Chuyên đề Lôgarit (2022) - Toán 12

Chuyên đề Lôgarit - Toán 12

A. Lý thuyết

I. Khái niệm về lôgarit

1. Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$

Ví dụ 1.

a) log₃ 27 = 3 vì 3³ = 27.

b) $\log {}_4\left(\frac{1}{16}\right)=-2$ vì $4^{-2}=\frac{1}{16}$.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

2. Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây:

log_a1 = 0; log_aa = 1

$a^{{\log }_{a}b}=b;\log {}_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

Ví dụ 2.

$4^{-2{\log }_{4}3}={\left(4^{{\log }_{4}3}\right)}^{-2}$$=3^{-2}=\frac{1}{9}$

$\log {}_3\left(\frac{1}{27}\right)$$={\log }_3\left(3^{-3}\right)=-3$

II. Quy tắc tính logarit

1. Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a(b_1.b{}_2)={\log }_a{b}_1+{\log }_{a}b{}_2$

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ 3.

$$\begin{gathered} {\log }_{2}12+\text{\hspace{0.17em}}{\log }_2\frac{1}{3} \\ ={\log }_2\left(12.\frac{1}{3}\right) \\ ={\log }_{2}4=2 \end{gathered}$$

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

 2. Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a\frac{b_1}{b_2}={\log }_a{b}_1-{\log }_{a}b{}_2$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: ${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$( a > 0; b > 0; a ≠ 1)

– Ví dụ 4.

$$\begin{gathered} \log {}_{5}75-{\log }_{5}3 \\ ={\log }_5\frac{75}{3} \\ ={\log }_{5}25=2 \end{gathered}$$

3. Logarit của một lũy thừa.

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

– Ví dụ 5.

$\begin{array}{l}\log {}_7{3}^6=6{\log }_{7}3\\ {\log }_3\sqrt[5]{4}=\frac{1}{5}{\log }_{3}4\end{array}$

III. Đổi cơ số.

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1; c ≠ 1, ta có:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

– Đặc biệt:

$\begin{array}{l}{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}(\text{}b\ne 1)\\ {\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b(\alpha \ne 0)\end{array}$

Ví dụ 6. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $5^{{\log }_{\frac{1}{125}}8}$

b) ${\log }_{2}3.{\log }_{3}4.\mathrm{....}{\log }_{7}8$

Lời giải:

IV. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên.

1. Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

2. Logarit tự nhiên

 – Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.

log_eb được viết là lnb.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức

A. -2    

B. 2    

C. -3log_a5    

D. 3log_a5

Lời giải:

Bài 2: 10log7 bằng:

A. 1   

B. log₇10   

C. 7   

D. log7

Lời giải:

Sử dụng công thức alog_ab

⇒ 10log7 = 7

Bài 3: Cho P = log3(a²b³) (a,b là các số dương). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. P = 6log3a.log3b   

B. P = 2log3a + 3log3b

C. P = ($\frac{1}{2}$)log3a + ($\frac{1}{3}$)log3b    

D. P = (log3a)².(log3b)³

Lời giải:

P = log3a² + log3b³ = 2log3a + 3log3b

Bài 4: Đặt a = log27, b = log23. Tính log₂($\frac{56}{9}$) theo a và b

A. P = 3 + a - 2b    

B. P = 3 + a - b2   

C. P = $\frac{3a}{2b}$   

D. $\frac{3a}{b^2}$

Lời giải:

P = log₂56 - log₂9

= log₂(8.7) - log₂32

 = log₂23 + log₂7 - 2log23

= 3 + log27 - 2log23

= 3 + a - 2b

Bài 5: Biết y = 23x. Hãy biểu thị x theo y

Lời giải:

y = 23x ⇔ 3x = log2y ⇔ x = ($\frac{1}{3}$)log2y

Bài 6: Biết 3 + 2log₂x = log₂y . Hãy biểu thị y theo x

A. y = 2x+3    

B. y = 8x²    

C. y = x²+8    

D. y = 3x²

Lời giải:

3 + 2log₂x = log₂y ⇔ log₂23 + log₂x² = log₂y

Bài 7: Nếu x = (log82)log28 thì log3x bằng:

A. -3    

B. -$\frac{1}{3}$  

C. $\frac{1}{3}$    

D. 3

Lời giải:

x = (log₈2)log₂8 = (log₂32)log₂23 = ($\frac{1}{3}$)3 = 3-3 => log3x = -3

Bài 8: Độ pH của một chất được xác định bởi công thức pH = -log[H+] trong đó [H+] là nồng độ ion hyđrô trong chất đó tính theo mol/lít (mol/L). Xác định nồng độ ion H+ của một chất biết rằng độ pH của nó là 2,44

A. 1,1.108 mol/L    

C. 3,6.10-3 mol/L

B. 3,2.10-4 mol/L    

D. 3,7.10-3 mol/L

Lời giải:

pH = -log[H+]

=> [H+] = 10-pH = 10-2,44 ≈ 0,00363 ≈ 3,6.10-3 (mol/L).

