Lý thuyết Phép nhân đa thức một biến – Toán 7 Cánh diều
Với lý thuyết Toán lớp 7 Bài 4. Phép nhân đa thức một biến chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 7.
Lý thuyết Toán 7 Bài 4. Phép nhân đa thức một biến - Cánh diều
A. Lý thuyết
1. Nhân đơn thức với đơn thức
– Muốn nhân đơn thức A với đơn thức B, ta làm như sau:
+ Nhân hệ số của đơn thức A với hệ số của đơn thức B;
+ Nhân luỹ thừa của biến A với luỹ thừa của biến đó trong B;
+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
– Tổng quát: Với a ≠ 0, b ≠ 0; m, n ∈ ℕ ta có:
axm. bxn = a.b. xm. xn = abxm + n.
Ví dụ: Tính:
a) 3x2. 5x6;
b) – 4x3. 4x2;
c) 2xm + 2. xn – 2 (m, n ∈ ℕ, n > 2).
Hướng dẫn giải
a) 3x2. 5x6 = 3.5. x2. x6 = 15x2 + 6 = 15x8;
b) – 4x3. 4x2 = – 4.4. x3. x2 = –16x3 + 2 = –16x5;
c) 2xm + 2. xn – 2 = 2. xm + 2. xn – 2 = 2xm + 2 + n – 2 = 2xm + n.
2. Nhân đơn thức với đa thức
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
A(B + C) = AB + AC
A(B – C) = AB – AC
Ví dụ: Tính:
a) x(2x + 1);
b) –2x2(2x2 + 2x – 1);
c) –2x3(x2 + 3x – 5).
Hướng dẫn giải
a) x(2x + 1) = x.2x + x.1 = 2x2 + x;
b) –2x2(2x2 + 2x – 1)
= –2x2.2x2 –2x2.2x –2x2.(–1)
= –4x4 – 4x3 + 2x2;
c) –2x3(x2 + 3x – 5)
= –2x3.x2 –2x3.3x – 2x3.(–5)
= –x5 – 6x4 + 10x3.
3. Nhân đa thức với đa thức
– Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
– Tích của hai đa thức là một đa thức.
– Sau khi thực hiện phép nhân hai đa thức, ta thường viết đa thức tích ở dạng thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ tăng dần hoặc giảm dần của biến.
Ví dụ: Thực hiện phép nhân (4x – 3)(2x2 – 5x + 6).
Hướng dẫn giải
Ta có: (4x – 3)(2x2 – 5x + 6)
= 4x(2x2 – 5x + 6) – 3(2x2 – 5x + 6)
= 4x.2x2 – 4x.5x + 4x.6 – 3.2x2 – 3.(–5x) – 3.6
= 8x3 – 20x2 + 24x – 6x2 + 15x – 18
= 8x3 – 26x2 + 39x – 18
Vậy (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = 8x3 – 26x2 + 39x – 18.
– Chúng ta có thể trình bày phép nhân đa thức theo cột dọc.
Chú ý: Khi thực hiện phép nhân hai đa thức theo cột dọc, các đơn thức có cùng số mũ (của biến) được xếp vào cùng một cột.
Ví dụ: Thực hiện phép nhân (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) theo cột dọc.
Hướng dẫn giải
Ta có: (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = (2x2 – 5x + 6).(4x – 3)
Thực hiện phép nhân theo cột dọc như sau:
Vậy (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = 8x3 – 26x2 + 39x – 18.
B. Bài tập tự luyện
B.1 Bài tập tự luận
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) y2(0,5y3 + 2y2 – y + 0,25);
b) (2x – 3)(3x + 1) – (x + 2)(6x – 1).
Hướng dẫn giải
a) y2(0,5y3 + 2y2 – y + 0,25)
= y2.0,5y3 + y2.2y2 – y2.y + y2.0,25
= 0,5y5 + 2y4 – y3 + 0,25y2
b) (2x – 3)(3x + 1) – (x + 2)(6x – 1)
= 2x.3x + 2x.1 – 3.3x – 3.1 – [x.6x – x.1 + 2.6x + 2.(–1)]
= 6x2 + 2x – 9x – 3 – 6x2 + x – 12x + 2
= (6x2 – 6x2) + (2x – 9x + x – 12x) + (– 3 +2)
= –18x – 1.
Bài 2. Một hình hộp chữ nhật có chiều dài đáy là x + 3 (cm), chiều rộng đáy nhỏ hơn chiều dài đáy 5 cm và chiều cao là x + 2 (cm). Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó.
