Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mới nhất - Toán 12

Với Chuyên đề Toán 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán lớp 12 giúp bạn học tốt môn Toán hơn.

1 923 lượt xem


Mục lục Chuyên đề Toán 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chuyên đề Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Xem chi tiết 

Chuyên đề Cực trị của hàm số

Xem chi tiết 

Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Xem chi tiết 

Chuyên đề Đường tiệm cận

Xem chi tiết 

Chuyên đề Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Xem chi tiết 

Chuyên đề Ôn tập chương 1

Xem chi tiết 

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1: Khối đa diện

Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

------------------------------------------------------------

Chuyên đề Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - Toán 12

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

Lưu ý

– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hàm số y = sin2x - 2x. Hàm số này

A. Luôn đồng biến trên R    

B. Chỉ đồng biến trên khoảng (0; +∞)

C. Chỉ nghịch biến trên (-∞; -1)    

D. Luôn nghịch biến trên R

Lời giải:

Tập xác định D = R

Ta có : y' = 2.cos2x - 2 = 2(cos2x - 1) ≤ 0; ∀ x

(vì -1 ≤ cos2x ≤ 1)

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R

Chọn đáp án D.

Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ đồng biến trên khoảng (-∞; 1) ?

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Bài 3: Tìm m để hàm số

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

luôn nghịch biến trên khoảng xác định.

A.-2 < m ≤ 2    

B. m < -2 hoặc m > 2

C. -2 < m < 2    

D. m ≠ ±2

Lời giải:

Tập xác định

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

khi và chỉ khi

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Suy ra m2 - 4 < 0 hay -2 < m < 2. Chọn đáp án C.

Bài 4: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3mx - 1, tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞)

A. m < 1   

B. m ≥ 1   

C. m ≤ -1   

D. m ≥ -1

Lời giải:

Ta có y' = -3x2 + 6x + 3m. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) nếu y' ≤ 0 trên khoảng (o; +∞)

Cách 1: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai.

Xét phương trình -3x2 + 6x + 3m. Ta có Δ' = 9(1 + m)

TH1: Δ' ≤ 0 => m ≤ -1 khi đó, -3x2 + 6x + 3m < 0 nên hàm số nghịch biến trên R .

TH2: Δ' > 0 => m > -1; y' = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = 1 ±√(1+m) .

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) <=> 1 + 1+m ≤ 0, vô lí.

Từ TH1 và TH2, ta có m ≤ -1

Cách 2: Dùng phương pháp biến thiên hàm số.

Ta có y' = -3x2 + 6x + 3m ≤ 0, ∀x > 0 <=> 3m ≤ 3x- 6x, ∀x > 0

Từ đó suy ra 3m ≤ min(3x2 - 6x) với x > 0

Mà 3x2 - 6x = 3(x2 - 2x + 1) - 3 = 3(x - 1)2 - 3 ≥ -3 ∀ x

Suy ra: min( 3x2 – 6x) = - 3 khi x= 1

Do đó 3m ≤ -3 hay m ≤ -1. Chọn đáp án C.

Bài 5: Cho đồ thị hàm số với x ∈ [- π2; 3π2] như hình vẽ.

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = sinx với x ∈ [- π2; 3π2]

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Lời giải:

Trên khoảng (-π2; π2) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.

Trên khoảng (3π2; π2) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-π2; π2)

Chọn đáp án A.

Bài 6: Cho đồ thị hàm số y = -x3 như hình vẽ. Hàm số y = -x3 nghịch biến trên khoảng:

A. (-1;0)    

B. (-∞;0)

C. (0;+∞)    

D. (-1;1)

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Lời giải:

Trên khoảng (0; +∞) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞), Chọn đáp án C.

Bài 7: Cho đồ thị hàm số y = -2x như hình vẽ. Hàm số y = -2x đồng biến trên

A. (-∞;0)   

B. (-∞;0) ∪ (0;+∞)

C. R    

D. (-∞;0) và (0;+∞)

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Lời giải:

Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên hai khoảng (-∞;0) và (0;+∞)

Chọn đáp án D.

Ghi chú. Những sai lầm có thể gặp trong quá trình làm bài:

- Không chú ý tập xác định nên chọn đáp án C.

- Không chú ý định nghĩa của hàm đồng biến nên chọn đáp án B.

1 923 lượt xem


Xem thêm các chương trình khác: