Chuyên đề Khái niệm về khối đa diện (2022) - Toán 12

Chuyên đề Khái niệm về khối đa diện - Toán 12

A. Lý thuyết 

I. Khối lăng trụ và khối chóp.

- Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy.

Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.

- Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy.

- Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn nó.

Ví dụ 1. Ứng với hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH ta có khối lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH; ứng với hình chóp tứ giác S.ABCD ta có khối chóp tứ giác S.ABCD.

- Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh đáy, cạnh bên… của một hình lăng trụ (hình chóp hay hình chóp cụt) theo thứ tự là đỉnh; cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh đáy, cạnh bên… của khối lăng trụ (khối chóp hay khối chóp cụt) tương ứng.

- Điểm không thuộc khối lăng trụ được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ, điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ. Điểm trong hay điểm ngoài của khối chóp, khối chóp cụt cũng được định nghĩa tương tự.

II. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện

1. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất sau:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

- Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là đỉnh, cạnh của hình đa diện.

2. Khái niệm về khối đa diện

- Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

- Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện.

Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

- Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.

Ví dụ 2.

- Các hình dưới đây là những khối đa diện

- Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện.

III. Hai đa diện bằng nhau.

1. Phép dời hình trong không gian.

- Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

- Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

- Ví dụ 3. Trong không gian, các phép biến hình sau đây gọi là phép dời hình :

a) Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$, là phép biến hình, biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}$.

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).

c) Phép đối xứng tâm O, là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).

d) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (hay phép đối xứng qua trục ∆) là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng ∆ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành điểm M’ sao cho ∆ là đường trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua đường thẳng ∆ biến hình (H) thành chính nó thì ∆ gọi là trục đối xứng của (H) .

Nhận xét:

+ Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

+ Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H’).

2. Hai hình bằng nhau

- Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Đặc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.

- Ví dụ 4. Phép đối xứng tâm O biến đa diện (H) thành đa diện (H’). Phép đối xứng trục ∆, biến đa diện (H’) thành đa diện (H”). Do đó, phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình trên biến hình (H) thành hình (H”).

Từ đó, suy ra các hình (H); (H’) và (H”) là bằng nhau.

IV. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H₁) và (H₂) sao cho (H₁) và (H₂) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H₁) và (H₂), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện (H₁) và (H₂) với nhau để được khối đa diện (H).

- Ví dụ 5. Với khối chóp tứ giác S.ABCD, ta hãy xét hai khối chóp tam giác S.ABC và S.ACD.

Ta thấy rằng:

+ Hai khối chóp S.ABC và S.ACD không có điểm trong chung.

+ Hợp của hai khối chóp S.ABC và S.ACD chính là khối chóp S.ABCD.

Vậy khối chóp S.ABCD được phân chia thành hai khối chóp tam giác là S.ABC và  S.ACD .

- Nhận xét. Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia thành những khối tứ diện.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Số cạnh của một hình đa diện luôn chẵn

B. Số đỉnh của một hình đa diện luôn chẵn

C. Số mặt của một hình đa diện luôn chẵn

D. Số đỉnh của một hình lăng trụ luôn chẵn

Lời giải:

Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Một hình đa diện có các mặt là những tam giác thì số mặt của nó là số chẵn

B. Một hình đa diện có các mặt là những tam giác thì số mặt của nó là số lẻ

C. Tồn tại một hình đa diện có các mặt là những tam giác sao cho số mặt của nó là số lẻ

D. Tồn tại một hình đa diện có các mặt là những tam giác sao cho số mặt của nó bằng số cạnh

Lời giải:

Bài 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Số cạnh của một hình lăng trụ luôn chẵn

B. Số đỉnh của một hình chop luôn chẵn

C. Số mặt của một hình lăng trụ luôn chẵn

D. Số cạnh của một hình chop luôn chẵn

Lời giải:

Bài 4: Hai hình đa diện bằng nhau khi và chỉ khi:

A. Có phép tịnh tiến biến hình này thành hình kia

B. Có phép dời hình biến hình này thành hình kia

C. Có các cạnh tương ứng bằng nhau

D. Có các mặt tương ứng là các đa giác bằng nhau

Lời giải:

Bài 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Khối đa diện có các mặt là những tam giác thì:

A. Số mặt và số đỉnh của nó bằng nhau

B. Số mặt và số cạnh của nó bằng nhau

C. Số mặt của nó là một số chẵn

D. Số mặt của nó là một số lẻ

Lời giải:

Bài 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng 7

B. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh nhỏ hơn 7

C. Số cạnh của một hình đa diện luôn lớn hơn hoặc bằng 6

D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh lớn hơn 7

Lời giải:

Bài 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Trong một hình đa diện tổng của số mặt và số cạnh nhỏ hơn số đỉnh.

B. Trong một hình đa diện tổng của số mặt và số đỉnh lớn hơn số cạnh

C. Trong một hình đa diện tổng số cạnh và số đỉnh nhỏ hơn số mặt

D. Tồn tại một hình đa diện có tổng của số mặt và số đỉnh nhỏ hơn số cạnh

Lời giải:

Bài 8: Trong các hình sau đây, hình nào là hình đa diện?

Lời giải:

Bài 9: Trong các hình sau đây, hình nào không phải là hình đa diện?

Lời giải:

Bài 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Mỗi hình đa diện có ít nhất 8 mặt

B. Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 mặt

C. Mỗi hình đa diện có ít nhất 5 mặt

D. Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 mặt

Lời giải:

Bài 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

- Mỗi hình đa diện có ít nhất 8 cạnh

- Mỗi hình đa diện có ít nhất 7 cạnh

- Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh

- Mỗi hình đa diện có ít nhất 9 cạnh

Lời giải:

Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

- Mỗi hình đa diện có ít nhất 8 đỉnh

- Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 đỉnh

- Mỗi hình đa diện có ít nhất 5 đỉnh

- Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh

Lời giải:

Bài 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

- Tồn tại một hình đa diện có số mặt lớn hơn số cạnh

- Tồn tại một hình đa diện có số mặt lớn hơn số đỉnh

- Trong một hình đa diện số mặt luôn lớn hơn hoặc bằng số đỉnh

- Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh lớn hơn số cạnh

Bài 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

-Trong một hình đa diện nếu số mặt và số đỉnh lẻ thì số cạnh chẵn

- Trong một hình đa diện nếu số mặt và số đỉnh lẻ thì số cạnh lẻ

- Trong một hình đa diện nếu số mặt và số cạnh lẻ thì số đỉnh lẻ

- Trong một hình đa diện nếu số đỉnh và số cạnh lẻ thì số mặt lẻ

Bài 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Cho hình đa diện (H) có các mặt là nhứng tam giác, mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 3 mặt. Gọi số các đỉnh, cạnh, mặt của hình đa diện (H) lần lượt là d, c, m. Khi đó:

Bài 6: Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt?

Lời giải:

Bài 7: Có ít nhất bao nhiêu cạnh xuất phát từ mỗi đỉnh của một hình đa diện?

Lời giải:

Bài 8: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng

“Số cạnh của một hình đa diện luôn….”

Lời giải:

Bài 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

- Số cạnh của một hình đa diện luôn lớn hơn hoặc bằng 6

- Số cạnh của một hình đa diện luôn lớn hơn hoặc bằng 7

- Số mặt của một hình đa diện luôn lớn hơn hoặc bằng 4

-Số đỉnh của một hình đa diện luôn lớn hơn hoặc bằng 4

Lời giải: