Lý thuyết Tính chất ba đường cao của tam giác – Toán 7 Cánh diều
Với lý thuyết Toán lớp 7 Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 7.
Lý thuyết Toán 7 Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác - Cánh diều
A. Lý thuyết
1. Đường cao của tam giác
– Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là một đường cao của tam giác đó.
Trong hình vẽ trên, đoạn thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC. Đôi khi, ta cũng gọi đường thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC.
Ví dụ: Quan sát hình vẽ dưới đây và xác định các đường cao của tam giác ABC (nếu có):
Hướng dẫn giải
Ta có A là đỉnh của ∆ABC mà AE không vuông góc với BC nên đoạn thẳng AE không là đường cao của ∆ABC.
Ta có B là đỉnh của ∆ABC và BH ⊥ AC tại H nên đoạn thẳng BH là đường cao của ∆ABC.
Ta lại có C là đỉnh của ∆ABC và CK ⊥ AB tại K nên đoạn thẳng CK là đường cao của ∆ABC.
Chú ý:
+ Mỗi tam giác có ba đường cao.
+ Đường cao của tam giác có thể nằm trong, trên cạnh hoặc nằm ngoài tam giác.
2. Tính chất ba đường cao trong tam giác
– Trong một tam giác, ba đường cao cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.
Nhận xét: Để xác định trực tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường cao bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.
Ví dụ: Cho ∆ABC có và hai đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Kẻ CH cắt AB tại M. Tính .
Hướng dẫn giải
Theo bài ta có hai đường cao AE và BF cắt nhau tại H nên H là trực tâm của ∆ABC.
Suy ra CH ⊥ AB tại M
Do đó suy ra ∆AMC vuông tại M
Xét ∆AMC vuông tại M có (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).
Hay
Vậy
B. Bài tập tự luyện
B.1 Bài tập tự luận
Bài 1. Cho ∆ABC cân tại A, vẽ BD ⊥ AC và CE ⊥ AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:
a) AH ⊥ BC.
b) AH là đường trung trực của ED.
Hướng dẫn giải
a) Theo bài ta có BD ⊥ AC và CE ⊥ AB do đó BD, CE là đường cao của ∆ABC.
Mà H là giao điểm của BD và CE.
Vì vậy H là trực tâm của ∆ABC.
Suy ra AH ⊥ BC (tính chất đường cao trong tam giác)
Vậy AH ⊥ BC.
b) • Xét ∆ACE và ∆ABD có:
(vì BD ⊥ AC tại D và CE ⊥ AB tại E),
là góc chung,
AC = AB (vì ∆ABC cân tại A).
Do đó ∆ACE = ∆ABD (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra AE = AD (hai cạnh tương ứng)
Suy ra A nằm trên đường trung trực của ED (4)
• Ta có ∆ACE = ∆ABD (chứng minh trên)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Hay
Ta lại có AB = AE + BE (1)
AC = AD + DC (2)
Mà AB = AC; AE = AD (chứng minh trên) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra BE = CD.
Xét ∆BEH và ∆CDH có:
,
BE = CD (chứng minh trên),
(chứng minh trên).
Do đó ∆BEH = ∆CDH (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra HE = HD (hai cạnh tương ứng)
Vì HE = HD nên H nằm trên đường trung trực của ED (5)
Từ (4) và (5) suy ra A, H nằm trên đường trung trực của ED.
Hay AH là đường trung trực của ED.
Vậy AH là đường trung trực của ED.
Bài 2. Cho ∆ABC cân tại A có AD ⊥ BC tại D. Qua D kẻ DI ⊥ AB tại I biết rằng . Gọi H là trực tâm của ∆ABC. Tính .
Hướng dẫn giải
Kẻ CH cắt AB tại K.
Vì H là trực tâm của ∆ABC nên CH ⊥ AB hay CK ⊥ AB tại K.
Ta lại có DI ⊥ AB tại I.
Do đó DI //CK.
Suy ra (hai góc ở vị trí đồng vị)
Xét ∆DHC vuông tại D có (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)
Hay
Suy ra
Ta lại có (hai góc kề bù)
Hay
Suy ra
Vậy .
Bài 3. Cho ∆ABC có và BD, CE lần lượt là các đường cao hạ từ B, C sao cho BD = CE. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a) Chứng minh: ∆ABC đều.
b) Tính .
Hướng dẫn giải
a) Xét ∆BDC và ∆CEB có:
(vì BD, CE là đường cao ∆ABC),
BD = CE (giả thiết),
BC là cạnh chung.
Do đó ∆BDC = ∆CEB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Hay
Xét ∆ABC có suy ra ∆ABC cân tại A.
∆ABC cân tại A có (giả thiết)
Do đó ∆ABC là tam giác đều.
Vậy ∆ABC là tam giác đều.
b) Xét DACE vuông tại E có (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°) (1)
Xét DDHC vuông tại D có (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)
Hay (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Ta có (hai góc kề bù)
Suy ra
Vậy .
B.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho ∆ABC có ba góc nhọn (AB < AC), đường cao AH. Lấy D là điểm thuộc đoạn HC, vẽ DE ⊥ AC (E ∈ AC). Gọi K là giao điểm của AH và DE. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AD // KC;
B. AD trùng KC;
C. AD cắt KC nhưng không vuông góc với KC;
D. AD ⊥ KC.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
∆AKC có CH, KE là hai đường cao.
Mà CH cắt KE tại D.
Suy ra D là trực tâm của ∆AKC.
Do đó AD ⊥ KC.
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 2. Cho ∆ABC có , AD vuông góc với BC tại D, BE vuông góc với AC tại E. Gọi F là giao điểm của đường thẳng AD và BE. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB ⊥ FC;
B. AB // FC;
C. AB cắt FC nhưng không vuông góc với FC;
D. AB trùng FC.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét ∆FBC có CE và FD là hai đường cao.
Mà CE, FD cắt nhau tại A.
Suy ra A là trực tâm của ∆FBC.
Do đó BA ⊥ FC.
Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 3. Cho ∆ABC vuông tại A, đường trung tuyến BM. Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AB tại D. Vẽ điểm E sao cho M là trung điểm DE. Cho các khẳng định sau:
(I) M là trực tâm của DBCD.
(II) AE // DC.
(III) AE ⊥ BM;
Số khẳng định đúng là:
A. 0;
B. 1;
C. 2;
D. 3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
• Xét ∆DBC có CA, DM là hai đường cao.
Mà M là giao điểm của CA và DM.
Do đó M là trực tâm của ∆DBC.
Suy ra BM ⊥ CD (1).
Do đó (I) đúng.
• Xét ∆MEA và ∆MDC, có:
MA = MC (do BM là đường trung tuyến của ∆ABC),
(hai góc đối đỉnh),
ME = MD (do M là trung điểm DE).
Do đó ∆MEA = ∆MDC (c.g.c)
Suy ra (cặp góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Nên AE // CD (2).
Do đó (II) đúng.
Từ (1), (2), ta suy ra BM ⊥ AE.
Do đó (III) đúng.
Vậy ta chọn phương án D.
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng
Lý thuyết Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Lý thuyết Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Lý thuyết Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 7 (hay nhất)– Cánh Diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Văn mẫu lớp 7 – Cánh Diều
- Soạn văn lớp 7 (ngắn nhất) – Cánh Diều
- Giải VBT Ngữ văn lớp 7 – Cánh diều
- Giải sgk Tiếng Anh 7 - Explore English
- Giải sgk Tiếng Anh 7 – ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 7 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 7 i-learn Smart World
- Bài tập Tiếng Anh 7 iLearn Smart World theo Unit có đáp án
- Giải sbt Tiếng Anh 7 - ilearn Smart World
- Giải sgk Lịch sử 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Lịch Sử 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Lịch sử 7 – Cánh Diều
- Giải VBT Lịch sử 7 – Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Địa lí 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Địa Lí 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Địa lí 7 – Cánh Diều
- Giải VBT Địa lí 7 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Tin học 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Tin học 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục thể chất 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Âm nhạc 7 – Cánh Diều