Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng mới nhất - Toán 12

    Với Chuyên đề Toán 12 Chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán lớp 12 giúp bạn học tốt môn Toán hơn.

    1 1,173 14/09/2022
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Mục lục Chuyên đề Toán 12 Chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

    Chuyên đề Nguyên hàm

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Tích phân

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Ứng dụng hình học của tích phân

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Ôn tập chương 3

    Xem chi tiết 

    Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

    Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

    Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

    Chương 4: Số phức

    Chương 1: Khối đa diện

    Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

    ---------------------------------------------------------

    Chuyên đề Nguyên hàm - Toán 12

    A. Lý thuyết

    I. Nguyên hàm và tính chất

    1. Nguyên hàm.

    - Định nghĩa

    Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R). 

    Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x∈K.

    Ví dụ 1.

    - Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng − ∞;  + ∞ vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với ∀x ∈− ∞;  + ∞

    - Hàm số F(x)= x+ ​2x−3 là một nguyên hàm của hàm số f(x)=  −5(x−3)2 trên khoảng (−∞;  3) ∪(3; +​ ∞)

    Vì F'(x)= x+ ​2x−3 '=−5(x−3)2=f(x) với ∀x∈(−∞;3)∪(3;+∞).

    - Định lí 1.

     Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

    - Định lí 2.

    Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

    Do đó F(x)+C;  C∈ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

    Kí hiệu: ∫f(x)dx=F(x)+C

    - Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

    Ví dụ 2.

    Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

    2. Tính chất của nguyên hàm

    - Tính chất 1.

    ∫f'(x)dx  =  f(x)​  +  C

    Ví dụ 3.

    ∫(​4x)'dx  =∫4x.ln4.dx=4x+C

    - Tính chất 2.

    ∫kf(x)​dx  =  k.∫f(x)​dx(k là hằng số khác 0).

    - Tính chất 3.

    ∫f(x)  ± g(x)dx=   ∫f(x)  dx  ±∫g(x)  dx

    Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)  =  3x2  +​  2sinx trên khoảng − ∞;  +​ ∞.

    Lời giải:

    Với x∈− ∞;  +​ ∞ ta có:

    ∫(3x2  + 2sinx)dx=∫3x2dx  +  2∫sinxdx =  x3+​ 2.(−cosx) +​  C =   x3−2cosx +​  C

    3. Sự tồn tại nguyên hàm

    Định lí:

    Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

    Ví dụ 5.

    a) Hàm số y=  x có nguyên hàm trên khoảng 0;  + ∞.

    ∫xdx =  ∫x12dx=  23x32 +  C  =  23xx  +​  C

    b) Hàm số y = 1x có nguyên hàm trên khoảng −∞;  0  ∪0;  + ∞

    ∫1xdx  =  lnx  +​  C

    4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

    Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

    Ví dụ 6. Tính:

    Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

    Lời giải:

    Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

    - Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

    II. Phương pháp tính nguyên hàm.

    1. Phương pháp đổi biến số

    - Định lí 1.

    Nếu ∫f(u)du=  F(u)  +​  C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

    ∫f(u(x)). u'(x)dx=  F(u(x))  +​  C

    Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

    ∫f(ax+ ​b)dx  =  1aF(ax+​ b)+​ C

    Ví dụ 7. Tính ∫(3x+ ​2)3dx.

    Lời giải:

    Ta có: ∫u3du =  u44  +​ C nên theo hệ quả ta có:

    ∫(3x+ ​2)3dx  =  (3x+2)44  +​  C

    Chú ý:

    Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

    Ví dụ 8. Tính ∫sinx.cos2xdx

    Lời giải:

    Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

    2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

    - Định lí 2.

    Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

    ∫u(x). v'(x).dx  =u(x).v(x)−  ∫u'(x).v(x)dx

    - Chú ý.

    Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

    ∫udv  = uv−  ∫vdu

    Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

    Ví dụ 9. Tính

    Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

    Lời giải:

    Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

    Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

    B. Bài tập

    I. Bài tập trắc nghiệm

    Bài 1:

    Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

    Lời giải:

    Đặt u = ex + 1 ⇒ u' = ex. Ta có

    Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

    Bài 2: Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx ?

    Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

    Lời giải:

    Cách 1.

    Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

    Cách 2. Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có:

    Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u'dx = -∫udu

    Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

    Vậy chọn đáp án D.

    Bài 3: Tìm I=∫(3x2 - x + 1)exdx

    A. I = (3x2 - 7x +8)ex + C    

    B. I = (3x2 - 7x)ex + C

    C. I = (3x2 - 7x +8) + ex + C    

    D. I = (3x2 - 7x + 3)ex + C

    Lời giải:

    Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:

    Đặt u = 3x2 - x + 1 và dv = exdx ta có du = (6x - 1)dx và v = ex . Do đó:

    ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - ∫(6x - 1)exdx

    Đặt u1 = 6x - 1; dv1 = exdx Ta có: du1 = 6dx và v1 = ex .

    Do đó ∫(6x - 1)exdx = (6x - 1)ex - 6∫exdx = (6x - 1)ex - 6ex + C

    Từ đó suy ra

    ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - (6x - 7)ex + C = (3x2 - 7x + 8)ex + C

    Vậy chọn đáp án A.

    Bài 4:

    Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

    Lời giải:

    Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

    Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

    Vậy chọn đáp án C.

    Bài 5: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc

    Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

    Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng

    A. 10m/s   

    B. 11m/s   

    C. 12m/s   

    D. 13m/s.

    Lời giải:

    Vận tốc của vật bằng

    Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

    với t = 0 ta có v(0)= C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là :

    v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)

    khi đó v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13 (m/s) .

    Vậy chọn đáp án D.

    Bài 6: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .

    A. I = sin(4x + 2) + C    

    B. I = - sin(4x + 3) + C

    C. I = (14).sin(4x + 3) + C   

    D. I = 4sin(4x + 3) + C

    Lời giải:

    Đặt u = 4x + 3

    ⇒ du = 4dx ⇒ dx = 14 du và cos(4x+3)dx được viết thành

    Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

    Tham khảo các loạt bài Toán 12 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,173 14/09/2022
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: