Chuyên đề Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (2022) - Toán 12
Với Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (2022) - Toán 12 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 12 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.
Chuyên đề Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - Toán 12
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K
– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.
Lưu ý
– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).
B. Bài tập
I. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Cho hàm số y = sin2x - 2x. Hàm số này
A. Luôn đồng biến trên R
B. Chỉ đồng biến trên khoảng (0; +∞)
C. Chỉ nghịch biến trên (-∞; -1)
D. Luôn nghịch biến trên R
Tập xác định D = R
Ta có : y' = 2.cos2x - 2 = 2(cos2x - 1) ≤ 0; ∀ x
(vì -1 ≤ cos2x ≤ 1)
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R
Chọn đáp án D.
Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ đồng biến trên khoảng (-∞; 1) ?
Lời giải:
Bài 3: Tìm m để hàm số
luôn nghịch biến trên khoảng xác định.
A.-2 < m ≤ 2
B. m < -2 hoặc m > 2
C. -2 < m < 2
D. m ≠ ±2
Lời giải:
Tập xác định
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng
khi và chỉ khi
Suy ra m2 - 4 < 0 hay -2 < m < 2. Chọn đáp án C.
Bài 4: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3mx - 1, tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞)
A. m < 1
B. m ≥ 1
C. m ≤ -1
D. m ≥ -1
Lời giải:
Ta có y' = -3x2 + 6x + 3m. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) nếu y' ≤ 0 trên khoảng (o; +∞)
Cách 1: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai.
Xét phương trình -3x2 + 6x + 3m. Ta có Δ' = 9(1 + m)
TH1: Δ' ≤ 0 => m ≤ -1 khi đó, -3x2 + 6x + 3m < 0 nên hàm số nghịch biến trên R .
TH2: Δ' > 0 => m > -1; y' = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = 1 ±√(1+m) .
Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) <=> 1 + ≤ 0, vô lí.
Từ TH1 và TH2, ta có m ≤ -1
Cách 2: Dùng phương pháp biến thiên hàm số.
Ta có y' = -3x2 + 6x + 3m ≤ 0, ∀x > 0 <=> 3m ≤ 3x2 - 6x, ∀x > 0
Từ đó suy ra 3m ≤ min(3x2 - 6x) với x > 0
Mà 3x2 - 6x = 3(x2 - 2x + 1) - 3 = 3(x - 1)2 - 3 ≥ -3 ∀ x
Suy ra: min( 3x2 – 6x) = - 3 khi x= 1
Do đó 3m ≤ -3 hay m ≤ -1. Chọn đáp án C.
Bài 5: Cho đồ thị hàm số với x ∈ [- ] như hình vẽ.
Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = sinx với x ∈ [- ]
Trên khoảng (-) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.
Trên khoảng () đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-)
Chọn đáp án A.
Bài 6: Cho đồ thị hàm số y = -x3 như hình vẽ. Hàm số y = -x3 nghịch biến trên khoảng:
A. (-1;0)
B. (-∞;0)
C. (0;+∞)
D. (-1;1)
Lời giải:
Trên khoảng (0; +∞) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞), Chọn đáp án C.
Bài 7: Cho đồ thị hàm số y = - như hình vẽ. Hàm số y = - đồng biến trên
A. (-∞;0)
B. (-∞;0) ∪ (0;+∞)
C. R
D. (-∞;0) và (0;+∞)
Lời giải:
Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên hai khoảng (-∞;0) và (0;+∞)
Chọn đáp án D.
Ghi chú. Những sai lầm có thể gặp trong quá trình làm bài:
- Không chú ý tập xác định nên chọn đáp án C.
- Không chú ý định nghĩa của hàm đồng biến nên chọn đáp án B.
Bài 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) =
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞;1).
B. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (1;+∞).
C. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng và (1;+∞).
D. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (1;+∞).
Điều kiện: x > 0
Bảng xét dấu :
Vậy f(x) đồng biến trên khoảng (1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (0;1). Chọn đáp án D.
Bài 9: Khoảng nghịch biến của hàm số y = - 2x2 + 3x + 5 là:
A. (1;3)
B.(-∞; 1) ∪ (3; +∞)
C. (-∞; 1) và (3; +∞)
D. (1;+∞)
Lời giải:
Bảng xét dấu y’ :
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3). Chọn đáp án A.
