Chuyên đề Tích phân (2022) - Toán 12

Chuyên đề Tích phân - Toán 12

A. Lý thuyết

I. Khái niệm tích phân

1. Diện tích hình thang cong

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.

- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a; x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x),  trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].

Với mỗi $x\in \left[a;b\right]$, kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.

Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) +  C.

Vì S(a) = 0 nên F(a) +  C = 0  hay C =  –  F(a).

Vậy S(x) = F(x) – F(a).

Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:

S(b) = F(b) – F(a).

2. Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

Ta còn dùng kí hiệu ${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b$ để chỉ hiệu số F(b) – F(a).

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=$${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Ta gọi $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

- Chú ý.

Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:

$\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0;$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{}dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\text{}dx$

Ví dụ 1.

a) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}(x+\text{}2)dx$

$$\begin{gathered} \hspace{0.17em}={\left.\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\right|}_0^2 \\ =6-0=6 \end{gathered}$$

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(2+\text{\hspace{0.17em}}\cos x)dx$

$$\begin{gathered} ={\left(2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\sin x\right)}_0^{\frac{\pi }{2}} \\ =(\pi +1)-0 \\ =\pi +1 \end{gathered}$$

- Nhận xét.

a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ hay $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t.

b) Ý nghĩa hình học của tích phân.

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. Vậy $S\text{\hspace{0.17em}}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

II. Tính chất của tích phân.

Ví dụ 2. Tính: $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(3x-4\sin x)dx$.

Lời giải:

- Tính chất 3.

 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$$=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (a < c < b).

Ví dụ 3. Tính $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|x\right|dx$.

Lời giải:

III. Phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số

- Định lí:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số $x=\phi \left(t\right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[\alpha ;\beta \right]$ sao cho $\phi \left(\alpha \right)=a;\phi \left(\beta \right)=b$ và $a\le \phi \left(t\right)\le b\forall t\in \left[\alpha ;\beta \right]$.

Khi đó: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=$$\hspace{0.17em}\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f\left(\phi \left(t\right)\right).\phi \text{'}\left(t\right)dt$

Ví dụ 4.  Tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx$.

Lời giải:

- Chú ý:

Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$, đôi khi ta chọn hàm số u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục và $u\left(x\right)\in \left[\alpha ;\beta \right]$.

Giả sử có thể viết: f(x) = g(u(x)). u’(x) với $x\in \left[a;b\right]$ với g(u) liên tục trên đoạn $\left[\alpha ;\beta \right]$

Khi đó, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$$=\underset{u\left(a\right)}{\overset{u\left(b\right)}{\int }}g\left(u\right)du$

Ví dụ 5. Tính $\underset{0}{\overset{\sqrt{\pi }}{\int }}x.\sin x^{2}dx$

Lời giải:

2. Phương pháp tính tích phân từng phần

- Định lí.

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u\left(x\right).v\text{'}\left(x\right)dx=$${\left.\left[u\left(x\right).v\left(x\right)\right]\right|}_a^b$$-\underset{a}{\overset{b}{\int }}v\left(x\right).u\text{'}\left(x\right)dx$

Hay $\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv=u{v}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$

Ví dụ 6. Tính $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\sin xdx.$

Lời giải:

Ví dụ 7. Tính $I=\underset{0}{\overset{e-1}{\int }}x\ln (x+1)dx$.

Lời giải:

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tích phân

Lời giải:

Ta chọn đáp án A

Câu 2: Cho hai tích phân:

Trong các khẳng định sau , khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Đặt t = π/2 - x ⇒ dt = -dx Khi x = a thì t = π/2 - a , khi x = π/2 - a thì t = a

Ta có:

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3:

Lời giải:

Đặt: t = 3 - x ⇒ dt = - dx .

Khi x = 0 thì t = 3, khi x = a thì t = 3-a.

Vậy chọn đáp án B.

Câu 4: Tính tích phân

A. I = 0    

B. I = a2    

C. I = -a2    

D. I = 2a2 .

Lời giải:

Ta có:

Vậy chọn đáp án B.

Câu 5: Tính tích phân 

Lời giải:

Đặt t = lnx ⇒ dt = (1/x)dx . Khi x = 1 thì t = 0, khi x = 2e thì t = 1+ln2. Ta có:

Vậy chọn đáp án D.

Câu 6: Tính tích phân

Lời giải:

Đặt u = x và dv = cos(a - x)dx ,suy ra du = dx và v = -sin(a-x). Do đó

Vậy chọn đáp án C.

Câu 7:

Khẳng định nào dưới đây là sai?

Lời giải:

Đặt u = x² - 1 , ta có du = 2xdx. Khi x = 1 thì u = 0, x = 2 thì u = 3. Do đó

Vậy chọn đáp án C.

Câu 8:

Tìm n?

A.6    

B.5    

C.4    

D.3

Lời giải:

Ta có:

 

Vậy chọn đáp án D.

Câu 9: Kết quả của tích phân

được viết dưới dạng a+bln2. Tính giá trị của a+b.

Lời giải:

Ta có:

Vậy chọn đáp án D

Câu 10: Giả sử

Giá trị của K là:

A.9    

B.3   

C.81   

D.8

Lời giải:

Ta có:

Do đó, K = 3

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho:

Tính giá trị của a-b.

Lời giải:

Khi x = 1 thì t = e, khi x = e thì t = e^e + 1 .

Từ đó suy ra: a = 1; b = 1 nên a – b = 0.

Câu 2: Cho

Giả sử đặt t = $\sqrt[3]{ex}$ + 2 thì ta được:

Lời giải:

 ⇒(t - 2)³ = ex

Đổi cận: x = 0 thì t = 3 ; x = 3ln2 thì t = 4

Khi đó

Câu 3: Cho

Khi đó a+b bằng

Lời giải:

Ta có

Câu 4: Cho

Đặt t = x² . Biết

Lời giải:

Đặt t = x² ⇒ dt = 2xdx. Ta có:

Câu 5: Nếu

với a < d < b thì

Lời giải:

Ta có:

Câu 6: Cho tích phân

Nếu biến đổi số t = sin2x thì:

Lời giải:

Ta có

Câu 7: Tính

Lời giải:

Ta có

Câu 8:

Lời giải:

Hiển thị đáp án

Bài 9:

Tìm n?

Lời giải:

Ta có:

 

Bài 10: Kết quả của tích phân

được viết dưới dạng a+bln2. Tính giá trị của a+b.

Lời giải:

Ta có:

III. Bài tập vận dụng 

Bài 1 Giả sử Giá trị của K là?

Bài 2  Cho:  Tính giá trị của a-b.

Bài 3 Cho  Giả sử đặt t = ∛e^x + 2 thì ta được?

Bài 4 Cho. Khi đó a+b bằng?

Bài 5 Cho Đặt t = x² . Biết 

Bài 6 Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x -1)e^2x ,trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox

Bài 7 Cho tích phân . Nếu biến đổi số t = sin²x thì:

Bài 8 Tính tích phân 

Bài 9 Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.

Bài 10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x³ - x và đồ thị hàm số y = x - x².

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Nguyên hàm

Chuyên đề Ứng dụng hình học của tích phân

Chuyên đề Ôn tập chương 3

Chuyên đề Số phức

Chuyên đề Lý thuyết Cộng, trừ và nhân số phức