Lý thuyết Đường vuông góc và đường xiên – Toán 7 Cánh diều
Với lý thuyết Toán lớp 7 Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 7.
Lý thuyết Toán 7 Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên - Cánh diều
A. Lý thuyết
1. Đường vuông góc và đường xiên
Trong hình vẽ trên, ta gọi:
– Đoạn thẳng AH là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d;
– Điểm H là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d;
– Độ dài đoạn thẳng AH là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d;
– Đoạn thẳng AB là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Ví dụ: Quan sát hình vẽ dưới đây:
Hãy cho biết:
a) Hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d; khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD bằng độ dài đoạn thẳng nào?
b) Đoạn thẳng nào là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d?
Hướng dẫn giải
a) Vì AH vuông góc với đường thẳng d tại H do đó:
Hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là điểm H.
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD là AH = 5cm (do BD ≡ d).
b) Các đoạn thẳng AB; AC; AD là các đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d.
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
– Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Ví dụ: Qua điểm O nằm ngoài đường thẳng a kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng a và cắt a tại B. Lấy hai điểm A và C nằm trên đường thẳng a và nằm về hai phía so với điểm B sao cho ; So sánh độ dài các đoạn thẳng OA; OB; OC.
Hướng dẫn giải
Vì OB là đường vuông góc kẻ từ điểm O đến đường thẳng a và OA; OC là các đường xiên kẻ từ O đến đường thẳng a nên OB là đoạn thẳng ngắn nhất
Do đó OB < OA; OB < OC (1)
Xét ∆OAC có (vì 60° > 45°)
Suy ra: OC > OA (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OB < OA < OC.
Vậy OB < OA < OC.
B. Bài tập tự luyện
B.1 Bài tập tự luận
Bài 1. Cho tam giác ABC có AH, BK, CL là các đường cao kẻ từ các đỉnh tương ứng. Chứng minh rằng: AH + BK + CL < AB + BC + CA.
Hướng dẫn giải:
+) Ta có:
• AH là đường vuông góc;
• AB, AC là các đường xiên kẻ từ A tới BC.
Do đó nên AH + AH < AB + AC
Hay 2AH < AB + AC
Suy ra AH < (1)
+) Ta có BK là đường vuông góc và BA, BC là các đường xiên kẻ từ B tới AC.
Do đó nên 2BK < BA + BC
Suy ra BK < (2)
+) Ta có CL là đường vuông góc và CB, CA là các đường xiên kẻ từ B tới AB.
Do đó nên 2CL < CA + CB
Suy ra CL < (3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra:
AH + BK + CL < + +
Suy ra AH + BK + CL <
AH + BK + CL <
Hay AH + BK + CL < AB + BC + CA.
Vậy AH + BK + CL < AB + BC + CA.
Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C trên đường thẳng BM. So sánh BD + BE và 2AB.
Hướng dẫn giải
Vì D, E lần lượt là hình chiếu của A và C trên đường thẳng BM
Nên AD ⊥ BM tại D suy ra
Và CE ⊥ BM tại E suy ra
Xét DADM và DCEM có:
AM = CM (vì M là trung điểm của AC)
(hai góc đối đỉnh).
Suy ra ∆ADM = ∆CEM (cạnh huyền – góc nhọn)
Do đó DM = EM (hai cạnh tương ứng)
Ta có: BD + BE
= BD + (BM + ME)
= (BD + ME) + BM
Mà DM = ME (chứng minh trên)
Nên BD + BE = (BD + DM) + BM
= BM + BM = 2BM (1)
Vì DABM có (do DABC vuông tại A) nên DABM vuông tại A.
Suy ra BM > AB (vì trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất).
Hay 2BM > 2AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD + BE = 2BM > 2AB.
Vậy BD + BE > 2AB.
Bài 3. Cho ∆ABC có , AC < BC, kẻ CH ⊥ AB tại H. Trên các cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = BC, CN = CH. Chứng minh rằng:
a) MN ⊥ AC;
b) AC + BC < AB + CH.
Hướng dẫn giải
Xét ∆BMC có BM = BC (giả thiết) nên ∆BMC cân tại B.
Suy ra (tính chất tam giác cân) (1)
Vì CH ⊥ AB tại H nên ∆CHM vuông tại H.
Suy (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Hay (2)
Từ (1) và (2) suy ra (3)
Ta có (vì ∆ABC vuông tại C) (4)
Từ (3) và (4) suy ra:
Xét ∆NCM và ∆HCM có:
CN = CH (giả thiết),
(chứng minh trên),
CM là cạnh chung.
Suy ra ∆NCM = ∆HCM (c.g.c)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Do đó MN ⊥ AC tại N.
Vậy MN ⊥ AC.
b) Ta có AB + CH = AM + MB + CH
Mà BM = BC; CH = CN (giả thiết)
Do đó AB + CH = AM + BC + CN (5)
Theo phần a ta có: MN ⊥ AC tại N nên ∆ANM vuông tại N.
Do đó cạnh huyền AM là cạnh lớn nhất.
Suy ra AM > AN.
Hay AM + CN > AN + CN
Suy ra AM + CN > AC
Do đó AM + CN + BC > AC + BC (6)
Từ (5) và (6) suy ra: AB + CH > AC + BC
Vậy AC + BC < AB + CH.
B.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Trong hình bên có bao nhiêu đường xiên kẻ từ các điểm M, P, Q đến đường thẳng NT?
A. 2;
B. 3;
C. 4;
D. 5.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Các đường thẳng không vuông góc với NT đều là đường xiên từ các điểm không thuộc đường thẳng NT đến đường thẳng NT.
Các đoạn thẳng MN, MT là các đường xiên kẻ từ điểm M đến đường thẳng NT.
Đoạn thẳng PT là đường xiên kẻ từ điểm P đến đường thẳng NT.
Đoạn thẳng QS là đường xiên kẻ từ điểm Q đến đường thẳng NT.
Do đó có 4 đường xiên kẻ từ các điểm M, P, Q đến đường thẳng NT.
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 2. Cho ∆ABC có , . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. HA > AC;
B. HA < AC;
C. HA = AC;
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta xét đáp án D:
∆ABC có: (định lí tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra .
Do đó đáp án D sai.
Ta xét đáp án A, B, C:
Ta có AH là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC; AC là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng AC.
Do đó AH < AC.
Suy ra đáp án B đúng, đáp án A, C sai.
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 3. Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh AC lấy điểm F. So sánh độ dài các cạnh EA và BF.
A. EA = BF;
B. EA < BF;
C. EA > BF;
D. Không thể so sánh được.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có đoạn thẳng BA là đường vuông góc kẻ từ điểm B đến đường thẳng AC; đoạn thẳng BF là đường xiên kẻ từ điểm B đến đường thẳng AC.
Do đó BA < BF (1).
Vì E thuộc cạnh AB (giả thiết) nên EA < BA (2).
Từ (1), (2), ta suy ra EA < BA < BF.
Vậy ta chọn đáp án B.
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng
Lý thuyết Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Lý thuyết Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Lý thuyết Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 7 (hay nhất)– Cánh Diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Văn mẫu lớp 7 – Cánh Diều
- Soạn văn lớp 7 (ngắn nhất) – Cánh Diều
- Giải VBT Ngữ văn lớp 7 – Cánh diều
- Giải sgk Tiếng Anh 7 - Explore English
- Giải sgk Tiếng Anh 7 – ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 7 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 7 i-learn Smart World
- Bài tập Tiếng Anh 7 iLearn Smart World theo Unit có đáp án
- Giải sbt Tiếng Anh 7 - ilearn Smart World
- Giải sgk Lịch sử 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Lịch Sử 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Lịch sử 7 – Cánh Diều
- Giải VBT Lịch sử 7 – Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Địa lí 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Địa Lí 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Địa lí 7 – Cánh Diều
- Giải VBT Địa lí 7 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Tin học 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Tin học 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục thể chất 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Âm nhạc 7 – Cánh Diều