Chuyên đề Khối đa diện mới nhất - Toán 12

- Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là đỉnh, cạnh của hình đa diện.

2. Khái niệm về khối đa diện

- Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

- Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện.

Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

- Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.

Ví dụ 2.

- Các hình dưới đây là những khối đa diện

- Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện.

III. Hai đa diện bằng nhau.

1. Phép dời hình trong không gian.

- Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

- Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

- Ví dụ 3. Trong không gian, các phép biến hình sau đây gọi là phép dời hình :

a) Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$, là phép biến hình, biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}$.

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).

c) Phép đối xứng tâm O, là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).

d) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (hay phép đối xứng qua trục ∆) là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng ∆ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành điểm M’ sao cho ∆ là đường trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua đường thẳng ∆ biến hình (H) thành chính nó thì ∆ gọi là trục đối xứng của (H) .

Nhận xét:

+ Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

+ Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H’).

2. Hai hình bằng nhau

- Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Đặc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.

- Ví dụ 4. Phép đối xứng tâm O biến đa diện (H) thành đa diện (H’). Phép đối xứng trục ∆, biến đa diện (H’) thành đa diện (H”). Do đó, phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình trên biến hình (H) thành hình (H”).

Từ đó, suy ra các hình (H); (H’) và (H”) là bằng nhau.

IV. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H₁) và (H₂) sao cho (H₁) và (H₂) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H₁) và (H₂), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện (H₁) và (H₂) với nhau để được khối đa diện (H).

- Ví dụ 5. Với khối chóp tứ giác S.ABCD, ta hãy xét hai khối chóp tam giác S.ABC và S.ACD.

Ta thấy rằng:

+ Hai khối chóp S.ABC và S.ACD không có điểm trong chung.

+ Hợp của hai khối chóp S.ABC và S.ACD chính là khối chóp S.ABCD.

Vậy khối chóp S.ABCD được phân chia thành hai khối chóp tam giác là S.ABC và  S.ACD .

- Nhận xét. Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia thành những khối tứ diện.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Số cạnh của một hình đa diện luôn chẵn

B. Số đỉnh của một hình đa diện luôn chẵn

C. Số mặt của một hình đa diện luôn chẵn

D. Số đỉnh của một hình lăng trụ luôn chẵn

Lời giải:

Mệnh đề: “Số đỉnh của một hình lăng trụ luôn chẵn” là đúng. Hình lăng trụ có hai đáy là hai đa giác bằng nhau. Nếu đáy là đa giác n đỉnh thì số đỉnh của hình lăng trụ là 2n.

Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Một hình đa diện có các mặt là những tam giác thì số mặt của nó là số chẵn

B. Một hình đa diện có các mặt là những tam giác thì số mặt của nó là số lẻ

C. Tồn tại một hình đa diện có các mặt là những tam giác sao cho số mặt của nó là số lẻ

D. Tồn tại một hình đa diện có các mặt là những tam giác sao cho số mặt của nó bằng số cạnh

Lời giải:

Nếu mỗi mặt của đa diện (H) là đa giác có đúng p cạnh thì ta có: M. p= 2C

Trong đó, M là số mặt, C là số cạnh.

Do đó, nếu một hình đa diện có các mặt là những tam giác

=> p = 3. Khi đó, 3M = 2C

Suy ra; M là số chẵn.

Bài 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Số cạnh của một hình lăng trụ luôn chẵn

B. Số đỉnh của một hình chop luôn chẵn

C. Số mặt của một hình lăng trụ luôn chẵn

D. Số cạnh của một hình chop luôn chẵn

Lời giải:

Nếu hình chóp có đáy là n - đa giác thì số cạnh của hình chóp là 2n.

Do đó, số cạnh của một hình chóp luôn chẵn.

Bài 4: Hai hình đa diện bằng nhau khi và chỉ khi:

A. Có phép tịnh tiến biến hình này thành hình kia

B. Có phép dời hình biến hình này thành hình kia

C. Có các cạnh tương ứng bằng nhau

D. Có các mặt tương ứng là các đa giác bằng nhau

Lời giải:

Hai hình đa diện bằng nhau khi và chỉ khi: Có phép dời hình biến hình này thành hình kia

Bài 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Khối đa diện có các mặt là những tam giác thì:

A. Số mặt và số đỉnh của nó bằng nhau

B. Số mặt và số cạnh của nó bằng nhau

C. Số mặt của nó là một số chẵn

D. Số mặt của nó là một số lẻ

Lời giải:

Cách 1: Ta có thể dùng các phản ví dụ để loại dần các mệnh để sai. Tứ diện (có 4 đỉnh, 4 mặt và 6 cạnh) ta thấy ngay mệnh đề B và D sai.

Từ hình bát diện đều (có 6 đỉnh, 8 mặt) ta thấy mệnh đề A sai.

Vậy C là mệnh đề đúng.

Cách 2: Ta có thể vận dụng công thức (2) ở trên. Thay p = 3 ta có: 3m = 2c.

Vậy m phải là số chẵn.

Do đó C là mệnh đề đúng.

Bài 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng 7

B. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh nhỏ hơn 7

C. Số cạnh của một hình đa diện luôn lớn hơn hoặc bằng 6

D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh lớn hơn 7

Lời giải:

Cách 1 : Câu C luôn đúng ( theo lí thuyết).

Từ hình tứ diện suy ra câu B đúng.

Từ hình hộp suy ra câu D đúng.

Vậy câu A sai.

Cách 2 : Nếu m = 4 thì c = 6. Do đó nếu c = 7 thì m ≥ 5.

Vì mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng 2 mặt, nên c ≥ $\frac{\left(5.3\right)}{2}$ ≥ 7 vô lí.

Vậy mệnh đề A sai