Chuyên đề Ứng dụng hình học của tích phân (2022) - Toán 12

Chuyên đề Ứng dụng hình học của tích phân - Toán 12

A. Lý thuyết

I. Tính diện tích hình phẳng

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = 5x⁴ + 3x², trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$\begin{array}{l}S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|5x^4+3x^2\right|dx\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(5x^4+3x^2\right)dx\\ ={\left.\left(x^5+\text{\hspace{0.17em}}{x}^3\right)\right|}_0^1=2\end{array}$

2. Hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường cong

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$(*).

- Chú ý.

Khi áp dụng công thức (*), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy ta giải phương trình: f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b].

Giả sử phương trình có hai nghiệm c; d (c < d). Khi đó, f(x) – g(x) không đổi dấu trên các đoạn [a; c]; [c; d]; [d; b]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên [a; c] ta có:

$\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$$\hspace{0.17em}=\left|\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx\right|$

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0; x = 2 và các đồ thị của hai hàm số y = x – 1 và y = x² – 1.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong:

II. Tính thể tích

1. Thể tích của vật thể

Cắt một vật thể (H) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a; x = b (a < b). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x $(a\le x\le b)$ cắt (H) theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Khi đó, thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được xác định bởi công thức: $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$

2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt.

a) Cho khối chóp có diện tích đáy là B, chiều cao h.

Khi đó, thể tích của khối chóp là $V=\frac{1}{3}B.h$

b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B; B’ và chiều cao là h.

Thể tích của khối chóp cụt là:

$V=\frac{h}{3}$$\left(B+\sqrt{B.B\text{'}}+\text{\hspace{0.17em}}B\text{'}\right)$

III. Thể tích khối tròn xoay

 - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong  y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;  x = b quanh trục Ox:

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$

Ví dụ 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{4}dx$$=\pi {\left.\frac{x^5}{5}\right|}_0^2=\frac{32\pi }{5}$

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.

Lời giải:

Chọn đáp án D

Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x³ - x và đồ thị hàm số y = x - x².

Lời giải:

Tìm hoành độ các giao điểm của hai đồ thị, ta có:

x³ - x = x - x³ <=> x³ + x² - 2x = 0

Vậy diện tích của hình phẳng tính là

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x -1)e²x ,trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox

Lời giải:

Tìm hoành độ giao điểm của hai dồ thị, ta có:

(x - 1)e²x = 0 => x = 1

Vậy thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh Ox được tính bởi

Đặt: u = (x - 1)², dv e⁴xdx. Ta có du = 2(x -1)dx và v = e⁴$\frac{x}{4}$ .

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được

 

Đặt u₁ = x - 1, dv₁ = e^4xdx , ta có du₁ = dx, v₁ = e⁴$\frac{x}{4}$ .

Vậy chọn đáp án A.

Câu 4: Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người).

a) Có bao nhiêu trẻ được sinh trong khoảng thời gian này ( tức là trong 10 năm đầu tiên sau chiến tranh)?

A. 100 triệu    

B. 120 triệu    

C. 150 triệu    

D. 250 triệu.

b) Tìm khoảng thời gian T sao cho số lượng trẻ được sinh ra là 14 triệu kể từ khi kết thức chiến tranh.

A. 1 năm    

B. 2 năm    

C. 3 năm    

D. 4 năm.

Lời giải:

a) Để tìm số trẻ mới sinh, chúng ta sẽ tính tích phân tỉ lệ sinh b(t) trên khoảng thời gian 10 năm đầu tiên sau chiến tranh

Vậy số trẻ được sinh cần tìm là 150 triệu.

Chọn đáp án C.

b) Số lượng trẻ mới sinh trong khoảng thời T bằng:

 

Vậy chọn đáp án B.

Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² - x + 3 và y = 2x + 1 là:

Lời giải:

Ta có: x² - x + 3 = 2x + 1 <=> x² - 3x + 2 = 0 <=> x = 2 hoặc x = 1

Câu 6: Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng ( phần gạch sọc ) là:

 

Lời giải:

Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = $\sqrt{6}$ và y = 6 - x và trục tùng là:

Lời giải:

Diện tích giới hạn được tính bởi

Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + $\frac{1}{x}$ , trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = -2 là:

Lời giải:

Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x - e^-x , trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = 1.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng được tính bởi

Câu 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = $\sqrt{x}$ - x và trục hoành.

Lời giải:

Xét phương trình

Khi đó diện tích hình phẳng được tính bởi

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Gọi h(t) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng

và lúc đầu bồn không có nước. Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây xấp xỉ bằng:

Lời giải:

Mức nước trong bồn tại giây thứ t bằng:

Khi đó h(6) ≈ 2,66 cm .

Câu 2: Vận tốc của một vật chuyển động là

Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 1,5 giây xấp xỉ bằng:

Lời giải:

Quãng đường vật di chuyển sau thời gian 1,5 giây bằng

Câu 3: Thể tích phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2$\sqrt{\left(9-x^2\right)}$

Lời giải:

Câu 4: Thể tích khối xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x(x-4) và trục hoành là?

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành :

Câu 5: Thể tích khối tròn khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinxcosx, y = 0, x = 0, x = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ là:

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay là :

Câu 6: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0, x = 2 là?

Lời giải:

Phương trình giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành :

ln x = 0 ⇔ x = 1

Thể tích khối tròn xoay cần tính là :

Câu 7: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 là:

Lời giải:

Phương trình đường tròn tâm I(2 ; 0), bán kính R = 1 là :

Đường tròn cắt trục tung tại hai điểm (0; 1) và( 0; -1).

Vậy ta có:

Bài 8: Gọi h(t) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng

và lúc đầu bồn không có nước. Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây xấp xỉ bằng:

Lời giải:

Mức nước trong bồn tại giây thứ t bằng:

Khi đó h(6) ≈ 2,66 cm .

Bài 9: Vận tốc của một vật chuyển động là

Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 1,5 giây xấp xỉ bằng:

Lời giải:

Quãng đường vật di chuyển sau thời gian 1,5 giây bằng

Bài 10: Thể tích phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2$\sqrt{\left(9-x^2\right)}$

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Thể tích khối xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x(x-4) và trục hoành là?

Bài 2 Thể tích khối tròn khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinxcosx, y = 0, x = 0, x = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ là?

Bài 3 Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0, x = 2 là?

Bài 4 Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 là?

Bài 5 Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.

Bài 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x³ - x và đồ thị hàm số y = x - x².

Bài 7 Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x -1)e²x ,trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox

Bài 8 Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người).

Bài 9 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² - x + 3 và y = 2x + 1 là?

Bài 10 Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng ( phần gạch sọc ) l

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Nguyên hàm

Chuyên đề Tích phân

Chuyên đề Ôn tập chương 3

Chuyên đề Số phức

Chuyên đề Lý thuyết Cộng, trừ và nhân số phức