Chuyên đề Hàm số lũy thừa (2022) - Toán 12
Với Chuyên đề Hàm số lũy thừa (2022) - Toán 12 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 12 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.
Chuyên đề Hàm số lũy thừa - Toán 12
A. Lý thuyết
I. Khái niệm
– Hàm số y = , với , được gọi là hàm số lũy thừa.
Ví dụ 1. Các hàm số ;là những hàm số lũy thừa.
– Chú ý:
Tập xác định của hàm số lũy thừa tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể:
+ Với α nguyên dương, tập xác định là R.
+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0; tập xác định là R\{0}.
+ Với α không nguyên, tập xác định là .
II. Đạo hàm của hàm số lũy thừa
– Hàm số lũy thừa có đạo hàm với mọi x > 0 và .
– Ví dụ 2.
a)
b)
– Chú ý: Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng:
– Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số
Lời giải:
III. Khảo sát hàm số lũy thừa y = xα
Tập xác định của hàm số lũy thừa luôn chứa khoảng với . Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số trên khoảng này (gọi là tập khảo sát).
Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm (1; 1).
– Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.
Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Lời giải:
1. Tập xác định:
2. Sự biến thiên.
Chiều biến thiên
Ta có: y’ < 0 trên khoảng nên hàm số đã cho nghịch biến.
Tiệm cận:
Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.
Bảng biến thiên
3. Đồ thị
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng .
B. Bài tập
I. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số
A. x=4 và x = .
B. x=4.
C. x=2.
D. x=2 và x = .
Lời giải:
Ta thấy y’ đổi dấu khi đi qua 2 điểm x=4 và x = nên đây là 2 điểm cực trị của các hàm số đã cho.
Chọn đáp án A.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
A. max y = 2 , min y = .
B.max y=2, min y=0.
C. max y = 2 , min y=0
D.max y=2, min y= .
Lời giải:
Tập xác định D = [-1;1].
Chọn đáp án D
Bài 3: Hàm số nào sau đây đồng biến trên (0; +∞) ?
Lời giải:
Hàm số y = xα đồng biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi α > 0 .
Hàm số 
nên hàm số đồng biến trên (0; +∞).
Chọn C.
Bài 4: Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải:
Viết lại sao cho hai vế của mỗi bất đẳng thức đều là lũy thừa cùng số mũ. Lưu ý, từ tính đơn điệu của hàm số lũy thừa y = xα , ta có
• Nếu α > 0 thì aα < bα ⇔ a < b
• Nếu α < 0 thì a < b ⇒ aα > bα
Suy ra, D đúng.
Chọn D
Bài 5: Số nào sau đây là lớn hơn 1?
Lời giải:
Lưu ý với
Do đó, trong các số đã cho thì (0,4)-0,3 > 1
Chọn B.
Bài 6: Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần:
A. d,c,a,b.
B.d,c,b,a.
C. c,d,b,a.
D.c,a,b,d.
Lời giải:
Bài 7: Tìm đạo hàm của hàm số
Lời giải:
Bài 8: Cho α là một số thực và hàm số 
đồng biến trên (0; +∞). Khẳng định nào sau đây là đúng
A. α < 1
B. 0 < α <
C. < α < 1
D. α > 1
Lời giải:
Hàm số đồng biến khi và chỉ khi
Chọn đáp án B
Bài 9: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:
A. b,c,d,a
B. a,b,c,d
C.c,d,a,b.
D. d,b,c,a.
Lời giải:
Viết lại các số dưới dạng cùng căn bậc 6:
Do 12 < 18 < 24 < 54 nên d < b < c < a các số theo thứ tự tăng dần là d,b,c,a.
Chọn đáp án D.
Bài 10: Tìm đạo hàm của hàm số
Lời giải:
Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa y = (x2 + x + 1)- .
Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp ta có
Chọn đáp án B.
II. Bài tập tự luận có lời giải
Bài 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Lời giải:
Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa
Bài 2: Đồ thị hàm số y = cắt đường thẳng y=2x tại một điểm nằm bên phải trục tung. Tìm tọa độ điểm này.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
Bài 3: Đường thẳng x = α ( α là số thực dương) cắt đồ thị các hàm số
lần lượt tại hai điểm A và B. Biết rằng tung độ điểm A bé hơn tung độ điểm B. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải:
Từ giả thiết suy ra f(α) < g(α)
Nhận xét. Ở đây ta sử dụng tính chất:
Nếu a > 1 thì aα > aβ <=> α > β ;
Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ <=> α < β .
Học sinh có thể không áp dụng tính chất trên mà giải tiếp:
Bài 4: Cho hàm số
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên (0;2).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (5; +∞) .
C. Hàm số đồng biến trên (2; +∞) .
D. Hàm số không có điểm cực trị nào.
Ta có
Ta thấy y'(x) < 0 <=> x > 2 nên hàm số nghịch biến trên (2; +∞) , và do đó, hàm số nghịch biến trên (5; +∞) .
Bài 5: Tìm các điểm cực trị của hàm số
Lời giải:
y’ đổi dấu khi qua điểm x = nên hàm số có một điểm cực trị là x = .
Bài 6: Tìm các điểm cực trị của hàm số
Lời giải:
y'= 0 <=> x2 + x - 2 = 0 <=> x = -2 (loại) hoặc x = 1
y' đổi dấu khi đi qua điểm x = 1 nên hàm số có một điểm cực trị là x = 1
Bài 7: Tìm các điểm cực trị của hàm số
Lời giải:
y’ đổi dấu khi đi qua điểm x = nên hàm số có một điểm cực trị là x =
Bài 8: Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
Lời giải:
Tập xác định D = [0; 1]
Ta có:
y(0) = y(1) = 1; y() = . Từ đó max y = y() = , min y = y(0) = 1
Bài 9: Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = (20 - x) trên đoạn [1; 10]
Lời giải:
y' = 0 <=> x = 8
Ta có: y(1) = 19, y(8) = 48, y(10) = ≈ 46,6 > 19
Từ đó:
Bài 10: Với là một số thực dương và hàm số
nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải:
Hàm số
nghịch biến trên (0; +∞) nên - 2α < 0
III. Bài tập vận dụng
Bài 1 
Bài 2 Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = , x > 0
Bài 3 Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác định của chúng: y = , y = , y = .
Bài 4 Tìm tập xác định của các hàm số:
Bài 5 Tính đạo hàm của các hàm số:
Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
Bài 7 Hãy so sánh các số sau với 1:
a) (4,1)2,7;
b) (0,2)0,3;
c) (0,7)3,2;
d) ()0,4
Bài 8 Tìm tập xác định của hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
Bài 9 Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác định của chúng: y = , y = , y = .
Bài 10 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
b)
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Hàm số mũ. Hàm số logarit
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12