Chuyên đề Ôn tập chương 2 (2022) - Toán 12

Chuyên đề Ôn tập chương 2 - Toán 12

A. Lý thuyết

1. Khái niệm lũy thừa

1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

aⁿ = a.a.a… a (n thừa số a)

Với a ≠ 0, ta có: a⁰ = 1 và $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Trong biểu thức a^m ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

0⁰ và 0^–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ. Tính giá trị biểu thức:

$A={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}.8+4^{-2}.2^4+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}.\frac{1}{27}$

Lời giải:

1.2 Phương trình xⁿ = b.

Đồ thị của hàm số y = x^{2k + 1} có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x³ và đồ thị hàm số y = x^2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x⁴.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xⁿ = b như sau:

a) Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

1.3 Căn bậc n

a) Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n $(n\ge 2)$. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu aⁿ  = b.

Ví dụ. Căn bậc ba của 27 là 3.

Căn bậc bốn của 256 là 4 và – 4.

– Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xⁿ = b; ta có:

Với n lẻ và $b\in ℝ$: Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là $\sqrt[n]{b}$.

Với n chẵn và :

+ b < 0 : không tồn tại căn bậc n của b.

+ b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.

+ b > 0: có hai căn trái dấu; kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$; còn giá trị âm là $-\sqrt[n]{b}$.

b) Tính chất của căn bậc n

Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:

Ví dụ. Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{-3}$;

b) $\sqrt[4]{{(-5)}^4}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{-3}$

$$\begin{gathered} =\sqrt[3]{9.(-3)} \\ =\sqrt[3]{-27} \\ =-3 \end{gathered}$$

b) $\sqrt[4]{{(-5)}^4}=\left|-5\right|=5$

1.4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

– Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$; trong đó $m\in \mathbb{Z};n\in \mathbb{N};$ $\hspace{0.17em}n\ge 2$. Lũy thừa của a với số mũ r là số a^r xác định bởi: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Ví dụ.

$\begin{array}{l}{27}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3.\\ 9^{\frac{3}{2}}=\sqrt{9^3}=27\end{array}$

1.5 Lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng, luôn có một dãy số hữu tỉ (r_n) có giới hạn là α và dãy số tương ứng $\left(a^{r_n}\right)$ có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (r_n).

– Ta gọi giới hạn của dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ là thừa số của a với số  mũ α, kí hiệu là a^α.

$a^{\alpha }=\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}^{r_n}$ với $\alpha =\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n$.

– Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: $1^{\alpha }=1 (\alpha \in ℝ)$.

2. Tính chất lũy thừa với số mũ thực.

Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

$\begin{array}{l}{a}^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }\\ \frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta }\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha .\beta }\\ {\left(ab\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }.b^{\alpha }\\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}\end{array}$

Nếu a > 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ khi và chỉ khi α > β.

Nếu a < 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ khi và chỉ khi α < β.

Ví dụ. Rút gọn biểu thức:

$A=\frac{a^{\sqrt{5}+\text{\hspace{0.17em}}2}.a^{4-\sqrt{5}}}{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}$ với a > 0.

Lời giải:

Với a > 0 ta có:

$A=\frac{a^{\sqrt{5}+\text{\hspace{0.17em}}2}.a^{4-\sqrt{5}}}{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}$$\hspace{0.17em}=\frac{a^{\sqrt{5}+\text{\hspace{0.17em}}2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4-\sqrt{5}}\text{}}{a^{(\sqrt{3}-1).(\sqrt{3}+1)}}$$=\frac{a^6}{a^2}=a^4$

Ví dụ. So sánh các số ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{\sqrt{3}+\text{\hspace{0.17em}}1}$ và ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$.

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{3}+1>2$ và $0<\frac{2}{3}<1$

Suy ra: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{\sqrt{3}+\text{\hspace{0.17em}}1}$<${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$.

3. Khái niệm hàm số lũy thừa

– Hàm số $y=x^{\alpha }$, với $\alpha \in ℝ$, được gọi là hàm số lũy thừa.

Ví dụ. Các hàm số $y=x^{\sqrt{3}+\text{}1};$ $y=\frac{1}{x^2};y=x^5;$ $\hspace{0.17em}y=x^{\pi -3}$ là những hàm số lũy thừa.

