Lý thuyết Phép chia đa thức một biến – Toán 7 Cánh diều
Với lý thuyết Toán lớp 7 Bài 5. Phép chia đa thức một biến chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 7.
Lý thuyết Toán 7 Bài 5. Phép chia đa thức một biến - Cánh diều
A. Lý thuyết
1. Chia đơn thức cho đơn thức
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (B ≠ 0) khi số mũ của biến trong A lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong B, ta làm như sau:
+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
+ Chia luỹ thừa của biến trong A cho luỹ thừa của biến đó trong B.
+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
Tổng quát: Với a ≠ 0; b ≠ 0, m, n ∈ ℕ, m ≥ n ta có:
(axm) : (bxn) = .(xm : xn) = .xm – n
Ví dụ: Tính:
a) 14x2 : 7x;
b) 3x6 : 2x2;
c) –5yn : 10y2 (với n ∈ ℕ, n > 2);
d) (–20xm + 1) : (5xn + 1) (với m, n ∈ ℕ, m > n).
Hướng dẫn giải
a) 14x2 : 7x = (14 : 7). (x2 : x) = 2x2 – 1 = 2x;
b) 3x6 : 2x2 = x6 – 2 = x4;
c) Với n ∈ ℕ, n > 2 ta có:
–5yn : 10y2 = .yn – 2 = yn – 2.
d) Với m, n ∈ ℕ, m > n ta có:
(–20xm + 1) : (5xn + 1)
= (–20 : 5). (xm + 1 : xn + 1)
= –4xm + 1 – n – 1 = –4xm – n.
2. Chia đa thức cho đơn thức
Muốn chia đa thức P cho đơn thức Q (Q ≠ 0) khi số mũ của biến ở mỗi đơn thức của P lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong Q, ta chia mỗi đơn thức của đa thức P cho đơn thức Q rồi cộng các thương với nhau.
(A + B) : C = A : C + B : C
(A – B) : C = A : C – B : C
Ví dụ: Tính
a) (20x5 – 18x4 + 6x2 – 4x) : (–2x);
b) (45x5 + 10x3 – 5x2) : 5x2.
Hướng dẫn giải
a) (20x5 – 18x4 + 6x2 – 4x) : (–2x)
= 20x5 : (–2x) – 18x4 : (–2x) + 6x2 : (–2x) – 4x : (–2x)
= [20 : (–2)](x5 : x) – [18 : (–2)](x4 : x) + [6 : (–2)](x2 : x) – [4 : (–2)](x : x)
= –10x4 + 9x3 – 3x + 2.
b) (45x5 + 10x3 – 5x2) : 5x2
= 45x5 : 5x2 + 10x3 : 5x2 – 5x2 : 5x2
= (45 : 5)(x5 : x2) + (10 : 5)(x3 : x2) – (5 : 5)(x2 : x2)
= 9x3 + 2x – 1.
3. Chia đa thức một biến đã sắp xếp
* Để chia một đa thức cho một đa thức khác đa thức không (cả hai đa thức đều đã thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ giảm dần của biến) khi bậc của đa thức bị chia lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia, ta làm như sau:
– Bước 1.
+ Chia đơn thức bậc cao nhất của đa thức bị chia cho đơn thức bậc cao nhất của đa thức chia.
+ Nhân kết quả trên với đa thức chia và đặt tích dưới đa thức bị chia sao cho hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột.
+ Lấy đa thức bị chia trừ đi tích đặt dưới để được đa thức mới.
– Bước 2. Tiếp tục quá trình trên cho đến khi nhận được đa thức không hoặc đa thức
có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.
* Nhận xét
– Khi chia đa thức A cho đa thức B của cùng một biến (B ≠ 0), có hai khả năng xảy ra:
+ Phép chia có dư bằng 0. Trong trường hợp này ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B.
+ Phép chia có dư là đa thức R (R ≠ 0) với bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Phép chia trong trường hợp này được gọi là phép chia có dư.
– Người ta chứng minh được rằng đối với hai đa thức tuỳ ý A và B của cùng một biến (B ≠ 0), tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B . Q + R, trong đó R bằng 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Như vậy, đã thức A chia hết cho đa thức B khi và chỉ khi R = 0.
Ví dụ: Tính:
a) (9x3 + 6x2 + 3x – 3) : (3x + 1)
b) (6x2 + 4) : (– 2x – 1)
Hướng dẫn giải
a) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:
Vậy (9x3 + 6x2 + 3x – 3) : (3x + 1) = 3x2 + x + (dư ).
b) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:
Vậy (6x2 + 4) : (–2x – 1) = (dư ).
B. Bài tập tự luyện
B.1 Bài tập tự luận
Bài 1. Tính:
a) (6x4 + 8x3 + 4x2 + 2x) : (2x);
b) (2x3 – 24x – 20) : (x2 + 4x + 3).