Bài 10: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 3 . Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ∩ (0; 1)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) ∪ (1; +∞)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ∪ (0; 1)
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞)
Lời giải:
Bảng xét dấu y’:
Từ đó ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞) , nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1) . Chọn đáp án D.
II. Bài tập tự luận có lời giải
Bài 1: Cho hàm số y = sin2x - 2x. Hàm số này?
Lời giải:
Tập xác định D = R
Ta có : y' = 2.cos2x - 2 = 2(cos2x - 1) ≤ 0; ∀ x
(vì -1 ≤ cos2x ≤ 1)
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R
Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ đồng biến trên khoảng (-∞; 1) ?
Lời giải:
Bài 3: Tìm m để hàm số
luôn nghịch biến trên khoảng xác định.
Lời giải:
Tập xác định
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng
khi và chỉ khi
Suy ra m2 - 4 < 0 hay -2 < m < 2. Chọn đáp án C.
Bài 4: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3mx - 1, tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞)
Lời giải:
Ta có y' = -3x2 + 6x + 3m. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) nếu y' ≤ 0 trên khoảng (o; +∞)
Cách 1: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai.
Xét phương trình -3x2 + 6x + 3m. Ta có Δ' = 9(1 + m)
TH1: Δ' ≤ 0 => m ≤ -1 khi đó, -3x2 + 6x + 3m < 0 nên hàm số nghịch biến trên R .
TH2: Δ' > 0 => m > -1; y' = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = 1 ± .
Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) <=> 1 + ≤ 0, vô lí.
Từ TH1 và TH2, ta có m ≤ -1
Cách 2: Dùng phương pháp biến thiên hàm số.
Ta có y' = -3x2 + 6x + 3m ≤ 0, ∀x > 0 <=> 3m ≤ 3x2 - 6x, ∀x > 0
Từ đó suy ra 3m ≤ min(3x2 - 6x) với x > 0
Mà 3x2 -6x = 3(x2 -2x + 1) - 3 = 3(x - 1)2 - 3 ≥ -3 ∀ x
Suy ra: min( 3x2 – 6x) = - 3 khi x= 1
Do đó 3m ≤ -3 hay m ≤ -1.
Bài 5: Cho đồ thị hàm số với x ∈ [- ] như hình vẽ.
Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = sinx với x ∈ [- ]
Lời giải:
Trên khoảng (-) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.
Trên khoảng () đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-)
Bài 6: Cho đồ thị hàm số y = -x3 như hình vẽ. Hàm số y = -x3 nghịch biến trên khoảng:
Lời giải:
Trên khoảng (0; +∞) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞),
Bài 7: Cho đồ thị hàm số y = - như hình vẽ. Hàm số y = - đồng biến trên
Lời giải:
Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên hai khoảng (-∞;0) và (0;+∞)
Ghi chú. Những sai lầm có thể gặp trong quá trình làm bài:
- Không chú ý tập xác định nên chọn đáp án C.
- Không chú ý định nghĩa của hàm đồng biến nên chọn đáp án B.
Bài 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) =
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞;1).
B. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (1;+∞).
C. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng và (1;+∞).
D. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (1;+∞).
Điều kiện: x > 0
Bảng xét dấu :
Vậy f(x) đồng biến trên khoảng (1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (0;1).
Bài 9: Khoảng nghịch biến của hàm số y = - 2x2 + 3x + 5 là:
Lời giải:
Bảng xét dấu y’ :
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3).
Bài 10: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 3 . Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ∩ (0; 1)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) ∪ (1; +∞)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ∪ (0; 1)
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞)
Bảng xét dấu y’:
Từ đó ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞) , nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).
III. Bài tập vận dụng
Bài 1 Khoảng nghịch biến của hàm số y = - 2x2 + 3x + 5 là?
Bài 2 Cho hàm số y = x3 - x2 + (m-1)x + m. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến trên R
Bài 3 Cho hàm số
Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1).
Bài 5 Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số
Bài 6 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 - 2m. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Bài 7 Cho đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ.
Hàm số đồng biến trên?
Bài 7 Hỏi hàm số 
đồng biến trên các khoảng nào?
Bài 8 Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = 2x3 - 9x2 + 12x + 3
Bài 9 Khoảng nghịch biến của hàm số y = x4 - 2x2 - 1 là?
Bài 10 Tìm khoảng đồng biến của hàm số f(x)= x + cos2x
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12