Hướng dẫn giải
Chiều rộng hình hộp chữ nhật là: x + 3 – 5 = x – 2 (cm).
Thể tích hình hộp chữ nhật là:
V = (x + 3)(x – 2)(x + 2)
= (x.x – 2.x + 3.x – 3.2)(x + 2)
= (x2 + x – 6)(x + 2)
= x2.x + x2.2 + x.x + x.2 – 6.x – 6.2
= x3 + 2x2 + x2 + 2x – 6x – 12
= x3 + 3x2 – 4x – 12
Vậy thể tích hình hộp chữ nhật là: x3 + 3x2 – 4x – 12 (cm3).
Bài 3. Cho đa thức P(x) = x2(x2 – x – 1) + 3x(x + a) + 2, với a là một số.
a) Thu gọn đa thức P(x) rồi sắp xếp đa thức theo số mũ giảm dần của biến.
b) Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng 10.
Hướng dẫn giải
a) P(x) = x2(x2 – x – 1) + 3x(x + a) + 2
= x2.x2 – x2.x – x2.1 + 3x.x + 3x.a + 2
= x4 – x3 – x2 + 3x2 + 3ax + 2
= x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2
Vậy P(x) = x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2.
b) Ta có P(x) = x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2.
Hệ số của x4 là 1;
Hệ số của x3 là –1;
Hệ số của x2 là 2;
Hệ số của x là 3a;
Hệ số tự do là 2.
Tổng các hệ số của P(x) là:
1 + (–1) + 2 + 3a + 2 = 3a + 4.
Mà theo bài tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng 10.
Khi đó: 3a + 4 = 10
Do đó 3a = 6
Vậy a = 2.
B.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tích 2x(x + 1) có kết quả bằng:
A. 2x2 + 2x;
B. 2x2 – 2x;
C. 2x + 2;
D. 2x2 – 2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: 2x(x + 1)
= 2x.x + 2x.1
= 2x2 + 2x.
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 2. Biết 5(2x − 1) − 4(8 − 3x) = 84. Giá trị của x là:
A. x = 4;
B. x = 4,5;
C. x = 5;
D. x = 5,5.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: 5(2x − 1) − 4(8 − 3x) = 84
Suy ra 10x − 5 − 32 + 12x = 84
10x + 12x = 84 + 5 + 32
22x = 121
x = 5,5
Vậy x = 5,5.
Ta chọn phương án D.
Câu 3. Cho B = (m – 1)(m + 6) – (m + 1)(m – 6). Chọn kết luận đúng.
A. B ⁝ 10 với mọi m ∈ ℤ;
B. B ⁝ 15 với mọi m ∈ ℤ;
C. B ⁝ 9 với mọi m ∈ ℤ;
D. B ⁝ 20 với mọi m ∈ ℤ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có B = (m – 1)(m + 6) – (m + 1)(m – 6)
= m.m + m.6 – (1.m + 1.6) – (m.m – m.6 + 1.m – 1.6)
= m2 + 6m – m – 6 – (m2 – 6m + m – 6)
= m2 + 5m – 6 – m2 + 6m – m + 6
= (m2 – m2) + (5m + 6m – m) + (–6 + 6)
= 10m
Nhận thấy 10 ⁝ 10
Do đó 10m ⁝ 10
Nên B ⁝ 10 với mọi giá trị nguyên của m.
Ta chọn phương án A.
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 5. Phép chia đa thức một biến
Lý thuyết Bài 1. Tổng ba góc của một tam giác
Lý thuyết Bài 2. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 7 (hay nhất)– Cánh Diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Văn mẫu lớp 7 – Cánh Diều
- Soạn văn lớp 7 (ngắn nhất) – Cánh Diều
- Giải VBT Ngữ văn lớp 7 – Cánh diều
- Giải sgk Tiếng Anh 7 - Explore English
- Giải sgk Tiếng Anh 7 – ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 7 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 7 i-learn Smart World
- Bài tập Tiếng Anh 7 iLearn Smart World theo Unit có đáp án
- Giải sbt Tiếng Anh 7 - ilearn Smart World
- Giải sgk Lịch sử 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Lịch Sử 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Lịch sử 7 – Cánh Diều
- Giải VBT Lịch sử 7 – Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Địa lí 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Địa Lí 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Địa lí 7 – Cánh Diều
- Giải VBT Địa lí 7 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Tin học 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Tin học 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục thể chất 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Âm nhạc 7 – Cánh Diều