Chuyên đề Ôn tập Chương 3 (2022) - Toán 12

Chuyên đề Ôn tập Chương 3 - Toán 12

A. Lý thuyết

1. Hệ tọa độ trong không gian

1.1. Tọa độ của điểm và của vecto

1.1.1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz  vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên: ${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=1$ và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0$

1.1.2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho: $\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+\text{}z.\overrightarrow{k}$

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+\text{\hspace{0.17em}}z.\overrightarrow{k}$

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).

1.1.3. Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto $\overrightarrow{a}$, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a₁; a₂; a₃) sao cho $\overrightarrow{a}=a_1.\overrightarrow{i}+a_2.\overrightarrow{j}+\text{\hspace{0.17em}}{a}_3.\overrightarrow{k}$

Ta gọi bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) là tọa độ của vecto $\overrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết $\overrightarrow{a}$(a₁; a₂ ; a₃) hoặc $\overrightarrow{a}$(a₁; a₂ ; a₃).

 - Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto $\overrightarrow{OM}$

Ta có: M(x; y; z)$\iff \overrightarrow{OM}(x;y;z)$

1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto     

- Định lí:  Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

Ví dụ 1.

Lời giải:

- Hệ quả:

a) Cho hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3),$$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$, ta có:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_1=b_1\\ a_2=b_2\\ a_3=b_3\end{array}\right.$

b) Vecto $\overrightarrow{0}$ có tọa độ ( 0; 0; 0).

c) Với $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ thì hai vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

$\iff \overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}(k\in ℝ)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_1=k{b}_1\\ a_2=k{b}_2\\ a_3=k{b}_3\end{array}\right.$$\hspace{0.17em}\iff \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3},$$(b_1,b_2,b_3\ne 0)$

Ví dụ 2. Cho $\overrightarrow{u}(2m;3;-1);$$\overrightarrow{v}(4;3;n-2)$. Tìm m và n để $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$

Lời giải:

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

Lời giải:

a) Ta thấy $\frac{2}{-4}=\frac{3}{-6}\ne \frac{7}{14}$

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b) Ta thấy: $\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{a}$ nên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a) Tính $\overrightarrow{AB}$ ;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

1.3. Tích vô hướng.

1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3),$$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3$

Ví dụ 5. Cho $\overrightarrow{a}(1;-3;4);$$\overrightarrow{b}(1;2;1)$. Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ ?

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ =  1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1

1.3.2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto.

b) Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A ; y_A ; z_A)

và B(x_B; y_B ; z_B). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto $\overrightarrow{AB}$. Do đó, ta có:

c) Góc giữa hai vecto.

Nếu là góc góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ với $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ thì

Từ đó, suy ra $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff$$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{a}_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A.

Lời giải:

1.4. Phương trình mặt cầu

- Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x²  + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – r²

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x²  + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A² + B² + C² – D > 0 là

phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính $r=\sqrt{A^2+B^2+\text{\hspace{0.17em}}{C}^2-\text{}D}$

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x²  + y² + z² – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x²  + y² + z² – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

2. Phương trình mặt phẳng

2.1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng.

2.1.1.  Định nghĩa:

Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì được $\overrightarrow{n}$ gọi là vecto pháp tuyến của (α)

2.1.2. Chú ý. Nếu $\overrightarrow{n}$ là vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì $k\overrightarrow{n}(k\ne 0)$ cũng là vecto pháp tuyến của  mặt phẳng đó. 

2.1.3. Tích có hướng của hai vectơ

- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ kí hiệu là $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$, được xác định bởi

- Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(-1; 2; 0) và C(0; 1; -2).

Hãy tìm tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

2.2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

2.2.1. Định nghĩa.

- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- Nhận xét.

a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(A;B;C)$.

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x₀; y₀; z₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ khác $\overrightarrow{0}$ là vecto pháp tuyến là: A(x- x₀ ) + B( y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Ví dụ 9. Mặt phẳng 2x – y + 3z – 10 = 0 có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(2; -1; 3).

