Lý thuyết Tam giác cân – Toán 7 Cánh diều

Lý thuyết Toán 7 Bài 7. Tam giác cân - Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Khi đó, ta gọi:

• Tam giác ABC là tam giác cân tại A;

• AB, AC là các cạnh bên và BC là cạnh đáy;

• $\widehat{\text{B}}\text{, }\widehat{\text{C}}$ là các góc ở đáy và $\widehat{\text{A}}$ là góc ở đỉnh.

Ví dụ: Tam giác DEF như hình vẽ.

Tam giác DEF là tam giác cân không? Vì sao? Nếu là tam giác cân hãy nêu các cạnh bên, cạnh đáy, các góc ở đáy và góc ở đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn giải:

+ Quan sát hình vẽ ta thấy DE = DF = 8 cm

Xét ∆DEF ta có: DE = DF = 8 cm

Nên ∆DEF cân tại D

Vậy ∆DEF là tam giác cân tại D.

+ Tam giác DEF cân tại D có:

• DE, DF là các cạnh bên và EF là cạnh đáy;

• $\widehat{\text{E}}\text{, }\widehat{\text{F}}$ là các góc ở đáy và $\widehat{\text{D}}$là góc ở đỉnh.

2. Tính chất

Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Ví dụ:

Cho ∆ABC cân tại A có $\widehat{\text{B}}=\widehat{\text{C}}$ (hình 2)

Ví dụ: Cho ∆MNP có MN = MP.

a) Chứng minh $\widehat{\text{N}}=\widehat{\text{P}}.$

b) Giả sử $\widehat{\text{M}}=80°$. Tính số đo góc N và góc P.

Hướng dẫn giải

a) Vì ∆MNP có MN = MP nên ∆MNP cân tại M

Do đó $\widehat{\text{N}}=\widehat{\text{P}}$ (tính chất tam giác cân)

Vậy $\widehat{\text{N}}=\widehat{\text{P}}$

b) ∆MNP có $\widehat{\text{M}}+\widehat{\text{N}}+\widehat{\text{P}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Mà $\widehat{\text{M}}=80°$ nên ta có: $80°+\widehat{\text{N}}+\widehat{\text{P}}=180°$

Hay $\widehat{\text{N}}+\widehat{\text{P}}=180°-80°=100°$  (1)

Theo phần a ta có: $\widehat{\text{N}}=\widehat{\text{P}}$          (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{\text{N}}=\widehat{\text{P}}=\frac{100°}{2}=50°$

Vậy $\widehat{\text{N}}=\widehat{\text{P}}=50°.$

Chú ý:

+ Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

+ Trong tam giác vuông cân, mỗi góc ở đáy bằng 45°.

Ví dụ:

∆ABC vuông cân tại A (hình vẽ bên dưới) có: $\left\{\begin{array}{c}\text{AB = AC}\\ \widehat{\text{B}}=\widehat{\text{C}}=45°\end{array}\right.$

3. Dấu hiệu nhận biết

– Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

– Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Chú ý:

+ Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều.

+ Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình vẽ dưới đây.

Chứng minh tam giác ABC cân tại A.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC có: $\widehat{\text{A}}+\widehat{\text{B}}+\widehat{\text{C}}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Hay $120°+30°+\widehat{\text{C}}=180°$

Suy ra: $\widehat{\text{C}}=180°-120°-30°=30°$

Xét ∆ABC có $\widehat{\text{B}}=\widehat{\text{C}}=30°$

Do đó ∆ABC cân tại A (dấu hiệu nhận biết)

Vậy ∆ABC cân tại A.

Ví dụ: Cho tam giác DEF có DE = DF.

a) Chứng minh: ∆DEF cân tại D.

b) Giả sử $\widehat{\text{D}}=60°$. Chứng minh: ∆DEF là tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

a) Vì ∆DEF có DE = DF nên ∆DEF cân tại D

Vậy ∆DEF cân tại D.

b) Theo phần a ta có: ∆DEF cân tại D

Lại có $\widehat{\text{D}}=60°$

Do đó tam giác DEF là tam giác đều.

4. Vẽ tam giác cân

Ví dụ: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ tam giác HEG cân tại H có cạnh bên HE = HG = a

Để vẽ tam giác HEG, ta làm theo các bước:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng EG.

– Bước 2: Vẽ cung tròn tâm E bán kính a và cung tròn tâm G bán kính a. Hai cung tròn cắt nhau tại H.

– Bước 3: Vẽ các đoạn HE, HG. Ta nhận được tam giác HEG cân tại H.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Tìm số đo x trên hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Lại có $\widehat{\mathrm{BAC}}=60°$ nên ∆ABC đều.

Do đó $\widehat{\mathrm{ACB}}=60°$

Xét ∆CAD có CA = CD nên tam giác CAD cân tại C

Do đó $\widehat{\text{CAD}}=\widehat{\text{D}}=\mathrm{x}$ (tính chất tam giác cân)

Tam giác CAD có: $\widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{CAD}}+\widehat{\mathrm{CDA}}$ (góc ngoài của một tam giác)

Hay 60° = x + x

2x = 60°

x = 60° : 2 = 30°

Vậy x = 30°.

Bài 2. Cho ABC có các tia phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I.

Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng MN = MB + NC.

Hướng dẫn giải

Vì MN//BC nên ${\widehat{\mathrm{I}}}_1={\widehat{\mathrm{B}}}_1$ ( hai góc ở vị trí so le trong) (1)

Và ${\widehat{\mathrm{I}}}_2={\widehat{\mathrm{C}}}_1$ (hai góc ở vị trí so le trong)                (2)

Theo bài ra ta có: BI là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{MBC}}$

Do đó ${\widehat{\mathrm{B}}}_1={\widehat{\mathrm{B}}}_2$       (3)

Từ (1) và (3) suy ra ${\widehat{\mathrm{I}}}_1={\widehat{\mathrm{B}}}_2$

Vì ${\widehat{\mathrm{I}}}_1={\widehat{\mathrm{B}}}_2$ nên tam giác MIB cân tại M.

Nên ta có MB = MI.

Do CI là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{NCB}}$ nên ${\widehat{\mathrm{C}}}_1={\widehat{\mathrm{C}}}_2$ (4)

Từ (2) và (4) ta có: ${\widehat{\mathrm{I}}}_2={\widehat{\mathrm{C}}}_1$

Vì vậy tam giác NIC cân tại N.

Nên ta có NI = NC

Ta có I nằm giữa M và N nên MN = MI + IN

Hay MN = MB + NC (vì MB = MI; NI = NC).

Vậy MN = MB + NC.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại D, cắt AC tại E. Trên AB lấy điểm F sao cho AE = AF. Chứng minh:

a) $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DEC}};$

b) ∆DBF là tam giác cân;

c) DB = DE.

Hướng dẫn giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A có: $\widehat{\text{ABC}}+\widehat{\text{ACB}}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau) (1)

Xét ∆DEC vuông tại D có: $\widehat{\text{DEC}}+\widehat{\text{DCE}}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Hay $\widehat{\text{DEC}}+\widehat{\text{ACB}}=90°$               (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DEC}}$.

Vậy $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DEC}}$.

b) Xét ∆DFA và ∆DEA có:

AF = AE (giả thiết),

$\widehat{\text{DAF}}=\widehat{\text{DAE}}$ (vì AD là phân giác của $\widehat{\text{BAC}}$),

DA là cạnh chung

Suy ra ∆DFA = ∆DEA (c.g.c)

Suy ra $\widehat{\text{DFA}}=\widehat{\text{DEA}}$ (hai góc tương ứng)     (3)

Ta có $\widehat{\text{DFA}}+\widehat{\text{DFB}}=180°$ (hai góc kề bù)      (4)

Ta lại có: $\widehat{\text{DEA}}+\widehat{\text{DEC}}=180°$ (hai góc kề bù)       (5)

Từ (3); (4) và (5) suy ra $\widehat{\text{DFB}}=\widehat{\text{DEC}}$

Mà theo phần a: $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DEC}}$

Do đó $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DFB}}$ hay $\widehat{\text{FBD}}=\widehat{\text{DFB}}$

Suy ra ∆DBF cân tại D

Vậy ∆DBF cân tại D.

c) Theo phần b ta có: ∆DBF cân tại D

Suy ra DB = DF (tính chất tam giác cân)      (6)

Ta lại có ∆DFA = ∆DEA (chứng minh phần a)

Do đó DF = DE (hai cạnh tương ứng)       (7)

Từ (6) và (7) suy ra: DB = DE.

Vậy DB = DE.

B.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho ∆ABC có AB < AC. Ở phía ngoài ∆ABC, vẽ ∆ABD và ∆ACE vuông cân tại A. So sánh AD và AE.

A. AD < AE;                   

B. AD > AE;                   

C. AD = AE;                   

D. Không thể so sánh được.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì ∆ABD vuông cân tại A nên AB = AD  (1).

Vì ∆ACE vuông cân tại A nên AC = AE  (2).

Lại có AB < AC (giả thiết)  (3).

Từ (1), (2), (3), ta suy ra AD < AE.

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 2. Cho ∆ABC đều. Lấy điểm M, N trên các cạnh AB, AC sao cho AM = AN. ∆AMN là tam giác gì?

A. Tam giác cân tại A;              

B. Tam giác cân tại M;              

C. Tam giác cân tại N;              

D. Tam giác đều.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì AM = AN (giả thiết).

Nên ∆AMN là tam giác cân tại A.

Mà $\widehat{\mathrm{A}}=60°$ (do ∆ABC đều).

Suy ra ∆AMN là tam giác đều.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 3. Cho ∆ABC cân tại A, tia phân giác trong của $\widehat{\mathrm{A}}$ cắt BC tại D. Khẳng định nào dưới đây sai?

A. D là trung điểm BC;

B. $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{CAD}}=90°$;

C. ∆ADB = ∆ADC;                   

D. $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{ADC}}=180°$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét ∆ADB và ∆ADC, có:

AD là cạnh chung,

$\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{CAD}}$ (do AD là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$),

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ADB = ∆ADC (c.c.c).

Suy ra đáp án C đúng.

Ta có ∆ADB = ∆ADC (chứng minh trên).

Suy ra BD = CD và $\widehat{\mathrm{ADB}}=\widehat{\mathrm{ADC}}$ (cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Vì BD = CD nên D là trung điểm BC.

Do đó đáp án A đúng.

Ta có $\widehat{\mathrm{ADB}}+\widehat{\mathrm{ADC}}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{\mathrm{ADB}}=\widehat{\mathrm{ADC}}=180°:2=90°$.

Do đó AD ⊥ BC.

∆ABD vuông tại D: $\widehat{\mathrm{ABD}}+\widehat{\mathrm{BAD}}=90°$.

Mà $\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{CAD}}$ (AD là phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$).

Suy ra $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{CAD}}=90°$.

Do đó đáp án B đúng.

Ta có $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{CAD}}=90°$.

Suy ra $\widehat{\mathrm{ABC}}<90°$.

Do đó $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{ADC}}<90°+90°=180°$.

Do đó đáp án D sai.

Vậy ta chọn đáp án D.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên

Lý thuyết Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Lý thuyết Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Lý thuyết Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Lý thuyết Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác