Chuyên đề Hàm số mũ. Hàm số logarit (2022) - Toán 12

Chuyên đề Hàm số mũ. Hàm số logarit - Toán 12

A. Lý thuyết

I. Hàm số mũ

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Ví dụ 1. Các hàm số y = 2^x; $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x;y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ là các hàm số mũ.

2. Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức: $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1$

– Định lí 1: Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x và (e^x)’ = e^x.

– Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số e^u ( với u = u(x))

là (e^u)’ = u’. e^u.

– Định lí 2: Hàm số y = a^x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x và: (a^x)’ = a^x. ln a

– Chú ý:  Đối với hàm hợp y = a^u(x) ta có: (a^u)’ = a^u. lnu . u’

Ví dụ 2. Hàm số $y=2^{-x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-10}$ có đạo hàm là:

$$\begin{gathered} y\text{'}=2^{-x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-10}.(-x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-10)\text{'}.\ln 2 \\ =2^{-x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-10}.(-2x+\text{}2)\ln 2 \end{gathered}$$

3. Khảo sát hàm số mũ y = a^x ( a > 0 và a ≠ 1).

y = ax ; a > 1	y = ax ;  0 < a < 1
1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên y’ = ax.ln a > 0 với mọi x Giới hạn đặc biệt: $$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0; \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty \end{gathered}$$ Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang. 3. Bảng biến thiên: 4. Đồ thị	1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên y’ = ax.ln a < 0 với mọi x Giới hạn đặc biệt: $$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=+\infty ; \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=0 \end{gathered}$$ Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang. 3. Bảng biến thiên: 4. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a^x ( a > 0; a ≠ 1).

 

Tập xác định	$\left(-\infty ;+\infty \right)$
Đạo hàm	y’ = ax. lna
Chiều biến thiên	a > 1: Hàm số luôn đồng biến. 0 < a < 1: Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Trục Ox là tiệm cận ngang
Đồ thị	Đi qua các điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành (y = ax > 0 $\forall x\in ℝ$).

II. Hàm số logarit

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Ví dụ 3. Các hàm số y = log₅ x; $y={\log }_{\frac{2}{3}}x;y={\log }_{\sqrt{3}}x$; y = ln x là các hàm số logarit với cơ số lần lượt là $5;\frac{2}{3};\sqrt{3}$ và e.

2. Đạo hàm của hàm số logarit

– Định lí 3. Hàm số y = log_a x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và $\left({\log }_{a}x\right)\text{'}=\frac{1}{x\ln a}$

– Đặc biệt: $\left(\ln x\right)\text{'}=\frac{1}{x}$

– Chú ý:

 Đối với hàm hợp y = log_au(x); ta có: $\left({\log }_{a}u\right)\text{'}=\frac{u\text{'}}{u\ln a}$

– Ví dụ 4. Hàm số y = log₄ (x² + 2x – 7) có đạo hàm là:

$$\begin{gathered} \left({\log }_4\right(x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2x-7\left)\right)\text{'} \\ =\frac{(x^2+2x-7)\text{'}}{(x^2+2x-7)\ln 4} \\ =\frac{2x+2}{(x^2+2x-7)\ln 4} \end{gathered}$$

3. Khảo sát hàm số logarit y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1).

y = loga x  ;  a >  1

y = logax ; 0 < a < 1

1. Tập xác định: $(0;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$ 2. Sự biến thiên $y\text{'}=\frac{1}{x\ln a}>\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0;$$\hspace{0.17em}\forall x>0$ Giới hạn đặc biệt: $\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\infty ;\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{a}x=+\infty .\end{array}$ Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng. 3. Bảng biến thiên 4. Đồ thị

1. Tập xác định: $(0;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$ 2. Sự biến thiên $y\text{'}=\frac{1}{x\ln a}<\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0;$$\hspace{0.17em}\forall x>0$ Giới hạn đặc biệt: $\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=+\infty ;\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{a}x=-\infty .\end{array}$ Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng. 3. Bảng biến thiên 4. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y = log_ax (a > 0;  a ≠ 1 ).

Tập xác định	$\left(0;+\infty \right)$
Đạo hàm	$y\text{'}=\frac{1}{x\ln a}$
Chiều biến thiên	a > 1: hàm số luôn đồng biến 0 < a< 1: hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Trục Oy là tiệm cận đứng
Đồ thị	Đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1); nằm phía bên phải trục tung

 Nhận xét:

 Đồ thị của các hàm số y = a^x và y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho các phát biểu sau đây về đồ thị của hàm số y = log_ax (0 < a ≠ 1):

(I) Cắt trục hoành

(II) Cắt trục tung

(III) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

(IV) Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

Trong những phát biểu trên, phát biểu nào đúng ?

