Lý thuyết Phép cộng, phép trừ đa thức một biến – Toán 7 Cánh diều
Với lý thuyết Toán lớp 7 Bài 3. Phép cộng, phép trừ đa thức một biến chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 7.
Lý thuyết Toán 7 Bài 3. Phép cộng, phép trừ đa thức một biến - Cánh diều
A. Lý thuyết
1. Phép cộng đa thức một biến
– Để cộng hai đa thức một biến (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:
+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
+ Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột;
+ Cộng hai đơn thức trong từng cột, ta có tổng cần tìm.
– Chú ý: Khi cộng đa thức theo cột dọc, nếu một đa thức khuyết số mũ nào của biến thì khi viết đa thức đó, ta bỏ trống cột tương ứng với số mũ trên.
Ví dụ: Cho hai đa thức: P(x) = x3 – 6x2 + 1 và Q(x) = –3x2 – 2x – 7. Tính tổng P(x) + Q(x) theo cột dọc.
Hướng dẫn giải
Ta thực hiện đặt phép tính cộng hai đa thức như sau:
Vậy P(x) + Q(x) = x3 – 9x2 – 2x – 6.
– Để cộng hai đa thức một biến (theo hàng ngang), ta có thể làm như sau:
+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
+ Viết tổng hai đã thức theo hàng ngang;
+ Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;
+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.
Ví dụ: Cho hai đa thức: P(x) = x3 – 6x2 + 1 và Q(x) = –3x2 – 2x – 7. Tính tổng P(x) + Q(x) theo hàng ngang.
Hướng dẫn giải
Ta có:
P(x) + Q(x) = (x3 – 6x2 + 1) + (–3x2 – 2x – 7)
= x3 – 6x2 + 1 – 3x2 – 2x – 7
= x3 + (– 6x2 – 3x2) – 2x + (1 – 7)
= x3 – 9x2 – 2x – 6.
Vậy P(x) + Q(x) = x3 – 9x2 – 2x – 6.
2. Trừ hai đa thức một biến
– Để trừ đa thức P(x) cho đa thức Q(x) (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:
+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
+ Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột sao cho đơn thức của P(x) ở trên và đơn thức của Q(x) ở dưới;
+ Trừ hai đơn thức trong từng cột, ta có hiệu cần tìm.
Ví dụ: Cho M(x) = 5x4 + 7x3 – 2x và N(x) = –2x3 – 4x2 + 6x + 8. Tính hiệu M(x) – N(x) theo cột dọc.
Hướng dẫn giải
Ta thực hiện đặt phép tính trừ hai đa thức như sau:
Vậy M(x) – N(x) = 5x4 + 9x3 + 4x2 – 8x – 8.
– Để trừ đa thức P(x) cho đa thức Q(x) (theo hàng ngang), ta có thể làm như sau:
+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
+ Viết hiệu P(x) – Q(x) theo hàng ngang, trong đó đa thức Q(x) được đặt trong dấu ngoặc;
+ Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức Q(x), nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;
+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.
Ví dụ: Cho M(x) = 5x4 + 7x3 – 2x và N(x) = –2x3 – 4x2 + 6x + 8. Tính hiệu M(x) – N(x) theo hàng ngang.
Hướng dẫn giải
Ta có:
M(x) – N(x) = (5x4 + 7x3 – 2x) – (–2x3 – 4x2 + 6x + 8)
= 5x4 + 7x3 – 2x + 2x3 + 4x2 – 6x – 8
= 5x4 + (7x2 + 2x3) + 4x2 + (–2x – 6x) – 8
= 5x4 + 9x3 + 4x2 – 8x – 8
Vậy M(x) – N(x) = 5x4 + 9x3 + 4x2 – 8x – 8.
Ví dụ: Xác định bậc của hai đa thức là tổng, hiệu của:
A(x) = –4x4 – 3x2 + 7 và B(x) = 4x4 – 5x2 + 8x – 1.
Hướng dẫn giải
Ta có:
• A(x) + B(x) = (–4x4 – 3x2 + 7) + (4x4 – 5x2 + 8x – 1)
= –4x4 – 3x2 + 7 + 4x4 – 5x2 + 8x – 1
= (–4x4 + 4x4) + (–3x2 – 5x2) + 8x + (7 – 1)
= –8x2 + 8x + 6
Do đó A(x) + B(x) = – 8x2 + 8x + 6.
Vậy bậc của A(x) + B(x) là 2.
• A(x) – B(x) = (–4x4 – 3x2 + 7) – (4x4 – 5x2 + 8x – 1)
= –4x4 – 3x2 + 7 – 4x4 + 5x2 – 8x + 1
= (–4x4 – 4x4) + (–3x2 + 5x2) – 8x + (7 + 1)
= –8x4 + 2x2 – 8x + 8
A(x) + B(x) = –8x4 + 2x2 – 8x + 8.
Vậy bậc của A(x) – B(x) là 4.
B. Bài tập tự luyện
B.1 Bài tập tự luận
Bài 1. Bác Hoa gửi ngân hàng thứ nhất 100 triệu đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất x%/năm. Bác Hoa gửi ngân hàng thứ hai 100 triệu đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất (x + 1,5)%/năm. Hết kì hạn 1 năm, bác Hoa có được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu ở cả hai ngân hàng?
Hướng dẫn giải
Số tiền lãi ở ngân hàng thứ nhất sau 1 năm là:
(triệu đồng)
Số tiền cả gốc lẫn lãi ở ngân hàng thứ nhất sau kì hạn 1 năm là:
100 + x (triệu đồng)
Số tiền lãi ở ngân hàng thứ hai là:
(triệu đồng)
Số tiền cả gốc lẫn lãi ở ngân hàng thứ hai sau kì hạn 1 năm là:
100 + x + 1,5 = 101,5 + x (triệu đồng)
Số tiền bác An có được khi hết kì hạn 1 năm ở cả hai ngân hàng là:
100 + x + 101,5 + x = 2x + 201,5 (triệu đồng)
Vậy sau 1 năm bác Hoa nhận được 2x + 201,5 triệu đồng cả gốc lẫn lãi.
