Chuyên đề Nguyên hàm (2022) - Toán 12
Với Chuyên đề Nguyên hàm (2022) - Toán 12 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 12 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.
Chuyên đề Nguyên hàm - Toán 12
A. Lý thuyết
I. Nguyên hàm và tính chất
1. Nguyên hàm.
- Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi .
Ví dụ 1.
- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với
- Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng
Vì với .
- Định lí 1.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
- Định lí 2.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
Do đó là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.
Kí hiệu:
- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.
Ví dụ 2.
2. Tính chất của nguyên hàm
- Tính chất 1.
Ví dụ 3.
- Tính chất 2.
(k là hằng số khác 0).
- Tính chất 3.
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số trên khoảng .
Lời giải:
Với ta có:
Định lí:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Ví dụ 5.
a) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng .
b) Hàm số y = có nguyên hàm trên khoảng
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Ví dụ 6. Tính:
Lời giải:
- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
II. Phương pháp tính nguyên hàm.
1. Phương pháp đổi biến số
- Định lí 1.
Nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:
Ví dụ 7. Tính .
Lời giải:
Ta có: nên theo hệ quả ta có:
Chú ý:
Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).
Ví dụ 8. Tính
Lời giải:
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
- Định lí 2.
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
- Chú ý.
Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:
Đó là công thức nguyên hàm từng phần.
Ví dụ 9. Tính
Lời giải:
B. Bài tập
I. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1:
Lời giải:
Đặt u = ex + 1 ⇒ u' = ex. Ta có
Bài 2: Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx ?
Lời giải:
Cách 1.
Cách 2. Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có:
Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u'dx = -∫udu
Vậy chọn đáp án D.
Bài 3: Tìm I=∫(3x2 - x + 1)exdx
A. I = (3x2 - 7x +8)ex + C
B. I = (3x2 - 7x)ex + C
C. I = (3x2 - 7x +8) + ex + C
D. I = (3x2 - 7x + 3)ex + C
Lời giải:
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:
Đặt u = 3x2 - x + 1 và dv = exdx ta có du = (6x - 1)dx và v = ex . Do đó:
∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - ∫(6x - 1)exdx
Đặt u1 = 6x - 1; dv1 = exdx Ta có: du1 = 6dx và v1 = ex .
Do đó ∫(6x - 1)exdx = (6x - 1)ex - 6∫exdx = (6x - 1)ex - 6ex + C
Từ đó suy ra
∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - (6x - 7)ex + C = (3x2 - 7x + 8)ex + C
Vậy chọn đáp án A.
Bài 4:
Lời giải:
Vậy chọn đáp án C.
Bài 5: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc
Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng
A. 10m/s
B. 11m/s
C. 12m/s
D. 13m/s.
Lời giải:
Vận tốc của vật bằng
với t = 0 ta có v(0)= C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là :
v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)
khi đó v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13 (m/s) .
Vậy chọn đáp án D.
Bài 6: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .
A. I = sin(4x + 2) + C
B. I = - sin(4x + 3) + C
C. I = ().sin(4x + 3) + C
D. I = 4sin(4x + 3) + C
Lời giải:
Đặt u = 4x + 3
⇒ du = 4dx ⇒ dx = du và cos(4x+3)dx được viết thành
Bài 7: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?
A. Hàm số y = có nguyên hàm trên (-∞; +∞).
B. 3x2 là một số nguyên hàm của x3 trên (-∞; +∞).
C. Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞).
D. + C là họ nguyên hàm của lnx trên (0;+∞).
Lời giải:
Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên
hàm trên K. Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R .
Phương án A sai vì y= không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞).
Phương án B sai vì 3x2 là đạo hàm của x3.
Phương án D sai vì là đạo hàm của lnx trên (0; +∞).
Vậy chọn đáp án C.
Bài 8: Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin2x ?
A. x2 + ().cos2x
B. x2 + cos2 x
C. x2 - sin2x
D. x2 + cos2x .
Lời giải:
Ta có
∫(2x-sin2x)dx=2∫xdx-∫sin2xdx
D không phải là nguyên hàm của f(x). Vậy chọn đáp án D.
Bài 9: Tìm nguyên hàm của
Lời giải:
Với x ∈ (0; +∞) ta có
Vậy chọn đáp án C.
Bài 10:
Lời giải:
Vậy chọn đáp án B.
Ghi chú. Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
II. Bài tập tự luận có lời giải
Bài 1: Tìm I = ∫x.e3xdx
Lời giải:
Bài 2: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của: 
Lời giải:
Bài 3: Họ nguyên hàm của hàm số
Lời giải:
Bài 4: Họ nguyên hàm của hàm số
Lời giải:
Bài 5: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của
Lời giải:
Bài 6: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2 tanx + cotx)2 là:
Lời giải:
∫(2tanx + cotx)2dx = ∫(4tan2x + 2tanx.cotx + cot2x)dx
= ∫ [4(tan2x + 1) + (cot2x + 1) - 1]dx
= 4tanx = cotx - x + C
Bài 7: Biết rằng: f'(x) = ax + , f(-1) = 2, f(1) = 4, f'(1) = 0. Giá trị biểu thức ab bằng?
Lời giải:
Ta có:
Từ điều kiện đã cho ta có phương trình sau:
Bài 8: Cho các hàm số:
với x > . Để F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì giá trị của a,b,c lần lượt là:
Lời giải:
Ta có:
Bài 9: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng
và lúc đầu đám vi khuẩn có 250000 con. Sau 10 ngày số lượng vi khuẩn xấp xỉ bằng:
Lời giải:
Số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t bằng
Với t = 0 ta có: N(0) = 250000,
Vậy N(t) = 8000.ln(1 + 0,5t) + 250000
khi đó N(10) ≈ 264334.
Bài 10: Tìm I = ∫sin5xcosxdx .
Lời giải:
III. Bài tập vận dụng
Bài 1 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 22x.3x.7x .
Bài 2 Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin2x ?
Bài 3 Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx ?
Bài 4 Tìm I=∫(3x2 - x + 1)exdx
Bài 5 Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc
Bài 6 Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .
Bài 7 Tìm I = ∫x.e3xdx
Bài 8 Tìm I = ∫sin5xcosxdx .
Bài 9 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 22x.3x.7x .
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12