_{2})$

$\begin{array}{l} (α) ⊥ (β) \Leftrightarrow \vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \\ \Leftrightarrow A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} = 0 \end{array}$

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x0; y0; z0) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .

Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) được tính: $\neq k (A_{2}; B_{2}; C_{2})$

$d (M_{0}, (α)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho mặt phẳng $(α)$ có phương trình Ax + By + Cz + D = 0. $\neq k (A_{2}; B_{2}; C_{2})$

Khi đó mặt phẳng $(α)$ có một VTPT là $\vec{n} = (A; B; C)$ .

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng khi đã biết một điểm đi qua và vectơ pháp tuyến

Phương pháp giải:

Cho mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận vectơ $\vec{n} = (A; B; C)$ làm vectơ pháp tuyến. Khi đó phương trình mặt phẳng $(α)$ là: $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) cho trước.

Phương pháp giải:

+) Mặt phẳng $(α)$ song song với mặt phẳng (P) cho trước nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

+) Từ đó viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua M và có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(α)}} = \vec{n_{(P)}}$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài toán về phương trình mặt phẳng (có đáp án 2024) – Toán 12

66 câu trắc nghiệm: Phương trình mặt phẳng có đáp án (P1)

Câu 251:

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán 11 Cánh diều

Tìm chu kì T của hàm số $y = \cos 2 x + \sin \frac{x}{2} .$

Xem đáp án

*Lời giải

Hàm số y = cos2x tuần hoàn với chu kì $T_{1} = \frac{2 π}{2} = π .$

Hàm số $y = \sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $T_{2} = \frac{2 π}{\frac{1}{2}} = 4 π .$

Suy ra hàm số $y = \cos 2 x + \sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $T = 4 π .$

*Phương pháp giải

Áp dụng các công thức về lượng giác để biến đổi

*Lý thuyết cần nắm thêm

1. Góc hình học và số đo của chúng

*Nhận xét:

- Đơn vị đo góc: độ hoặc radian (rad).

- Ta có: $180^{o} = π$ rad, do đó 1 rad $= {(\frac{180}{π})}^{o}$ , $1^{o} = (\frac{π}{180})$ rad.

- Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo góc.

VD: $\frac{π}{2}$ rad cũng được viết là $\frac{π}{2}$ .

2. Góc lượng giác và số đo của chúng

a, Khái niệm

- Cho 2 tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov.

Kí hiệu: (Ou, Ov).

- Mỗi góc lượng giác được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

b, Tính chất

- Cho hai góc lượng giác = và (O’u’,O’v’) có tia đầu trùng nhau $(O u \equiv O^{'} u^{'})$ , tia cuối trùng nhau $(O v \equiv O^{'} v^{'})$ .

Khi đó, nếu sử dụng đợn vị đo là độ thì ta có:

$(O u, O v) = (O^{'} u^{'}, O^{'} v^{'}) + k 360^{o}, k \in Z .$

Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì:

$(O u, O v) = (O^{'} u^{'}, O^{'} v^{'}) + k 2 π, k \in Z .$

* Hệ thức Chasles

Với 3 tia Ou, Ov, Ow bất kì ta có:

(Ou,Ov) + (Ov, Ow) = (Ou,Ow) $+ k 2 π, k \in Z .$

1. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1;0). Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

- Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

- Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn như hình vẽ. Khi đó:

$x =$ cos $α$ , $y =$ sin $α$ .

tan $α$ $= \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{y}{x} (x \neq 0)$

$\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{x}{y} (y \neq 0)$

* Dấu của các giá trị lượng giác của góc $α$

* Các công thức lượng giác cơ bản

$\begin{array}{l} \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 \\ 1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} (α \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) \\ 1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} (α \neq k π, k \in Z) \\ \tan α . \cot α = 1 (α \neq \frac{k π}{2}, k \in Z) \end{array}$

Xem thêm một số bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Câu 252:

Giải SGK Toán lớp 4 Bài 25: Tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó

Hai số có hiệu là 95. Nếu xóa bỏ chữ số 5 ở tận cùng của số lớn thì ta được số bé. Tìm tổng hai số đó?

Xem đáp án

* Lời giải:

Nếu xóa bỏ chữ số 5 ở tận cùng của số lớn thì được số bé
Suy ra số lớn gấp 10 lần số bé và hơn 5 đơn vị
Số bé là: (95 - 5) :(10 - 1) x 1 = 10
Suy ra số lớn là: 105
Tổng 2 số đó là: 105 + 10 = 115.

* Phương pháp giải

Dạng bài: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu

Cách 1: Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn - hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2: Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

*Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và hiệu

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 2: Cho biết hiệu nhưng dấu tổng

Phương pháp giải: Cần phải tìm tổng trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 3: Cho biết tổng nhưng dấu hiệu

Phương pháp giải: Cần phải tìm hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 4: Dấu cả tổng lẫn hiệu

1. Phương pháp giải

Cần phải tìm tổng và hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu): 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Chuyên đề Tìm hai số khi biết tổng và hiệu lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Câu 253:

Sách bài tập Toán 9 Bài 3 (Kết nối tri thức): Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

2 vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 4 giờ thì đầy bể.Nếu riêng một mình thì vòi thứ nhất chảy sau 5 giờ đẩy bể.Hỏi khi bể không có nước,một mình vòi thứ hai chảy sau bao lâu sẽ đầy bể

Xem đáp án

* Lời giải:

Trong 1 giờ,2 vòi chảy được là:

1 : 4 = 1/4 ( bể )

Trong 1 giờ,vòi 1 chảy được là:

1 : 5 = 1/5 ( bể )

Trong 1 giờ vòi 1 chảy được là:

1 /4 - 1/5 = 1/20 ( bể )

Khi bể không có nước,1 mình vòi thứ 2 chảy thì sẽ đầy bể trong:

1 : 1/20 = 20 ( giờ )

Đáp số: 20 giờ

*Phương pháp giải:

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

*Cách giải và các dạng bài toán về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Dạng 4: Bài toán về hình học

Phương pháp giải: Sử dụng đến công thức tính chu vi, diện tích các hình như hình vuông; hình chữ nhật; hình thang;…

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

TOP 40 câu Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương cách lập hệ phương trình (có đáp án 2024) – Toán 9

Câu 254:

Lý thuyết Hàm số bậc nhất (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Hệ số a, b trong hàm số bậc nhất $y = 4 x - 7$ lần lượt là

Xem đáp án

* Lời giải:

Hàm số bậc nhất $y = 4 x - 7$ có $a = 4; b = - 7$ .

*Phương pháp giải:

Hàm số bậc nhất $y = a x + b$ với hệ số a, b tương ứng.

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số cho trước và a ≠ 0.

Chú ý: Khi b = 0 ta có hàm số y = ax

* Các lý thuyết thêm và các dạng toán về hàm số bậc nhất:

Tính chất hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có các tính chất như sau:

• Đồng biến trên R khi a > 0.

• Nghịch biến trên R khi a < 0.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc nhất

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa của hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a $\neq$ 0).

Hàm số nào không có dạng trên thì không phải hàm số bậc nhất.

Dạng 2: Tính giá trị hàm số

Phương pháp giải: Giá trị hàm số y = f(x) tại điểm $x_{0}$ là $y_{0} = f (x_{0})$

Do đó muốn tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = x0 ta thay x = x0 vào công thức của hàm số rồi tính giá trị f(x0).

Dạng 3: Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số bậc nhất

Phương pháp giải: Xét hàm số y = ax + b với a, b là hằng số, a $\neq$ 0

- Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

- Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về Hàm số bậc nhất (có đáp án 2024) - Toán 9

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hàm số bậc nhất (có đáp án 2024) – Toán 9

Câu 255:

Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp (mới + Bài Tập) – Toán 11

Hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển ${(2 - x)}^{5}$ theo lũy thừa tăng dần của x là

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: ${(2 - x)}^{5} = C_{5}^{0} {.2}^{5} + C_{5}^{1} {.2}^{4} . {(- x)}^{1} + C_{5}^{2} {.2}^{3} . {(- x)}^{2} + C_{5}^{3} {.2}^{2} . {(- x)}^{3} + C_{5}^{4} .2 . {(- x)}^{4} + C_{5}^{5} . {(- x)}^{5}$

Hệ số của số hạng thức 3 là $C_{5}^{2} {.2}^{3} . {(- 1)}^{2} = 80$

* Phương pháp giải:

- Khai triển áp dụng:

Công thức khai triển nhị thức Niu – tơn:

(a + b)ⁿ =

* Lý thuyết cần nắm thêm về tổ hợp - chỉnh hợp:

1) Chỉnh hợp

- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Số các chỉnh hợp

- Kí hiệu $A_{n}^{k}$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) .

- Định lí:

$A_{n}^{k} = n (n - 1) ... (n - k + 1)$

- Chú ý:

a) Với quy ước 0! = 1 ta có: $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}; 1 \leq k \leq n$ .

b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Vì vậy: $P_{n} = A_{n}^{n}$ .

2) Tổ hợp

Định nghĩa.

- Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

Số các tổ hợp.

Kí hiệu $C_{n}^{k}$ là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n).

- Định lí: $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

Tính chất của các số $C_{n}^{k}$

Tính chất 1.

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}; 0 \leq k \leq n$

3) Nhị thức Newton:

Công thức khai triển nhị thức Niu – tơn:

(a + b)ⁿ =

Các công thức

Phương pháp tìm tổng các hệ số trong khai triển

Xét khai triển tổng quát: (với a,b là các hệ số; x,y là biến)

(ax + by)ⁿ =

= C_n⁰aⁿxⁿ + C_n¹a^n-1b.x^n-1y + C_n²a^n-2b².x^n-2y² + ...+C_n^n-1ab^n-1.xy^n-1 + C_nⁿbⁿyⁿ

Tổng các hệ số trong khai triển là: S = C_n⁰aⁿ + C_n¹a^n-1b + C_n²a^n-2b² + ...+C_n^n-1ab^n-1 + C_nⁿbⁿ

Ta chọn biến x = 1; y = 1 thay vào khai triển: S = (a + b)ⁿ

(Chú ý: tùy thuộc vào khai triển đề bài cho, có thể xét khai triển với chỉ 1 biến x)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 11 Bài 2 giải SGK: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án) – Toán 11

Câu 256:

Chuyên đề Ôn tập chương 2: Tổ hợp - xác suất - Toán 11

Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng là 80%. Xác suất người thứ hai bắn trúng là 70%. Xác suất để cả hai người cùng bắn trúng là:

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi A là biến cố “người thứ nhất bắn trúng”

Gọi B là biến cố “ người thứ hai bắn trúng”

Suy ra $P (A) = 0, 8, P (B) = 0, 7$

Và AB là biến cố “cả hai người đều bắn trúng”

Ta có $P (A B) = P (A) . P (B) = 0, 8.0, 7 = 0, 56$

* Phương pháp giải:

Tìm không gian mẫu

Tính số phần tử của biến cố A

Tính xác suất biến cố A

* Lý thuyết nắm thêm

1. Quy tắc cộng

- Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

- Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, được phát biểu như sau:

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn và không giao nhau thì:

$n (A \cup B) = n (A) + n (B)$

- Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

2. Quy tắc nhân

- Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

- Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên liếp.

3. Hoán vị

3.1 Định nghĩa

- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.

3.2 Số các hoán vị

Kí hiệu: P_n là số các hoán vị của n phần tử.

- Định lí: P_n = n.(n – 1).(n – 2)….2.1

- Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 là n! (đọc là n là giai thừa), ta có: P_n = n!.

4. Chỉnh hợp

4.1 Định nghĩa.

- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

4.2 Số các chỉnh hợp

- Kí hiệu $A_{n}^{k}$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) .

- Định lí:

$A_{n}^{k} = n (n - 1) ... (n - k + 1)$

5. Tổ hợp

5.1 Định nghĩa.

- Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.

Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.

5.2 Số các tổ hợp.

Kí hiệu $C_{n}^{k}$ là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n).

- Định lí: $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

5.3 Tính chất của các số $C_{n}^{k}$

a) Tính chất 1.

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}; 0 \leq k \leq n$

Ví dụ 7. $C_{8}^{4} + C_{8}^{5} = C_{9}^{5} = 126$ .

6. Công thức nhị thức Niu- tơn

Ta có:

- Công thức nhị thức Niu – tơn.

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} . a^{n - 1} b + ... + C_{n}^{k} . a^{n - k} b^{k} + .... + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

- Hệ quả:

Với a = b = 1 ta có: $2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n}$

Với a = 1; b = – 1 ta có: $0 = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + ...$ $+ {(- 1)}^{k} . C_{n}^{k} + ... + {(- 1)}^{n} C_{n}^{n}$

- Chú ý:

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):

a) Số các hạng tử là n + 1.

b) Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước $a^{0} = b^{0} = 1$ ).

c) Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 Bài tập Xác suất của biến cố Toán 11 mới nhất

Câu 257:

Giải Toán 9 (Kết nối tri thức): Giải phương trình hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750km và đi ngược chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe.

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi x, y (km/h) lần lượt là vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai. Điều kiện: x > 0, y > 0.

Vì hai xe khởi hành đồng thời và đi ngược chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau nên ta có:

10x + 10y = 750

Vì xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ chúng gặp nhau nên thời gian xe thứ nhất đi được là:

3 giờ 45 phút + 8 giờ = 11 giờ 45 phút = 11(3/4) = 47/4 giờ

Ta có phương trình: (47/4)x + 8y = 750

Ta có hệ phương trình:

Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán.

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 40 km/h, vận tốc của xe thứ hai là 35 km/h.

* Phương pháp giải:

Gọi ẩn và điều kiện xác định cho ẩn

Từ đề bài lập các phương trình. Từ đó ta được 1 hệ phương trình 2 ẩn

Giaỉ hệ phương trình vừa lập

* Lý thuyết nắm thêm về hệ phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

Câu 258:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Hai xe bồn chở nước tưới cây, chở tất cả 38 000 l nước. Xe thứ nhất chở ít hơn xe thứ hai 5 000 l nước. Hỏi mỗi xe chở bao nhiêu lít nước?

Xem đáp án

* Lời giải:

Xe thứ nhất chở được số lít nước là:

(38 000 – 5 000) : 2 = 16 500 (lít nước)

Xe thứ hai chở được số lít nước là:

16 500 + 5 000 = 21 500 (lít nước)

Đáp số: Xe thứ nhất: 16 500 lít nước

Xe thứ hai: 21 500 lít nước

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 259:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Hai xe bồn chở tất cả 39 000 l nước. Xe thứ nhất chở nhiều hơn xe thứ hai 3 000 l nước. Hỏi mỗi xe chở bao nhiêu lít nước?

Xem đáp án

* Lời giải:

Xe thứ nhất chở được số lít nước là:

(39 000 + 3 000) : 2 = 21 000 (l)

Xe thứ hai chở được số lít nước là:

21 000 – 3 000 = 18 000 (l)

Đáp số: Xe thứ nhất: 21 000 l nước

Xe thứ hai: 18 000 l nước

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 260:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Hai thùng dầu chứa tất cả 211 lít, sau khi lấy ra ở mỗi thùng một số lít dầu bằng nhau thì thùng thứ nhất còn lại 85lít, thùng thứ hai còn lại 46lít. Tính số dầu lúc đầu có ở mỗi thùng.

Xem đáp án

* Lời giải:

Cách 1:

Số dầu còn lại ở hai thùng là:

85 + 46 = 131 (lít)

Số dầu lấy ra ở mỗi thùng là:

(211 – 131) : 2 = 40 (lít)

Số dầu lúc đầu có ở thùng thứ nhất là:

85 + 40 = 125 (lít)

Số dầu lúc đầu có ở thùng thứ hai là:

46 + 40 = 86 (lít)

Cách 2: Vì cùng lấy ra ở mỗi thùng một số lít dầu như nhau nên số dầu lúc đầu ở thùng thứ nhất nhiều hơn ở thùng thứ 2 là:

85 – 46 = 39 (lít)

Số dầu lúc đầu có ở thùng thứ nhất là:

(211 + 39) : 2 = 125 (lít)

Số dầu lúc đầu có ở thùng thứ hai là:

211 – 125 = 86 (lít)

Đáp số: 86 lít

* Phương pháp giải:

B1: Tính tổng thùng rác ban đầu

B2: Sau khi chuyển 46 lít, thùng thứ hai nhiều hơn thứ

B3: Sử dụng phương pháp giả định ban đầu hoặc cài đặt tính cộng, trừ để

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 261:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Hai thùng A và B có tổng 415l dầu. Nếu lấy 35l dầu ở thùng A đổ sang thùng B thì thùng B nhiều hơn thùng A là 7l dầu. Hỏi lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?

Xem đáp án

* Lời giải:

Số lít dầu ở thùng B sau khi chuyển là:

(415 + 7) : 2 = 211 (lít)

Số lít dầu ở thùng B lúc đầu là:

211 – 35 = 176 (lít)

Số lít dầu ở thùng A lúc đầu là:

415 – 176 = 239 (lít)

* Phương pháp giải:

B1: Tính tổng thùng rác ban đầu

B2: Sau khi chuyển 46 lít, thùng thứ hai nhiều hơn thứ

B3: Sử dụng phương pháp giả định ban đầu hoặc cài đặt tính cộng, trừ để

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 262:

Lý thuyết Động năng và thế năng. Định luật bảo toàn cơ năng – Vật lí 10 Chân trời sáng tạo

Hai viên bi có khối lượng 2 g và 3 g, chuyển động trên mặt phẳng ngang không ma sát với vận tốc 6 m/s (viên bi 2 g) và 4 m/s (viên bi 3 g) theo hai phương vuông góc (Hình 23.1). Xác định tổng động lượng của hệ hai viên bi.

Xem đáp án

* Lời giải:

Tổng động lượng của hệ hai viên bi :

với $2.$ $.6 = 1,2.$ $kg.m/s$ $=$ $Vì$ $Nên vectơ$ $p_{2}$

Từ đó suy ra : và có độ lớn : p = * Phương pháp giải: Sử dụng công thức động năng Tính toán quãng đường So sánh hai quãng đường * Lý thuyết nắm thêm: 1. ĐỘNG NĂNG a. Mối liên hệ giữa động năng và công - Động năng của một vật là năng lượng vật có được do chuyển động, có giá trị được tính theo công thức: $W_{d} = \frac{1}{2} m . v^{2}$

Với: m là khối lượng của vật

v là tốc độ của vật tại thời điểm khảo sát

Trong hệ SI, động năng có đơn vị là joule (J)

Người, sóng biển, báo, cánh quạt chuyển động sẽ có động năng

- Mỗi liên hệ giữa động năng và công: $W_{d} - W_{d 0} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = A$

- Định lí động năng: độ biến thiên động năng của một vật trong khoảng thời gian $Δ t$ bằng công của lực tác dụng lên vật trong khoảng thời gian đó.

b. Đặc điểm của động năng

- Động năng của vật phụ thuộc vào khối lượng của vật và tốc độ chuyển động của vật

- Động năng là một đại lượng vô hướng, không âm

- Động năng có giá trị phụ thuộc vào hệ quy chiếu

2. THẾ NĂNG

a. Thế năng trong trường trọng lực đều

- Một vật có khối lượng m ở độ cao h so với một vị trí làm gốc dự trữ một dạng năng lượng được gọi là thế năng trọng trường:

W_t= m.g.h

Trong hệ SI, thế năng có đơn vị là joule (J)

Búa máy đang dự trữ thế năng

Lưu ý:

- Để xác định thế năng, ta cần phải chọn gốc thế năng là vị trí mà tại đó thế năng bằng 0.

- Khi chọn gốc tọa độ trùng với gốc thế năng và chiều dương của trục Oz hướng lên thì vị trí phía trên gốc thế năng có giá trị h > 0, vị trí phía dưới gốc thế năng có giá trị h < 0

- Độ biến thiên thế năng giữa hai vị trí không phụ thuộc vào việc chọn gốc thế năng.

3. CƠ NĂNG

a. Quá trình chuyển hóa giữa động năng và thế năng

Trong quá trình chuyển động, động năng và thế năng của vật có thể chuyển hóa quá lại với nhau.

Động năng và thế năng trong quá trình người trượt nước, quả bóng bay vào rổ chuyển hóa qua lại với nhau.

b. Định luật bảo toàn cơ năng

- Tổng động năng và thế năng được gọi là cơ năng của vật:

$W = W_{d} + W_{t}$

Trong hệ SI, cơ năng có đơn vị là jun (J)

- Khi một vật chuyển động chỉ chịu tác dụng của lực bảo toàn thì cơ năng của vật là một đại lượng bảo toàn.

Hệ quả: Trong trường trọng lực, tại vị trí vật có động năng cực đại thì thế năng cực tiểu và ngược lại.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Bài tập về Động năng cơ bản, nâng cao có lời giải

Câu 263:

Công thức tính thể tích khối lăng trụ và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Các đường chéo của các mặt một hình hộp chữ nhật bằng $\sqrt{5}; \sqrt{10}; \sqrt{13}$ . Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đó.

Xem đáp án

* Phương pháp giải

+ tính V hình hộp chữ nhật = Sđ . h

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài tập về thể tích khối lăng trụ:

Công thức thể tích:

a) Thể tích khối lăng trụ

$V_{L T} = S . h$

với: S: Diện tích đáy

h: Chiều cao.

b) Thể tích khối hộp chữ nhật

$V = a . b . c$

với a, b, c là ba kích thước.

c) Thể tích khối lập phương

$V = a^{3}$

Trong đó a là độ dài cạnh.

PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

+) Trong nhiều trường hợp, chiều cao của khối đa diện được cho ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc (chiều cao cho gián tiếp), hay dùng nhất là: định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, …

+) Tính độ dài chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, định lý cosin, …

+) Có thể tính chiều cao bằng cách chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Nếu $O A / / (α)$ thì $d (O, (α)) = d (A, (α))$

Nếu $O A \cap (α) = \{I\}$ thì $\frac{d (O, (α))}{d (A, (α))} = \frac{I O}{I A}$ (định lý Ta-lét)

Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức.

Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích.

Dạng 1: Thể tích lăng trụ đứng tam giác:

Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác.

(1) Chiều cao h là cạnh bên AA’ (hoặc BB’, CC’).

(2) Mặt đáy là tam giác ABC (hoặc tam giác A’B’C’).

Khi đó thể tích lăng trụ ABC. A’B’C’ là $V = S_{A B C} . A A'$

Dạng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ xiên

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài toán về thể tích khối lăng trụ (có đáp án 2024) – Toán 12

Câu 264:

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán 11 Cánh diều

Cho đường tròn tâm O, hai dây AB và CD vuông góc với nhau ở M. Biết AB = 18 cm, CD = 14 cm, MC =4 cm. Hãy tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây AB và CD

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của O trên AB và CD

Tính được OH = MK = 3cm

OD = OB

Từ đó tính được OK = $\sqrt{41}$ cm

* Phương pháp giải:

Xét dấu các giá trị lượng giác

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Góc hình học và số đo của chúng

*Nhận xét:

- Đơn vị đo góc: độ hoặc radian (rad).

- Ta có: $180^{o} = π$ rad, do đó 1 rad $= {(\frac{180}{π})}^{o}$ , $1^{o} = (\frac{π}{180})$ rad.

- Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo góc.

VD: $\frac{π}{2}$ rad cũng được viết là $\frac{π}{2}$ .

2. Góc lượng giác và số đo của chúng

a, Khái niệm

- Cho 2 tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov.

Kí hiệu: (Ou, Ov).

- Mỗi góc lượng giác được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

b, Tính chất

- Cho hai góc lượng giác = và (O’u’,O’v’) có tia đầu trùng nhau $(O u \equiv O^{'} u^{'})$ , tia cuối trùng nhau $(O v \equiv O^{'} v^{'})$ .

Khi đó, nếu sử dụng đợn vị đo là độ thì ta có:

$(O u, O v) = (O^{'} u^{'}, O^{'} v^{'}) + k 360^{o}, k \in Z .$

Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì:

$(O u, O v) = (O^{'} u^{'}, O^{'} v^{'}) + k 2 π, k \in Z .$

* Hệ thức Chasles

Với 3 tia Ou, Ov, Ow bất kì ta có:

(Ou,Ov) + (Ov, Ow) = (Ou,Ow) $+ k 2 π, k \in Z .$

1. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1;0). Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

- Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

- Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn như hình vẽ. Khi đó:

$x =$ cos $α$ , $y =$ sin $α$ .

tan $α$ $= \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{y}{x} (x \neq 0)$

$\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{x}{y} (y \neq 0)$

* Dấu của các giá trị lượng giác của góc $α$

* Các công thức lượng giác cơ bản

$\begin{array}{l} \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 \\ 1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} (α \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) \\ 1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} (α \neq k π, k \in Z) \\ \tan α . \cot α = 1 (α \neq \frac{k π}{2}, k \in Z) \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Câu 265:

Công thức xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, độ dài trục lớn, trục bé của Elip - Toán lớp 10

Đường Elip $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ có tiêu cự bằng :

Xem đáp án

* Lời giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng $(E) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ .

$\Rightarrow \{\begin{cases} a^{2} = 16 \\ b^{2} = 7 \\ c^{2} = a^{2} - b^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 4 \\ b = \sqrt{7} \\ c = 3 \end{cases}$

Vậy: Tiêu cự của Elip

$F_{1} F_{2} = 2 c = 2.3 = 6$ .

* Phương pháp giải:

+ Tiêu cự: $F_{1} F_{2} = 2 c$

* Lý thuyết nắm thêm

- Cho hai điểm cố định $F_{1}$ và $F_{2}$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_{1} F_{2}$ . Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1} M + F_{2} M = 2 a$ .

- Các thành phần của Elip: Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

+ Hai tiêu điểm: $F_{1}$ (-c; 0) và $F_{2}$ (c; 0)

+ Bốn đỉnh: $A_{1}$ (-a; 0), $A_{2}$ (a; 0), $B_{1}$ (0; -b) và $B_{2}$ (0; b)

+ Độ dài trục lớn: $A_{1} A_{2} = 2 a$

+ Độ dài trục nhỏ: $B_{1} B_{2} = 2 b$

+ Tiêu cự: $F_{1} F_{2} = 2 c$

+ Tâm sai: $e = \frac{c}{a} < 1$ với $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Phương trình elip có đáp án – Toán lớp 10

Câu 266:

Chuyên đề Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (2024) - Toán 12

Đường chuẩn của parabol y² = 6x

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có : y² = 6x ⇒ p = 3

Vậy đường chuẩn ∆ : x = $\frac{- p}{2}$ = $\frac{- 3}{2}$ .

* Phương pháp giải:

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C₁) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C₂). Để tìm hoành độ giao điểm của (C₁)và (C₂), ta phải giải phương trình f(x) = g(x).

Giả sử phương trình trên có các nghiệm x₀; x₁; … khi đó, các giao điểm của (C₁)và (C₂) là M₀(x₀; f(x₀)); M₁(x₁; f(x₁))....

* Lý thuyết nắm thêm về sự biến thiên của đồ thị hàm số:

1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số.

2. Sự biến thiên.

+ Xét chiều biến thiên của hàm số.

- Tính đạo hàm y’.

- Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định.

- Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

3. Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị hàm số.

- Chú ý:

1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.

2. Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

3. Nên lưu ý tính chẵn, lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0).

Dạng của đồ thị y = ax⁴ + bx² + c (với a ≠ 0)

Dạng của đồ thị hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}; (c \neq 0; a d - b c \neq 0)$

Sự tương giao của các đồ thị.

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C₁) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C₂). Để tìm hoành độ giao điểm của (C₁)và (C₂), ta phải giải phương trình f(x) = g(x).

Giả sử phương trình trên có các nghiệm x₀; x₁; … khi đó, các giao điểm của (C₁)và (C₂) là M₀(x₀; f(x₀)); M₁(x₁; f(x₁))....

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 12 Bài 4 (Kết nối tri thức): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Câu 267:

Phương trình đường thẳng (Lý thuyết, công thức), các dạng bài tập và cách giải

Cho ba đường thẳng $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Xem đáp án

*Lời giải:

Gọi I = d1 ∩ d2; (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2).

Gọi d3 ∩ d1 = M; d3 ∩ d2 = N.

+ M ∈ d1, mà d1 ⊂ (P) ⇒ M ∈ (P)

+ N ∈ d2, mà d2 ⊂ (P) ⇒ N ∈ (P).

Nếu M ≠ N ⇒ d3 có hai điểm M, N cùng thuộc (P)

⇒ d3 ⊂ (P)

⇒ d1; d2; d3 đồng phẳng (trái với giả thiết).

⇒ M ≡ N

⇒ M ≡ N ≡ I

Vậy d1; d2; d3 đồng quy.

*Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức về các phương trình đường thẳng để viết:

+ xác định ra 1 điểm thuộc cả 2 mặt phẳng

+ xác định vectơ pháp tuyến / chỉ phương từ 2 mặt phẳng

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về phương trình đường thẳng:

Phương trình tham số của đường thẳng

a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\vec{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu $\vec{u}$ ≠ $\vec{0}$ và giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét:

– Nếu $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của ∆ thì k $\vec{u}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Phương trình tham số của đường thẳng

Hệ $\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \end{cases}$ (a² + b² > 0 và t là tham số) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M₀(x₀ ; y₀₎và nhận $\vec{u}$ = (a ; b) làm vectơ chỉ phương.

Nhận xét: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \end{cases}$ (a² + b² > 0 và t là tham số).

+ Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆. Ngược lại, với mỗi điểm trên đường thẳng ∆, ta xác định được một giá trị cụ thể của t.

+ Vectơ $\vec{u}$ = (a ; b) là một vectơ chỉ phương của ∆.

Phương trình tổng quát của đường thẳng

a. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ $\vec{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu $\vec{n}$ ≠ $\vec{0}$ và giá của vectơ $\vec{n}$ vuông góc với ∆.

Nhận xét:

– Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của ∆ thì k $\vec{n}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

– Nếu một đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}$ = (a ; b) thì vectơ $\vec{n}$ = (–b ; a) là một vectơ pháp tuyến của ∆.

b. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét:

– Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x₀ ; y₀) và nhận $\vec{n}$ = (a ; b) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0 ⇔ ax + by + (–ax₀ – by₀) = 0.

– Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng ∆ trong mặt phẳng tọa độ nhận một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ = (a ; b).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Giải Toán 10 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình đường thẳng

TOP 20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 10

Câu 268:

Giải SGK Toán lớp 4 Bài 25: Tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó

Hiệu của hai số là 55. Số thứ nhất bằng $\frac{9}{4}$ số thứ hai. Tìm hai số đó

Xem đáp án

*Lời giải:

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:

9 - 4 = 5 (phần)

Số thứ hai là 55 : 5 x 4 = 44

Số thứ nhất là 44 + 55 = 99

Đáp số 99 và 44.

* Phương pháp giải

Dạng bài: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu

Cách 1: Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn - hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2: Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

*Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và hiệu

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 2: Cho biết hiệu nhưng dấu tổng

Phương pháp giải: Cần phải tìm tổng trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 3: Cho biết tổng nhưng dấu hiệu

Phương pháp giải: Cần phải tìm hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 4: Dấu cả tổng lẫn hiệu

1. Phương pháp giải

Cần phải tìm tổng và hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu): 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Chuyên đề Tìm hai số khi biết tổng và hiệu lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Câu 269:

Giải SGK Toán lớp 4 Bài 25: Tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó

Tổng số tuổi của ông và cháu hiện nay là 78 tuổi .Cách đây 6 năm , ông hơn cháu 56 tuổi . Tính tuổi mỗi người .

Xem đáp án

*Lời giải:

Mỗi năm mỗi người tăng thêm một tuổi vậy nên lúc nào ông cũng hơn cháu 56 tuổi.

Tuổi của ông hiện nay là:

(78 + 56) : 2 = 67 (tuổi)

Tuổi của cháu hiện nay là:

78 - 67 = 11 (tuổi)

* Phương pháp giải

Dạng bài: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu

Cách 1: Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn - hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2: Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

*Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và hiệu

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 2: Cho biết hiệu nhưng dấu tổng

Phương pháp giải: Cần phải tìm tổng trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 3: Cho biết tổng nhưng dấu hiệu

Phương pháp giải: Cần phải tìm hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 4: Dấu cả tổng lẫn hiệu

1. Phương pháp giải

Cần phải tìm tổng và hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu): 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Chuyên đề Tìm hai số khi biết tổng và hiệu lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Câu 270:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Tính giá trị của biểu thức.

20 x (a + 6) với a = 3

Xem đáp án

*Lời giải:

20 x (a + 6) với a = 3

Với a = 3. Thay vào biểu thức:

20 x (a + 6) = 20 × (3 + 6)

= 20 × 9

= 180

* Phương pháp giải

Thay giá trị a vào biểu thức rồi tính toán phép tính cộng trừ nhân chia

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 271:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Tính giá trị của biểu thức (a + b) x 2 với a = 28, b = 42.

Xem đáp án

*Lời giải:

Thay a = 28, b = 42 vào biểu thức:

(a + b) x 2 = (28 + 42) × 2

= 70 × 2

= 140

* Phương pháp giải

Thay giá trị a vào biểu thức rồi tính toán phép tính cộng trừ nhân chia

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 272:

Giải SGK Toán lớp 4 Bài 25: Tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó

Chia 48 cái bánh nướng vào các hộp, mỗi hộp 4 cái và chia 28 cái bánh dẻo vào các hộp, mỗi hộp 2 cái. Hỏi số hộp bánh nướng hay số hộp bánh dẻo có nhiều hơn và nhiều hơn bao nhiêu hộp?

Xem đáp án

Bánh nướng chia được số hộp là:

48 : 4 = 12 (hộp)

Bánh dẻo chia được số hộp là:

28 : 2 = 14 (hộp)

So sánh: 12 < 14 nên số hộp bánh dẻo nhiều hơn.

Số hộp bánh dẻo nhiều hơn số hộp bánh nướng là:

14 – 12 = 2 (hộp)

Đáp số: 2 (hộp)

* Phương pháp giải

Dạng bài: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu

Cách 1: Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn - hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2: Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

*Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và hiệu

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 2: Cho biết hiệu nhưng dấu tổng

Phương pháp giải: Cần phải tìm tổng trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 3: Cho biết tổng nhưng dấu hiệu

Phương pháp giải: Cần phải tìm hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 4: Dấu cả tổng lẫn hiệu

1. Phương pháp giải

Cần phải tìm tổng và hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu): 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Chuyên đề Tìm hai số khi biết tổng và hiệu lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Câu 273:

50 Bài toán về tỉ số phần trăm lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Tỉ số phần trăm của 1,4 và 2,5 là:

Xem đáp án

* Lời giải:

1,4 : 2,5 × 100 = 56%

* Phương pháp giải:

Tỉ số phần trăm của a và b là $\frac{a}{b} .100 %$ .

* Lý thuyết nắm thêm

Tỷ số của hai số là thương của phép chia số a cho số b với b khác 0, được viết dưới dạng a / b hoặc a : b.

Tỷ số phần trăm chính là tỉ số của hai số mà ở đó ta sẽ quy mẫu số của tỉ số về số 100. Tỷ số phần trăm thường được sử dụng để biểu thị độ lớn tương đối của một lượng này so với lượng khác. Ví dụ: 2/100 = 2%, 35/100 = 35%

Ký hiệu thường dùng là “%” – ký hiệu phần trăm. Ví dụ: 50% (đọc là “năm mươi phần trăm”) tương đương với 50/100, nói cách khác là 0,5.

Cách tính tỉ số phần trăm của 1 số

Trong toán học, phần trăm là tỷ lệ được hiển thị dưới dạng phân số với mẫu số luôn luôn bằng 100. Ngoài ra, phần trăm còn được biểu diễn ở dạng khác bằng cách dùng ký hiệu % mà bạn thường gặp như 1%, 5%, 10%,… Điều đặc biệt là phần trăm không có đơn vị đo lường.

Bạn sẽ thường thấy rằng phần trăm được dùng để chỉ ra mức độ (hay độ lớn) của một lượng này so với một lượng kia. Ví dụ, một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 15 học sinh là nữ thì ta có thể nói rằng số học sinh nữ chiếm tỉ lệ 50% trong tổng số học sinh của lớp học đó.

Để hiểu rõ hơn về tỷ lệ phần trăm, dưới đây là cách tính phần trăm của 1 số:

Tính phần trăm khi biết tổng thể với a là một số, b là tổng thể, ta tính như sau: (a/b)*100 (%).

Ví dụ, một một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 5 học sinh là nữ. Thì ta có, 20 học sinh là tổng thể, 5 học sinh nữ là số bạn cần so sánh. Ta có phép tính như sau: (5/20)*100(%).

Tính phần trăm khi chưa biết tổng thể với a là một số, b là một số, ta tính như sau: a/(a+b))*100 hay b/(a+b))*100 (%).

- Cách tính phần trăm của 2 số

Cách tính phần trăm của 2 số a, b đó chính là lấy số a đem chia số b và nhân cho 100. Chúng ta sẽ ghi ký hiệu phần trăm (%) ở đằng sau kết quả mình nhận được. Cụ thể là:

(a : b) x 100 = a/b x 100 (%)

- Cách tính phần trăm của một tổng

Đây là cách tính phần trăm được dùng nhiều nhất trong tất cả. Khi tính phần trăm 1 tổng, bạn sẽ biết đại lượng này chiếm bao nhiêu phần trong tổng chung.

Cách tính phần trăm A so với tổng (A+B): A/(A+B)*100

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

35 Bài tập Tỉ số phần trăm lớp 5 (có đáp án)

Câu 274:

50 bài tập Các dạng toán Hình học lớp 5 điển hình (có đáp án 2025) và cách giải

Một hình chữ nhật có chu vi là 40 cm và chiều dài hơn chiều rộng 4 cm. Tìm chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó.

Xem đáp án

* Lời giải:

Tóm tắt

Một hình chữ nhật có chu vi là 40 cm và chiều dài hơn chiều rộng 4 cm. Tìm chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó. (ảnh 1)

Bài giải

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

40 : 2 = 20 (cm)

Hai lần chiều rộng hình chữ nhật là:

20 – 4 = 16 (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

16 : 2 = 8 (cm)

Chiều dài hình chữ nhật là:

20 – 8 = 12 (cm)

Đáp số: Chiều dài: 12 cm

Chiều rộng: 8 cm

* Phương pháp giải:

tìm chiều rộng thửa ruộng

tìm chiều dài thửa ruộng

tính ra diện tích và tính số thóc thu được

* Lý thuyết nắm thêm

1. Công thức tính diện tích Hình chữ nhật

+ Công thức: S = a x b.

+ Muốn tính diện tích hình chữ nhật, ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Biết diện tích tìm cạnh bằng cách lấy diện tích chia cạnh đã biết.

2. Công thức tính diện tích Hình vuông

+ Công thức: S = a x a = a2.

+ Muốn tính diện tích hình vuông, ta lấy độ dài một cạnh nhân với chính nó.

+ Mở rộng: Nếu biết diện tích hình vuông, ta có thể tìm cạnh hình vuông bằng cách nhẩm.

3. Công thức tính diện tích Hình bình hành

+ Công thức: S = a x h

+ Muốn tính diện tích hình bình hành, ta lấy độ dài đáy nhân với chiều cao (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Biết diện tích hình bình hành, ta có thể tính: Độ dài đáy: a = S : h; Chiều cao: h = S : a

4. Công thức tính diện tích Hình thoi

+ Công thức: S = m x n : 2

+ Muốn tính diện tích hình thoi, ta lấy tích độ dài hai đường chéo chia cho 2 (cùng một đơn vị đo).

5. Công thức tính diện tích Hình tam giác

+ Công thức: S = h x a : 2

+ Muốn tính diện tích hình tam giác, ta lấy độ dài đáy nhân với chiều cao rồi chia cho 2 (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Nếu ta biết diện tích hình tam giác, ta có thể tính:

Chiều cao: h = (S x 2) : a

Cạnh đáy: a = (S x 2) : h

6. Công thức tính diện tích hình tứ giác

Sẽ không có công thức chung để tính diện tích hình tứ giác mà chúng ta dựa vào cụ thể hình tứ giác đó là gì để có cách tính diện tích khác nhau.

7. Công thức tính diện tích Hình thang

+ Công thức: S = (a + b) x h : 2

+ Muốn tính diện tích hình thang, ta lấy tổng độ dài hai đáy nhân với chiều cao rồi đem chia cho 2 (cùng một đơn vị đo).

+ Mở rộng: Nếu biết diện tích hình thang, ta có thể tính

Chiều cao: h = (S x 2) : a

Cạnh đáy: a = (S x 2) : h

8. Công thức tính diện tích Hình tròn

+ Công thức: S = π. r2 (π ≈ 3,14)

+ Muốn tính diện tích hình tròn, ta lấy bán kinh nhân với bán kính rồi nhân với số 3,14.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật (2024) chính xác nhất

Câu 275:

Công thức tính Cấp số cộng và cách giải các dạng bài tập

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = 3 n - 2$ . Tìm công sai d của cấp số cộng

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có $u_{n + 1} - u_{n} = 3 (n + 1) - 2 - 3 n + 2 = 3$

Suy ra $d = 3$ là công sai của cấp số cộng

*Phương pháp giải

(u_n) là cấp số cộng khi u_n+1 = u_n + d, n ∈ N^* (d gọi là công sai)

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức: u_n = u₁ + (n – 1)d với n ∈ N^*, n ≥ 2.

*Lý thuyết nắm thêm về cấp số cộng:

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

un+1 = un + d với $n \in ℕ^{*}$ (1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; công sai d = 3.

Số hạng tổng quát

- Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2.

Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

- Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}; k \geq 2$

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

- Định lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.

Khi đó: $S_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2}$ .

- Chú ý: vì un = u1 + (n – 1)d nên ta có: $S_{n} = n u_{1}^{} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Câu 276:

50 bài toán về công thức lũy thừa, logarit và cách giải (có đáp án 2024) – Toán 12

Tìm số tự nhiên x biết: 10 + 2x = 4⁵:4³

Xem đáp án

* Lời giải:

10 + 2x = 4⁵ : 4³

10 + 2x = 4⁵ - 3

10 + 2x = 42

10 + 2x = 16

2x = 16 - 10

2x = 6

x = 6 : 2

x = 3

Vậy x = 3

*Phương pháp làm:

Áp dụng công thức luỹ thừa

*Lý thuyết nắm thêm:

Nhóm công thức 1	Nhóm công thức 2

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Lũy thừa (có đáp án 2024) - Toán 12

Câu 277:

Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (2024) chính xác nhất

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh BC, F là trung điểm cạnh AE. Tìm độ dài đoạn thẳng DF.

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có E là trung điểm BC.

Suy ra $C E = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2}$ .

Ta có AB = CD (do ABCD là hình vuông) và BE = CE (E là trung điểm BC).

Suy ra $\sqrt{A B^{2} + B E^{2}} = \sqrt{C D^{2} + C E^{2}}$ .

Do đó AE = DE.

Tam giác CDE vuông tại C: $A E = D E = \sqrt{C D^{2} + C E^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Ta có $D F^{2} = \frac{2 D A^{2} + 2 D E^{2} - A E^{2}}{4} = \frac{2 a^{2} + 2 {(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2}}{4} = \frac{13 a^{2}}{16}$ .

Vậy $D F = \frac{a \sqrt{13}}{4}$ .

* Phương pháp giải:

- Thể tích: V = πR²h.

* Lý thuyết nắm thêm:

Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh AB cố định, ta được một hình trụ.

- Hai hình tròn (A) và (B) bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song được gọi là hai đáy của hình trụ.

- Đường thẳng AB được gọi là trục của hình trụ.

- Mỗi vị trí của CD được gọi là một đường sinh. Các đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài của đường sinh là chiều cao của hình trụ.

Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: S_xq = 2πRh.

- Diện tích toàn phần: S_tp = 2πRh + 2πR².

- Thể tích: V = πR²h.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 Bài tập Hình Trụ, Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ Toán 9 mới nhất

Câu 278:

Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA.

a) Chứng minh rằng EFGH là hình bình hành.

b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là:

1. Hình chữ nhật.

2. Hình thoi.

3. Hình vuông.

Xem đáp án

* Lời giải:

*Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính Thể tích khối chóp là: V = 1/3. S.h

*Lý thuyến cần nắm về khối đa diện và thể tích khối đa diện

Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1.

b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1) = V(H2).

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì:

V(H) = V(H1) + V(H2).

Số dương V(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

- Định lí : Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

II. Thể tích của khối lăng trụ.

Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h

III. Thể tích khối chóp.

Định lí. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:

$V = \frac{1}{3} B . h$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài toán về thể tích khối đa diện (có đáp án 2024) – Toán 12

Câu 279:

Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán 10 Kết nối tri thức

Bất phương trình 3x – 2(y – x + 1) > 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?.

Xem đáp án

* Lời giải:

3x – 2(y – x + 1) > 0 3x – 2y + 2x – 2 > 0 5x – 2y – 2 > 0

* Phương pháp giải:

Rút gọn bất phương trình

Kiểm tra điểm (3; 2)

Đánh giá kết quả

* Lý thuyết nắm thêm:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

+ Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 150 \end{cases}$

Bước 1: Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 và gạch bỏ phần miền còn lại.

- Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

- Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.

Bước 2: Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

Bước 3: Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150:

- Vẽ đường thẳng d: x + y = 150.

- Vì 0 + 0 ≤ 150 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm tô màu xanh chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

100 bài toán thực tế miền nghiệm lớp 10 (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 280:

Lý thuyết Hai đường thẳng song song – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Vẽ hai góc kề bù $\hat{x O y}$ , $\hat{y O x'}$ , biết $\hat{x O y} = 142^{o}$ . Gọi Oz là tia phân giác của $\hat{x O y}$ . Tính $\hat{x' O z}$ .

Xem đáp án

* Lời giải:

Vẽ hai góc kề bù xOy, yOx', biết góc xOy = 142 độ (ảnh 1)

Vì $\hat{x O y}, \hat{y O x'}$ là hai góc kề bù nên:

$\hat{x O y} + \hat{y O x'} = 180^{o}$

$142^{o} + \hat{y O x'} = 180^{o}$

Suy ra $\hat{y O x'} = 180^{o} - 142^{o} = 38^{o}$ .

Tia Oz là tia phân giác của nên:

$\hat{x O z} = \hat{y O z} v à \hat{x O z} + \hat{y O z} = 142^{o}$

Suy ra $\hat{y O z} = \frac{\hat{x O y}}{2} = \frac{142^{o}}{2} = 71^{o}$ .

Tia Oy nằm giữa hai tia Ox’ và Oz nên:

$\hat{x' O z} = \hat{x' O y} + \hat{y O z}$

Do đó $\hat{x' O z} = 38^{o} + 71^{o} = 109^{o}$ .

Vậy

\hat{x' O z} = 109^{o}

.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180

Sử dụng tính chất: tia phân giác trong một góc

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm về hai đường thẳng song song:

1. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Lý thuyết Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 3: Hai đường thẳng song song (ảnh 1)

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A và B. Với mỗi cặp góc gồm một góc đỉnh A và một góc đỉnh B, ta có:

a) Hai góc $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{1}}$ (tương tự $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{2}}$ ) gọi là hai góc so le trong.

b) Hai góc $\hat{A_{1}}$ và $\hat{B_{1}}$ (tương tự $\hat{A_{2}}$ và $\hat{B_{2}}$ ; $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{3}}$ ; $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{4}}$ ;) gọi là hai góc đồng vị.

Tính chất: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

2. Tiên đề Euclid về hai đường thẳng song song.

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

3. Tính chất của hai đường thẳng song song

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

- Hai góc so le trong bằng nhau

- Hai góc đồng vị bằng nhau.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Toán 7 Bài 9 (Kết nối tri thức): Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

TOP 20 câu Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

Câu 281:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

385,18 trừ đi hiệu của 207,4 và 91,28 rồi cộng với 115 được kết quả là:

Xem đáp án

*Lời giải:

Từ đề bài ta có biểu thức:

$385, 18 - (207, 4 - 91, 28) + 115$

Tính giá trị biểu thức trên ta có:

$\begin{array}{l} 385, 18 - (207, 4 - 91, 28) + 115 \\ = 385, 18 - 116, 12 + 115 \\ = 269, 06 + 115 \\ = 384, 06 \end{array}$

* Phương pháp giải

tính toán phép tính cộng trừ nhân chia

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 282:

50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án) – Toán 12

Cho tam giác DEF biết DE = 6 cm, DF = 8 cm và EF = 10 cm

a, Chứng minh DEF là tam giác vuông

b, Vẽ đường cao DK. Hãy tính DK, FK

c, Giải tam giác vuông EDK

d, Vẽ phân giác trong EM của DEF. Tính các độ dài các đoạn thẳng MD, MF, ME

e, Tính sinF trong các tam giác vuông DFK và DEF

f, Từ đó suy ra ED . DF = DK . EF

Xem đáp án

*Lời giải:

a) Ta có: EF2 = 102 = 100

DE2 + DF2 = 62 + 82 = 100

Suy ra DE2 + DF2 = EF2

Do đó tam giác DEF vuông tại D

b) Xét tam giác DEF vuông tại D có DK ⊥ EF

Nên DE . DF = DK . FE

Suy ra $D K = \frac{D E . D F}{F E} = \frac{6.8}{10} = \frac{24}{5}$ (cm)

Vì tam giác DKF vuông tại K nên $K F = \sqrt{D F^{2} - D K^{2}} = \sqrt{8^{2} - {(\frac{24}{5})}^{2}} = \frac{32}{5}$ (cm)

c) Ta có $E K = F E - K F = 10 - \frac{32}{5} = \frac{18}{5}$

Xét tam giác EDK vuông tại K có

$\begin{array}{l} \sin \hat{K D E} = \frac{E K}{D E} = \frac{\frac{18}{5}}{6} = \frac{3}{5} \Rightarrow \hat{K D E} = 38,87 ° \\ \sin \hat{K E D} = \frac{D K}{D E} = \frac{\frac{24}{5}}{6} = \frac{4}{5} \Rightarrow \hat{K E D} = 53,13 ° \end{array}$

d) Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta được :

$\frac{M D}{M F} = \frac{D E}{E F} \Leftrightarrow \frac{M D}{M F} = \frac{6}{10} \Leftrightarrow M D = \frac{3}{5} M F$

Ta có: $\begin{array}{l} M D + M F = D F \\ \Leftrightarrow \frac{3}{5} M F + M F = 8 \\ \Leftrightarrow \frac{8}{5} M F = 8 \\ \Leftrightarrow M F = 5 \end{array}$

Suy ra $M D = \frac{3}{5} .5 = 3$

Vì tam giác EDM vuông tại D nên $E M = \sqrt{D E^{2} + D M^{2}} = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{5}$ (cm)

e) Xét tam giác FDK vuông tại K có

$\sin \hat{K F D} = \frac{D K}{D F}$

Xét tam giác FDE vuông tại D có

$\sin \hat{E F D} = \frac{D E}{E F}$

f) Theo câu e ta có

$\frac{D K}{D F} = \frac{D E}{F E} \Rightarrow D K . F E = D F . D E$

* Phương pháp giải:

Xác định trung điểm của .

là trọng tâm tam giác nên nằm trên trung tuyến .

Theo tính chất trọng tâm, $\frac{I G_{1}}{I A} = \frac{I G_{2}}{I B} = \frac{1}{3}$ , suy ra (định lý Thales đảo).

Vì và , nên và .

* Lý thuyết nắm thêm:

a) Hình chóp

- Đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh.

- Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao.

b) Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

+ Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.

+ Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.

Lý thuyết Hình chóp đều và hình chóp cụt đều | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

a) Diện tích xung quanh của hình chóp đều

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

S_xq = p.d (p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)

b) Diện tích toàn phần của hình chóp

Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:

S_tp = S_xq + S (S: diện tích đáy)

c) Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao:

V = 1/3S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 Bài tập Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Toán 12

Câu 283:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Biết 10,4 l dầu cân nặng 7,904kg. Hỏi có bao nhiêu lít dầu nếu lượng dầu đó cân nặng 10,64kg ?

Xem đáp án

*Lời giải:

Mỗi lít dầu cân nặng là:

7,904 : 10,4 = 0,76 (kg)

Nếu lượng dầu cân nặng 10,64kg thì có số lít dầu là:

10,64 : 0,76 = 14 (l)

Đáp số : 14 lít dầu.

* Phương pháp giải:

B1: Tính tổng thùng rác ban đầu

B2: Sau khi chuyển 46 lít, thùng thứ hai nhiều hơn thứ

B3: Sử dụng phương pháp giả định ban đầu hoặc cài đặt tính cộng, trừ để

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 284:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một thùng nước mắm có 120 l. Lần đầu bán được 25 l nước mắm, lần thứ hai bán được gấp đôi số lít nước mắm ở lần đầu, lần thứ ba bán được 35 l nước mắm. Hỏi trong thùng còn lại bao nhiêu lít nước mắm?

Xem đáp án

*Lời giải:

Lần thứ hai bán được số lít nước mắm là:

25 × 2 = 50 (l)

Cả ba lần bán được số lít nước mắm là:

25 + 50 + 35 = 110 (l)

Trong thùng còn lại số lít nước mắm là:

120 – 110 = 10 (l)

Đáp số: 10 lít nước mắm

* Phương pháp giải:

B1: Tính tổng thùng rác ban đầu

B2: Sau khi chuyển 46 lít, thùng thứ hai nhiều hơn thứ

B3: Sử dụng phương pháp giả định ban đầu hoặc cài đặt tính cộng, trừ để

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 285:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một đội công nhân có 12 người dự kiến sửa xong một con đường trong 15 ngày. Đến khi bắt đầu làm thì đội công nhân được bổ sung thêm 6 người nữa. Hỏi đội công nhân sửa xong con đường đó trước bao nhiêu ngày so với dự kiến? (Biết mức làm của mỗi người như nhau)

Xem đáp án

*Lời giải:

(phương pháp rút về đơn vị)

1 người sửa xong con đường đó trong số ngày là:

12 x 15 = 180(ngày)

Đến khi bắt đầu làm, đội công nhân có số người làm là:

12 + 6 = 18(người)

Trên thực tế, đội công nhân sửa xong con đường đó trong số ngày là:

180 : 18 = 10(ngày)

Đội công nhân sửa xong con đường đó trước số ngày so với dự kiến là:

15 - 10 = 5(ngày)

Đáp số: 5 ngày

* Phương pháp giải:

Giaỉ bài toán bằng phương pháp rút về đơn vị

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 286:

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác có đáp án – Toán lớp 10

Một đường tròn có bán kính 15 cm . Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng 30⁰là :

Xem đáp án

*Lời giải:

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có nên

Ta có $l = \frac{π . 30.15}{180} = \frac{5 π}{2}$ .

*Phương pháp giải:

- Nắm lại lý thuyết về đơn vị đo góc, cung tròn, độ dài cung tròn để đổi

*Một số dạng bài về cung và lượng giác:

a) Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn:

* Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. 1 rađian còn viết tắt là 1 rad. Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.

* Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian: suy ra và

* Độ dài cung tròn: Một cung của đường tròn bán kính R có số đo thì độ dài .

*) Một số dạng bài:

a) Dạng 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã cho trước một giá trị

* Phương pháp giải: Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

b) Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức giữa các giá trị lượng giác

* Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi. Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

+ Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

+ Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

+ Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

c) Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác

* Phương pháp giải: Để giải dạng bài này, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

100 câu trắc nghiệm Cung và góc lượng giác nâng cao

Câu 287:

Định lí Pi-ta-go và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 7

Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Tính $|\vec{C A} - \vec{H C}|$

Xem đáp án

*Lời giải:

*Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

* Các lý thuyết thêm

1. Định lí Pytago:

Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

∆ABC vuông tại A: BC²= AB² + AC²

2. Định lí Pytago đảo:

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

∆ABC có BC² = AB² + AC²thì ∆ABC vuông tại A

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 4.1: Tính độ dài một cạnh của tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh.

- Sử dụng định lí Py- ta-go trong tam giác vuông

∆ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC²

- Có trường hợp phải kẻ thêm đường vuông góc để tạo thành tam giác vuông.

Dạng 4.2: Sử dụng định lý Py - ta - go để nhận biết tam giác vuông.

- Tính bình phương các độ dài ba cạnh của tam giác.

- So sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai cạnh kia.

- Nếu hai kết quả bằng nhau thì tam giác đó là tam giác vuông, cạnh lớn nhất là cạnh huyền.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Trắc nghiệm Định lý Py - ta - go (có đáp án)

Câu 288:

Giải Toán 9 (Kết nối tri thức): Giải phương trình hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

Một vòi nước chảy vào một bể không có nước. Cùng lúc đó một vòi khác chảy từ bể ra. Mỗi giờ lượng nước chảy ra bằng $\frac{4}{5}$ lượng nước chảy vào. Sau 5 giờ nước trong bể đạt tới $\frac{1}{8}$ dung tích bể. Hỏi nếu bể không có nước mà chỉ mở vòi chảy vào bể thì sau bao lâu bể sẽ đầy nước?

Xem đáp án

*Lời giải:

Gọi thời gian để vòi chảy vào đầy bể nước là x (giờ) (x > 0)

Sau 5 giờ lượng nước còn lại trong bể là dung tích bể nên ta có phương trình:

Vậy thời gian để bể đầy nước nếu chỉ mở vòi chảy là 8 giờ.

* Phương pháp giải:

Gọi ẩn và điều kiện xác định cho ẩn

Từ đề bài lập các phương trình. Từ đó ta được 1 hệ phương trình 2 ẩn

Giaỉ hệ phương trình vừa lập

* Lý thuyết nắm thêm về hệ phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

Câu 289:

100 câu trắc nghiệm Đường thẳng - Mặt phẳng trong không gian (P1)

Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khi đó giao tuyến của mp (AMN) và mp (BCD) là:

Xem đáp án

*Lời giải:

D $\in$ AM $\Rightarrow$ D $\in$ (AMN)

N $\in$ BC $\Rightarrow$ N $\in$ (BCD)

Xét (AMN) và (BCD) có:

D là điểm chung

N là điểm chung

$\Rightarrow$ Giao tuyến của 2 mặt phẳng là ND

*Phương pháp giải:

- Nắm lại tính chất được thừa nhận của mặt phẳng trong không gian từ 4 điểm phân biệt sẽ tạo thành 1 tứ diện ( tứ diện 4 mặt phẳng ).