Bài 2. Cho đa thức P(x) = x4 – 5x3 + 4x – 5 và Q(x) = –x4 + 3x2 + 2x + 1.
a) Hãy tính tổng P(x) + Q(x) và tìm bậc của đa thức đó.
b) Tìm đa thức R(x) sao cho P(x) = R(x) + Q(x).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: P(x) + Q(x) = (x4 – 5x3 + 4x – 5) + (–x4 + 3x2 + 2x + 1)
= x4 – 5x3 + 4x – 5 – x4 + 3x2 + 2x + 1
= (x4 – x4) – 5x3 + 3x2 + (4x + 2x) + (1 – 5)
= –5x3 + 3x2 + 6x – 4
Vậy P(x) + Q(x) = –5x3 + 3x2 + 6x – 4.
Bậc của đa thức P(x) + Q(x) là 3.
b) Ta có: P(x) = R(x) + Q(x)
Suy ra R(x) = P(x) – Q(x)
Do đó R(x) = (x4 – 5x3 + 4x – 5) – (–x4 + 3x2 + 2x + 1)
= x4 – 5x3 + 4x – 5 + x4 – 3x2 – 2x – 1
= (x4 + x4) – 5x3 – 3x2 + (4x – 2x) + (–1 – 5)
= 2x4 – 5x3 + 3x2 + 2x – 6
Vậy R(x) = 2x4 – 5x3 + 3x2 + 2x – 6.
B.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho f(x) = 3x5 – 3x4 + x2 – 5 và g(x) = 2x4 – x3 – x2 + 5.
Tính hiệu f(x) – g(x) rồi sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến ta được:
A. 10 + 2x2 + x3 – 5x4 + 3x5;
B. –10 + 2x2 + x3 – 5x4 + 3x5;
C. 3x5 – 5x4 + x3 + 2x2 + 10;
D. 3x5 – 5x4 + x3 + 2x2 – 10.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:
f(x) – g(x)
= (3x5 – 3x4 + x2 – 5) – (2x4 – x3 – x2 + 5)
= 3x5 – 3x4 + x2 – 5 – 2x4 + x3 + x2 – 5
= 3x5 + (–3x4 – 2x4) + x3 + (x2 + x2) – 5 – 5
= 3x5 – 5x4 + x3 + 2x2 – 10
Sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến ta được:
f(x) – g(x) = –10 + 2x2 + x3 – 5x4 + 3x5.
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 2. Cho đa thức P(x) = –6x5 – 4x4 + 3x2 – 2x và Q(x) = 2x5 – 4x4 – 2x3 + 2x2 – x – 3. Tính M(1) với M(x) = P(x) – Q(x).
A. –3;
B. 3;
C. –2;
D. 2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: M(x) = P(x) – Q(x)
M(x) = P(x) – Q(x)
= (–6x5 – 4x4 + 3x2 – 2x) – (2x5 – 4x4 – 2x3 + 2x2 – x – 3)
= –6x5 – 4x4 + 3x2 – 2x – 2x5 + 4x4 + 2x3 – 2x2 + x + 3
= (–6x5 – 2x5) + (–4x4 + 4x4) + 2x3 + (3x2 – 2x2) + (–2x + x) + 3
= –8x5 + 2x3 + x2 – x + 3
Nên M(x) = –8x5 + 2x3 + x2 – x + 3
Thay x = 1 vào M(x) ta được:
M(1) = –8.15 + 2.13 + 12 – 1 + 3
= –8.1 + 2.1 + 1 – 1 + 3
= –8 + 2 + 3
= –3
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 3. Cho f(x) = 2x4 – 4x2 + 6x3 + 2x + 3; g(x) = x + 3 và f(x) + k(x) = g(x). Hệ số tự do của đa thức k(x) là:
A. –1;
B. 4;
C. 0;
D. 6.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có f(x) + k(x) = g(x)
Suy ra k(x) = g(x) – f(x)
= x + 3 – (2x4 – 4x2 + 6x3 + 2x + 3)
= x + 3 – 2x4 + 4x2 – 6x3 – 2x – 3
= –2x4 – 6x3 + 4x2 + (x – 2x) + 3 – 3
= –2x4 – 6x3 + 4x2 – x
Vậy hệ số tự do của k(x) là 0.
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 4. Phép nhân đa thức một biến
Lý thuyết Bài 5. Phép chia đa thức một biến
Lý thuyết Bài 1. Tổng ba góc của một tam giác
Lý thuyết Bài 2. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 7 (hay nhất)– Cánh Diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Văn mẫu lớp 7 – Cánh Diều
- Soạn văn lớp 7 (ngắn nhất) – Cánh Diều
- Giải VBT Ngữ văn lớp 7 – Cánh diều
- Giải sgk Tiếng Anh 7 - Explore English
- Giải sgk Tiếng Anh 7 – ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 7 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 7 i-learn Smart World
- Bài tập Tiếng Anh 7 iLearn Smart World theo Unit có đáp án
- Giải sbt Tiếng Anh 7 - ilearn Smart World
- Giải sgk Lịch sử 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Lịch Sử 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Lịch sử 7 – Cánh Diều
- Giải VBT Lịch sử 7 – Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Địa lí 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Địa Lí 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Địa lí 7 – Cánh Diều
- Giải VBT Địa lí 7 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Tin học 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Tin học 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục thể chất 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Âm nhạc 7 – Cánh Diều