Chuyên đề Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (2022) - Toán 12

Chuyên đề Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Toán 12

A. Lý thuyết

I. Sơ đồ khảo sát hàm số

1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số.

2. Sự biến thiên.

+ Xét chiều biến thiên của hàm số.

 - Tính đạo hàm y’.

 - Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định.

 - Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

3. Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị hàm số.

- Chú ý:

1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.

2. Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

3. Nên lưu ý tính chẵn, lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

II. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức.

1. Hàm số y = ax³ + bx² + cx  + d (a ≠ 0)

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = – x³  + 3x² – 1

Lời giải:

1. Tập xác định: R.

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên:

y’ = – 3x² + 6x; y’ = 0$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

Trên các khoảng $(-\infty ;0)$và $(2;+\infty );y\text{'}$ âm nên hàm số nghịch biến.

Trên khoảng (0; 2); y’ dương nên  hàm số đồng biến.

+ Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x = 2; y_CĐ  = y(2) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y_CT = y(0) = –1.

+ Các giới hạn vô cực:

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }(-x^3+3x^2-1)=-\infty ; \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }(-x^3+3x^2-1)=+\infty \end{gathered}$$

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Ta có y(0) = – 1 nên (0; – 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy. Điểm đó cũng là điểm cực tiểu của đồ thị.

Đồ thị hàm số được cho trên hình bên.

Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x³ – 3x²  + 3x + 1.

Lời giải:

1. Tập xác định: R.

2. Sự biến thiên.

+ Chiều biến thiên:

Vì y’= 3x² – 6x + 3 = 3(x – 1)² $\ge 0\forall x\in R$và f’(x) = 0 tại x = 1 nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$.

Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn vô cực:

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị hàm số đã cho cắt trục Oy tại điểm (0; 1) và đi qua điểm A(1; 2).

Đồ thị hàm số được cho như hình vẽ dưới đây.

Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0).

2. Hàm số y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = – x⁴  + 2x² – 1.

Lời giải:

1. Tập xác định: R

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên;

Ta có: y’ = – 4x³ + 4x

$y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và (0; 1) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (– 1; 0) và ) và $(1;+\infty )$thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến

+ Cực trị

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 và y_CT = y(0) = – 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và x = 1; y_CD = y(– 1)= y(1) = 0.

+ Giới hạn tại vô cực:

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Hàm số đã cho là hàm số chẵn vì f(– x) = – (– x)⁴ + 2(– x)² – 1 = – x⁴  + 2x² – 1 = f(x).

Do đó, hàm số nhận trục Ox làm trục đối xứng.

Đồ  thị cắt trục hoành tại các điểm (– 1; 0) và (1; 0) ; cắt trục tung tại điểm (0 ; –1).

Dạng của đồ thị  y = ax⁴ + bx² + c  (với a ≠ 0)

3. Hàm số $\mathit{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{\text{\hspace{0.17em}}}\mathbf{b}}{\mathbf{c}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}}\mathbf{d}}\mathbf{;}$$\mathbf{\hspace{0.17em}}\mathbf{(}\mathit{c}\mathbf{\ne }\mathbf{0}\mathbf{;}\mathit{a}\mathit{d}\mathbf{-}\mathit{b}\mathit{c}\mathbf{\ne }\mathbf{0}\mathbf{)}$.

Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x+\text{\hspace{0.17em}}1}$.

Lời giải:

1. Tập xác định: R\ { – 1}.

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên: $y\text{'}=\frac{1}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}^2}>0$$\forall x\ne -1$

Và y’ không xác định khi x = –1; y’ luôn luôn dương với mọi x khác – 1.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $(-1;+\infty )$.

+ Cực trị

Hàm số đã cho không có cực trị.

+ Tiệm cận $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{2x+\text{}1}{x\text{}+\text{\hspace{0.17em}}1}=+\infty ;$$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x\text{}+\text{\hspace{0.17em}}1}=-\infty ;$

Do đó, đường thẳng x = – 1 là đường tiệm cận đứng.

Lại có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=2;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=2$

Suy ra, đồ thị có tiệm cận ngang là y = 2.

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1); cắt trục hoành tại điểm $\left(\frac{-1}{2};0\right)$.

Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.

Dạng của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+\text{\hspace{0.17em}}b}{cx+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}d};(c\ne 0;ad-bc\ne 0)$

III. Sự tương giao của các đồ thị.

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C₁) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C₂). Để tìm hoành độ giao điểm của (C₁)và (C₂), ta phải giải phương trình f(x) = g(x).

Giả sử phương trình trên có các nghiệm x₀; x₁; … khi đó, các giao điểm của (C₁)và (C₂) là M₀ (x₀; f(x₀)); M₁ (x₁; f(x₁))…..

Ví dụ 5. Tìm giao điểm của đồ thị (C): y = x³ – 3x² + 3x + 2  và đường thẳng y = x + 2.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

x³ – 3x² + 3x + 2 = x + 2

$\iff$ x³ – 3x² + 2x  = 0

$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}\right.$

Với x = 0 thì y(0) = 2;

Với x = 1 thì y(1) = 3.

Với x = 2 thì y(2) = 4.

Vây hai đồ thị đã cho cắt nhau tại 3 điểm là A(0; 2); B(1; 3) và C(2; 4).

Ví dụ 6. Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị  (C). Tìm m để đường thẳng d: y = – x + m cắt đồ thị  (C) tại hai điểm phân biệt.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

$\frac{2x-1}{x-1}=-x+\text{\hspace{0.17em}}m$ (điều kiện x ≠ 1)

Suy ra: 2x – 1 = (x – 1) .(– x + m)

$\iff$2x – 2 = – x² + mx + x – m

$\iff$x² + (1 – m)x + m – 2 = 0  (*)

Để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}\Delta ={(1-m)}^2-\mathrm{4.1.}(m-2)>0\\ 1^2+(1-m).1+\text{}m-2\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{m}^2-6m+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}9>0\\ 0\ne 0\left(vli\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy không có giá trị nào của m để d cắt (C ) tại hai điểm phân biệt.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. I(1; 0) là tâm đối xứng của

B. I(1; 0) là tâm đối xứng của y = -x³ + 3x² - 2

C. I(1; 0) là điểm thuộc đồ thị

D. I(1; 0) là giao điểm của y = x³ - 3x² - 2 với trục hoành.

Lời giải:

Đối với hàm phân thức hữu tỉ, giao điểm của 2 đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

A. Tâm đối xứng của

C. Điểm I(1; 0) không thuộc đồ thị

D. Điểm I(1; 0) không thuộc đồ thị y = x³ - 3x² - 2 nên không phải là giao điểm của y = x³ - 3x² - 2 với trục hoành.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình x⁴ + 2x² ≥ m luôn đúng.

A. m = 0    

B. m < 0

C. m ≤ 0    

D. Không có đáp án

Lời giải:

Xét hàm số y = x⁴ + 2x² có a = 1 > 0; b = 2 > 0 => a, b cùng dấu.

Đồ thị có dạng như hình bên.

Do đó, để bất phương trình x⁴ + 2x² ≥ m luôn đúng thì m ≤ min(x⁴ + 2x²)

Từ đồ thị hàm số ta suy ra m ≤ 0 . Chọn đáp án C.

Bài 3: Cho hàm số

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y'' = 0 là

Lời giải:

Ta có

y' = x² + 2x; y'' = 2x + 2

=> y'' = 0 <=> x = -1

=> -$\frac{4}{3}$, y'(-1) = -1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x = -1 là:

Chọn đáp án A.

Bài 4: Cho hàm số

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 3x -1

A. y = 3x + 1    

B. y = 3x - $\frac{29}{3}$    

C. 3x + 20    

D. Cả A và B đúng

Lời giải:

Ta có y' = x² - 4x + 3. Tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y = 3x - 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3.

Xét y' = 3 <=> x² - 4x = 0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A(0;1) có hệ số góc k = 3 là y = 3x + 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại B(4; $\frac{7}{3}$) có hệ số góc k = 3 là

Chọn đáp án D.

Bài 5: Gọi M, N là giao điểm của

Khi đó hoành độ trung điểm của I của đoạn thẳng MN bằng

A. 2    

B.1    

C. 0    

D. -1

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Giao điểm của hai đồ thị hàm số là M(x₁; y₁), N(x₂; y₂) với x₁, x₂ là nghiệm phương trình (1). Do đó

Chọn đáp án B.

Bài 6: Tìm m để phương trình x³ + 3x² = m có ba nghiệm phân biệt

A. m > 4    

B. m < 0    

C. 0 ≤ m ≤ 4    

D. 0 < m < 4

Lời giải:

Xét hàm số

y = f(x) = x³ + 3x² (C)

Đồ thị hàm số có dạng như hình bên.

x³ + 3x² = m có ba nghiệm phân biệt

<=> Đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt <=> 0 < m < 4

Chọn đáp án D.

Bài 7: Cho hàm số 2x³ - 3(m+1)x² + 6(m + 1)2x + 1. Hình nào dưới đây mô tả chính xác nhất đồ thị hàm số trên?

Lời giải:

Bài 8: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong 4 hàm số được liệt kê ở 4 phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. y = x⁴ + 3x² - 2

B. y = x³ - 2x² + 1

C. y = -4x⁴ + x² + 4

D. y = x⁴ - 2x² + 3

Bài 9: Đồ thị trong hình dưới đây là đồ thị của đồ thị hàm số nào?

A. y = x² - 2x + 1

B. y = x³ + 4x² - 2x + 5

C. y = x⁴ + x² + 1

D. y = x⁴ - 3x² + 5

Bài 10: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = -x³ - 3x² + 1 là:

A. (-1; -1)    

B. (-2; -3)    

C. (0; 1)    

D. Không có đáp án

Lời giải:

y' = -3x² - 6x; y'' = -6x - 6; y'' = 0 => x = -1

Vậy điểm U(-1; -1) là tâm đối xứng của đồ thị .

(Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng – hoành độ điểm uốn là nghiệm phương trình y'' = 0 ).

Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong 4 hàm số được liệt kê ở 4 phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Bài 2 Đồ thị trong hình dưới đây là đồ thị của đồ thị hàm số nào?

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị trên là của hàm trùng phương có a > 0 và a, b, cùng dấu hoặc hàm số bậc hai với a > 0 ⇒ loại B và D.

Tuy nhiên đỉnh của parabol của đồ thị hàm số y = -x³ - 3x² + 1 là I(1; 0) nằm trên trục hoành ⇒ loại A

Bài 3 Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = -x³ - 3x² + 1 là:

Lời giải:

y' = -3x² - 6x; y'' = -6x - 6; y'' = 0 => x = -1

Vậy điểm U(-1; -1) là tâm đối xứng của đồ thị .

(Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng – hoành độ điểm uốn là nghiệm phương trình y'' = 0 ).

Bài 4 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. I(1; 0) là tâm đối xứng của

B. I(1; 0) là tâm đối xứng của y = -x³ + 3x² - 2

C. I(1; 0) là điểm thuộc đồ thị

D. I(1; 0) là giao điểm của y = x³ - 3x² - 2 với trục hoành.

Lời giải:

Đối với hàm phân thức hữu tỉ, giao điểm của 2 đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

A. Tâm đối xứng của

C. Điểm I(1; 0) không thuộc đồ thị

D. Điểm I(1; 0) không thuộc đồ thị y = x³ - 3x² - 2 nên không phải là giao điểm của y = x³ - 3x² - 2 với trục hoành.

Bài 5 Tìm m để bất phương trình x⁴ + 2x² ≥ m luôn đúng.

Lời giải:

Xét hàm số y = x⁴ + 2x² có a = 1 > 0; b = 2 > 0 => a, b cùng dấu.

Đồ thị có dạng như hình bên.

Do đó, để bất phương trình x⁴ + 2x² ≥ m luôn đúng thì m ≤ min(x⁴ + 2x²)

Từ đồ thị hàm số ta suy ra m ≤ 0 . Chọn đáp án C.

Bài 6 Cho hàm số

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y'' = 0 là?

Lời giải:

Ta có

y' = x² + 2x; y'' = 2x + 2 => y'' = 0 <=> x = -1 => -$\frac{4}{3}$, y'(-1) = -1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x = -1 là:

Bài 7 Cho hàm số

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 3x -1

Lời giải:

Ta có y' = x² - 4x + 3. Tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y = 3x - 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3.

Xét y' = 3 <=> x² - 4x = 0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A(0;1) có hệ số góc k = 3 là y = 3x + 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại B(4; $\frac{7}{3}$) có hệ số góc k = 3 là

Bài 8 Gọi M, N là giao điểm của

Khi đó hoành độ trung điểm của I của đoạn thẳng MN bằng?

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Giao điểm của hai đồ thị hàm số là M(x₁; y₁), N(x₂; y₂) với x₁, x₂ là nghiệm phương trình (1). Do đó

Bài 9 Tìm m để phương trình x³ + 3x² = m có ba nghiệm phân biệt

Lời giải:

Xét hàm số

y = f(x) = x³ + 3x² (C)

Đồ thị hàm số có dạng như hình bên.

x³ + 3x² = m có ba nghiệm phân biệt

<=> Đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt <=> 0 < m < 4

Bài 10 Cho hàm số 2x³ - 3(m+1)x² + 6(m + 1)2x + 1. Hình nào dưới đây mô tả chính xác nhất đồ thị hàm số trên?

Lời giải:

Ta có: a = 2 > 0; y' = 6x² - 6(m + 1)x + 6(m + 1)² = 6[x² - (m + 1)x + (m + 1)²]

y' = 0 ⇔ x² - (m + 1)x + (m + 1)2 = 0

Δ = -3(m + 1)² ≤ 0 ∀x ∈ R => y' = 0 vô nghiệm hoặc nghiệm kép

Do đó, đồ thị hàm số đã cho không có cực trị.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho hàm số y = x⁴ + (m² + 1)x² + 1. Hình nào dưới đây mô tả chính xác nhất đồ thị hàm số trên?

 

Bài 2 Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đường cong y = x³ + 2 khi m bằng?

Bài 3 Tiếp tuyến của parabol y = 4 - x² tại điểm (1; 3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích tam giác vuông đó là?

Bài 4 Cho hàm số y = 3x - 4x³ . Có nhiều nhất mấy tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; 3) ?

Bài 5 Tìm m để phương trình x⁴ - 2x² + 3 - m² + 2m = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt

Bài 6 Với m > 0 phương trình  có ít nhất mấy nghiệm?

Bài 7 Với mọi m ∈ (-1; 1) phương trình sin² + cosx = m có mấy nghiệm trên đoạn [0; π] ?

Bài 8 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số đã học theo sơ đồ trên.

y = ax + b

y = ax² + bx + c

Bài 9 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = $\frac{x^3}{3}$ - x² + x + 1.

Bài 10 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = -x⁴ + 2x² + 3.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Chuyên đề Cực trị của hàm số

Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chuyên đề Đường tiệm cận

Chuyên đề Ôn tập chương 1