Hướng dẫn giải
a) (6x4 + 8x3 + 4x2 + 2x) : (2x)
= 6x4 : 2x + 8x3 : 2x + 4x2 : 2x + 2x : 2x
= (6 : 2)(x4 : x) + (8 : 2)(x3 : x) + (4 : 2)(x2 : x) + (2 : 2)(x : x)
= 3x3 + 4x2 + 2x + 1
b) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:
Vậy (2x3 – 24x – 20) : (x2 + 4x + 3) = 2x – 8 (dư 2x + 4).
Bài 2. Một công ty sau khi tăng giá 15 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là x (nghìn đồng) thì có doanh thu là 3x2 + 85x + 600 (nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà công ty đó đã bán được.
Hướng dẫn giải
Số tiền của sản phẩm sau khi tăng là x + 15 (nghìn đồng)
Số sản phầm công ty đó bán được là: (3x2 + 85x + 600) : (x + 15) (sản phẩm)
Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:
Vậy số sản phẩm công ty đó bán được là 3x + 40 (sản phẩm).
Bài 3. Thực hiện phép chia 3x5 + 6x4 – 12x3 cho 3xn trong mỗi trường hợp sau:
a) n = 2;
b) n = 3.
Hướng dẫn giải
a) Thay n = 2 vào 3xn ta được 3x2.
Khi đó:
(3x5 + 6x4 – 12x3) : 3x2
= 3x5 : 3x2 + 6x4 : 3x2 – 12x3 : 3x2
= (3 : 3)(x5: x2) + (6 : 3)(x4 : x2) – (12 : 3)(x3 : x2)
= x3 + 2x2 – 4x.
b) Thay n = 3 vào 3xn ta được 3x3.
Khi đó:
(3x5 + 6x4 – 12x3) : 3x3
= 3x5 : 3x3 + 6x4 : 3x3 – 12x3 : 3x3
= (3 : 3)(x5 : x3) + (6 : 3)(x4 : x3) – (12 : 3)(x3 : x3)
= x2 + 2x – 4.
Bài 4. Tính chiều dài của một hình chữ nhật có diện tích bằng 8x2 + 8x – 6 (cm2) và chiều rộng bằng 2x – 1 (cm).
Hướng dẫn giải
Chiều dài hình chữ nhật là thương của phép chia (8x2 + 8x – 6) : (2x – 1)
Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:
Vậy chiều dài hình chữ nhật là 4x + 6 (cm).
B.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Kết quả của phép tính (với m, n ∈ ℕ) là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 2. Điền vào chỗ trống (x3 + x2 – 12 : (x – 12) = …
A. x + 3;
B. x – 3;
C. x2 + 3x + 6;
D. x2 – 3x + 6.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta thực hiện đặt tính chia đa thức:
Do đó (x3 + x2 – 12 : (x – 12) = x2 + 3x + 6.
Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là x2 + 3x + 6.
Câu 3. Tìm giá trị của a và b đề đa thức 4x3 + ax + b chia cho đa thức x2 – 1 dư 2x – 3.
A. a = –6; b = –3;
B. a = 6; b = –3;
C. a = 2; b = –3;
D. a = –2; b = –3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta đặt tính chia đa thức như sau:
Phần dư của phép chia trên là (a + 4)x + b.
Mà theo bài, đa thức 4x3 + ax + b chia cho đa thức x2 – 1 dư 2x – 3.
Do đó (a + 4)x + b = 2x – 3.
Suy ra
Hay
Vậy a = –2 và b = –3.
Ta chọn phương án D.
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 1. Tổng ba góc của một tam giác
Lý thuyết Bài 2. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác
Lý thuyết Bài 3. Hai tam giác bằng nhau
Lý thuyết Bài 4. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 7 (hay nhất)– Cánh Diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Văn mẫu lớp 7 – Cánh Diều
- Soạn văn lớp 7 (ngắn nhất) – Cánh Diều
- Giải VBT Ngữ văn lớp 7 – Cánh diều
- Giải sgk Tiếng Anh 7 - Explore English
- Giải sgk Tiếng Anh 7 – ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 7 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 7 i-learn Smart World
- Bài tập Tiếng Anh 7 iLearn Smart World theo Unit có đáp án
- Giải sbt Tiếng Anh 7 - ilearn Smart World
- Giải sgk Lịch sử 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Lịch Sử 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Lịch sử 7 – Cánh Diều
- Giải VBT Lịch sử 7 – Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Địa lí 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Địa Lí 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Địa lí 7 – Cánh Diều
- Giải VBT Địa lí 7 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Tin học 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Tin học 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục thể chất 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Âm nhạc 7 – Cánh Diều