* Một số lý thuyết nắm thêm vê đường thẳng và mặt phẳng trong không gian:

Các tính chất thừa nhận

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Tính chất 2:Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Tính chất 3: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Tùy theo số điểm chung của d và (α), ta có ba trường hợp sau:

- d và (α) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (α) hay (α) song song với d và kí hiệu là d // (α) hay (α) // d.

- d và (α) chỉ có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và (α) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu $d \cap (α) = M$ .

- d và (α) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, d nằm trong (α) hay (α) chứa d và kí hiệu $d \subset (α)$ .

- Định lí. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α).

- Định lí. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến b thì b song song với a.

- Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

- Định lí. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Trắc nghiệm Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng (có đáp án)

Trắc nghiệm Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (có đáp án)

Câu 290:

Lý thuyết Hai đường thẳng song song – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Vẽ hai góc kề bù $\hat{x O y}, \hat{y O x'}$ biết $\hat{x O y} = 120^{o}$ . Gọi Oz là tia phân giác của $\hat{x O y}$ , Oz’ là tia phân giác của $\hat{y O x'}$ . Tính $\hat{z O y}, \hat{y O z'}, \hat{z O z'}$ .

Xem đáp án

*Lời giải:

$\hat{x O y}$ và $\hat{y O x'}$ là hai góc kề bù nên:

$\hat{x O y} + \hat{y O x'} = 180^{o}$

$120^{o} + \hat{y O x'} = 180^{o}$

Suy ra $\hat{y O x'} = 180^{o} - 120^{o} = 60^{o}$ .

Tia Oz là tia phân giác của nên:

$\hat{x O z} = \hat{z O y}$ và $\hat{x O z} + \hat{z O y} = 120^{o}$ .

Suy ra $\hat{z O y} = \frac{\hat{x O y}}{2} = \frac{120^{o}}{2} = 60^{o}$ .

Tia Oz’ là tia phân giác của $\hat{y O x'}$ nên:

$\hat{y O z'} = \hat{x' O z'} v à \hat{y O z'} + \hat{x' O z'} = 60^{o}$

Suy ra $\hat{y O z'} = \frac{\hat{y O x'}}{2} = \frac{60^{o}}{2} = 30^{o}$ .

Ta có: $\hat{z O z'} = \hat{z O y} + \hat{y O z'} = 60^{o} + 30^{o} = 90^{o}$

Vậy $\hat{z O y} = 60^{o}, \hat{y O z'} = 30^{o}, \hat{z O z'} = 90^{o}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180

Sử dụng tính chất: tia phân giác trong một góc

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm về hai đường thẳng song song:

1. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A và B. Với mỗi cặp góc gồm một góc đỉnh A và một góc đỉnh B, ta có:

a) Hai góc $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{1}}$ (tương tự $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{2}}$ ) gọi là hai góc so le trong.

b) Hai góc $\hat{A_{1}}$ và $\hat{B_{1}}$ (tương tự $\hat{A_{2}}$ và $\hat{B_{2}}$ ; $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{3}}$ ; $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{4}}$ ;) gọi là hai góc đồng vị.

Tính chất: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

2. Tiên đề Euclid về hai đường thẳng song song.

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

3. Tính chất của hai đường thẳng song song

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

- Hai góc so le trong bằng nhau

- Hai góc đồng vị bằng nhau.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Toán 7 Bài 9 (Kết nối tri thức): Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

TOP 20 câu Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

Câu 291:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Tính:

6,72 : 7 + 2,15 = …………………

Xem đáp án

*Lời giải:

6,72 : 7 + 2,15

= 0,96 + 2,15 = 3,11

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính phân số

* Lý thuyết nắm thêm:

- Các phép toán liên quan đến phân số đó là các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

35 Bài tập tổng hợp Phân số và hỗn số lớp 5 (có đáp án)

Câu 292:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

c) x³ – x² – x + 1.

Xem đáp án

*Lời giải:

c) x³ – x² – x + 1

= (x³ – x²) – (x – 1)

= x²(x – 1) – (x – 1)

= (x – 1)(x² – 1)

= (x – 1)(x + 1)(x – 1)

= (x – 1)²(x + 1).

* Phương pháp giải:

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

* Lý thuyết nắm thêm

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Các dạng bài

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải (2024) – Toán 8

Câu 293:

Giải Toán 8 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 3 trang 74

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song với AB cắt AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q.

Chứng minh rằng MN = PQ.

Xem đáp án

* Lời giải:

Trong tam giác ADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra $\frac{D N}{D B} = \frac{M N}{A B}$ (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác ACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra $\frac{C Q}{C B} = \frac{P Q}{A B}$ (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: NQ // AB (gt)

AB // CD (gt)

Suy ra NQ // CD

Trong tam giác BDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra $\frac{D N}{D B} = \frac{C Q}{C B}$ (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{M N}{A B} = \frac{P Q}{A B}$ hay MN = PQ (đpcm).

* Phương pháp giải:

Năm vững dấu hiệu nhận biết các hình để chứng minh

Nắm lại lý thuyết và cách chứng minh các đường trung trực, trung tuyến,...

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song

Tứ giác ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \{\begin{cases} A B / / C D \\ A D / / B C \end{cases}$

2. Tính chất: Trong hình bình hành

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

II. Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về hình bình hành (có đáp án 2024) – Toán 8

Câu 294:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Biểu thức không phụ thuộc vào x ; y và bằng

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có

* Phương pháp giải:

Sử dụng đẳng thức lượng giác cơ bản , sau đó biến đổi các phân số theo hàm số học để chứng minh hai công thức trên

* Lý thuyết nắm thêm:

Công thức nhân đôi:

Công thức hạ bậc:

Phương trình lượng giác cơ bản:

Phương trình lượng giác đặc biệt:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 10 Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

Câu 295:

Lý thuyết Bội chung. Bội chung nhỏ nhất chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Bội chung nhỏ nhất của hai số là 45. Một trong hai số đó là 5. Hãy tìm số còn lại.

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi số cần tìm là x

Ta có: BCNN(x, 5) = 45

Mà 45 = 5 . 9 = 5 . 3² ; 5 = 5¹ và 5 là số nguyên tố nên x và 5 phải là hai số nguyên tố cùng nhau, mà bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau chính bằng tích của hai số đó.

Do đó x = 3² = 9.

Vậy số cần tìm là 9.

*Phương pháp giải:

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đã cho.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu:

BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.

BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.

*Lý thuyết nắm thêm

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đã cho.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu:

BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.

BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Nhận xét: Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó.

Nếu a $⋮$ b thì BCNN(a, b) = a.

Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:

BCNN(a, 1) = a; BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng;

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

Quy đồng mẫu các phân số

Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số:

Để quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ , ta phải tìm mẫu chung của hai phân số đó. Thông thường ta nên chọn mẫu chung là BCNN của hai mẫu.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 6 Bài 13 (Cánh diều): Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Câu 296:

Chuyên đề Hình nón – Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt () - Toán 9

Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và bán kính đáy bằng a . Thể tích của khối nón đã cho bằng:

Xem đáp án

*Lời giải

*Phương pháp giải

*Lý thuyết cần nắm thêm về hình nón

Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh cạnh OA cố định thì được một hình nón.

+ Điểm A được gọi đỉnh của hình nón.

+ Hình tròn (O) được gọi là đáy của hình nón.

+ Mỗi vị trí của AC được gọi là một đường sinh của hình nón.

+ Đoạn AO được gọi là đường cao của hình nón.

2. Diện tích – thể tích của hình nón

Đặt AC = l; l là đường sinh

Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l, chiều cao h.

+ Diện tích xung quanh: S_xq = πRl

+ Diện tích toàn phần: S_tp = πRl + πR²

+ Thể tích:

Xem thêm một số bài viết liên quan hay, chi tiết:

261 Bài tập trắc nghiệm Hình học Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải chi tiết

Câu 297:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Tính nhanh: $25^{2}$ – $15^{2}$

Xem đáp án

* Lời giải:

$25^{2}$ – $15^{2}$ = (25 + 15)(25 – 15) = 40.10 = 400

* Phương pháp giải:

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

* Lý thuyết nắm thêm

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp: Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Các dạng bài

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải (2024) – Toán 8

Câu 298:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11

Tính tổng các nghiệm trong đoạn $[0; 30]$ của phương trình $\tan x = \tan 3 x$ (1)

Xem đáp án

* Lời giải:

Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa:

${\begin{cases} c o s x \neq 0 \\ c o s 3 x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq \frac{π}{2} + k π \\ x \neq \frac{π}{6} + \frac{k π}{3} \end{cases}, k \in Z$

Khi đó phương trình (1) trở thành:

$3 x = x + k π, k \in Z$

$\Leftrightarrow x = \frac{k π}{2}, k \in Z$

So sánh với điều kiện:

$\Rightarrow x = k π, k \in Z$

Mà $x \in [0; 30]$ nên $0 \leq k π \leq 30 \Rightarrow k \in {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}$

Các nghiệm của phương trình trong khoảng trên là: $x \in {0; π; 2 π; 3 π; . . .; 9 π}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: $0 + π + 2 π + 3 π + . . . + 9 π = 45 π .$

*Phương pháp giải

- Trước tiên dùng công thức hai góc phụ nhau để chuyển từ cos về sin

- Sử dụng phương trình sinx = a để giải bài toán

*Lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình lượng giác cơ bản:

Phương trình sinx = a (1)

♦ |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.

♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.

Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là

x = α + k2π, k ∈ Z

và x = π-α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện và sinα = a thì ta viết α = arcsin a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là

x = arcsina + k2π, k ∈ Z

và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Phương pháp: Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để đưa về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án (Thông hiểu)

Câu 299:

Lý thuyết Hàm số lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức

Cho $2 π < a < \frac{5 π}{2}$ .Kết quả đúng là:

Xem đáp án

* Lời giải:

Vì nên α nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Do đó; tan a > 0 và cot a > 0.

$\cos (α - 30^{0}) = \cos α \cos 30^{0} + \sin α \sin 30^{0} = \frac{1}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} . \frac{1}{2} = \frac{3 + \sqrt{6}}{6}$

- Biến đổi và giải phương trình tìm ra nghiệm sao cho thỏa mãn x thuộc đoạn $[0; 2 π]$

*Một số lý thuyết và dạng bài tập về hàm số lượng giác:

1. Định nghĩa hàm số lượng giác

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là $R$ .

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là $R$ .

- Hàm số cho bằng công thức $y = \frac{\sin α}{\cos α}$ được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là $R ∖ {\frac{π}{2} + k π | k \in Z}$ .

- Hàm số cho bằng công thức $y = \frac{\cos α}{\sin α}$ được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là $R ∖ {k π | k \in Z}$ .

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

a, Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

+) Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f (- x) = f (x)$ . Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.

+) Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f (- x) = - f (x)$ . Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

b, Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T $\neq$ 0 sao cho với mọi $x \in D$ ta có:

+) $x + T \in D$ và $x - T \in D$

+) $f (x + T) = f (x)$

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

* Nhận xét:

Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2 $π$ .

Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì $π$ .

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx

- Tập xác định là $R$ .

- Tập giá trị là [-1;1].

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2 $π$ .

- Đồng biến trên mỗi khoảng $(- \frac{π}{2} + k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(\frac{π}{2} + k 2 π; \frac{3 π}{2} + k 2 π)$ .

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

Tập xác định là $R$ .

Tập giá trị là [-1;1].

Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2 $π$ .

Đồng biến trên mỗi khoảng $(- π + k 2 π; k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k 2 π; π + k 2 π)$ .

Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx

Tập xác định là $R ∖ {\frac{π}{2} + k π | k \in Z}$ .

Tập giá trị là $R$ .

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $π$ .

Đồng biến trên mỗi khoảng $(- \frac{π}{2} + k π; \frac{π}{2} + k π)$ , $k \in Z$ .

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx

Tập xác định là $R ∖ {k π | k \in Z}$ .

Tập giá trị là $R$ .

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $π$ .

Đồng biến trên mỗi khoảng $(k π; π + k π)$ , $k \in Z$ .

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Toán 11 Bài 3 giải vở bài tập (Kết nối tri thức): Hàm số lượng giác

50 bài tập về Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác (có đáp án 2024) và cách giải

Câu 300:

Sách bài tập Toán 9 Bài 3 (Kết nối tri thức): Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Vòi nước A chảy đầy bể trong 5 giờ, vòi B chảy đầy bể ttrong 6 giờ. Hỏi mỗi giờ vòi A chảy nhiều hơn vòi B mấy phần bể?

Xem đáp án

* Lời giải:

Mỗi giờ vòi A chảy được $\frac{1}{5}$ bể , vòi B chảy được $\frac{1}{6}$ bể.

Vậy mỗi giờ vòi A chảy nhiều hơn vòi B là $\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{30}$ bể.

*Phương pháp giải:

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

*Cách giải và các dạng bài toán về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Dạng 4: Bài toán về hình học

Phương pháp giải: Sử dụng đến công thức tính chu vi, diện tích các hình như hình vuông; hình chữ nhật; hình thang;…

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

TOP 40 câu Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương cách lập hệ phương trình (có đáp án 2024) – Toán 9

Câu 301:

Lý thuyết Động năng và thế năng. Định luật bảo toàn cơ năng – Vật lí 10 Chân trời sáng tạo

Một ôtô đang chạy với tốc độ 60km/h thì người lái xe hãm phanh, xe đi tiếp được quãng đường 50m thì dừng lại. Hỏi nếu ôtô chạy với tốc độ 120km/h thì quãng đường từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại là bao nhiêu ?. Giả sử lực hãm trong 2 trường hợp là như nhau.

Xem đáp án

* Lời giải:

Đổi :

60 km/h = 50/3 m/s

120 km/h = 100/3 m/s

Lực hãm trong 2 trường hợp là như nhau

→ ôtô trong 2 trường hợp thu được gia tốc hãm là như nhau.

Áp dụng công thức:

v²- v_o² = 2aS, khi dừng lại thì v = 0:

TH1:

0² – (50/3)² = 2.a.50

→ a = -25/9 m/s²

TH2:

0² – (100/3)² = 2.(-25/9).S

→ S = 200 m.

