Chuyên đề Hệ tọa độ trong không gian (2022) - Toán 12

Chuyên đề Hệ tọa độ trong không gian - Toán 12

A. Lý thuyết

I. Tọa độ của điểm và của vecto

1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz  vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên: ${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=1$ và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0$.

2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho: $\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+\text{}z.\overrightarrow{k}$

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+\text{\hspace{0.17em}}z.\overrightarrow{k}$.

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = (x; y; z) hoặc M (x; y; z).

3. Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a₁; a₂; a₃) sao cho $\overrightarrow{a}=a_1.\overrightarrow{i}+a_2.\overrightarrow{j}+\text{\hspace{0.17em}}{a}_3.\overrightarrow{k}$.

Ta gọi bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) là tọa độ của vecto $\overrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết $\overrightarrow{a}=$(a₁; a₂ ; a₃) hoặc $\overrightarrow{a}$(a₁; a₂ ; a₃).

 - Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto $\overrightarrow{OM}$

Ta có: M(x; y; z)$\iff \overrightarrow{OM}(x;y;z)$

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto       

- Định lí:  Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

Ví dụ 1. Cho $\overrightarrow{u}(2;-3;4);$$\overrightarrow{v}(4;-2;0)$

a) Tính $\overrightarrow{u}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{v}$;

b) $2\overrightarrow{v}$;

c) $\overrightarrow{u}-2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{v}$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$= (2 + 4; -3-2; 4 + 0) = (6; -5; 4);

b) Ta có: $2\overrightarrow{v}$ = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).

c) Ta có: $\overrightarrow{u}-2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{v}$= ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)

- Hệ quả:

a) Cho hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3),$$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$, ta có:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$$\hspace{0.17em}\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_1=b_1\\ a_2=b_2\\ a_3=b_3\end{array}\right.$

b) Vecto $\overrightarrow{0}$ có tọa độ ( 0; 0; 0).

c) Với $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ thì hai vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

$\iff \overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}(k\in ℝ)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_1=k{b}_1\\ a_2=k{b}_2\\ a_3=k{b}_3\end{array}\right.$$\hspace{0.17em}\iff \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3},$$(b_1,b_2,b_3\ne 0)$

Ví dụ 2. Cho $\overrightarrow{u}(2m;3;-1);$$\overrightarrow{v}(4;3;n-2)$. Tìm m và n để $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$

Lời giải:

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

Lời giải:

a) Ta thấy $\frac{2}{-4}=\frac{3}{-6}\ne \frac{7}{14}$

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b) Ta thấy: $\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{a}$ nên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a) Tính $\overrightarrow{AB}$;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

III. Tích vô hướng.

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3),$$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3$

Ví dụ 5. Cho $\overrightarrow{a}(1;-3;4);\overrightarrow{b}(1;2;1)$. Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$?

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ =  1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1

2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto.

b) Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A ; y_A ; z_A) và B(x_B; y_B ; z_B). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto $\overrightarrow{AB}$. Do đó, ta có:

c) Góc giữa hai vecto.

Nếu là góc góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ với $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ thì

Từ đó, suy ra $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff$$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{a}_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A.

Lời giải:

IV. Phương trình mặt cầu

- Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x²  + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – r²

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x²  + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A² + B² + C² – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính $r=\sqrt{A^2+B^2+\text{\hspace{0.17em}}{C}^2-\text{}D}$.

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x²  + y² + z² – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x²  + y² + z² – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

a) Ta có:  a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính $R=\sqrt{2^2+\text{\hspace{0.17em}}{(-1)}^2+0^2-(-1)}$$=\sqrt{6}$

b) Ta có: a = 4; b = 1; c = -1; d = 2

Tâm mặt cầu là I( 4; 1; -1) và bán kính $R=\sqrt{4^2+\text{\hspace{0.17em}}{1}^2+{(-1)}^2-2}$= 4

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (x₁, y₁, z₁), $\overrightarrow{b}$ = (x₂, y₂, z₂) thay đổi. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng

Lời giải:

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các điểm là: A(x_A; y_A, z_A), B(x_B; y_B, z_B), CA(x_C; y_C, z_C) . Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là sai?

Lời giải:

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A, B có tọa độ các điểm A(x_A; y_A, z_A), B(x_B; y_B, z_B). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

Lời giải:

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;0), B(-4;5;3), C(3;-10;-6). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

A. (0;-1;-1)   

B. (0;-3;-3)   

C.(0;-2;-2)   

D. Đáp án khác

Lời giải:

Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho vectơ $\overrightarrow{a}$= (2; 1; -2) . Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{b}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng 6.

Lời giải:

Ta có:

Mặt khác hai vectơ này cùng phương nên ta có:

Từ đó ta suy ra

Vậy đáp án cần tìm là C.

Lưu ý. Đáp án D là sai, do sai lầm trong tính độ dài của vectơ a→ :

Mà hai vectơ này cùng phương nên ta có:

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ

Với những giá trị nào của m thì sin($\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$) đạt giá trị lớn nhất

A. m=1     

B. m=1 hoặc m=-8   

C. m=-8

D. Không tồn tại m thỏa mãn.

Lời giải:

Câu 7: Trong không gian Oxyz , gọi φ là góc tạo bởi hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (4; 3; 1); $\overrightarrow{b}$ = (-1; 2; 3). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABDC với A(0;0;0), B(1;-2;3), D(3;1;-4). Tọa độ của điểm C là:

A. (4;-1;-1)   

B. (2;3;-7)   

C. ($\frac{3}{2}$; $\frac{1}{2}$; -2)   

D. (-2;-3;7)

Lời giải:

Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1;0;0), B(1;2;0), D(2;-1;0), A’(5;2;2). Tọa độ điểm C’ là:

A. (3;1;0)   

B. (8;3;2)   

C. (2;1;0)   

D. (6;3;2)

Lời giải:

Câu 10: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn:

Giá trị nhỏ nhất của

A. 11   

B. -1   

C. 1   

D. 0

Lời giải:

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x² + y² + z² - 2x - 2y - 4z + 5 = 0

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

- Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và đường kính có độ dài bằng 2.

- Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là: (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 1

- Diện tích của mặt cầu (S) là π

- Thể tích của khối cầu (S) là $\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

Lời giải:

Ta viết lại phương trình của (S) dưới dạng chính tắc như sau:

x² + y² + z² - 2x - 2y - 4z + 5 = 0

<=> (x² - 2x + 1) +(y² - 2y + 1) + (z² - 4z + 4) = 1 + 1 + 4 - 5

<=> (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 1

Vậy khẳng định B đúng.

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và có bán kính R=1, do đó đường kính của (S) là 2R=2.

Vậy khẳng định A đúng.

Thể tích của khối cầu (S) là

Khẳng định C là sai do nhầm giữa công thức diện tích của mặt cầu với diện tích của đường tròn. Diện tích mặt cầu (S) là: 4πR² = 4π

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(0;1;2). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD). Cho H(4;-3;-2). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

Lời giải:

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x; y; z), $\overrightarrow{v}$ = (x'; y'; z') . Khẳng định nào dưới đây sai?

Lời giải:

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x; y; z), $\overrightarrow{v}$ = (x'; y'; z') khác $\overrightarrow{0}$ . Khẳng định nào dưới đây sai?

Lời giải:

Câu 5: Trong không gian Oxyz, trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng với mọi $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ ?

Lời giải:

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (x₁; y₁; z₁),$\overrightarrow{b}$ = (x₂; y₂; z₂) thay đổi. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(0;0;0), B(1;2;0), D(2;-1;0), A’(5;2;3). Tọa độ của điểm C’ là?

Bài 2 Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;-3), B(-3;-2;-5). Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian tỏa mãn đẳng thức AM² + 2BM² = 30 là một mặt cầu (S). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

Bài 3 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;2;-4), B(-3;5;2). Tìm tọa độ điểm M sao cho biểu thức AM² + 2BM² đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là: (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 3)² = 4

Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu (S) và (S’) có tâm lần lượt là I(-1;2;3), I’(3;-2;1) và có bán kính lần lượt là 4 và 2. Cho điểm M di động trên mặt cầu (S), N di động trên mặt cầu (S’). Khi đó giá trị lớn nhất của đoạn thẳng MN bằng?

Bài 6 Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (3; 4; 0), $\overrightarrow{v}$ = (2; -1; 2) . Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{v}$ là?

Bài 7 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:

(x - 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 25

Bài 8 Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

Bài 9 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:

x² + y² + z² - 2x + 4y + 4z + 5 = 0

Bài 10 Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

Bài 11 Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt cầu?

Bài 12 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:

3x² + 3y² + 3z² + 6x - 8y + 15z - 3 = 0

Bài 13 Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Khái niệm về mặt tròn xoay

Chuyên đề Mặt cầu

Chuyên đề Phương trình mặt phẳng

Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian

Chuyên đề Ôn tập Chương 3