Lý thuyết Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác – Toán 7 Cánh diều
Với lý thuyết Toán lớp 7 Bài 2. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 7.
Lý thuyết Toán 7 Bài 2. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác - Cánh diều
A. Lý thuyết
1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
1.1. Góc đối diện với cạnh lớn hơn
– Trong tam giác ABC:
• Góc A được gọi là góc đối diện với cạnh BC;
• Góc B được gọi là góc đối diện với cạnh CA;
• Góc C được gọi là góc đối diện với cạnh AB.
– Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Trong tam giác ABC, nếu AC > AB thì
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AC = 4 cm, BC = 5 cm. So sánh góc A và góc B.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC có BC > AC (5 cm > 4 cm)
Mà đối diện với cạnh BC, đối diện với cạnh AC.
Nên (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)
Vậy .
1.2. Cạnh đối diện với góc lớn hơn
– Trong tam giác ABC:
• Cạnh BC được gọi là cạnh đối diện với góc A;
• Cạnh CA được gọi là cạnh đối diện với góc B;
• Cạnh AB được gọi là cạnh đối diện với góc C.
– Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Trong tam giác ABC, nếu thì AC > AB.
– Nhận xét:
+ Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.
+ Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.
Ví dụ: So sánh các cạnh của tam giác trong các hình vẽ sau:
Hướng dẫn giải
• Hình a)
Xét tam giác ABC có (70° > 60° > 50°)
Nên AB > AC > BC (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)
Vậy AB > AC > BC.
• Hình b)
Vì DDEG vuông tại D nên cạnh huyển EG là cạnh lớn nhất (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
Xét DDEG có (60° > 30°)
Nên DE > DG (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)
Vậy EG > DE > DG.
• Hình c)
Vì DMNP có nên là tam giác tù.
Do đó cạnh NP là cạnh lớn nhất (Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất)
Xét DMNP có (37° > 23°)
Nên PM > MN (trong một tam góc, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)
Vậy NP > PM > MN.
2. Bất đẳng thức tam giác
– Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Trong tam giác ABC, ta có: AB + BC > AC; AB + AC > BC; AC + BC > AB.
Các bất đảng thức này gọi là các bất đẳng thức tam giác.
– Nhận xét: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
Ví dụ: Dựa vào bất đẳng thứ tam giác, kiểm tra xem bộ ba độ dài 2 cm, 8 cm, 6 cm và 3 cm, 5 cm, 7 cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
+) Xét bộ ba độ dài: 2 cm, 8 cm, 6 cm.
Ta có: 2 + 6 = 8 không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba độ dài 2 cm, 8 cm, 6 cm không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
+) Xét bộ ba độ dài: 3 cm, 5 cm, 7 cm
Ta có: thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba độ dài 3 cm, 5 cm, 7 cm là độ dài ba cạnh của một tam giác.
B. Bài tập tự luyện
B.1 Bài tập tự luận
Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn. So sánh độ dài mỗi cạnh với nửa chu vi của tam giác đó.
Hướng dẫn giải
Gọi độ dài các cạnh của tam giác ABC là a, b, c (a, b, c > 0) (hình vẽ).
• Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có a < b + c
Nên a + a < b + c + a
Hay 2.a < b + c + a
Suy ra a <
• Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có b < a + c
Nên b + b < b + c + a
Hay 2.b < b + c + a
Suy ra b <
• Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có c < a + b
Nên c + c < b + c + a
Hay 2.c < b + c + a
Suy ra c <
Vây độ dài một cạnh của tam giác luôn nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.
Bài 2. Cho tam giác MNP có góc M là góc tù. Trên cạnh MN lấy điểm D (D khác M, N), trên MP lấy điểm E (E khác M, P). So sánh DE và NP.
Hướng dẫn giải
Vì là góc ngoài của tam giác DME nên
Mà là góc tù (giả thiết) nên là góc tù.
Xét tam giác DEP có là góc tù, DP là cạnh đối diện với
Suy ra DE < DP (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).
Vì là góc ngoài của tam giác DPM nên
Mà là góc tù (giả thiết) nên là góc tù.
Xét tam giác DNP có là góc tù, NP là cạnh đối diện với
Suy ra DP < NP (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).
Lại có DE < DP (chứng minh trên).
Suy ra DE < DP < NP.
Vậy DE < NP.
Bài 3. Ba thành phố A, B, C trên bản đồ là ba đỉnh của một tam giác được mô tả như hình vẽ dưới đây, trong đó AB = 20 km, AC = 50 km.
Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 30 km thì ở hai thành phố A và B có nhận được tín hiệu không ? Vì sao ?
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC có
AC – AB < BC < AC + AB (bất đẳng thức trong tam giác)
Hay 50 – 20 < BC < 50 + 20
Suy ra 30 < BC < 70
Nếu máy phát sóng đặt ở thành phố C có bán kính hoạt động bằng 30 km thì ở thành phố B sẽ không nhận được tín hiệu vì BC > 30 km
Nếu máy phát sóng đặt ở thành phố C có bán kính hoạt động bằng 30 km thì ở thành phố A sẽ không nhận được tín hiệu vì AC = 50 km > 30 km
Vậy nếu máy phát sóng truyền thanh đặt ở thành phố C có bán kính hoạt động 30 km thì ở hai thành phố A và B đều không nhận được tín hiệu.
B.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho tam giác DEG có DE = 5 cm, EG = 7 cm, DG = 8 cm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Góc D là góc nhỏ nhất trong tam giác DEG;
B. Góc E là góc nhỏ nhất trong tam giác DEG;
C. Góc G là góc nhỏ nhất trong tam giác DEG;
D. Góc D là góc lớn nhất trong tam giác DEG.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì tam giác DEG có DG > EG > DE (8 cm > 7 cm > 5 cm) nên theo quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có
Vậy góc G là góc nhỏ nhất và góc E là góc lớn nhất trong tam giác DEG.
Câu 2. Cho tam giác ABC có AB = 1 cm, AC = 4 cm. Độ dài cạnh BC có thể là:
A. BC = 2 cm;
B. BC = 3 cm;
C. BC = 4 cm;
D. BC = 5 cm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác ABC ta có:
AC – AB < BC < AC + AB
Hay 4 – 1 < BC < 4 + 1
Suy ra 3 < BC < 5.
Trong các phương án thì chỉ có phương án C (BC = 4 cm) thỏa mãn điều kiện trên.
Vậy độ dài cạnh BC có thể là 4 cm.
Ta chọn phương án C.
Câu 3. Cho hình vẽ sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ON + OP > MN + MP;
B. ON + OP = MN + MP;
C. ON + OP < MN + MP;
D. ON + OP ≥ MN + MP.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét DOPQ có OP < OQ + PQ (bất đẳng thức trong tam giác)
Xét DQNM có QN < MQ + MN (bất đẳng thức trong tam giác)
Suy ra OP + QN < OQ + PQ + MQ + MN
Hay OP + ON + OQ < OQ + MP + MN
Nên OP + ON < MP + MN
Vậy ta chọn đáp án C.
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 3. Hai tam giác bằng nhau
Lý thuyết Bài 4. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh
Lý thuyết Bài 5. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh
Lý thuyết Bài 6. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 7 (hay nhất)– Cánh Diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Ngữ văn lớp 7 – Cánh Diều
- Văn mẫu lớp 7 – Cánh Diều
- Soạn văn lớp 7 (ngắn nhất) – Cánh Diều
- Giải VBT Ngữ văn lớp 7 – Cánh diều
- Giải sgk Tiếng Anh 7 - Explore English
- Giải sgk Tiếng Anh 7 – ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 7 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 7 i-learn Smart World
- Bài tập Tiếng Anh 7 iLearn Smart World theo Unit có đáp án
- Giải sbt Tiếng Anh 7 - ilearn Smart World
- Giải sgk Lịch sử 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Lịch Sử 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Lịch sử 7 – Cánh Diều
- Giải VBT Lịch sử 7 – Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Khoa học tự nhiên 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Địa lí 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Địa Lí 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Địa lí 7 – Cánh Diều
- Giải VBT Địa lí 7 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Tin học 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Tin học 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Giáo dục công dân 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Lý thuyết Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Giải sbt Công nghệ 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục thể chất 7 – Cánh Diều
- Giải sgk Âm nhạc 7 – Cánh Diều