– Chú ý:

Tập xác định của hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }$ tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể:

+ Với α nguyên dương, tập xác định là R.

+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0; tập xác định là R\{0}.

+ Với α không nguyên, tập xác định là $(0;+\infty )$.

4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa

– Hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }(\alpha \in ℝ)$ có đạo hàm với mọi x > 0 và $\left(x^{\alpha }\right)\text{'}=\alpha .x^{\alpha -1}$.

– Ví dụ.

a) ${\left(x^{\frac{2}{5}}\right)}^{\text{'}}=\frac{2}{5}.x^{\frac{-3}{5}}$

b) ${\left(x^{\sqrt{7}}\right)}^{\text{'}}=\sqrt{7}.x^{\sqrt{7}-1}$.

– Chú ý: Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng:

$\left(u^{\alpha }\right)\text{'}=\alpha .u^{\alpha -1}.u\text{'}$

– Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số $y={(2x^2+3x-2)}^{\frac{1}{3}}$.

Lời giải:

5. Khảo sát hàm số lũy thừa y = x^α

Tập xác định của hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }$ luôn chứa khoảng $(0;+\infty )$ với $\alpha \in R$. Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số $y=x^{\alpha }$ trên khoảng này (gọi là tập khảo sát).

$y=x^{\alpha };\alpha >\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0$	$y=x^{\alpha };\alpha <\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0$
1. Tập khảo sát: $(0;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$ 2. Sự biến thiên $y\text{'}=\alpha .x^{\alpha -1}>0;$$\hspace{0.17em}\forall x>0$ Giới hạn đặc biệt: $$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\alpha }=0; \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\alpha }=+\infty \end{gathered}$$ Tiệm cận: Không có     3. Bảng biến thiên 4. Đồ thị (với α > 0)	1. Tập khảo sát: $(0;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$ 2. Sự biến thiên $y\text{'}=\alpha .x^{\alpha -1}<0;$$\forall x>0$ Giới hạn đặc biệt: $$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\alpha }=+\infty ; \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\alpha }=0 \end{gathered}$$ Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang. Trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị. 3. Bảng biến thiên. 4. Đồ thị (với α < 0)

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = x^α luôn đi qua điểm (1; 1).

– Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^{\frac{-2}{5}}$.

Lời giải: 
1. Tập xác định: $D=\left(0;+\text{}\infty \right)$

2. Sự biến thiên.

Chiều biến thiên $y\text{'}=\frac{-2}{5}{x}^{\frac{-7}{5}}$

Ta có: y’ < 0 trên khoảng $D=\left(0;+\infty \right)$ nên hàm số đã cho nghịch biến.

Tiệm cận: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=+\infty ;$$\underset{x\to +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\infty }{\lim }y=0$

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }$ trên khoảng $(0;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$.

6. Khái niệm về lôgarit

6.1 Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab.

$\alpha ={\log }_{a}b$$\hspace{0.17em}\iff a^{\alpha }=b$

Ví dụ.

a) log₃ 27 = 3 vì 3³ = 27.

b) ${\log }_4\left(\frac{1}{16}\right)=-2$ vì $4^{-2}=\frac{1}{16}$.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

6.2 Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠  1.  Ta có các tính chất sau đây:

log_a1 = 0; log_aa = 1

$a^{{\log }_{a}b}=b;\log {}_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

Ví dụ.

7. Quy tắc tính logarit

7.1 Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a(b_1.b{}_2)={\log }_a{b}_1+{\log }_{a}b{}_2$

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ.

$$\begin{gathered} {\log }_{2}12+\text{\hspace{0.17em}}{\log }_2\frac{1}{3} \\ ={\log }_2\left(12.\frac{1}{3}\right) \\ ={\log }_{2}4=2 \end{gathered}$$

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

 7.2 Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a\frac{b_1}{b_2}={\log }_a{b}_1-{\log }_{a}b{}_2$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: ${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$ ( a > 0; b > 0;  a ≠ 1)

– Ví dụ 4.

$$\begin{gathered} \log {}_{5}75-{\log }_{5}3 \\ ={\log }_5\frac{75}{3} \\ ={\log }_{5}25=2 \end{gathered}$$

7.3 Logarit của một lũy thừa.

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

– Ví dụ 5.