* Phương pháp giải:

Sử dụng công thức động năng

Tính toán quãng đường

So sánh hai quãng đường

* Lý thuyết nắm thêm:

1. ĐỘNG NĂNG

a. Mối liên hệ giữa động năng và công

- Động năng của một vật là năng lượng vật có được do chuyển động, có giá trị được tính theo công thức:

$W_{d} = \frac{1}{2} m . v^{2}$

Với: m là khối lượng của vật

v là tốc độ của vật tại thời điểm khảo sát

Trong hệ SI, động năng có đơn vị là joule (J)

Người, sóng biển, báo, cánh quạt chuyển động sẽ có động năng

- Mỗi liên hệ giữa động năng và công: $W_{d} - W_{d 0} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = A$

- Định lí động năng: độ biến thiên động năng của một vật trong khoảng thời gian $Δ t$ bằng công của lực tác dụng lên vật trong khoảng thời gian đó.

b. Đặc điểm của động năng

- Động năng của vật phụ thuộc vào khối lượng của vật và tốc độ chuyển động của vật

- Động năng là một đại lượng vô hướng, không âm

- Động năng có giá trị phụ thuộc vào hệ quy chiếu

2. THẾ NĂNG

a. Thế năng trong trường trọng lực đều

- Một vật có khối lượng m ở độ cao h so với một vị trí làm gốc dự trữ một dạng năng lượng được gọi là thế năng trọng trường:

W_t= m.g.h

Trong hệ SI, thế năng có đơn vị là joule (J)

Búa máy đang dự trữ thế năng

Lưu ý:

- Để xác định thế năng, ta cần phải chọn gốc thế năng là vị trí mà tại đó thế năng bằng 0.

- Khi chọn gốc tọa độ trùng với gốc thế năng và chiều dương của trục Oz hướng lên thì vị trí phía trên gốc thế năng có giá trị h > 0, vị trí phía dưới gốc thế năng có giá trị h < 0

- Độ biến thiên thế năng giữa hai vị trí không phụ thuộc vào việc chọn gốc thế năng.

3. CƠ NĂNG

a. Quá trình chuyển hóa giữa động năng và thế năng

Trong quá trình chuyển động, động năng và thế năng của vật có thể chuyển hóa quá lại với nhau.

Động năng và thế năng trong quá trình người trượt nước, quả bóng bay vào rổ chuyển hóa qua lại với nhau.

b. Định luật bảo toàn cơ năng

- Tổng động năng và thế năng được gọi là cơ năng của vật:

$W = W_{d} + W_{t}$

Trong hệ SI, cơ năng có đơn vị là jun (J)

- Khi một vật chuyển động chỉ chịu tác dụng của lực bảo toàn thì cơ năng của vật là một đại lượng bảo toàn.

Hệ quả: Trong trường trọng lực, tại vị trí vật có động năng cực đại thì thế năng cực tiểu và ngược lại.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Bài tập về Động năng cơ bản, nâng cao có lời giải

Câu 302:

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác có đáp án – Toán lớp 10

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm cạnh AC, tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tứ giác ABCE là hình gì?

Xem đáp án

* Lời giải:

Vì tam giác ABC cân tại A có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên đường thẳng AO $⊥$ BC

Lại có AO $⊥$ AE (tính chất tiếp tuyến) nên AE // BC

Từ đó ta có $\hat{E A C} = \hat{A C B}$ (hai góc ở vị trí so le trong), lại có $\hat{A D E} = \hat{B D C}$ (đối đỉnh) và AD = DC nên $∆ A D E = ∆ C D B (g - c - g)$ $\Rightarrow$ AE = BC

Tứ giác AECB có AE = BC; AE // BC nên AECB là hình bình hành

*Phương pháp giải:

- Nắm lại lý thuyết về đơn vị đo góc, cung tròn, độ dài cung tròn để đổi

*Một số dạng bài về cung và lượng giác:

a) Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn:

* Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. 1 rađian còn viết tắt là 1 rad. Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.

* Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian: suy ra và

* Độ dài cung tròn: Một cung của đường tròn bán kính R có số đo thì độ dài .

*) Một số dạng bài:

a) Dạng 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã cho trước một giá trị

* Phương pháp giải: Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

b) Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức giữa các giá trị lượng giác

* Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi. Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

+ Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

+ Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

+ Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

c) Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác

* Phương pháp giải: Để giải dạng bài này, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

100 câu trắc nghiệm Cung và góc lượng giác nâng cao

Câu 303:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11

Phương trình sin3x+cos2x=1+2sinx.cos2x tương đương với phương trình:

Phương trình sin3x cos 2x 1 2sinx cos2x tương đương với phương trình (ảnh 1)

Phương trình sin3x cos 2x 1 2sinx cos2x tương đương với phương trình (ảnh 2)

Phương trình sin3x cos 2x 1 2sinx cos2x tương đương với phương trình (ảnh 3)

Phương trình sin3x cos 2x 1 2sinx cos2x tương đương với phương trình (ảnh 4)

Xem đáp án

Đáp án đúng: C.

* Lời giải:

Ta có: sin3x + cos2x = 1 + 2sinx . cos2x

$\Leftrightarrow$ sin3x + cos2x = 1 + sin3x – sinx

$\Leftrightarrow$ 1 – 2sin²x = 1 – sinx

$\Leftrightarrow$ 2sin²x – sinx = 0

$\Leftrightarrow$ sinx (2 sinx – 1) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ 2 \sin x = 1 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \end{array}$

*Phương pháp giải:

áp dụng các công thức lượng giác để biến đổi và giải tìm ra nghiệm

*Lý thuyết nắm thêm

Phương trình cosx=a

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $|cosx| \leq 1$ với mọi x.

- Trường hợp $|a| \leq 1$ .

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x = \pm α + k 2 π; k \in ℤ$

Phương trình tanx=a

- Điều kiện xác định của phương trình là $x \neq \frac{π}{2} + k π; k \in ℤ$

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x = \arctan a + k π; k \in ℤ$

+) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: $x = α + k π; k \in ℤ$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f (x) = g (x) + k π; k \in ℤ$ .

+) Phương trình tanx = tanβ⁰ có các nghiệm là: $x = β^{0} + k {.180}^{0}; k \in ℤ$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án)– Toán 11

Câu 304:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

Tính $\frac{5}{9} : (\frac{1}{11} - \frac{5}{22}) + \frac{5}{9} : (\frac{1}{15} - \frac{2}{3})$

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Đưa các phân số có trong tổng cần tính thành các phân số có tử số bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu

Tách các phân số ở bước 1 thành hiệu hai phân số

Triệt tiêu các phân số giống nhau, thu gọn ta được tổng cần tìm

* Lý thuyết nắm thêm

- Các phép toán liên quan đến phân số đó là các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia, phân số.

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

35 Bài tập tổng hợp Phân số và hỗn số lớp 5 (có đáp án)

Câu 305:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11

Tìm số đo ba góc của một tam giác cân, biết rằng số đo của một góc là nghiệm của phương trình cos2x = $- \frac{1}{2}$

Xem đáp án

* Lời giải:

*Phương pháp giải:

- chuyển 2 vế về cùng 1 hàm: ví dụ: sinx = siny rồi giải bài toán tìm ra nghiệm

*Lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình lượng giác cơ bản:

Phương trình cosx=a

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $|cosx| \leq 1$ với mọi x.

- Trường hợp $|a| \leq 1$ .

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x = \pm α + k 2 π; k \in ℤ$

Phương trình tanx=a

- Điều kiện xác định của phương trình là $x \neq \frac{π}{2} + k π; k \in ℤ$

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x = \arctan a + k π; k \in ℤ$

+) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: $x = α + k π; k \in ℤ$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f (x) = g (x) + k π; k \in ℤ$ .

+) Phương trình tanx = tanβ⁰ có các nghiệm là: $x = β^{0} + k {.180}^{0}; k \in ℤ$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án)– Toán 11

Câu 306:

Giải SGK Toán lớp 4 Bài 25: Tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó

Một mảnh bìa hình chữ nhật có chu vi bằng chu vi của một hình vuông có cạnh 6 cm. Chiều dài hơn chiều rộng 6 cm. Diện tích mảnh bìa đó là:

Xem đáp án

* Lời giải:

Chu vi hình vuông là

6 × 4 = 24 (cm)

Chu vi mảnh bìa hình chữ nhật bằng chu vi hình vuông là 24 cm.

Nửa chu vi mảnh bìa hình chữ nhật là :

24 : 2 = 12(cm)

Chiều dài mảnh bìa hình chữ nhật là:

(12 + 6) : 2 = 9 (cm)

Chiều rộng mảnh bìa hình chữ nhật là:

9 – 6 = 3 (cm)

Diện tích mảnh bìa hình chữ nhật là

9 × 3 = 27 (cm²)

Đáp số: 27 cm².

* Phương pháp giải

Dạng bài: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu

Cách 1: Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn - hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2: Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

*Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và hiệu

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 2: Cho biết hiệu nhưng dấu tổng

Phương pháp giải: Cần phải tìm tổng trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 3: Cho biết tổng nhưng dấu hiệu

Phương pháp giải: Cần phải tìm hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Dạng 4: Dấu cả tổng lẫn hiệu

1. Phương pháp giải

Cần phải tìm tổng và hiệu trước, sau đó mới áp dụng công thức và giải bài.

Cách 1:

Số lớn = (tổng + hiệu): 2

Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng - số lớn)

Cách 2:

Số bé = (tổng - hiệu) : 2

Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng - số bé)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

35 Bài tập Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4 (có đáp án)

Chuyên đề Tìm hai số khi biết tổng và hiệu lớp 4 (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Câu 307:

Sách bài tập Toán 9 Bài 3 (Kết nối tri thức): Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một thuyền đi từ bến A đến bến B cách nhau 6 km rồi trở lại về A. Biết rằng vận tốc thuyền trong nước im lặng là 5 km/h, vận tốc nước chảy là 1 km/h. Tính thời gian chuyển động của thuyền.

Xem đáp án

* Lời giải:

*Phương pháp giải:

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

*Cách giải và các dạng bài toán về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Dạng 4: Bài toán về hình học

Phương pháp giải: Sử dụng đến công thức tính chu vi, diện tích các hình như hình vuông; hình chữ nhật; hình thang;…

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

TOP 40 câu Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương cách lập hệ phương trình (có đáp án 2024) – Toán 9

Câu 308:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Mẹ mua 7 lít nước tương, mẹ muốn đổ vào ba loại chai: 3l, 2l và 1l. Hỏi mẹ cần mỗi loại mấy chai?

Xem đáp án

* Lời giải:

1 chai 3 lít; 1 chai 2 lít; 3 chai 1 lít

* Phương pháp giải:

Đọc kỹ đề rồi trả lời

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 309:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Tìm x: b, $\frac{7}{13} : x = \frac{14}{39}$

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Sử dụng công thức chuyển vế đổi dấu để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 310:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Tính bằng cách thuận tiện nhất

a) 13,45 + 7,98 + 8,55

Xem đáp án

* Lời giải:

a) 13,45 + 7,98 + 8,55 = (13,45 + 8,55) + 7,98

= 22 + 7,98

= 29,98

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép cộng để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 311:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (3 x - 1) = 3$ là:

Xem đáp án

* Lời giải:

$\log_{2} (3 x - 1) = 3 \Leftrightarrow 3 x - 1 = 8 \Leftrightarrow x = 3.$

*Phương pháp giải

Nghiệm của phương trình là: log_a x = b => x = a^b

a^f(x) $\geq$ b(*)

- Nếu $\{\begin{cases} 0 < a \neq 1 \\ b \leq 0 \end{cases}$ thì (*) luôn đúng

- Nếu $\{\begin{cases} b > 0 \\ 0 < a < 1 \end{cases}$ thì (*) $\Leftrightarrow f (x) \leq \log_{a} b$

- Nếu $\{\begin{cases} b > 0 \\ 1 < a \end{cases}$ thì (*) $\Leftrightarrow f (x) \geq \log_{a} b$

*Một số dạng bài về bất phương trình mũ

- Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^{x} > b$ (hoặc $a^{x} \geq b$ , $a^{x} < b$ , $a^{x} \leq b$ )

với $a > 0, a \neq 1$ .

Tập nghiệm của bất phương trình mũ cơ bản

a. Tập nghiệm của bất phương trình $a^{x} > b (a > 0, a \neq 1)$

b. Tập nghiệm của bất phương trình $a^{x} \geq b (a > 0, a \neq 1)$

c. Tập nghiệm của bất phương trình $a^{x} < b (a > 0, a \neq 1)$

d. Tập nghiệm của bất phương trình $a^{x} \leq b (a > 0, a \neq 1)$

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3: a^f(x) > b(*)

Dạng 4: a^f(x) < b(**)

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

Tương tự với bất phương trình dạng:

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài toán về bất phương trình mũ và cách giải

Toán 11 Bài 21 (Kết nối tri thức): Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Câu 312:

Điều kiện để phương trình có nghiệm

Cho pt: x²- 2mx + m²- m + 1 = 0 (1)

Tìm m để pt (1) có nghiệm x₁< x₂< 1

Xem đáp án

* Lời giải:

Đặt t= x-1 hay x= t+1, thay vào pt đã cho ta được pt:

t²+ 2(1-m) t+ m²- 3 m+2= 0 (2)

pt (1) có 2 nghiệm thỏa x₁< x₂< 1 khi và chỉ khi pt (2) có 2 nghiệm:

(vô nghiệm)

Kết luận: không tồn tại m thỏa mãn bài toán.

* Phương pháp giải:

Tìm điểu kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Tìm hai nghiệm theo tham số m

Thay vào biểu thức đầu bài cho để tìm m

* Lý thuyết nắm thêm

Để một phương trình bậc hai $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 0$ có nghiệm, hệ số $𝑎$ phải khác 0 và biệt thức $Δ = 𝑏^{2} - 4 𝑎 𝑐$ cần thỏa mãn các điều kiện sau:

Nếu $Δ > 0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Nếu $Δ = 0$ , phương trình có nghiệm kép.

Nếu $Δ < 0$ , phương trình không có nghiệm thực.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 câu trắc nghiệm Phương trình, Hệ phương trình cơ bản

Câu 313:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Số biểu diễn trong hệ nhị phân 10011₂ có giá trị thập phân là:

Xem đáp án

* Lời giải:

Số biểu diễn trong hệ nhị phân 10011₂ có giá trị thập phân là 19.

10011 = 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 1×2² + 1×2⁰.

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép trừ và phép chia để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 314:

Giải Toán lớp 2 trang 43 Bài 49: Các số tròn trăm, tròn chục – Kết nối tri thức

Làm tròn số rồi nói theo mẫu.

Mẫu: Làm tròn số 81 425 đến hàng chục thì được số 81 430

Làm tròn các số sau đến hàng nghìn: 7 428; 16 534

Xem đáp án

* Lời giải:

Làm tròn số 7 428 đến hàng nghìn thì được số 7 000

Làm tròn số 16 534 đến hàng nghìn thì được số 17 000

* Phương pháp giải:

Nắm kỹ lý thuyết số tự nhiên

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Đọc và viết số tròn chục có ba chữ số.

- Đọc số theo thứ tự các hàng từ trái sang phải.

- Từ cách đọc số, em viết được số tròn chục có ba chữ số thỏa mãn.

Số tròn chục là số có hàng đơn vị là chữ số 0.

Ví dụ:

Dạng 2: So sánh các số tròn chục

+ Số có ít chữ số hơn thì có giá trị bé hơn.

