Chuyên đề Mặt cầu (2022) - Toán 12

Mặt cầu - Toán 12

A. Lý thuyết.

I. Với Chuyên đề Nhân đơn thức với đa thức (2022) - Toán 12 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 12 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn. cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu.

1. Mặt cầu

- Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính r.

Ta kí hiệu mặt cầu tâm O, bán kính r là S(O; r) hay viết tắt là (S). Như vậy ta có mặt cầu S(O; r) = {M| OM = r}.

- Nếu hai điểm C; D nằm trên mặt cầu S(O; r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.

- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó, độ dài đường kính bằng 2r.

- Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có O là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn hệ thức $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=a$ (với a > 0 không đổi).

Lời giải:

Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.

Suy ra O là trung điểm của EF.

Ta có: 

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm trong không gian là mặt cầu tâm O bán kính $r=\frac{a}{4}$.

2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu.

Cho mặt cầu tâm O bán kính r và A là một điểm bất kì trong không gian.

- Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA < r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r).

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O, bán kính r.

3. Biểu diễn mặt cầu.

- Ta thường dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu. Khi đó, hình biểu diễn của mặt cầu là một hình tròn.

- Muốn cho hình biểu diễn của mặt cầu được trực quan ta thường vẽ thêm hình biểu diễn của một số đường tròn nằm trên mặt cầu đó.

4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu.

Ta có thể xem mặt  cầu như là mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó. Khi đó, giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến của mặt cầu, giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu. Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu.

II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P). Ta có ba trường hợp sau:

1. Trường hợp h > r.

Nếu M là một điểm bất kì trên mặt phẳng (P) thì OM ≥ OH. Từ đó suy ra OM > r.

Vậy mọi điểm M thuộc mặt phẳng (P) đều nằm ngoài mặt cầu.

Do đó, mặt phẳng (P) không có điểm chung với mặt cầu.

2. Trường hợp h = r.

- Trong trường hợp này điểm H thuộc mặt cầu S (O; r). Khi đí, với mọi điểm M thuộc mp(P) nhưng khác với H ta luôn có:

OM > OH = r nên OM > r.

Như vậy, H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P). Khi đó ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại H.

- Điểm H gọi là tiếp điểm của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P), mp(P) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu. Vậy ta có:

- Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.

3. Trường hợp h < r.

- Trong trường hợp này mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn tâm H; bán kính $r\text{'}=\sqrt{r^2-h^2}$.

- Đặc biệt khi h = 0 thì tâm O của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P). Ta có giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu S(O; r) là đường tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này gọi là đường tròn lớn.

Mặt phẳng đi qua tâm O của mặt cầu được gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.

III. Giao của mặt cầu với đường thẳng.Tiếp tuyến của mặt cầu.

Cho mặt cầu S(O; r) và đường thẳng ∆.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên ∆ và d = OH là khoảng cách từ O đến ∆.

1. Nếu d > r thì ∆ không cắt mặt cầu S(O; r), vì với mọi điểm M thuộc ∆ ta đều có OM > r và như vậy mọi điểm M thuộc ∆ đều nằm ngoài mặt cầu.

2. Nếu d = r thì mọi điểm H thuộc mặt cầu S(O; r). Khi đó, với mọi điểm M thuộc ∆ nhưng khác H ta luôn có: OM > OH = r nên OM > r.

- Như vậy H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S(O; r) và đường thẳng ∆. Khi đó, ta nói đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại H.

Điểm H gọi là tiếp điểm của ∆ và mặt cầu. Đường thẳng ∆ gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.

- Vậy: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là ∆ vuông góc với bán kính OH tại điểm H.

3. Nếu d < r thì đường thẳng ∆ cắt mặt cầu S(O; r) tại hai điểm M; N phân biệt. Hai điểm đó chính là giao điểm của đường thẳng ∆ với đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (O; ∆).

- Đặc biệt, khi d = 0 thì đường thẳng ∆ đi qua tâm O và căt mặt cầu tại hai điểm A; B. Khi đó, AB là đường kính của mặt cầu.

- Nhận xét:

a) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính OA của mặt  cầu tại A và đều nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A.

b) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đã cho. Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A. Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Chú ý: Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, còn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.

Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu.

IV. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

- Mặt cầu bán kính r có diện tích là: $S=4\pi r^2$.

- Khối cầu bán kính r có thể tích là: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

- Chú ý:

a) Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

b) Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.

- Ví dụ 2. Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a.

Thể tích khối cầu là: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$$=\frac{4}{3}\pi {\left(2a\right)}^3$$=\frac{32}{3}\pi a^3$

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là:

Lời giải:

Ta có:

Ta nhận thấy tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương chính là tâm của hình lập phương đó. Do đó I chính là trung điểm của AC’ và mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính là

Đáp án đúng là C.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Lời giải:

Câu 3: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S,ABC , biết các cạnh đáy có độ dài bằng a , cạnh bên SA = a$\sqrt{3}$ .

Lời giải:

Câu 4: Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.

Lời giải:

Câu 5: Cho mặt cầu tâm O bán kính R và điểm A bất kì trong không gian. Điểm A không nằm ngoài mặt cầu khi và chỉ khi:

A. OA = R   

B. OA ≤ R   

C. OA < R   

D. OA > R

Lời giải:

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuôg cân đỉnh B và BC = a, SA ⊥ (ABC), SA = 2a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Điểm S nằm trong mặt cầu tâm A bán kính a

B. Điểm S nằm ngoài mặt cầu tâm A bán kính 2a

C. Điểm C nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a

D. Cả ba điểm S, B, C cùng nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a.

Lời giải:

Câu 7: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có nhiều hơn một điểm chung với mặt cầu (S) nếu :

A. h ≤ R   

B. h ≥ R   

C. h > R   

D. h < R

Lời giải:

Câu 8: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một đường thẳng d. Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d. Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) nếu và chỉ nếu:

A. h ≤ R   

B. h = R   

C. h > R   

D. h < R

Lời giải:

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) theo a là:

A. 2a   

B. a    

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$   

D. $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$

Lời giải:

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a. SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SB và đáy là 45^o . Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a là:

Lời giải:

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với SC theo a là :

Lời giải:

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = AB = 2AD = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu tâm B cắt SC theo một dây có độ dài 2a là?

Lời giải:

Câu 3: Cho hai quả cầu cùng bán kính là 5cm. Để đựng hai quả cầu Nam phải làm một hình hộp chữ nhật từ bìa carton. Hỏi trong các đáp án dưới đây, Nam cần ít nhất bao nhiêu xen-ti-mét vuông bìa carton để làm được chiếc hộp đó?

Lời giải:

Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

-Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp có đáy là một tứ giác nội tiếp được đường tròn.

-Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là hình chóp tam giác

-Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có các cạnh bên bằng nhau.

-Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu có cạnh bên vuông góc với đáy.

Lời giải:

Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

- Hình lăng trụ có mặtc ầu ngoại tiếp nếu đáy của nó là hình vuông

-Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng

- Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn

- Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng tam giác.

Lời giải:

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Lời giải: