Chuyên đề Cực trị của hàm số (2022) - Toán 12

Chuyên đề Cực trị của hàm số - Toán 12

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm $x_0\in (a;b)$ .

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) < f (x₀)  với mọi $x\in (x_0-h;x_0+h)$ và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀ .

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) > f (x₀) với mọi $x\in (x_0-h;x_0+h)$ và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀ .

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị.

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x_o. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x_o thì f‘(x_o) = 0.

Lưu ý:

- Đạo hàm f‘(x) có thể bằng 0 tại điểm x_o nhưng hàm số f(x) không đạt cực trị tại điểm x_o.

- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số đạt cực trị tại x_o và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (x_o ; f(x_o)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x³

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.

Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = ( x₀ -h: x₀ +h ) và có đạo hàm trên K hoặc trên$K\backslash \text{{}{x}_0\text{}}$ , với h >0 .

- Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x₀ - h; x₀) và  trên $(x_0;x_0+h)$ thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x) .

- Nếu f '(x) < 0  trên khoảng (x₀ - h; x₀) và f '(x) > 0 trên $(x_0;x_0+h)$ thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) .

Minh họa bằng bảng biến thiến

Lưu ý:

- Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D (D ⊂ ℝ). Nếu f’(x) không đổi dấu thì hàm số không có cực trị.

(Nhấn mạnh: x_o ∈ (a; b)⊂ D nghĩa là x_o là một điểm nằm ở giữa trong của D).

Ví dụ: Hàm số  xác định trên D= [0,+∞). Ta có y ≥ y (0) với mọi x, nhưng x = 0 không phải là cực tiểu của hàm số vì D không chứa bất kì 1 lân cận nào của điểm 0.

^- Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f _CĐ ( f_CT ), còn điểm M (x₀;f( x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

^- Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

- Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x_o) nói chung không phải là GTLN (GTNN) của  f(x) trên tập hợp D.

- Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D. Hàm số cũng có thể không có điểm cực trị.

- x_o là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì điểm (x_o ; f(x_o)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) .

4. Định lý 3: Giả sử hàm số f  có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x_o ;  f ‘(x_o) = 0 và f  có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x_o

a) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f  đạt cực đại tại điểm x_o
b) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f  đạt cực tiểu tại điểm x_o

Lưu ý:

- Không cần xét hàm số f(x) có hay không có đạo hàm tại điểm x = x_o nhưng không thể bỏ qua điều kiện hàm số liên tục tại điểm x_o.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1 (Đề thi THPTQG năm 2021) Cho hàm số  có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

A. 3                          

B. -1                

C. -5                             

D. 1 

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là $y=f(-1)=3$.

Chọn A.

Bài 2 (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt 2 Mã đề 103) Cho hàm số  có đạo hàm . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là:

A. 2                                     

B. 3

C. 4                      

D. 1

Lời giải

$$\begin{gathered} f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x\left(x+1\right){\left(x-4\right)}^3=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\\ x=4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lập bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại.

Chọn D.

Bài 3 (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt 1 Mã đề 101) Cho hàm số bậc bốn  có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số  là

A. 11                                    

B. 9                      

C. 7                       

D. 5

Lời giải

Ta chọn hàm $f\left(x\right)=5x^4-10x^2+3$.

Đạo hàm

$\Rightarrow$Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0.

$\Rightarrow$Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình ( *)

Vậy số điểm cực trị của hàm số g(x) là 9.

Chọn B.

Bài 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=-2x^3+3x^2+1$.

A. $y=x-1.$

B. $y=x+1.$

C. $y=-x+1.$

D. $y=-x-1.$

Lời giải

Ta có :

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=-6x^2+6x;y^{\text{'}}=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=1\\ x=1\Rightarrow y=2\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A(0;1) và B(1;2).

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương trình  $y=x+1.$

Chọn B.

Cách 2. Lấy  chia cho , ta được :

$\iff y=\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)y^{\text{'}}+x+1$

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là phần dư trong phép chia, đó là $y=x+1$

Bài 5 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ - 2x² +mx + 1 đạt cực đại tại x = 1.

A.m = -1   

B. m = 1    

C. m = $\frac{4}{3}$    

D. Không tồn tại.

Bài 6 Cho hàm số y = x³ - 2x² + 3. Điểm M(0; 3) là:

A. Cực đại của hàm số    

B. Điểm cực đại của hàm số    

C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số

D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Bài 7 Tìm điểm cực đại của hàm số y = sin2x + $\sqrt{3}$cosx + 1 với x ∈ (0; π)

A. x = 0    

B. x = π    

C. $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$    

D. $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

Bài 8 Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các phát biểu sau?

1. Hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

2. Hàm số không liên tục tại x = 0.

3. Hàm số không có cực trị tại x = 0.

4. Hàm số đạt cực trị tại x = 0.

A. 0    

B. 1    

C. 2    

D. 3.

Lời giải:

Bài 9 Cho hàm số y = -3x⁴ - 2x³ + 3

Hàm số có

A. Một cực đại và hai cực tiểu

B. Một cực tiểu và hai cực đại

C. Một cực đại và không có cực tiểu

D. Một cực tiểu và một cực đại.

Lời giải:

Bài 10 Cho hàm số y = x⁴ - 2(m - 1)x² + m². Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông

A. m = 0

B.m= 1

C. m= -1

D. m = 2

E. y = a²x⁴ - 2x² + 3    

G. y = x⁴ + 2x² + 3a

Bài 1 Tìm cực trị của hàm số $f\left(x\right)=x^4-2x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}10$.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x

Ta có: f’(x) = 4x³ – 4x

$f\text{'}\left(x\right)=0$$\hspace{0.17em}\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Ta có: f”(x) = 12x² – 4

Suy ra: f”(0) = – 4 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại.

f”(1) = f”(– 1)  = 8 > 0 nên x = 1 và x = –1 là điểm cực tiểu.

Kết luận:

Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 1 và x = – 1; f_CT = f(1) = f(–1) = 9.

Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0 và f_CD = f(0) = 10.

Bài 2 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = x⁴ – 2x³ + x² – 8;

b) $y=\frac{x-3}{x+4}$

Lời giải:

a) TXĐ: D = .

Ta có: y’ = 4x³ – 6x² + 2x

$y\text{'}=0$$\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=\frac{1}{2}\\ x=0\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và x = 1; f_CT = f(0) = f(1) = – 8

Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{1}{2};$$\hspace{0.17em}{f}_{CD}=\frac{-127}{16}$

b) $y=\frac{x-3}{x+4}$

TXĐ: D = R\{– 4}.

$y\text{'}=\frac{7}{{(x\text{\hspace{0.17em}}+4)}^2}>0$$\forall x\ne -4$

Phương trình y’ = 0 vô nghiệm nên hàm số không có cực trị.

Bài 3 Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x⁴ – 4x²  + 2;

b) y = x⁵ – 2x³ + x + 1;

c) $y=x^2+\frac{2}{x}$

Lời giải:

a) y = 2x⁴ – 4x²  + 2

TXĐ: D = R.

Ta có: y’ = 8x³ – 8x.

$y\text{'}=0$$\hspace{0.17em}\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Đạo hàm cấp hai: y” (x) = 24x² – 8

Vì y”(– 1) = 16 > 0; y”(1) = 16 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1; x = 1 và y_CT = y(1) = y(– 1) = 0.

và y” (0) = –8 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CD = y(0) = 2.

b) y = x⁵ – 2x³ + x + 1

TXĐ: D = R.

Ta có: y’ = 5x⁴ – 6x² + 1

$y\text{'}=0$$\hspace{0.17em}\iff \left[\begin{array}{c}x=\pm 1\\ x=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right.$

Đạo hàm cấp hai: y” = 20x³ – 12x

Và y”(1)  = 8 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

y”(– 1) = – 8 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = – 1.

$y"\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\text{}$$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{-8\sqrt{5}}{5}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}<0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{1}{\sqrt{5}}$

$y"\left(\frac{-1}{\sqrt{5}}\right)\text{}$$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{8\sqrt{5}}{5}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-\frac{1}{\sqrt{5}}$

Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

y”(1) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y_CT = y(1) = 3.

Bài 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  y = x³ – mx²  + (2m – 3).x – 3 đạt cực đại tại  x = 1.

Lời giải:

TXĐ: D = R.

Và y’ = 3x² – 2mx + 2m – 3;

 y” (x) = 6x – 2m

Để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1 thì:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}y\text{'}\left(1\right)=0\\ y"\left(1\right)<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}3-2m+2m-3=0\\ 6-2m<0\end{array}\right. \\ \hspace{0.17em}\iff \left\{\begin{array}{c}0=0\left(ld\right)\\ m>3\end{array}\right.\iff m>\text{\hspace{0.17em}}3 \end{gathered}$$

Vậy để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1 thì m > 3.

Bài 5 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ - 2x² +mx + 1 đạt cực đại tại x = 1.

Lời giải:

Ta có y' = 3x² - 4x + m

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì y'(1) = 0 ⇒ 3.1² - 4.1 + m = 0 ⇒ m = 1

Với m = 1 thì hàm số đã cho trở thành y = x³ - 2x² + x + 1

Ta có y' = 3x² - 4x + 1, y'' = 6x - 4 Vì y''(1) = 2 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Do vậy không có m thỏa mãn.

Chú ý. Sai lầm có thể gặp phải: khi giải y'(1) = 0 => m = 1 đã vội kết luận mà không kiểm tra lại, dẫn đến chọn đáp án B.

Bài 6 Cho hàm số y = x³ - 2x² + 3. Điểm M(0; 3) là?

Lời giải:

Ta có: y' = 3x² -4x; y'' = 6x - 4;

y''(0) = -4 < 0

Do đó, điểm M(0;3) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Chú ý. Phân biệt các khái niệm: cực trị, điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Bài 7 Tìm điểm cực đại của hàm số y = sin2x + $\sqrt{3}$cosx + 1 với x ∈ (0; π)

Lời giải:

Ta có:

Bài 8 Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các phát biểu sau?

1. Hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

2. Hàm số không liên tục tại x = 0.

3. Hàm số không có cực trị tại x = 0.

4. Hàm số đạt cực trị tại x = 0.

Lời giải:

Hiển thị đáp án

Đồ thị hàm số y = |x| có dạng hình vẽ.

Từ đồ thị trong hình ta có hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Sử dụng định nghĩa cực trị ta có hàm số y = |x| đạt cực tiểu tại x = 0

Do đó mệnh đề 1 và 4 đúng.

Bài 9 Cho hàm số y = -3x⁴ - 2x³ + 3. Hàm số có?

Lời giải:

Ta có y' = -12x³ - 4x

Xét y'=0 => x = 0

Hàm số chỉ có một cực đại tại x = 0.

Bài 10 Cho hàm số y = x⁴ - 2(m - 1)x² + m². Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Giá trị của m để hàm số y = x³ - 3mx² + (m² - 1)x + 2 đạt cực đại tại x = 2 là?

Bài 2 Với giá trị nào của m, hàm số y = (x - m)³ - 3x đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0?

Bài 3 Với giá trị nào của m, hàm số y = x³ + 2(m - 1)x² + (m² - 4m + 1)x + 2(m² + 1) có hai điểm cực trị x₁,x₂ thỏa mãn

Bài 4 Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x³ - mx² + 3(m² - 1)x - m ³ + m có điểm cực đại B, điểm cực tiểu C thỏa mãn OC = 3OB, với O là gốc tọa độ?

Bài 5 Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x³ - 3mx² + m có hai điểm cực trị B, C thẳng hàng với điểm A(-1;3)?

Bài 6 Cho hàm số y = x³ - 3x² - 6x + 8 (C). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) là?

Bài 7 Cho hàm số y = x³ -3x² - 9x + 4. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên là?

Bài 8 Với giá trị nào của m, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 3mx + 1 - m tạo với đường thẳng Δ: 3x + y - 8 = 0 một góc 45^o ?

Bài 9 Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x³ + 3x² + m²x + m có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng?

Bài 10 Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x⁴ - 2mx² + m ⁴ + 2m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chuyên đề Đường tiệm cận

Chuyên đề Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Chuyên đề Ôn tập chương 1