$\begin{array}{l}\log {}_7{3}^6=6{\log }_{7}3\\ {\log }_3\sqrt[5]{4}=\frac{1}{5}{\log }_{3}4\end{array}$

8. Công thức đổi cơ số của logarit.

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1; c ≠ 1, ta có:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

– Đặc biệt:

$\begin{array}{l}{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}(b\ne 1)\\ {\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b(\alpha \ne 0)\end{array}$

Ví dụ. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $5^{{\log }_{\frac{1}{125}}8}$

b) ${\log }_{2}3.{\log }_{3}4.\mathrm{....}{\log }_{7}8$

Lời giải:

9. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên.

9.1 Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

9.2 Logarit tự nhiên

 – Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.

log_eb được viết là lnb.

10. Hàm số mũ

10.1 Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Ví dụ. Các hàm số y = 2^x; $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x;$$\hspace{0.17em}y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ là các hàm số mũ.

10.2 Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức: $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1$

– Định lí 1: Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x và (e^x)’ = e^x.

– Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số e^u ( với u = u(x))

là (e^u)’ = u’. e^u.

– Định lí 2: Hàm số y = a^x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x và: (a^x)’ = a^x. ln a

– Chú ý:  Đối với hàm hợp y = a^u(x) ta có: (a^u)’ = a^u. lnu . u’

Ví dụ. Hàm số $y=2^{-x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-10}$ có đạo hàm là:

10.3 Khảo sát hàm số mũ y = a^x (a > 0 và a ≠ 1).

y = ax ; a > 1	y = ax ;  0 < a < 1
1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên y’ = ax.ln a > 0 với mọi x Giới hạn đặc biệt: $$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0; \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty \end{gathered}$$ Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang. 3. Bảng biến thiên: 4. Đồ thị	1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên y’ = ax.ln a < 0 với mọi x Giới hạn đặc biệt: $$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=+\infty ; \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=0 \end{gathered}$$ Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang. 3. Bảng biến thiên: 4. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a^x ( a > 0; a ≠ 1).

Tập xác định	$\left(-\infty ;+\infty \right)$
Đạo hàm	y’ = ax. lna
Chiều biến thiên	a > 1: Hàm số luôn đồng biến. 0 < a < 1: Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Trục Ox là tiệm cận ngang
Đồ thị	Đi qua các điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành (y = ax > 0 $\forall x\in ℝ$).

11. Hàm số logarit

11.1 Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Ví dụ. Các hàm số y = log₅ x; $y={\log }_{\frac{2}{3}}x;$$y={\log }_{\sqrt{3}}x$; y = ln x là các hàm số logarit với cơ số lần lượt là $5;\frac{2}{3};\sqrt{3}$ và e.

11.2 Đạo hàm của hàm số logarit

– Định lí 3. Hàm số y = log_a x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và $\left({\log }_{a}x\right)\text{'}=\frac{1}{x\ln a}$

– Đặc biệt: $\left(\ln x\right)\text{'}=\frac{1}{x}$

– Chú ý:

 Đối với hàm hợp y = log_au(x); ta có: $\left({\log }_{a}u\right)\text{'}=\frac{u\text{'}}{u\ln a}$

– Ví dụ. Hàm số y = log₄ (x² + 2x – 7) có đạo hàm là:

$$\begin{gathered} \left({\log }_4\right(x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2x-7\left)\right)\text{'} \\ =\frac{(x^2+2x-7)\text{'}}{(x^2+2x-7)\ln 4} \\ =\frac{2x+2}{(x^2+2x-7)\ln 4} \end{gathered}$$

11.3 Khảo sát hàm số logarit y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1).

y = loga x  ;  a >  1

y = logax ; 0 < a < 1

1. Tập xác định: $(0;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$ 2. Sự biến thiên $y\text{'}=\frac{1}{x\ln a}>\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0;$$\hspace{0.17em}\forall x>0$ Giới hạn đặc biệt: $\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\infty ;\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{a}x=+\infty .\end{array}$ Tiệm cận:  Trục Oy là tiệm cận đứng. 3. Bảng biến thiên 4. Đồ thị

1. Tập xác định: $(0;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$ 2. Sự biến thiên $y\text{'}=\frac{1}{x\ln a}<\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0;$$\hspace{0.17em}\forall x>0$ Giới hạn đặc biệt: $\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=+\infty ;\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{a}x=-\infty .\end{array}$ Tiệm cận:  Trục Oy là tiệm cận đứng. 3. Bảng biến thiên 4. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y = log_ax (a > 0;  a ≠ 1 ).

Tập xác định	$\left(0;+\infty \right)$
Đạo hàm	$y\text{'}=\frac{1}{x\ln a}$
Chiều biến thiên	a > 1: hàm số luôn đồng biến 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Trục Oy là tiệm cận đứng
Đồ thị	Đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1); nằm phía bên phải trục tung

 Nhận xét:

 Đồ thị của các hàm số y = a^x và y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit.

12. Phương trình mũ

12.1 Phương trình mũ cơ bản

– Phương trình mũ cơ bản có dạng: a^x = b (a > 0; a ≠ 1).

Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa logarit.

Với b > 0 ta có: a^x = b$\iff$x = log_ab.

Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm.

– Minh họa bằng đồ thị

Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = a^x và y = b là nghiệm của phương trình a^x = b.

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị.

Rõ ràng, nếu b ≤ 0 thì hai đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm.

Nếu b > 0 ta có hai đồ thị như hình dưới đây. Trên mỗi hình, hai đồ thị luôn cắt nhau tại một điểm nên phương trình có nghiệm duy nhất.

Kết luận:

– Ví dụ. Giải phương trình 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 16.

Lời giải:

Ta có: 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 16.

$\iff$2.2^x + 4.2^x = 16

$\iff$6.2^x = 16

$$\begin{gathered} \iff 2^x=\frac{8}{3} \\ \iff x={\log }_2\frac{8}{3} \end{gathered}$$

Vậy $x={\log }_2\frac{8}{3}$.

12.2 Cách giải một số phương trình mũ cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số.

– Ví dụ. Giải phương trình $3^{x+\text{\hspace{0.17em}}2}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{6-2x}$

Lời giải:

b) Đặt ẩn phụ

– Ví dụ. Giải phương trình 4^x – 5. 2^x  + 6 = 0

Lời giải:

Đặt t = 2^x (với t > 0)

Phương trình đã cho trở thành: t² – 5t + 6 = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}t=2\\ t=3\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{c}{2}^x=2\Rightarrow x=1\\ 2^x=3\Rightarrow x={\log }_{2}3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = log₂3.

c) Logarit hóa.

– Ví dụ. Giải phương trình: $3^x.5^{x^2}=1$

Lời giải:

Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = – log₅3.

13. Phương trình logarit

– Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.

– Ví dụ. Các phương trình $\log {}_{2}x=4;$$\hspace{0.17em}{\log }_3^{2}x+\text{\hspace{0.17em}}2{\log }_{4}x=0$… đều là phương trình logarit.

13.1 Phương trình logarit cơ bản

– Phương trình logarit cơ bản có dạng: log_ax = b (a > 0; a ≠ 1).

Theo định nghĩa logarit ta có:

log_ax = b$\iff$x  = a^b

– Minh họa bằng đồ thị

Vẽ đồ thị hàm số y = log_a x và đường thẳng b trên cùng một hệ tọa độ.

Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị của các hàm số y = log_ax và đường thẳng y = b luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b$\in R$.

Kết luận: Phương trình log_ax  = b (a > 0; a ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất x = a^b với mọi b.

13.2 Cách giải một số phương trình logarit đơn giản.

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ. Giải phương trình log₃x + log₉x = 6.

Lời giải:

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 81.

b) Đặt ẩn phụ

– Ví dụ. Giải phương trình ${\log }_5^{2}x+\text{}3{\log }_5^{}x=0$

Lời giải:

Đặt t = log₅x, phương trình đã cho trở thành:

t² + 3t = 0 nên t = 0 hoặc t = –3.

