Toán 12 Bài 4 (Kết nối tri thức): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Giải Toán 12 trang 26 Tập 1

HĐ1 trang 26 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=x^2-4x+3$. Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Tính y’ và tìm các điểm tại đó $y^{\prime }=0$.

b) Xét dấu y’ để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.

c) Tính $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y$ và lập bảng biến thiên của hàm số.

d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

Ta có: $y^{\prime }=2x-4,y^{\prime }=0\iff 2x-4=0\iff x=2$

Vậy với $x=2$ thì $y^{\prime }=0$.

b) Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2,$ giá trị cực tiểu $y_{CT}=-1$. Hàm số không có cực đại.

c) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^2-4x+3\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^2\left(1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}\right)\right]=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^2-4x+3\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^2\left(1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}\right)\right]=+\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

d) Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$ với trục tung là $\left(0;3\right)$.

Ta có: $x^2-4x+3=0\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}$. Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $\left(3;0\right);\left(1;0\right)$.

Điểm $\left(4;3\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$.

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=2$ làm trục đối xứng.

d) Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$ với trục tung là $\left(0;3\right)$.

Ta có: $x^2-4x+3=0\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}$. Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $\left(3;0\right);\left(1;0\right)$.

Điểm $\left(4;3\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$.

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=2$ làm trục đối xứng.

2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc 3

Giải Toán 12 trang 28 Tập 1

Luyện tập 1 trang 28 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-2x^3+3x^2-5x$.

Lời giải:

1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=-6x^2+6x-5=-6{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{7}{2}\le -\frac{7}{2}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Hàm số nghịch biến trên $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(-2x^3+3x^2-5x\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(-2+\frac{3}{x}-\frac{3}{x^2}\right)\right]=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-2x^3+3x^2-5x\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(-2+\frac{3}{x}-\frac{3}{x^2}\right)\right]=-\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=-2x^3+3x^2-5x$ với trục tung là $\left(0;0\right)$.

Ta có: $-2x^3+3x^2-5x=0\iff -x\left(2x^2-3x+5\right)=0\iff x=0$. Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).

Điểm $\left(1;-4\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=-2x^3+3x^2-5x$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $\left(\frac{1}{2};-2\right)$.

3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ

Giải Toán 12 trang 29 Tập 1

Luyện tập 2 trang 29 Toán 12 Tập 1: Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi f(x) là hàm số xác định với $x\ge 1$.

Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là $C\left(x\right)=2x+45$ (triệu đồng). Khi đó, chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$. Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/ sản phẩm. Điều này thể hiện trên đồ thị của hàm số f(x) trong Hình 1.27 như thế nào?

Lời giải:

Ta có: $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{2x+45}{x}$

Vì $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-45}{x^2}<0$ với mọi $x\ge 1$ nên hàm số $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ là hàm số giảm.

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+45}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2+\frac{45}{x}}{1}=2$

Do đó, chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn 2 triệu đồng/ sản phẩm.

Điều này được thể hiện trong Hình 1.27 là đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$ và đi xuống trong khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Vận dụng trang 29 Toán 12 Tập 1: Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).

a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút.

b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với $t\ge 0$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Lời giải:

a) Thể tích nước trong bể sau t phút là: $200+40t$ (l).

Khối lượng chất khử trùng trong bể sau t phút là: $20t$ (g).

Nồng độ chất khử trùng trong bể sau t phút là: $\frac{20t}{40t+200}$(gam/lít).

b) Hàm số về nồng độ chất khử trùng là: $f\left(t\right)=\frac{20t}{40t+200},t\ge 0$

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)=\frac{20t}{40t+200},t\ge 0$.

1. Tập xác định của hàm số: $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $f^{\prime }\left(t\right)=\frac{4000}{{\left(40t+200\right)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận: $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(t\right)=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{20t}{40t+200}=\frac{1}{2}$

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ làm tiệm cận ngang (phần bên phải trục Oy).

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)=\frac{20t}{40t+200}$ với trục tung là $\left(0;0\right)$.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).

Đồ thị hàm số $f\left(t\right)=\frac{20t}{40t+200},t\ge 0$ là phần màu xanh không bị gạch chéo.

c) Vì $f^{\prime }\left(t\right)=\frac{4000}{{\left(40t+200\right)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$ và $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(t\right)=\frac{1}{2}$ nên nồng độ chất khử trùng tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/ lít.

Giải Toán 12 trang 32 Tập 1

Luyện tập 3 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{-x^2+3x-1}{x-2}$.

Lời giải:

1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y=\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-x+1+\frac{1}{x-2}$

$y^{\prime }=-1-\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}<0\mathrm{\forall }x\ne 2$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị.

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=+\mathrm{\infty }$
$\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(-x+1\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x+1+\frac{1}{x-2}+x-1\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(-x+1\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x+1+\frac{1}{x-2}+x-1\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=2$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y=-x+1$ làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là $\left(0;\frac{1}{2}\right)$.

$y=0\iff \frac{-x^2+3x-1}{x-2}=0\iff x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm$\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2};0\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};0\right)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I\left(2;-1\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài tập

Bài 1.21 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=-x^3+3x+1$;
b) $y=x^3+3x^2-x-1$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+3,y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$

Trên khoảng $\left(-1;1\right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến. Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$, giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=-1$

Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x^3+3x+1\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(-1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)\right]=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x^3+3x+1\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(-1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)\right]=-\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^3+3x+1$ với trục tung là (0; 1).

Các điểm (1; 3); $\left(-1;-1\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=-x^3+3x+1$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).

b) 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=3x^2+6x-1,y^{\prime }=0\iff x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}$ hoặc $x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}$

Trên khoảng $\left(\frac{-3-2\sqrt{3}}{3};\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\right)$ và $\left(\frac{-3+2\sqrt{3}}{3};+\mathrm{\infty }\right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}$, giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=\frac{18-16\sqrt{3}}{9}$.

Giới hạn tại vô cực:$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^3+3x^2-x-1\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)\right]=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^3+3x^2-x-1\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)\right]=+\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-x-1$ với trục tung là (0; -1).

Các điểm (-1; 2); $\left(1;2\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-x-1$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (-1; 2).

Bài 1.22 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x+1}{x+1}$;

b) $y=\frac{x+3}{1-x}$.