Ví dụ 10. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2); B(2; 1; 0); C ( -2; 1; 1)

Lời giải:

2.2.2. Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) :  Ax + By + Cz + D =  0.

a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

b)

- Nếu $A=0,B\ne 0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

- Nếu $A\ne 0,B=0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

- Nếu $A\ne 0,B\ne 0,C=0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

c)

- Nếu  A = B = 0; $C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

- Nếu A = C = 0; $B\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

- Nếu B = C = 0; $A\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

- Nhận xét:

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\left(\alpha \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với $abc\ne 0$

Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0; 1). Phương trình đoạn chắn của mp(MNP) là: $\frac{x}{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{y}{3}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{z}{1}=1$

2.3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:

(α): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

(β): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n_1}(A{}_1;B_1;C_1);$$\overrightarrow{n_2}(A{}_2;B_2;C_2)\hspace{0.17em}$

2.3.1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

- Chú ý:  Để (α) cắt (β)$\iff \overrightarrow{n_1}\ne k.\overrightarrow{n_2}\iff$$(A_1;B_1;C_1)\ne k(A_2;B_2;\text{}{C}_2)$

Ví dụ 12. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(2; 1; 2) và song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0.

Lời giải:

Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0 nên $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;-1;2)$

Mặt phẳng (α) đi qua A(2;1; 2) nên có phương trình:

1( x – 2) – 1(y – 1) + 2( z – 2) = 0 hay x – y + 2z – 5 = 0.

2.3.2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.

$\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\perp \left(\beta \right)\iff \overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}\\ \iff A_1{A}_2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{B}_1{B}_2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_1{C}_2=0\end{array}$

Ví dụ 13. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – 1 = 0

Lời giải:

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là:

2.4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .

Khi đó khoảng cách từ điểm M₀ đến mặt phẳng (α) được tính:

Ví dụ 14. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) và N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0.

Lời giải:

Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có:

Ví dụ 15. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được cho bởi phương trình: (P): x – 2y +2z + 3 = 0 và (Q): x – 2y + 2z – 7= 0.

Lời giải:

Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Lấy điểm A(-3; 0; 0) thuộc mặt phẳng (P).

Ta có: $d\left(\right(P);(Q\left)\right)$$=d(A;(Q\left)\right)=\frac{\left|-3-2.0+\text{}2.0-7\right|}{\sqrt{1^2+\text{}{(-2)}^2+2^2}}$$=\frac{10}{3}$

3. Phương trình đường thẳng trong không gian.

3.1. Phương trình tham số của đường thẳng

-  Định lí:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x₀ ; y₀; z₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên đường thẳng ∆ là có số thực t thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{2}t\end{array}\right.$

- Định nghĩa:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x₀ ; y₀; z₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương là $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{2}t\end{array}\right.$

Trong đó, t là tham số.

- Chú ý:

Nếu a₁ ; a₂; a₃ đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ dưới dạng chính tắc như sau:

$\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$

Ví dụ 16. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2;2) và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}(1;2;-1)$

Lời giải:

Phương trình tham số của ∆ là: $\left\{\begin{array}{c}x=1+\text{}t\\ y=2+\text{}2t\\ z=2-t\end{array}\right.$

Ví dụ 17. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2; 1).

Lời giải:

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}(2;1;-1)$ làm vecto chỉ phương.

Phương trình tham số của AB là: $\left\{\begin{array}{c}x=2\text{}t\\ y=1+\text{}t\\ z=2-t\end{array}\right.$

3.2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.

3.2.1. Điều kiện để hai đường thẳng song song.

 Gọi $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3);$$\overrightarrow{a\text{'}}=(a{\text{'}}_1;a{\text{'}}_2;a{\text{'}}_3)$ lần lượt là vecto chỉ phương của d và d’.

Lấy điểm M(x₀; y₀; z₀) trên d.

Ta có: d song song với d’ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{a\text{'}}\\ M\notin d\text{'}\end{array}\right.$

Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi: $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{a\text{'}}\\ M\in d\text{'}\end{array}\right.$

Ví dụ 18.  Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:

$d:\left\{\begin{array}{c}x=3+\text{}2t\\ y=2-3t\\ z=2+t\end{array}\right.$;$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=1-\text{}4t\\ y=2+\text{}6t\\ z=-2t\end{array}\right.$

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}(2;-3;1)$ đi qua M(3; 2; 2).

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{v}(-4;6;-2)$

Ta thấy: $\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{u};M\notin d\text{'}$

Do đó, hai đường thẳng trên song song với nhau.

3.2.2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.

- Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t’ sau:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_1=x{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_1\\ y_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_2=y{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_2\\ z_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_3=z{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_3\end{array}\right.$(I)

Có đúng một nghiệm.

- Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t₀ ; t’₀), để tìm giao điểm M₀ của d và d’ ta có thể thay t₀ vào phương trình tham số của d hoặc thay t’₀ vào phương trình tham số của d’.

Ví dụ 19. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

$d:\left\{\begin{array}{c}x=3+\text{}t\\ y=2-t\\ z=2+t\end{array}\right.$;$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=3-\text{}t\text{'}\\ y=2+t\text{'}\\ z=3\end{array}\right.$

Lời giải:

Xét hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}3+t=3-t\text{'}\\ 2-t=2+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}\\ 2+\text{}t=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}t=-t\text{'}\\ t=-t\text{'}\\ t=1\end{array}\right. \\ \iff t=1;t\text{'}=-1 \end{gathered}$$

Suy ra, d cắt d’ tại điểm A(4; 1; 3).

3.2.3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{a};\overrightarrow{a\text{'}}$ không cùng phương và hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}{x}_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_1=x{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_1\\ y_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_2=y{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_2\\ z_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_3=z{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_3\end{array}\right.$ vô nghiệm.

Ví dụ 20. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

$d:\left\{\begin{array}{c}x=3+\text{}t\\ y=2-3t\\ z=2+t\end{array}\right.$;$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=1-\text{}4t\text{'}\\ y=2+\text{}6t\text{'}\\ z=-2t\text{'}\end{array}\right.$

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}(1;-3;1)$

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a\text{'}}(-4;6;-2)$

Ta thấy, không tồn tại số thực k để $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a\text{'}}$ nên hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}3+\text{\hspace{0.17em}}t=1-4t\text{'}\left(1\right)\\ 2-3t=2+6t\text{'}\left(2\right)\\ 2+t=-2t\text{'}\left(3\right)\end{array}\right.$(I)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được:  t =2; t’ = -1.

Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm.

Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.

- Nhận xét:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{2}t\end{array}\right.$

Xét phương trình A(x₀ + ta₁ ) + B(y₀ + ta₂ ) + C (z₀ + ta₃ ) + D = 0 ( t là ẩn )   (1)

- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (P) không có điểm chung.

Vậy d// (P).

- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t₀ thì d cắt (P) tại điểm

M(x₀ + t₀ a₁;y₀ + t₀ a₂; z₀ + t₀ a₃).

- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P).

Ví dụ 21. Xét vị trí tương đối của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+\text{}2t\\ \begin{array}{l}y=-t\\ z=-2+t\end{array}\end{array}\right.$ và mặt phẳng (P): 2x – y – z = 0.

Lời giải:
Lấy điểm M(1+ 2t;  -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:

2(1+ 2t) – (- t) – (-2+ t) = 0

$\iff$2 + 4t + t + 2 – t  = 0

$\iff$4t + 4 = 0$\iff$t = - 1.

Suy ra,  đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M( -1; 1; - 3).

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A(-1;-2;4)

A. z - 2 = 0 hoặc z + 2 = 0    

B. z - 4 = 0    

C. z - 2 = 0 hoặc z - 4 = 0

D. z + 2 = 0

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(-1; -2; 3)

Vì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A nên mặt phẳng (P) nhận vectơ $\overrightarrow{nP}=\overrightarrow{IA}$ = (0; 0; 1) là vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là: 0(x + 1) + 0(y + 2) + 1(z - 4) = 0 ⇔ z - 4 = 0

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 2y + z + 1 = 0 và (Q): 2x + 4y + az + b = 0 . Tìm a và b sao cho khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó bằng 1.

A. a = 4 và b = 8   

B. a = 4 và b = 8 hoặc b = -4   

C. a = -2 và b = 38 hoặc b = -34

D. a = 4 và b = 38 hoặc b = -34

Lời giải:

Để khoảng cách giưa hai mặt phẳng (P) và (Q) lớn hơn 0 thì trước hết hai mặt phẳng đó phải song song (nếu hai mặt phẳng đó trùng nhau hoặc cắt nhau thì khoảng cách giữa chúng sẽ bằng 0). Do đó ta có:

Lấy điểm A(-1;0;0) ∈ (P). Khi đó ta có:

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho M là một điểm thay đổi trên mặt cầu (S) có tâm I(2;2;2), bán kính R=1. Tập hợp những điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ là mặt cầu (S’) có phương trình là:

A. (x - 2)² + (y - 2)² + (z - 2)² = 1   

B. (x - 2)² + (y + 2)² + (z - 2)² = 1    

C. (x + 2)² + (y - 2)² + (z - 2)² = 1 

D. (x + 2)² + (y + 2)² + (z + 2)² = 1

Lời giải:

Tập hợp những điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ là mặt cầu (S’) có tâm I’( -2; -2; -2) – là điểm đối xứng với tâm I qua gốc tọa độ O và bán kính R’ = R = 1.

Phương trình mặt cầu (S’) là: (x + 2)² + (y + 2)² + (z + 2)² = 1

Câu 4: Cho mặt cầu (S) có phương trình: x² + y² + z² - 2x + 4y - 6z - 2 = 0. Điểm M(m; -2; 3) nằm ngoài mặt cầu khi và chỉ khi:

A. m < -3 hoặc m > 5   

B. m < -3   

C. -3 ≤ m ≤ 5    

D. m > 5

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm

M nằm ngoài mặt cầu (S) khi và chỉ khi:

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho vectơ

Lời giải:

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{-2a}$ = -2(1;2;2) = (-2.1; -2.2; -2.2) = (-2; -4; -4)

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Điều kiện nào dưới đây không tương đương với điều kiện G là trọng tâm của tam giác ABC.

C. Công thức tọa độ của điểm G là:

D. OA + OB + OC ≥ 3OG

Lời giải:

G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi một trong các điều kiện xảy ra:

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. OA = OB = OC   

B. GA = GB = GC   

C. OG ⊥ (ABC)   

D. OG = 3

Lời giải:

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABDC. Biết rằng A(1;3;5), B(3;1;1), C(5;8;9). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Lời giải:

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(x₀, y₀, 5) . Đường thẳng AB song song với trục Oz khi và chỉ khi:

A. x₀ = 1   

B. x₀ = y₀ = 0  

C. x₀ = 1 và y₀ = 2 

D. x₀ = 1 hoặc y₀ = 2

Lời giải:

Trục Oz có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{k}$(0; 0; 1)

Lại có: $\overrightarrow{AB}$(X₀ - 1; y₀ - 2; 2)

Để đường thẳng AB song song với trục Oz khi và chỉ khi hai vecto $\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{k}$ cùng phương

Tồn tại số a khác 0 sao cho: $\overrightarrow{AB}=a.\overrightarrow{k}$

Câu 10: Trong không gian Oxyz,lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;1;-3) và vuông góc với trục Oy

A. x + z + 1 = 0   

B. y - 1 = 0    

C. y + 1 = 0   

D. 2x + y - 3z - 1 = 0

Lời giải:

Vì mặt phẳng (P) vuông góc với trục Oy nên nhận vecto $\overrightarrow{j}$(0; 1; 0) làm vecto pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng(P) là:

0(x - 2) + 1(y - 1) + 0(z + 3) = 0 hay y – 1 = 0

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;0;1), B(2;1;3) và song song với trục Oz

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$(1; 1; 2)

Trục Oz có vecto chỉ phương $\overrightarrow{k}$(0; 0; 1).

Vì mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A , B và song song trục Oz nên mặt phẳng này vecto

[$\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{k}$] = (1; -1; 0) làm vecto pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (P):

1(x - 1) -1(y - 0)+ 0( z - 1) = 0 hay x – y - 1= 0

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình (m² + m)x + y + (m - 2)z + m² - m = 0 , trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì mặt phẳng (P) song song với trục Ox?

Lời giải:

Mặt phẳng (P) song song với trục Ox khi và chỉ khi

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là x + y - 2z = 0; 2x + (m² + m)y - 4z + 2m² + 2m - 4 = 0 , trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì hai mặt phẳng (P) và (Q) song song.

Lời giải:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{np}$(1; 1 ; -2); $\overrightarrow{nQ}$ = (2; m² + m; -4)

Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho

Hệ trên vô nghiệm. Vậy không tồn tại m thỏa mãn bài toán.

Câu 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau sau đây:

Lời giải:

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M(2; -2; 1), VTCP $\overrightarrow{u_1}$ = (3; 4; 1)

Đường thẳng d₂ đi qua điểm N( 7; 3; 9), VTCP $\overrightarrow{u_2}$ = (-2; -4; 2)

Ta có: $\overrightarrow{MN}$(5; 5; 8); [$\overrightarrow{u_1}; \overrightarrow{u_2}$] = (12; -8; -4)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là:

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0; -2; -4), B(-4; -4; 2), C(2; -3; 3). Tìm tọa độ của điểm M trên mặt phẳng (Oxz) sao cho biểu thức MA² + MB² + 2MC² đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;-3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho tam giác ABC đều. Số mặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán là:

Lời giải:

Gọi tọa độ A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c)

Riêng trường hợp a = b = c là không thỏa mãn phương trình (1).

Các trường hợp còn lại đều có các giá trị của a, b , c thỏa mãn phương trình

Do đó, có 3 mặt phẳng (P) thỏa mãn phương trình .

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm A di động trên mặt cầu (S): (x - 1)² + (y + 1)² + (z - 2)² = 4 và mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 29 = 0 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) nhỏ nhất là?

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1 ;-1 ;2) và có bán kính R=2. Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là:

Do đó mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S)

Gọi K và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và I trên mặt phẳng (P). Ta có: d(A, (P)) = AK ≥ IK - IA ≥ IH - R = h - R = 9 - 2 = 7

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A là giao điểm của tia IH với mặt cầu (S). Vậy đáp án đúng là A.

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(1;-2;-6) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y + 6z - 3 = 0. Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A. Vectơ (1;2;6) vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng d

B. Phương trình của đường thẳng d là: 1(x - 1) + 2(y + 2) + 6(z + 6) = 0

C. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

D. Cả ba khẳng định trên đều sai

Lời giải:

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{ud}=\overrightarrow{uP}$ = (1; 2; 6) .

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

Từ đó suy ra C là khẳng định đúng.

Câu 9: Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;-1), nằm trong mặt phẳng (P): x + 2y + z - 1 = 0 và vuông góc với đương thẳng

Lời giải:

Ta có : $\overrightarrow{np}$(1; 2; 1); $\overrightarrow{u∆}$ = (-2; 1; -4)

Vì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{ud}$ = [$\overrightarrow{u∆}; \overrightarrow{np}$] = (9; -2; -5)

Phương trình chính tắc của đường thẳng d :

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y + z + 5 = 0, (Q): 2x - z + 3 = 0 . Phương trình tham số đường thẳng d là?

Lời giải:

Tọa độ các điểm thuộc d là nghiệm của hệ phương trình :

Đặt x = t, thay vào hệ trên ta được

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ M(6;2;8) đến trục Oy bằng

Bài 2 Cho đường thẳng d có phương trình: x = 2t, y = 1 - t, z = 3 + t và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z - 10 = 0 . Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

Bài 3 Trong không gian Oxyz, tìm những điểm M trên tia Oz sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P): 4y + 3z + 1 = 0 bằng 2

Bài 4 Trong không gian Oxyz, cho điểm A di động trên trục Ox, điểm B di động trên mặt phẳng (P): 2y - z - 2 = 0 . Khoảng cách giữa hai điểm A và B nhỏ nhất là?

Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; -2; 3), B(0; 1; 5), C(4; -1; 7). Gọi M là trung điểm của BC. Viết phương trình tham số của đường thẳng AM

Bài 6 Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;-3) và d vuông góc với mặt phẳng (P): 3x + y + 1 = 0

Bài 7 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2;-4;6) và ba điểm B, C, D cùng thuộc mặt phẳng (Oyz). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Lập phương trình mặt phẳng (MNP)

Bài 8 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình là?

Bài 9 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2;-4;6), B(1;1;1), C(0;3;0), D(0;0;3). Viết phương trình tham số của đường thẳng d chứa đường cao AH của tứ diện ABCD

Bài 10 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt nhau:d₁: x = 1 + t, y = 1, z = 1 - t, d₂: x = -t, y = 2 + t, z = 1. Viết phương trình của mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d₁, d₂