Chọn đáp án C

Bài 9: Rút gọn biểu thức

Lời giải:

Ta có

P = loga - logb + logb - logc + logc - logd - (loga + logy - logd - logx)

= -logy + logx = log($\frac{x}{y}$)

Chọn đáp án B.

Bài 10: Tính giá trị biểu thức

A. 0,01   

B. 0,1    

C. 1   

D. 10

Lời giải:

Biểu thức đã cho bằng

log100!2 + log100!3 + log100!4 + ... + log100!100 = log100!(2.3.4....10) = log100!100! = 1

Chọn đáp án C

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Đặt a = log₂3, b = log₃5. Hãy tính biểu thức P = log₆60 theo a và b

Lời giải:

Bài 2:

Lời giải:

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức log₃100 - log₃18 - log₃50

Lời giải:

log₃100 - log₃18 - log₃50

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức (log₂3)(log₉4)

Lời giải:

(log₂3)(log₉4) = (log₂3) = (log₃222) = (log₂3)(log₃2) = 1

Bài 5: Khối lượng m của một chất phóng xạ thay đổi theo thời gian t tuân theo công thức

trong đó m0 là khối lượng chất phóng xạ ban đầu, T là chu kì bán rã. Nếu viết phương trình này dưới dạng m = m₀e-kt thì :

Lời giải:

Bài 6: Đặt log₈3 = p và lognx = 3logmx . Hãy biểu thị log5 theo p và q

Lời giải:

Bài 7: Cho m, n > 1 và lognx = 3logmx với mọi x > 0. Hãy biểu thị m theo n

Lời giải:

Bài 8: Biết rằng 4a = 5, 5b = 6, 6c = 7, 7d = 8. Tính abcd

Lời giải:

Từ giả thiết ta có: a = log₄5, b = log₅6, c = log₆7, d = log₇8

=> abcd = log₄5.log₅6.log₆7.log₇8 = log₄6log₆7log₇8 = log₄7.log₇8 = log₄8 = log₂223 = ($\frac{3}{2}$)log₂2 = $\frac{3}{2}$

Bài 9: Cho b > 1, sinx > 0, cosx > 0 và log_bsinx = a. Khi đó log_bcosx bằng

Lời giải:

Bài 10: Biết rằng log3y = ($\frac{1}{2}$)log₃u + log₃v + 1. Hãy biểu thị y theo u và v

Lời giải:

log₃y = ($\frac{1}{2}$)log₃u + log₃v + 1 <=> log₃y = log₃u$\frac{1}{2}$ + log₃v + log₃3 = log₃($\sqrt{u}$.v.3) => y = 3$\sqrt{u}$.v

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Tìm số k sao cho 2^x = e^kx với mọi số thực x

Bài 2 Độ pH của một chất được xác định bởi công thức pH = -log[H⁺] trong đó H⁺ là nồng độ ion hyđrô trong chất đó tính theo mol/lít (mol/L). Xác định nồng độ ion H⁺ của một chất biết rằng độ pH của nó là 8,06

Bài 3 log125 bằng?

Bài 4 Cho a, b, c là các số dương. Tính giá trị của biểu thức log_ab².log_bc².log_ca²

Bài 5 Nếu a = log8225 và b = log215 thì giữa a và b có hệ thức

Bài 6 Biết 3 + 2log₂x = log₂y . Hãy biểu thị y theo x

Bài 7 Tính giá trị biểu thức

Bài 8 Đặt a = log₂3, b = log₃5. Hãy tính biểu thức P = log₆60 theo a và b

Bài 9 Tính giá trị của biểu thức log₃100 - log₃18 - log₃50

Bài 10 Tính giá trị của biểu thức (log₂3)(log₉4)

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Hàm số lũy thừa

Chuyên đề Hàm số mũ. Hàm số logarit

Chuyên đề Phương trình mũ và phương trình logarit

Chuyên đề Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Chuyên đề Ôn tập chương 2