Với t = 0 thì log₅x = 0 nên x = 1.

Với t = –3 thì log₅x = –3 nên x = 5^–3.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 5^–3.

c) Mũ hóa

– Ví dụ. Giải phương trình: log₃(90 – 3^x) = x + 2

Lời giải:

Điều kiện của phương trình là 90 – 3^x > 0.

Phương trình đã cho tương đương với:

90 – 3^x = 3^{x + 2} hay 90 – 3^x = 9.3^x

$\iff$10.3^x = 90

$\iff$3^x = 9 nên x = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

14. Bất phương trình mũ.

14.1 Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b ( hoặc a^x < b; $a^x\ge b;a^x\le b$) với a > 0 và a ≠  1.

Ta xét bất phương trình a^x > b

+ Nếu b ≤ 0 tập nghiệm của bất phương trình là R vì a^x > 0$\ge b;\forall x\in ℝ$

+ Nếu b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình tương đương $a^x>a^{{\log }_{a}b}$.

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.

Với 0 <  a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

– Ví dụ.

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình a^x > b được cho trong bảng sau:

14.2 Bất phương trình mũ đơn giản

– Ví dụ. Giải bất phương trình 3^{x + 2} < 27.

Lời giải:

Ta có: 27 = 3³

Vì cơ số 3 > 1 nên x + 2 < 3

$\iff$x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1.

15. Bất phương trình logarit

15.1 Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log_a x > b ( hoặc log_ax < 0; ${\log }_{a}x\le 0;$$\hspace{0.17em}{\log }_{a}x\ge 0$) với a > 0; a ≠ 1.

Xét bất phương trình log_ax > b

+ Trường hợp a > 1 ta có: log_ax > b$\iff$x > a^b.

+ Trường hợp 0 < a < 1 ta có: log_ax > b$\iff$0 < x < a^b.

– Ví dụ.

a) log₂x > 7$\iff$x > 2⁷.

b) ${\log }_{\frac{2}{5}}x<3$$\hspace{0.17em}\iff x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^3$

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình log_ax > b được cho trong bảng sau:

logax > b	a > 1	0 < a < 1
Nghiệm	x > ab	0 < x < ab

15.2 Bất phương trình logarit đơn giản

– Ví dụ. Giải bất phương trình ${\log }_3(x^2+\text{}2x)>\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\log }_3(x+2)$.

Lời giải:

Điều kiện của bất phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{x}^2+2x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}>0\\ x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2>\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x>\text{\hspace{0.17em}}0\\ x<-2\end{array}\right.\\ x>\text{\hspace{0.17em}}-2\end{array}\right. \\ \iff x>0 \end{gathered}$$

Ta có: ${\log }_3(x^2+\text{}2x)>\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\log }_3(x+2)$

Vì cơ số 3 > 1 nên:  x² + 2x > x + 2

$\iff$x² + x – 2 > 0$\iff \left[\begin{array}{c}x>\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1\\ x\text{\hspace{0.17em}}<-2\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện, vậy x > 1.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

A. y = 0    

B. y = -1   

C. y = 0 và y = 1

D. y = 0 và y = -1

Lời giải:

Từ đó suy ra hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 1 và y = 0

Bài 2: Ngày 27 tháng 3 năm 2016 bà Mai gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền 100 triệu đồng với hình thức lãi kép và lãi suất 6,8% một năm. Bà Mai dự tính đến ngày 27 tháng 3 năm 2020 thì rút hết tiền ra để lo công chuyện. Hỏi bà sẽ rút được bao nhiêu tiền (làm tròn kết quả đến hàng nghìn) ?

A. 38949000 đồng   

B. 21818000 đồng   

C. 31259000 đồng

D. 30102000 đồng

Lời giải:

Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Bài 4: Cho hàm số

Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. x = e² là điểm cực đại của hàm số

B. x = e² là điểm cực tiểu của hàm số

C. x = $\sqrt{e}$ là điểm cực đại của hàm số

D. x = $\sqrt{e}$ là điểm cực tiểu của hàm số

Lời giải:

Tập xác định: D = (0; +∞)

Nên x = $\sqrt{e}$ là điểm cực đại của hàm số

Bài 5: Giải phương trình

Lời giải:

Điều kiện : log₃x ≠ 0 ⇔ x ≠ 1

Bài 6: Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình 3² + x + 3² - x = 82

A. 4   

B. 8   

C. 12   

D. 16

Lời giải:

Ta có:

PT <⇒ 9.32x - 82.3x + 9 = 0. Đặt t = 3x (t > 0), nhận được phương trình

A. k³    

B. k⁵    

C. 125   

D. 243

Lời giải:

Điều kiện: x > 0

Bài 8: x là nghiệm của phương trình log₃x + log₉x + log₂7x = $\frac{11}{2}$ . Hãy tính $x^{\frac{-1}{3}}$

A. x = 3    

B. x = $\frac{1}{3}$    

C. x = $\sqrt[3]{9}$  

D. x = $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

Lời giải:

Bài 9: Giả sử x là nghiệm của phương trình 4log₂x + x² = 8. Tính (log₃x)³

A. 1    

B. 8   

C. $2\sqrt{2}$    

D. ±1

Lời giải:

Bài 10: Giải bất phương trình 9x - 82.3x + 81 ≤ 0

A. 1 ≤ x ≤ 4    

B. 0 ≤ x ≤ 4    

C. 1 ≤ x ≤ 5    

D. 0 ≤ x ≤ 5

Lời giải:

Bài 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Bài 2: Lôgarit cơ số 3 của 27.$\sqrt[4]{9}$.$\sqrt[3]{9}$ là:

Lời giải:

Bài 3: Tính giá trị biểu thức 7log₇7 - log₇77

Lời giải:

Bài 4: Giải phương trình 10^x = 400

Lời giải:

Bài 5: Nếu logx - 5log3 = -2 thì x bằng

Lời giải:

Bài 6: Giải bất phương trình 2x + 2x + 1 ≤ 3x + 3x - 1

Lời giải:

Bài 7: Giải bất phương trình log₄5x - log3 > 1

Lời giải:

Bài 8: Rút gọn biểu thức

Lời giải:

 

Bài 9: Tìm các điểm cực trị của hàm số

Lời giải:

Bài 10: Đặt log2 = a, log3 = b . Khi đó log₅12 bằng

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho N > 1 . Tìm số thực x thỏa mãn

Bài 2 Cho a và b là hai số thực thỏa mãn 3^a = 81^{b + 2} và 125^b = 5^{a - 3} . Tính giá trị của ab

Bài 3 Ông A gửi tiết kiệm vào ngân hàng 200 triệu đồng với hình thức lãi kép. Sau 5 năm ông rút hết tiền ra được một khoản 283142000 đồng. Hỏi ông A gửi với lãi suất bao nhiêu, biết rằng trong thời gian đó lãi suất không thay đổi?

Bài 4 Số lượng cá thể của một mẻ cấy vi khuẩn sau t ngày kể từ lúc ban đầu được ước lượng bởi công thức N(t) = 1200.(1,48)^t . Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn đạt đến 5000 cá thể? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười

Bài 5 Tìm tập nghiệm của bất phương trình 

Bài 6 Tính giá trị biểu thức: P = log(tan1^o) + log(tan2^o) + log(tan3^o) +...+ log(tan88^o) + log(tan89^o)

Bài 7 Cho p và q là các số dương thỏa mãn log₉p = log₁₂q = log₁₆(p + q) . Tính giá trị của 

Bài 8 Gọi P và Q là hai điểm trên đồ thị hàm số y = e^{$\frac{x}{2}$} lần lượt có hoành độ ln4 và ln16 . Kí hiệu l là độ dài đoạn thẳng PQ. Hệ thức nào sau đây đúng?

Bài 9 Giải bất phương trình 3^{2x + 1} - 2^{2x + 1} - 5.6^x ≤ 0

Bài 10 Giải bất phương trình log(x² - 2x - 2) ≤ 0

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Hàm số lũy thừa

Chuyên đề Lôgarit

Chuyên đề Hàm số mũ. Hàm số logarit

Chuyên đề Phương trình mũ và phương trình logarit

Chuyên đề Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit