Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng mới nhất - Toán 12

Mục lục Chuyên đề Toán 12 Chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Chuyên đề Nguyên hàm

Xem chi tiết 

Chuyên đề Tích phân

Xem chi tiết 

Chuyên đề Ứng dụng hình học của tích phân

Xem chi tiết 

Chuyên đề Ôn tập chương 3

Xem chi tiết 

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Chương 4: Số phức

Chương 1: Khối đa diện

Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

---------------------------------------------------------

Chuyên đề Nguyên hàm - Toán 12

A. Lý thuyết

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R). 

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x\in K$.

Ví dụ 1.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với $\forall x\in \left(-\infty ;+\infty \right)$

- Hàm số $F\left(x\right)=\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x-3}$là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{-5}{{(x-3)}^2}$ trên khoảng $(-\infty ;3)\cup (3;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$

Vì $F\text{'}\left(x\right)={\left(\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x-3}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{-5}{{(x-3)}^2}=f\left(x\right)$ với $\forall x\in (-\infty ;3)\cup (3;+\infty )$.

- Định lí 1.

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó $F\left(x\right)+C;C\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ 2.

2. Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

$\int f\text{'}\left(x\right)dx=f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+C$

Ví dụ 3.

$\int \left(\text{}{4}^x\right)\text{'}dx$$\hspace{0.17em}=\int 4^x.\ln 4.dx=4^x+C$

- Tính chất 2.

$\int kf\left(x\right)\text{}dx=k.\int f\left(x\right)\text{}dx$(k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

$\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx$$=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2\sin x$ trên khoảng $\left(-\infty ;+\text{\hspace{0.17em}}\infty \right)$.

Lời giải:

Với $x\in \left(-\infty ;+\text{\hspace{0.17em}}\infty \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\int (3x^2+2\sin x)dx\\ =\int 3x^{2}dx+2\int \sin xdx\\ =x^3+\text{\hspace{0.17em}}2.(-c\text{osx) +\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}C }\\ = \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{x}^3-2c\text{osx +\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}C}\end{array}$

3. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ 5.

a) Hàm số $y=\sqrt{x}$ có nguyên hàm trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

$$\begin{gathered} \int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx \\ =\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C \\ =\frac{2}{3}x\sqrt{x}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C \end{gathered}$$

b) Hàm số y = $\frac{1}{x}$ có nguyên hàm trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)\cup \left(0;+\infty \right)$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Ví dụ 6. Tính:

Lời giải:

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

II. Phương pháp tính nguyên hàm.

1. Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu $\int f\left(u\right)du=F\left(u\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$ và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

$\int f\left(u\right(x\left)\right).u\text{'}\left(x\right)dx$$=F\left(u\right(x\left)\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

$\int f(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)dx$$\hspace{0.17em}=\frac{1}{a}F(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)+\text{\hspace{0.17em}}C$

Ví dụ 7. Tính $\int {(3x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^{3}dx$.

Lời giải:

Ta có: $\int u^{3}du=\frac{u^4}{4}+\text{\hspace{0.17em}}C$ nên theo hệ quả ta có:

$\int {(3x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^{3}dx$$\hspace{0.17em}=\frac{{(3x+2)}^4}{4}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ 8. Tính $\int \sin x.c{\text{os}}^{2}xdx$

Lời giải:

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int u\left(x\right).v\text{'}\left(x\right).dx$$\hspace{0.17em}=u\left(x\right).v\left(x\right)-\int u\text{'}\left(x\right).v\left(x\right)dx$

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

$\int udv=uv-\int vdu$

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Ví dụ 9. Tính

Lời giải:

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1:

Lời giải:

Đặt u = ex + 1 ⇒ u' = ex. Ta có

Bài 2: Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx ?

Lời giải:

Cách 1.

Cách 2. Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có:

Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u'dx = -∫udu

Vậy chọn đáp án D.

Bài 3: Tìm I=∫(3x² - x + 1)exdx

A. I = (3x² - 7x +8)ex + C    

B. I = (3x² - 7x)ex + C

C. I = (3x² - 7x +8) + ex + C    

D. I = (3x² - 7x + 3)ex + C

Lời giải:

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:

Đặt u = 3x² - x + 1 và dv = exdx ta có du = (6x - 1)dx và v = ex . Do đó:

∫(3x² - x + 1)exdx = (3x² - x + 1)ex - ∫(6x - 1)exdx

Đặt u₁ = 6x - 1; dv1 = exdx Ta có: du1 = 6dx và v1 = ex .

Do đó ∫(6x - 1)exdx = (6x - 1)ex - 6∫exdx = (6x - 1)ex - 6ex + C

Từ đó suy ra

∫(3x² - x + 1)exdx = (3x² - x + 1)ex - (6x - 7)ex + C = (3x² - 7x + 8)ex + C

Vậy chọn đáp án A.

Bài 4:

Lời giải:

Vậy chọn đáp án C.

Bài 5: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc

Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng

A. 10m/s   

B. 11m/s   

C. 12m/s   

D. 13m/s.

Lời giải:

Vận tốc của vật bằng

với t = 0 ta có v(0)= C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là :

v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)

khi đó v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13 (m/s) .

Vậy chọn đáp án D.

Bài 6: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .

A. I = sin(4x + 2) + C    

B. I = - sin(4x + 3) + C

C. I = ($\frac{1}{4}$).sin(4x + 3) + C   

D. I = 4sin(4x + 3) + C

Lời giải:

Đặt u = 4x + 3

⇒ du = 4dx ⇒ dx = $\frac{1}{4}$ du và cos(4x+3)dx được viết thành