Chuyên đề Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit mới nhất - Toán 12

Mục lục Chuyên đề Toán 12 Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Chuyên đề Lũy thừa

Xem chi tiết 

Chuyên đề Hàm số lũy thừa

Xem chi tiết 

Chuyên đề Lôgarit

Xem chi tiết 

Chuyên đề Hàm số mũ. Hàm số logarit

Xem chi tiết 

Chuyên đề Phương trình mũ và phương trình logarit

Xem chi tiết 

Chuyên đề Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Xem chi tiết 

Chuyên đề Ôn tập chương 2

Xem chi tiết 

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Chương 4: Số phức

Chương 1: Khối đa diện

Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

-------------------------------------------------------------

Chuyên đề Lũy thừa - Toán 12

A. Lý thuyết

I. Khái niệm lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

aⁿ = a.a.a… a (n thừa số a)

Với a ≠ 0, ta có: a⁰ = 1 và $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Trong biểu thức a^m ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

0⁰ và 0^–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ 1. Tính giá trị biểu thức:

$A\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}.8+4^{-2}.2^4$$+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}.\frac{1}{27}$

Lời giải:

2. Phương trình xⁿ = b.

Đồ thị của hàm số y = x^{2k + 1} có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x³ và đồ thị hàm số y = x^2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x⁴.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xⁿ = b như sau:

a) Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

3. Căn bậc n

a) Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n $(n\ge 2)$. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu aⁿ  = b.

Ví dụ 2. Căn bậc ba của 27 là 3.

Căn bậc bốn của 256 là 4 và – 4.

– Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xⁿ = b; ta có:

Với n lẻ và b$\in R$: Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là $\sqrt[n]{b}$.

Với n chẵn và :

+ b < 0 : không tồn tại căn bậc n của b.

+ b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.

+ b > 0: có hai căn trái dấu; kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$; còn giá trị âm là $-\sqrt[n]{b}$

b) Tính chất của căn bậc n

Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:

Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{-3}$;

b) $\sqrt[4]{{(-5)}^4}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{-3}$

$$\begin{gathered} \text{\hspace{0.17em}=}\sqrt[3]{9.(-3)} \\ =\sqrt[3]{-27}=-3 \end{gathered}$$

b) $\sqrt[4]{{(-5)}^4}$

$\hspace{0.17em}=\left|-5\right|=5$

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

– Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$; trong đó $m\in \mathbb{Z};$$\hspace{0.17em}n\in \mathbb{N};n\ge 2$. Lũy thừa của a với số mũ r là số a^r xác định bởi: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$.

Ví dụ 4.

$\begin{array}{l}{27}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3.\\ 9^{\frac{3}{2}}=\sqrt{9^3}=27\end{array}$

5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng, luôn có một dãy số hữu tỉ (r_n) có giới hạn là α và dãy số tương ứng $\left(a^{r_n}\right)$ có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (r_n).

– Ta gọi giới hạn của dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ là thừa số của a với số  mũ α, kí hiệu là a^α.

$a^{\alpha }=\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}^{r_n}$ với $\alpha =\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n$.

– Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: $1^{\alpha }=1;(\alpha \in ℝ)$

II. Tính chất lũy thừa với số mũ thực.

Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

$\begin{array}{l}{a}^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }\\ \frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta }\\ {\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha .\beta }\\ {\left(ab\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }.b^{\alpha }\\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}\end{array}$

Nếu a > 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ khi và chỉ khi α > β.

Nếu a < 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ khi và chỉ khi α < β.

Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức:

$A=\frac{a^{\sqrt{5}+\text{\hspace{0.17em}}2}.a^{4-\sqrt{5}}}{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}$ với a > 0.

Lời giải:

Với a > 0 ta có:

$$\begin{gathered} A=\frac{a^{\sqrt{5}+\text{\hspace{0.17em}}2}.a^{4-\sqrt{5}}}{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}} \\ =\frac{a^{\sqrt{5}+\text{\hspace{0.17em}}2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4-\sqrt{5}}\text{}}{a^{(\sqrt{3}-1).(\sqrt{3}+1)}} \\ =\frac{a^6}{a^2}=a^4 \end{gathered}$$

Ví dụ 6. So sánh các số ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{\sqrt{3}+\text{\hspace{0.17em}}1}$ và ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$.

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{3}+1>2$ và $0<\frac{2}{3}<1$

Suy ra: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{\sqrt{3}+\text{\hspace{0.17em}}1}$< ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Biểu thức  bằng biểu thức nào dưới đây?

A. a-2 + b-2    

B. a-2 - b-2    

C. a² + b²    

D. a-6 - b-6

Lời giải:

Sử dụng hằng đẳng thức α² - β² = (α + β)(α - β), ta có

Chọn đáp án A.

Bài 2: Cho a và b là 2 số dương thỏa mãn đồng thời ab = ba và b=9a. Tìm a.

Lời giải:

Thế b=9a vào đẳng thức còn lại ta được

a9a = (9a)a => (a9)a => a⁹ = 9a => a⁸ = 9 ( do a > 0)

Chọn đáp án B

Bài 3: Biết (a + a-1)² = 3. Tính giá trị của a³ + a-3 .

A.0   

B. 1    

C. 2   

D. 3.

Lời giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ta có

Mặt khác

=> a³ + a-3 .Chọn đáp án A.

Bài 4: Biết rằng x = 1 + 2t và y = 1 + 2-t . Hãy biểu diễn y theo x.

Lời giải:

Từ giả thiết ta có x - 1 = 2t

Chọn đáp án D.

Bài 5: Biểu thức 2222 có giá trị bằng

A. 28   

B. 216    

C. 162    

D. 44

Lời giải:

2222 = 224 = 216 (2⁴ = 16)

Chọn đáp án B

Bài 6:

A. $\sqrt{2}$    

B. -$\sqrt{2}$    

C. $\frac{1}{16}$   

D. 16.

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức

Lời giải:

 

Chọn đáp án D