+ Số có số chữ số bằng nhau thì so sánh các hàng từ trái sang phải.

Ví dụ: Điền dấu >; <; = vào chỗ chấm:

100...110

Giải:

Số 100 và số 110 đều là số có 3 chữ số; chữ số hàng trăm là 1; chữ số hàng chục có 0<1.

Vậy 100 < 110

Dấu cần điền vào chỗ chấm là “<”.

Dạng 3: Thứ tự các số tròn chục.

Ghi nhớ thứ tự các số tròn chục trong phạm vi từ 110 đến 200 là:

110;120;130;140;150;160;170;180;190;200.

Ví dụ: Điền số thích hợp vào chỗ chấm:

130;140;.....;160

Giải

Ta có: 130;140;150;160

Số cần điền vào chỗ chấm là 150.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Vở bài tập Toán lớp 2 trang 42 Bài 49: Các số trong trăm, tròn chục – Kết nối tri thức

Câu 315:

Chuyên đề Phương trình lượng giác cơ bản - Toán 11

Cho A: B; C là các góc nhọn và tanA = 1/2, tanB = 1/5, tanC = 1/8,. Tổng A + B + C bằng

Xem đáp án

* Lời giải:

Áp dụng công thức cộng ta có:

$\tan (A + B + C) = \frac{\tan (A + B) + \tan C}{1 - \tan (A + B) . \tan C} = \frac{\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A . \tan B} + \tan C}{1 - \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A . \tan B} . \tan C} = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A . \tan B . \tan C}{1 - \tan A . \tan B - \tan A . \tan C - \tan B . \tan C} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} . \frac{1}{5} . \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{2} . \frac{1}{5} - \frac{1}{2} . \frac{1}{8} - \frac{1}{5} . \frac{1}{8}} = \frac{\frac{13}{16}}{\frac{13}{16}} = 1 =$

suy ra

* Phương pháp giải:

- giải phương trình lượng giác cơ bản, biến đổi rồi tìm x

* Lý thuyết cần nắm và một số phương trình lượng giác thường gặp:

a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

*Phương pháp giải:

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình dạng at+b=0 (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

b) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

*Phương pháp giải:

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

1. Hàm số y = sinx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = sinx :

+ Xác định với mọi x $\in ℝ$ và – 1 ≤ sinx ≤ 1.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số y = sinx.

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π].

Hàm số y = sinx đồng biến trên $[0; \frac{π}{2}]$ và nghịch biến trên $[\frac{π}{2}; π]$ .

Bảng biến thiên:

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; π] đi qua các điểm (0; 0); (x1; sinx1); (x2; sinx2); (x3; sinx3); (x4; sinx4); (π; 0).

c) Tập giá trị của hàm số y = sinx

Tập giá trị của hàm số này là [– 1; 1].

2. Hàm số y = cosx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = cosx:

+ Xác định với mọi x $\in ℝ$ và – 1 ≤ cosx ≤ 1.

+ Là hàm số chẵn.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Với mọi x $\in ℝ$ ta có: $\sin (x + \frac{π}{2}) = c os x$ .

Từ đó, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo vecto $\vec{u} = (\frac{- π}{2}; 0)$ (sang trái một đoạn có độ dài bằng $\frac{π}{2}$ , song song với trục hoành), ta được đồ thị hàm số y = cos x.

+ Hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn [– π; 0] và nghịch biến trên đoạn [0; π].

+ Bảng biến thiên:

+ Tập giá trị của hàm số y = cosx là [– 1; 1].

+ Đồ thị của các hàm số y = cosx; y = sinx được gọi chung là các đường hình sin.

3. Hàm số y = tanx.

Từ định nghĩa hàm số y = tan x:

+ Có tập xác định: $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π; k \in ℤ\}$ .

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng $[0; \frac{π}{2})$

+ Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng $[0; \frac{π}{2})$ .

+ Bảng biến thiên:

+ Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng $[0; \frac{π}{2})$ đi qua các điểm tìm được.

4. Hàm số y = cot x

Hàm số y = cotx:

+ Có tập xác định là $D = ℝ \ \{k π; k \in ℤ\}$ .

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Sự biến thiên của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoàn (0; π).

Bảng biến thiên:

Hình biểu diễn của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) – Toán 11

Trắc nghiệm Một số phương trình lượng giác thường gặp (có đáp án)

Câu 316:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Axit – bazơ – muối (có đáp án 2023) – Hóa học 8

Cho 29 gam hỗn hợp gồm Al, Cu và Ag tác dụng vừa đủ với 950 ml dung dịch HNO₃ 1,5M, thu được dung dịch chứa m gam muối và 5,6 lít hỗn hợp khí X (đktc) gồm NO và N₂O. Tỉ khối của X so với H₂ là 16,4. Giá trị của m là

Xem đáp án

* Lời giải:

n_{HNO3 ban đầu}= 1,425

M_X = 32,8; Sử dụng sơ đồ đường chéo ⇒ n NO = _0,2; n _N2O = 0,05

Ta có n_{NO3- trong muối kl} = n_e = 8n_N2O + 8n_NH4NO3

Bảo toàn nguyên tố N: n_{HNO3 ban đầu}= n _NO + 2n _N2O+ 2n _NH4NO3 + n _{NO3- trong muối KL}

⇒ n_{HNO3 ban đầu}= 4 n_NO + 10 n_N2O + 10 n_NH4NO3

⇒ nNH₄NO₃= 0,0125

⇒ nNO₃-/muối _KL= 1,1

⇒ m = mNO₃-/muối kl + m_KL + _mNH4NO3 = 1,1.62 +29 + 0,0125.80 = 98,2g

* Phương pháp giải:

Vận dụng tính chất hóa học của kim loại - acid - base - muối để hoàn thành phương trình

* Lý thuyết nắm thêm

1. Axit

- Khái niệm: Phân tử axit gồm một hay nhiều nguyên tử hiđro liên kết với gốc axit, các nguyên tử hiđro này có thể thay thế bằng các nguyên tử kim loại.

- Công thức hóa học: một hay nhiều nguyên tử H + gốc axit.

- Phân loại:

+ axit không có oxi: HCl, H₂S,…

+ axit có oxi: H₂SO₄, H₃PO₄, HNO₃, H₂SO₃…

- Tên gọi

+ Axit không có oxi:

Tên axit: axit + tên phi kim + hiđric.

2. Bazơ

- Khái niệm: Phân tử bazơ gồm có một nguyên tử kim loại liên kết với một hay nhiều nhóm hiđroxit (-OH)

- Công thức hóa học: Có một nguyên tử kim loại và một hay nhiều nhóm -OH.

- Công thức chung: M(OH)_n

Trong đó:

+ M: là nguyên tử kim loại.

+ n: là số nhóm hiđroxit (n có giá trị bằng hóa trị của kim loại)

- Tên gọi: Tên kim loại + hoá trị (nếu kim loại có nhiều hoá trị) + hiđroxit.

3. Muối (xét muối kim loại)

- Khái niệm: Phân tử muối gồm có một hay nhiều nguyên tử kim loại liên kết với một hay nhiều gốc axit.

- Công thức hóa học:

+ Gồm 2 thành phần: kim loại và gốc axit.

+ Công thức hóa học dạng: M_xA_y

Trong đó: M là nguyên tử kim loại và A : là gốc axit.

- Tên gọi = Tên KL + hoá trị (nếu KL có nhiều hoá trị) + tên gốc axit

- Phân loại:

+ Muối trung hòa: Muối mà trong gốc axit không có nguyên tử hiđro có thể thay thế nguyên tử kim loại.

VD: Na₂SO₄, Na₂CO₃.

+ Muối axit: Muối mà trong gốc axit còn nguyên tử hiđro chưa được thay thế bằng nguyên tử kim loại.

VD: NaHCO₃, NaHSO₄.

4. Xác định công thức hóa học khi biết thành phần các nguyên tố

Gọi công thức tổng quát của hợp chất là A_xB_y

Bước 1: Tìm khối lượng mỗi nguyên tố có trong 1 mol hợp chất.

$m_{A} = \frac{% m_{A} . M_{A_{x} B_{y}}}{100}; m_{B} = \frac{% m_{B} . M_{A_{x} B_{y}}}{100}$

Bước 2: Tìm số mol nguyên tử mỗi nguyên tố trong 1 mol hợp chất.

$n_{A} = \frac{m_{A}}{M_{A}}; n_{B} = \frac{m_{B}}{M_{B}}$

Bước 3: Lập công thức hóa học của hợp chất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về xác định công thức hóa học và gọi tên axit, bazơ và muối (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 317:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Tìm x

a) 10,6 : x + 7,19 : x = 3

Xem đáp án

* Lời giải:

a) 10,6 : x + 7,19 : x = 3

(10,6 + 7,19) : x = 3

17,79 : x = 3

x = 17,79 : 3

x = 5,93

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 318:

Toán lớp 5 trang 20 (Cánh diều) Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó

Vườn hoa nhà trường là hình chữ nhật có chu vi 160m và chiều rộng bằng $\frac{2}{3}$ chiều dài.

a, Tính chiều dài, chiều rộng vườn hoa.

b) Người ta để $\frac{1}{24}$ diện tích vườn hoa để làm lối đi. Hỏi diện tích lối đi bằng bao nhiêu mét vuông?

Xem đáp án

* Lời giải:

a, Tổng số phần bằng nhau là:

2 + 3 = 5 (phần)

Tổng chiều dài và chiều rộng vườn hoa là:

160 : 2 = 80 (m)

Chiều rộng vườn hoa hình chữ nhật là:

Chiều dài vườn hoa hình chữ nhật là:

b, Diện tích vườn hoa là:

32 × 48 = 1536 (m2)

Diện tích để làm lối đi là:

Đáp số: a) 32m và 48m; b) 64 m²

* Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

Dạng 2: Thiếu (ẩn) tổng (Cho biết tỉ số, không cho biết tổng số)

1. Phương pháp giải

Tìm tổng của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 3: Thiếu (ẩn) tỉ (Cho biết tổng số, không cho biết tỉ số)

1. Phương pháp giải

Tìm tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 4: Ẩn cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Tìm tổng và tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó lớp 4 và cách giải

Câu 319:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

May 4 áo cỡ nhỏ hết 4m 20cm vải. May 4 áo cỡ lớn như nhau hết 5m vải. hỏi trung bình mỗi áo may hết mấy mét vải?

Xem đáp án

* Lời giải:

Đổi 4m 20cm = 420cm

Đổi 5m = 500cm

Tổng số mét vải để may áo hai loại là :

420 + 500 = 920 (cm)

Trung bình mỗi áo may hết số mét vải là :

920 : ( 4 + 4) = 115 (cm)

Đổi 115cm = 1m 15 cm

Đổi : 1m 15cm

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 320:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Tính bằng hai cách:

a) (25 + 45) : 5

b) 24 : 6 + 36 : 6

Xem đáp án

* Lời giải:

a) (25 + 45) : 5 = 70 : 5 = 14

(45 + 25) : 5 = 45 : 5 + 25 : 5 = 9 + 5 = 14

b) 24 : 6 + 36 : 6 = 4 + 6 = 10

24 : 6 + 36 : 6 = (24 + 36) : 6 = 60 : 6 = 10

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 321:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Mua 5m vải hết 80 000 đồng. Hỏi mua 7m vải loại đó hết bao nhiêu tiền?

Xem đáp án

* Lời giải:

Tóm tắt:

5m : 80 000 đồng

7m : ... đồng?

Giải

Mua 1m vải hết: 80 000 : 5 = 16 000 (đồng)

Mua 7m vải hết: 16 000 x 7 = 112 000 (đồng)

Đáp số: 112 000 đồng.

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 322:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Lúc 7 giờ sáng, người thứ nhất đi từ A đến B với vận tốc 20 km/giờ. Cùng lúc tại B, người thứ hai đi cũng khởi hành và đi cùng chiều với người thứ nhất , với vận tốc 12 km/giờ. Biết rằng khoảng cách AB= 6km. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ?

Xem đáp án

* Lời giải:

Hiệu hai vận tốc :

20 – 12 = 8 km/giờ.

Thời gian gặp nhau của hai xe :

6 : 8 = 0,75 giờ = 45 phút.

Hai người gặp nhau lúc :

7 giờ + 45 phút = 7 giờ 45 phút.

Chỗ gặp nhau cách A là :

20 x 0,75 = 15 km.

Đáp số : 7 giờ 45 phút

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 323:

Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$ ;

b) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$ .

Xem đáp án

* Lời giải:

a) Do M là trung điểm của AB nên $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ .

Do N là trung điểm của CD nên $\vec{N C} + \vec{N D} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\vec{A C} + \vec{B D} = (\vec{M C} - \vec{M A}) + (\vec{M D} - \vec{M B})$

$= (\vec{M C} + \vec{M D}) - (\vec{M A} + \vec{M B})$ $= (\vec{M C} + \vec{M D}) - \vec{0} = \vec{M C} + \vec{M D}$

$= 2 \vec{M N} + (\vec{N C} + \vec{N D}) = 2 \vec{M N} + \vec{0} = 2 \vec{M N}$ .

Vậy $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$ .

b) Ta có:

$\vec{B C} + \vec{A D} = (\vec{B N} + \vec{N C}) + (\vec{A N} + \vec{N D})$ $= (\vec{B N} + \vec{A N}) + (\vec{N C} + \vec{N D})$

$= (\vec{B N} + \vec{A N}) + \vec{0} = \vec{B N} + \vec{A N}$ $= (\vec{M N} - \vec{M B}) + (\vec{M N} - \vec{M A})$

$= 2 \vec{M N} - (\vec{M A} + \vec{M B}) = 2 \vec{M N} - \vec{0} = 2 \vec{M N}$

Do đó: $\vec{B C} + \vec{A D} = 2 \vec{M N}$

Mà theo câu a, ta có: $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$ .

Vậy $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$ .

*Phương pháp giải:

- áp dụng tính chất về tích vô hướng của hai vectơ:

- Định nghĩa tích vô hướng: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ( $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$ ), khi đó tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ kí hiệu là $\vec{a} . \vec{b}$ và xác định bởi công thức: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

* Lý thuyết nắm thêm và các công thức về tích vô hướng của hai vectơ:

- Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác vectơ $\vec{0}$ . Từ điểm O bất kì vẽ $\vec{O A} = \vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ , khi đó góc $\hat{A O B}$ ( $0^{o} \leq \hat{A O B} \leq 180^{o}$ ) là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Kí hiệu: $(\vec{a}, \vec{b})$ .

- Định nghĩa tích vô hướng: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ( $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$ ), khi đó tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ kí hiệu là $\vec{a} . \vec{b}$ và xác định bởi công thức: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

- Chú ý:

+) Khi ít nhất một trong hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng vectơ $\vec{0}$ ta quy ước: $\vec{a} . \vec{b} = 0$ .

+) Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (), ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

+) Tích vô hướng $\vec{a} . \vec{a}$ được kí hiệu là ${\vec{a}}^{2}$ và ta có: ${\vec{a}}^{2} = {|\vec{a}|}^{2}$ .

- Các tính chất của tích vô hướng:

- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Trong mặt phẳng $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ . Khi đó: $\vec{a} . \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ . Và với hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ đều khác $\vec{0}$ thì $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ .

- Ứng dụng của tích vô hướng:

+) Độ dài của vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ được tính theo công thức: $|\vec{a}| = \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}}$

+) Góc giữa hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ ( $\vec{a}; \vec{b} \neq \vec{0}$ ):

$\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} . \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}}$

+) Khoảng cách giữa hai điểm $A (x_{A}; y_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B})$ được tính theo công thức:

$A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$

Các dạng bài.

Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai vectơ.

- Tính tích vô hướng: Phân tích vectơ và đưa hai vectơ về chung gốc để tìm góc giữa hai vectơ hoặc đưa hai vectơ về các vectơ vuông góc. Sau đó, áp dụng công thức định nghĩa, tính chất và hằng đẳng thức để tính tích vô hướng của hai vectơ. Đối với hai vectơ biết tọa độ thì tính theo công thức $\vec{a} . \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

- Tính góc giữa hai vectơ: Phân tích vectơ và đưa hai vectơ về chung gốc để tìm góc giữa hai vectơ hoặc dùng công thức: $\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} . \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}}$

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ.

Phân tích vectơ để biến phép tính độ dài đoạn thẳng thành phép tính tích vô hướng, áp dụng công thức $A B^{2} = {|\vec{A B}|}^{2} = {\vec{A B}}^{2}$ . Nếu đề bài có liên quan đến tọa độ thì áp dụng công thức: $|\vec{A B}| = A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Tích vô hướng của hai vectơ

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vecto có đáp án – Toán lớp 10

Câu 324:

Lý thuyết Bội chung. Bội chung nhỏ nhất chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

54 và 108 có bội chung nhỏ nhất là

Xem đáp án

* Lời giải:

54 = 2.3³

108 = 2².3³

Các thừa số chung của 54 và 108 là 2 và 3.

Số mũ lớn nhất của 2 là 2

Số mũ lớn nhất của 3 là 3.

BCNN(54, 108) = 2².3³= 108

*Phương pháp giải:

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đã cho.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu:

BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.

BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.

*Lý thuyết nắm thêm

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đã cho.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu:

BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.

BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Nhận xét: Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó.

Nếu a $⋮$ b thì BCNN(a, b) = a.

Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:

BCNN(a, 1) = a; BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng;

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

Quy đồng mẫu các phân số

Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số:

Để quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ , ta phải tìm mẫu chung của hai phân số đó. Thông thường ta nên chọn mẫu chung là BCNN của hai mẫu.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 6 Bài 13 (Cánh diều): Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Câu 325:

Chuyên đề Phương trình lượng giác cơ bản - Toán 11

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cosB = 0,8, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: ∠B + ∠C = 90o nên sinC = cosB = 0,8

Từ công thức sin2C + cos2C = 1 ta suy ra:

* Phương pháp giải:

- giải phương trình lượng giác cơ bản, biến đổi rồi tìm x

* Lý thuyết cần nắm và một số phương trình lượng giác thường gặp:

a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

*Phương pháp giải:

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình dạng at+b=0 (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

b) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

*Phương pháp giải:

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

1. Hàm số y = sinx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = sinx :

+ Xác định với mọi x $\in ℝ$ và – 1 ≤ sinx ≤ 1.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số y = sinx.

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π].

Hàm số y = sinx đồng biến trên $[0; \frac{π}{2}]$ và nghịch biến trên $[\frac{π}{2}; π]$ .

Bảng biến thiên:

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; π] đi qua các điểm (0; 0); (x1; sinx1); (x2; sinx2); (x3; sinx3); (x4; sinx4); (π; 0).

c) Tập giá trị của hàm số y = sinx

Tập giá trị của hàm số này là [– 1; 1].

2. Hàm số y = cosx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = cosx:

+ Xác định với mọi x $\in ℝ$ và – 1 ≤ cosx ≤ 1.

+ Là hàm số chẵn.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Với mọi x $\in ℝ$ ta có: $\sin (x + \frac{π}{2}) = c os x$ .

Từ đó, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo vecto $\vec{u} = (\frac{- π}{2}; 0)$ (sang trái một đoạn có độ dài bằng $\frac{π}{2}$ , song song với trục hoành), ta được đồ thị hàm số y = cos x.

+ Hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn [– π; 0] và nghịch biến trên đoạn [0; π].

+ Bảng biến thiên:

+ Tập giá trị của hàm số y = cosx là [– 1; 1].

+ Đồ thị của các hàm số y = cosx; y = sinx được gọi chung là các đường hình sin.

3. Hàm số y = tanx.

Từ định nghĩa hàm số y = tan x:

+ Có tập xác định: $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π; k \in ℤ\}$ .

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng $[0; \frac{π}{2})$

+ Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng $[0; \frac{π}{2})$ .

+ Bảng biến thiên:

+ Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng $[0; \frac{π}{2})$ đi qua các điểm tìm được.

4. Hàm số y = cot x

Hàm số y = cotx:

+ Có tập xác định là $D = ℝ \ \{k π; k \in ℤ\}$ .

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Sự biến thiên của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoàn (0; π).

Bảng biến thiên:

Hình biểu diễn của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) – Toán 11

Trắc nghiệm Một số phương trình lượng giác thường gặp (có đáp án)

Câu 326:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Thực hiện phép tính: (39.42 – 37.42) : 42

Xem đáp án

* Lời giải:

(39.42 – 37.42) : 42 = (39 – 37).42 : 42 = 2.42 : 42 = 2

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép trừ và phép cộng để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 327:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Có một lượng gạo đủ ăn cho 5 người ăn trong 14 ngày nhưng có thêm 2 người đến thêm. Hỏi số gạo dữ trữ đó đủ ăn trong bao nhiêu ngày?

Xem đáp án

* Lời giải:

Nếu 1 người ăn hết số gạo đó trong số ngày là :

14 x 5 = 70 ( ngày)

Số người sau khi thêm là :

5 + 2 = 7 (người)

7 người ăn số gạo đó trong số ngày là :

70 : 7 = 10 ( ngày)

Đáp số : 10 ngày

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 328:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Một hình chữ nhật chiều rộng bằng $\frac{3}{4}$ chiều dài. Biết rằng chiều rộng tăng thêm 3cm nữa thì ta được hình vuông. Tính chu vi và diện tích của hình chữ nhật đó.

Xem đáp án

* Lời giải:

Hiệu số phần bằng nhau là:
4 – 3 = 1 (phần)
Chiều dài hình chữ nhật là:
3 : 1 × 4 = 12 (cm)
Chiều rộng hình chữ nhật là:
12 – 3 = 9 (cm)
Chu vi của hình chữ nhật là:
(12 + 9) × 2 = 42 (cm)
Diện tích của hình chữ nhật là:
12 × 9 = 108 (cm2)

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 329:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Hai bao gạo cân nặng tổng cộng 147kg, biết rằng nếu lấy ra ở bao gạo thứ nhất 5kg và bao gạo thứ hai 22kg thì số gạo còn lại ở hai bao gạo bằng nhau. Hỏi mỗi bao có bao nhiêu kilogam gạo? Hãy giải bài toán bằng hai cách?

Xem đáp án

* Lời giải:

Số gạo bao thứ hai nhiều hơn bao thứ nhất là:

22 – 5 = 17 (kg)

Hai lần số số gạo bao thứ nhất là:

147 – 17 = 130 (kg)

Số gạo ở bao thứ nhất là:

130 : 2 = 65 (kg)

Số gạo bao thứ hai là:

65 + 17 = 82 (kg)

Đáp số: Bao thứ nhất: 65kg

Bao thứ hai: 82kg

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 330:

Chuyên đề Ôn tập chương 2: Tổ hợp - xác suất - Toán 11

Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng

Xem đáp án

* Lời giải:

Số cách để chị 2 quả cầu từ hộp là $C_{11}^{2}$

Tiếp theo ta sẽ tìm số cách để lấy 2 quả cầu cùng màu từ hộp

Trường hợp 1: Chọn được hai quả cầu màu xanh

Trường hợp 1: Chọn được hai quả cầu màu đỏ

Do đó số cách chọ được 2 quả cầu cùng màu là

* Phương pháp giải:

Tìm không gian mẫu

Tính số phần tử của biến cố A

Tính xác suất biến cố A

* Lý thuyết nắm thêm

1. Quy tắc cộng

- Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

- Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, được phát biểu như sau:

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn và không giao nhau thì:

$n (A \cup B) = n (A) + n (B)$

- Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

2. Quy tắc nhân

- Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

- Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên liếp.

3. Hoán vị

3.1 Định nghĩa

- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.

3.2 Số các hoán vị

Kí hiệu: P_n là số các hoán vị của n phần tử.

- Định lí: P_n = n.(n – 1).(n – 2)….2.1

- Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 là n! (đọc là n là giai thừa), ta có: P_n = n!.

4. Chỉnh hợp

4.1 Định nghĩa.

- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

4.2 Số các chỉnh hợp

- Kí hiệu $A_{n}^{k}$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) .

- Định lí:

$A_{n}^{k} = n (n - 1) ... (n - k + 1)$

5. Tổ hợp

5.1 Định nghĩa.

- Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.

Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.

5.2 Số các tổ hợp.

Kí hiệu $C_{n}^{k}$ là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n).

- Định lí: $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

5.3 Tính chất của các số $C_{n}^{k}$

a) Tính chất 1.

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}; 0 \leq k \leq n$

Ví dụ 7. $C_{8}^{4} + C_{8}^{5} = C_{9}^{5} = 126$ .

6. Công thức nhị thức Niu- tơn

Ta có:

- Công thức nhị thức Niu – tơn.

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} . a^{n - 1} b + ... + C_{n}^{k} . a^{n - k} b^{k} + .... + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

- Hệ quả:

Với a = b = 1 ta có: $2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n}$

Với a = 1; b = – 1 ta có: $0 = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + ...$ $+ {(- 1)}^{k} . C_{n}^{k} + ... + {(- 1)}^{n} C_{n}^{n}$

- Chú ý:

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):

a) Số các hạng tử là n + 1.

b) Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước $a^{0} = b^{0} = 1$ ).

c) Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 Bài tập Xác suất của biến cố Toán 11 mới nhất

Câu 331:

Một phân xưởng chuẩn bị đủ gạo cho 120 công nhân ăn trong 30 ngày. Vì mới tuyển thêm công nhân nên số gạo đó chỉ đủ ăn trong 24 ngày. Vậy sau khi tuyển thêm, phân xưởng có số người là:

Xem đáp án

* Lời giải:

1 người ăn số gạo đó trong:
120 × 30 = 3600 (ngày)
Sau khi tuyển thêm, phân xưởng đó có số công nhân là:
3600 : 24 = 150 (người)

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 332:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Bà sinh mẹ năm bà 25 tuổi. Mẹ sinh Tâm năm mẹ 30 tuổi. Năm nay Tâm 9 tuổi. Hỏi năm nay bà bao nhiêu tuổi?

Xem đáp án

* Lời giải:

Thời điểm mẹ sinh Tâm thì số tuổi của bà là:

25 + 30 = 55 (tuổi)

Số tuổi của bà năm nay là:

55 + 9 = 64 (tuổi)

Đáp số: 64 tuổi

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 333:

50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án 2024) – Toán 12

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên (SAB) là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết BD = a, $A C = a \sqrt{3}$

Xem đáp án

* Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

ABCD là hình thoi ⇒ AC ⊥ BD,

Vì O là trung điểm của AC, BD nên:

* Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp:

V = \frac{1}{3} B . h

+ Tính được S đáy của khối chóp trước

*Lý thuyết cần nắm về khối chóp và thể tích khối chóp:

- Định nghĩa hình chóp: Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của chóp.

- Có 2 loại chóp phổ biến là chóp tam giác và chóp tứ giác

- Chú ý:

+ Đường cao của hình chóp là đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với đáy.

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy của mặt bên đó.

+ 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của chúng vuông góc với đáy.

Công thức tính thể tích khối chóp

Cho khối chóp có đường cao là h

Diện tích đa giác đáy là S

Khi đó thể tích $V = \frac{1}{3} h . S$

$V = \frac{1}{3} h . S$

a. Khối tứ diện đều: Là khối chóp có tất cả các cạnh bằng nhau $V = \frac{1}{3} h . S$

Tất cả các mặt đều là các tam giác đều. Chân đường cao là trọng tâm của đáy

b. Khối chóp tam giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đáy là tam giác. Chân đường cao là trọng tâm của tam giác đáy.

c. Khối chóp tứ giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Đáy là hình vuông, chân đường cao là tâm của hình vuông.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Công thức tính thể tích khối chóp và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Câu 334:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

15 công nhân làm việc trong 6 ngày sẽ tạo ra 360 sản phẩm. Nếu năng suất của các công nhân là như nhau và không đổi trong suốt quá trình làm việc thì 5 công nhân làm việc trong 12 ngày sẽ tạo ra bao nhiêu sản phẩm?

Xem đáp án

* Lời giải:

mỗi ngày tạo ra số sản phẩm là

360 : 6 = 60 ( sản phẩm )

mỗi công nhân là được số sản phẩm là

60 : 15 = 4 ( sản phẩm )

5 công nhân làm được số sản phẩm là

4 x 5 = 20 ( sản phẩm )

12 ngày làm được số sản phẩm là

20 x 12 = 240 ( sản phẩm )

Đ/S : 240 sản phẩm

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 335:

Giải Toán 9 (Kết nối tri thức): Giải phương trình hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

Một người đi xe đạp trên 2/3 đoạn đường đầu với vận tốc trung bình 15 km/h và 1/3 đoạn đường sau với vận tốc trung bình 20 km/h. Vận tốc trung bình của người đi xe đạp trên cả quãng đường là

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Chọn hệ quy chiếu (gốc tọa độ, chiều dương, gốc thời gian) cho chuyển động.

Viết phương trình chuyển động của mỗi xe: hoặc .

Thay thời gian đã cho vào phương trình chuyển động để tìm vị trí của mỗi xe.

Tính khoảng cách giữa hai xe bằng giá trị tuyệt đối hiệu các tọa độ.

* Lý thuyết nắm thêm về hệ phương trình:

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

Câu 336:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Thực hiện phép tính:

5.22−18:3

Xem đáp án

* Lời giải:

${5.2}^{2} - 18 : 3$

$= 5.4 - 18 : 3$ $= 20 - 6$ $= 14$

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép trừ và phép cộng để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 337: