Chuyên đề Hàm số mũ. Hàm số logarit (2022) - Toán 12
Với Chuyên đề Hàm số mũ. Hàm số logarit (2022) - Toán 12 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 12 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.
Chuyên đề Hàm số mũ. Hàm số logarit - Toán 12
A. Lý thuyết
I. Hàm số mũ
1. Định nghĩa.
Cho số thực dương a khác 1.
Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a.
Ví dụ 1. Các hàm số y = 2x; là các hàm số mũ.
2. Đạo hàm của hàm số mũ
Ta thừa nhận công thức:
– Định lí 1: Hàm số y = ex có đạo hàm tại mọi x và (ex)’ = ex.
– Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số eu ( với u = u(x))
là (eu)’ = u’. eu.
– Định lí 2: Hàm số y = ax ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x và: (ax)’ = ax. ln a
– Chú ý: Đối với hàm hợp y = au(x) ta có: (au)’ = au. lnu . u’
Ví dụ 2. Hàm số có đạo hàm là:
3. Khảo sát hàm số mũ y = ax ( a > 0 và a ≠ 1).
|
y = ax ; a > 1 |
y = ax ; 0 < a < 1 |
|
1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên y’ = ax.ln a > 0 với mọi x Giới hạn đặc biệt:
Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang. 3. Bảng biến thiên:
4. Đồ thị
|
1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên y’ = ax.ln a < 0 với mọi x Giới hạn đặc biệt:
Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang. 3. Bảng biến thiên:
4. Đồ thị
|
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = ax ( a > 0; a ≠ 1).
|
Tập xác định |
|
|
Đạo hàm |
y’ = ax. lna |
|
Chiều biến thiên |
a > 1: Hàm số luôn đồng biến. 0 < a < 1: Hàm số luôn nghịch biến |
|
Tiệm cận |
Trục Ox là tiệm cận ngang |
|
Đồ thị |
Đi qua các điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành (y = ax > 0 ). |
II. Hàm số logarit
1. Định nghĩa.
Cho số thực dương a khác 1.
Hàm số y = logax được gọi là hàm số logarit cơ số a.
Ví dụ 3. Các hàm số y = log5 x; ; y = ln x là các hàm số logarit với cơ số lần lượt là và e.
2. Đạo hàm của hàm số logarit
– Định lí 3. Hàm số y = loga x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và
– Đặc biệt:
– Chú ý:
Đối với hàm hợp y = logau(x); ta có:
– Ví dụ 4. Hàm số y = log4 (x2 + 2x – 7) có đạo hàm là:
3. Khảo sát hàm số logarit y = loga x ( a > 0; a ≠ 1).
|
y = loga x ; a > 1 |
y = logax ; 0 < a < 1 |
|
1. Tập xác định: 2. Sự biến thiên
Giới hạn đặc biệt:
Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng. 3. Bảng biến thiên
4. Đồ thị
|
1. Tập xác định: 2. Sự biến thiên
Giới hạn đặc biệt:
Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng. 3. Bảng biến thiên
4. Đồ thị
|
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y = logax (a > 0; a ≠ 1 ).
|
Tập xác định |
|
|
Đạo hàm |
|
|
Chiều biến thiên |
a > 1: hàm số luôn đồng biến 0 < a< 1: hàm số luôn nghịch biến |
|
Tiệm cận |
Trục Oy là tiệm cận đứng |
|
Đồ thị |
Đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1); nằm phía bên phải trục tung |
Nhận xét:
Đồ thị của các hàm số y = ax và y = loga x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.
Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit.
B. Bài tập
I. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Cho các phát biểu sau đây về đồ thị của hàm số y = logax (0 < a ≠ 1):
(I) Cắt trục hoành
(II) Cắt trục tung
(III) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng
(IV) Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
Trong những phát biểu trên, phát biểu nào đúng ?
A. Chỉ có (I), (II) và (III)
C. Chỉ có (II) và (IV)
B. Chỉ có (II), (III) và (IV)
D. Chỉ có (I) và (III)
Lời giải:
Đồ thị hàm số y = logax luôn cắt trục hoành tại điểm (1 ;0), luôn nằm bên phải trục tung (vậy không cắt trục tung), nhận trục tung làm tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang. Vậy chỉ có (I) và (III) đúng
Bài 2: Tìm miền xác định của hàm số y = log5(x - 2x2)
A. D = (0; 2)
B. D = (0; )
C. D = (-∞; 0) ∪ (2; +∞)
D. D = (-∞; 0) ∪ (; +∞)
Lời giải:
Điều kiện để hàm số xác định x - 2x2 > 0 <=> 2x2 - x < 0 <=> 0 < x < .
Vậy miền xác định là D = (0; )
Bài 3: Tìm miền xác định của hàm số
Lời giải:
Điều kiện
Miền xác định là
Bài 4: Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Lời giải:
Lưu ý rằng 1 < < e < π
+ π > 1 ⇒ y = πx là hàm đồng biến.
⇒ π > π
Bài 5: Khẳng định nào sau đây là sai ?
Lời giải:
Bài 6: Viết các số
theo thứ tự tăng dần
Lời giải:
Ta có -1 < 0 < < π và 0 < < 1 nên
Chọn đáp án A.
Bài 7: Tìm đạo hàm của hàm số y = log5(xex)
Lời giải:
Để thuận tiện, ta viết lại
Chọn đáp án D
Bài 8: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = x2e-4x
Lời giải:
Tập xác định R.
Ta có:
y' = 2xe-4x + x2e-4x(-4) = 2e-4xx(1 - 2x)
Bảng biến thiên
Khoảng đồng biến của hàm số là (0; ) .
Chọn đáp án C
Bài 9: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = 3ln(x +1) + x -
A.(-1; 2)
C. (-2 ;-1) và (2; +∞)
B. (2; +∞)
D. (-∞; -2) và (-1 ;2)
Lời giải:
Tập xác định : (-1; +∞)
Bảng biến thiên :
Kết hợp điều kiện, x > -1.
Từ đó, khoảng nghịch biến của hàm số là(2; +∞) .
Chọn đáp án B
Bài 10: Cho hai số thực a và b , với 0 < a < b < 1. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. logba < 1 < logab
C. logab < 1 < logba
B. logba < logab < 1
D. 1 < logab < logba
Lời giải:
Đặt c = b - a ta có c > 0.
Vì 0 < a < b < 1 nên các hàm số y = logax và logbx nghịch biến trên (0; +∞) nên ta có logab = loga(a + c) < logaa = 1 và logba = logb(b - c) > logbb = 1.
Vậy logab < a < logba
Chọn đáp án C.
II. Bài tập tự luận có lời giải
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3e-2x trên đoạn [-1; 4]
Lời giải:
y' = 3x2e-2x + x3e-2x(-2) = 3x2e-2x - 2x3e-2x = x2(3 - 2x)e-2x
y'= 0 <=> x = 0 (loại) hoặc x =
Ta có
Bài 2: Số lượng cá thể của một mẻ cấy vi khuẩn sau t ngày kể từ lúc ban đầu được ước lượng bởi công thức N(t) = 1200.(1,148)t. Hãy tính số lượng cá thể của mẻ vi khuẩn ở hai thời điểm: ban đầu và sau 10 ngày. Làm tròn kết quả đến hàng trăm có kết quả là:
Lời giải:
Số lượng ban đầu: N(0) = 1200.(1,148)0 = 1200 cá thể
Số lượng sau 10 ngày: N(10) = 1200.(1,148)10 ≈ 4771 ≈4800 cá thể
Bài 3: Dựa trên dữ liệu của WHO (Tổ chức Y tế thế giới), số người trên thế giới bị nhiễm HIV trong khoảng từ năm 1985 đến 2006 được ước lượng bằng công thức
trong đó N(t) tính bằng đơn vị triệu người, t tính bằng đơn vị năm và t = 0 ứng với đầu năm 1985. Theo công thức trên, có bao nhiêu số người trên thế giới bị nhiễm HIV ở thời điểm đầu năm 2005?
Lời giải:
Ta có 2005 – 1985 = 20 (năm). Vậy đầu năm 2005 ứng với t = 20. Số cần tìm
Bài 4: Biết rằng năm 2003 dân số Việt Nam là 80 902 000 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm đó thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?
Lời giải:
Công thức tính dân số theo dữ kiện đã cho là: N(t) = 80902000.e0,0147t ở đó thời gian t tính bằng năm và t = 0 ứng với đầu năm 2003.
Ta có 2020 – 2003 = 17.
Vậy năm 2020 ứng với t = 17
Dân số năm 2020 tính theo dữ kiện đã cho : N(17) = 80902000.e17.0,0147t ≈ 103870000 người.
Bài 5: Nồng độ c của một chất hóa học sau thời gian t xảy ra phản ứng tự xúc tác được xác định bằng công thức
Hãy chọn phát biểu đúng :
A. Nồng độ c ngày càng giảm
B. Nồng độ c ngày càng tăng
C. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c tăng, sau đó giảm dần
D. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c giảm, sau đó tăng dần
Lời giải:
với mọi t ≥ 0 nên c(t) tăng trên [0; +∞] , nghĩa là nồng độ c ngày càng tăng.
Bài 6: Cho các hàm số:
(I) y = (0,3)-x (II) y = (1,3)-2x
Trong các hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến trên R ?
Lời giải:
Hàm số đồng biến khi a > 1.
Viết lại các hàm số về dạng hàm số mũ y = ax :
Trong bốn cơ số ta thấy chỉ có hai cơ số lớn hơn 1 là
Do đó chỉ có hai hàm số (I) và (IV) là đồng biến trên R
Bài 7: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = 4x - 5ln(x2 + 1)
Lời giải:
Tập xác định : R
Bảng xét dấu
Khoảng đồng biến của hàm số là (-∞; ) và (2; +∞)
Bài 8: Cho hàm số y = x2e-x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = 2 là điểm cực tiểu
B. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = -2 là điểm cực đại
C. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = -2 là điểm cực tiểu
D. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại
Lời giải:
y' = e-xx(2 - x). Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại của hàm số.
Bài 9: Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Lời giải:
Từ đó suy ra hàm số có hai tiệm cận ngang là y = và y = 0
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là: y = ; y = 0
Bài 10: Một quần thể vi khuẩn lúc đầu có 200 cá thể và cứ sau một ngày thì số lượng cá thể tăng lên gấp ba lần. Tìm công thức biểu thị số lượng cá thể (kí hiệu N) của quần thể này sau t ngày kể từ lúc ban đầu.
Lời giải:
Theo giả thiết, số lượng vi khuẩn sau 1, 2, 3,… ngày là 200.3 ; 200 .3.3 ; 200.3.3.3 ;… Từ đó ta thấy công thức đúng là N(t) = 200.3t
III. Bài tập vận dụng
Bài 1 Số lượng cá thể của một loài sinh vật bị suy giảm trong 10 năm theo cách : số lượng năm sau bằng 95% số lượng năm trước đó. Tại thời điểm chọn làm mốc thời gian loài này có 5000 cá thể. Công thức nào sau đây diễn tả số lượng cá thể (kí hiệu N) của loài theo thời gian t (tính bằng năm, 0 ≤ t ≤ 10 ) ?
Bài 2 Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với hình thức lãi kép và lãi suất 6,8% một năm. Hỏi sau 3 năm trong tài khoản tiết kiệm của người đó có bao nhiêu tiền (làm tròn kết quả đến hàng nghìn) ?
Bài 3 Cho hai số thực a và b, với 0 < a < 1 < b. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 2x + ln(2x + 1) trên [0; 1]
Bài 5 Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,71 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 1,08%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm này thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng chục nghìn) ?
Bài 6 Giả sử số lượng cá thể trong một mẻ cấy vi khuẩn thay đổi theo thời gian t theo công thức
Bài 7 Số lượng cá thể của một quần thể vi khuẩn sau thời gian t kể từ thời điểm ban đầu được ước lượng bởi công thức
Bài 8 Giá trị của một chiếc xe ô tô sau t năm kể từ khi mua được ước lượng bằng công thức G(t) = 600e-0,12t (triệu đồng). Tính giá trị của chiếc xe này tại hai thời điểm : lúc mua và lúc đã sử dụng 5 năm (làm tròn kết quả đến hàng triệu)
Bài 9 Tìm đạo hàm của hàm số y = x.23x
Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = xe-2x + 2 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Phương trình mũ và phương trình logarit
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12