A. Chỉ có (I), (II) và (III)    

C. Chỉ có (II) và (IV)

B. Chỉ có (II), (III) và (IV)    

D. Chỉ có (I) và (III)

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = logax luôn cắt trục hoành tại điểm (1 ;0), luôn nằm bên phải trục tung (vậy không cắt trục tung), nhận trục tung làm tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang. Vậy chỉ có (I) và (III) đúng

Bài 2: Tìm miền xác định của hàm số y = log₅(x - 2x²)

A. D = (0; 2)    

B. D = (0; $\frac{1}{2}$)

C. D = (-∞; 0) ∪ (2; +∞)    

D. D = (-∞; 0) ∪ ($\frac{1}{2}$; +∞)

Lời giải:

Điều kiện để hàm số xác định x - 2x² > 0 <=> 2x² - x < 0 <=> 0 < x < $\frac{1}{2}$ .

Vậy miền xác định là D = (0; $\frac{1}{2}$)

Bài 3: Tìm miền xác định của hàm số

Lời giải:

Điều kiện

Miền xác định là

Bài 4: Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Lời giải:

Lưu ý rằng 1 < $\sqrt{2}$ < e < π

+ π > 1 ⇒ y = πx là hàm đồng biến.

⇒ π > π

Bài 5: Khẳng định nào sau đây là sai ?

Lời giải:

Bài 6: Viết các số

theo thứ tự tăng dần

 

Lời giải:

Ta có -1 < 0 < $\sqrt{2}$ < π và 0 < $\frac{1}{3}$ < 1 nên

Chọn đáp án A.

Bài 7: Tìm đạo hàm của hàm số y = log₅(xe^x)

Lời giải:

Để thuận tiện, ta viết lại

Chọn đáp án D

Bài 8: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = x²e-4x

Lời giải:

Tập xác định R.

Ta có:

y' = 2xe-4x + x²e-4x(-4) = 2e-4x^x(1 - 2x)

Bảng biến thiên

Khoảng đồng biến của hàm số là (0; $\frac{1}{2}$) .

Chọn đáp án C

Bài 9: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = 3ln(x +1) + x - $\frac{x^2}{2}$

A.(-1; 2)   

C. (-2 ;-1) và (2; +∞)

B. (2; +∞)   

D. (-∞; -2) và (-1 ;2)

Lời giải:

Tập xác định : (-1; +∞)

Bảng biến thiên :

Kết hợp điều kiện, x > -1.

Từ đó, khoảng nghịch biến của hàm số là(2; +∞) .

Chọn đáp án B

Bài 10: Cho hai số thực a và b , với 0 < a < b < 1. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. log_ba < 1 < log_ab   

C. log_ab < 1 < log_ba

B. log_ba < log_ab < 1    

D. 1 < log_ab < log_ba

Lời giải:

Đặt c = b - a ta có c > 0.

Vì 0 < a < b < 1 nên các hàm số y = log_ax và log_bx nghịch biến trên (0; +∞) nên ta có log_ab = log_a(a + c) < log_aa = 1 và log_ba = log_b(b - c) > log_bb = 1.

Vậy log_ab < a < log_ba

Chọn đáp án C.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³e-2x trên đoạn [-1; 4]

Lời giải:

y' = 3x²e-2x + x³e-2x(-2) = 3x²e-2x - 2x³e-2x = x²(3 - 2x)e-2x

y'= 0 <=> x = 0 (loại) hoặc x = $\frac{3}{2}$

Ta có

Bài 2: Số lượng cá thể của một mẻ cấy vi khuẩn sau t ngày kể từ lúc ban đầu được ước lượng bởi công thức N(t) = 1200.(1,148)t. Hãy tính số lượng cá thể của mẻ vi khuẩn ở hai thời điểm: ban đầu và sau 10 ngày. Làm tròn kết quả đến hàng trăm có kết quả là:

Lời giải:

Số lượng ban đầu: N(0) = 1200.(1,148)0 = 1200 cá thể

Số lượng sau 10 ngày: N(10) = 1200.(1,148)10 ≈ 4771 ≈4800 cá thể

Bài 3: Dựa trên dữ liệu của WHO (Tổ chức Y tế thế giới), số người trên thế giới bị nhiễm HIV trong khoảng từ năm 1985 đến 2006 được ước lượng bằng công thức

trong đó N(t) tính bằng đơn vị triệu người, t tính bằng đơn vị năm và t = 0 ứng với đầu năm 1985. Theo công thức trên, có bao nhiêu số người trên thế giới bị nhiễm HIV ở thời điểm đầu năm 2005?

Lời giải:

Ta có 2005 – 1985 = 20 (năm). Vậy đầu năm 2005 ứng với t = 20. Số cần tìm

Bài 4: Biết rằng năm 2003 dân số Việt Nam là 80 902 000 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm đó thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Lời giải:

Công thức tính dân số theo dữ kiện đã cho là: N(t) = 80902000.e0,0147t ở đó thời gian t tính bằng năm và t = 0 ứng với đầu năm 2003.

Ta có 2020 – 2003 = 17.

Vậy năm 2020 ứng với t = 17

Dân số năm 2020 tính theo dữ kiện đã cho : N(17) = 80902000.e17.0,0147t ≈ 103870000 người.

Bài 5: Nồng độ c của một chất hóa học sau thời gian t xảy ra phản ứng tự xúc tác được xác định bằng công thức

Hãy chọn phát biểu đúng :

A. Nồng độ c ngày càng giảm

B. Nồng độ c ngày càng tăng

C. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c tăng, sau đó giảm dần

D. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c giảm, sau đó tăng dần

Lời giải:

với mọi t ≥ 0 nên c(t) tăng trên [0; +∞] , nghĩa là nồng độ c ngày càng tăng.

Bài 6: Cho các hàm số:

(I) y = (0,3)-x   (II) y = (1,3)-2x

Trong các hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến trên R ?

Lời giải:

Hàm số đồng biến khi a > 1.

Viết lại các hàm số về dạng hàm số mũ y = ax :

Trong bốn cơ số ta thấy chỉ có hai cơ số lớn hơn 1 là

Do đó chỉ có hai hàm số (I) và (IV) là đồng biến trên R

Bài 7: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = 4x - 5ln(x² + 1)

Lời giải:

Tập xác định : R

Bảng xét dấu

Khoảng đồng biến của hàm số là (-∞; $\frac{1}{2}$) và (2; +∞)

Bài 8: Cho hàm số y = x²e-x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = 2 là điểm cực tiểu

B. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = -2 là điểm cực đại

C. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = -2 là điểm cực tiểu

D. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại

Lời giải:

y' = e-x^x(2 - x). Bảng biến thiên

 

Từ bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại của hàm số.

Bài 9: Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Lời giải:

Từ đó suy ra hàm số có hai tiệm cận ngang là y = $\frac{3}{2}$ và y = 0

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là: y = $\frac{3}{2}$; y = 0

Bài 10: Một quần thể vi khuẩn lúc đầu có 200 cá thể và cứ sau một ngày thì số lượng cá thể tăng lên gấp ba lần. Tìm công thức biểu thị số lượng cá thể (kí hiệu N) của quần thể này sau t ngày kể từ lúc ban đầu.

Lời giải:

Theo giả thiết, số lượng vi khuẩn sau 1, 2, 3,… ngày là 200.3 ; 200 .3.3 ; 200.3.3.3 ;… Từ đó ta thấy công thức đúng là N(t) = 200.3t

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Số lượng cá thể của một loài sinh vật bị suy giảm trong 10 năm theo cách : số lượng năm sau bằng 95% số lượng năm trước đó. Tại thời điểm chọn làm mốc thời gian loài này có 5000 cá thể. Công thức nào sau đây diễn tả số lượng cá thể (kí hiệu N) của loài theo thời gian t (tính bằng năm, 0 ≤ t ≤ 10 ) ?

Bài 2 Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với hình thức lãi kép và lãi suất 6,8% một năm. Hỏi sau 3 năm trong tài khoản tiết kiệm của người đó có bao nhiêu tiền (làm tròn kết quả đến hàng nghìn) ?

Bài 3 Cho hai số thực a và b, với 0 < a < 1 < b. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² - 2x + ln(2x + 1) trên [0; 1]

Bài 5 Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,71 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 1,08%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm này thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng chục nghìn) ?

Bài 6 Giả sử số lượng cá thể trong một mẻ cấy vi khuẩn thay đổi theo thời gian t theo công thức

Bài 7 Số lượng cá thể của một quần thể vi khuẩn sau thời gian t kể từ thời điểm ban đầu được ước lượng bởi công thức

Bài 8 Giá trị của một chiếc xe ô tô sau t năm kể từ khi mua được ước lượng bằng công thức G(t) = 600e-0,12t (triệu đồng). Tính giá trị của chiếc xe này tại hai thời điểm : lúc mua và lúc đã sử dụng 5 năm (làm tròn kết quả đến hàng triệu)

Bài 9 Tìm đạo hàm của hàm số y = x.23x

Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = xe-2x + 2 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Hàm số lũy thừa

Chuyên đề Lôgarit

Chuyên đề Phương trình mũ và phương trình logarit

Chuyên đề Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Chuyên đề Ôn tập chương 2