Toán 12 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 2 trang 73, 74

Bài tập 2.32 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-3\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;-1;2\right)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ bằng
A. $-2$.
B. $-11$.
C. 11.
D. 2.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.\left(-2\right)+1.\left(-1\right)+\left(-3\right).2=-11$

Chọn B

Bài tập 2.33 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-2\right),\overrightarrow{b}=\left(0;-1;1\right)$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bằng
A. ${60}^0$.
B. ${135}^0$.
C. ${120}^0$.
D. ${45}^0$.

Lời giải:

$\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{2.0+1.\left(-1\right)+\left(-2\right).1}{\sqrt{2^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{0^2+{\left(-1\right)}^2+1^2}}=\frac{-3}{3.\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={135}^0$

Chọn B

Bài tập 2.34 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(-2;2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;-1;-2\right)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bằng
A. $\frac{-2\sqrt{2}}{3}$.
B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
D. $\frac{-\sqrt{2}}{3}$.

Lời giải:

$\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{\left(-2\right).1+2.\left(-1\right)+2.\left(-2\right)}{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+2^2+2^2+}.\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{-2\sqrt{2}}{3}$

Chọn A

B. Tự luận

Bài tập 2.35 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Lời giải:

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra $\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}$

Ta có:$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{SO}+\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA}\right)=2\overrightarrow{SO}$

$\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{SO}+\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OB}\right)=2\overrightarrow{SO}$

Do đó, $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$

Bài tập 2.36 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}$. Hãy biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

Ta có:$\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MA},\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}\Rightarrow \overrightarrow{CN}=-2\overrightarrow{ND}$

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$ (1)

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DN}$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DN}=-\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$

$=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}$

Bài tập 2.37 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.
a) Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Lời giải:

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của BD. Do đó, A’I là đường trung tuyến của tam giác A’BD. Mà G là trọng tâm tam giác A’BD nên $\overrightarrow{A^{\prime }G}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A^{\prime }I}$.

Vì I là trung điểm BD nên:

$\overrightarrow{A^{\prime }I}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A^{\prime }B}+\overrightarrow{A^{\prime }D}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }A}\right)=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

Do đó, $\overrightarrow{A^{\prime }G}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

Ta có:$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }G}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\frac{2}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$

b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

Do đó, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=3\overrightarrow{AG}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AG}$ cùng phương. Vậy ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Bài tập 2.38 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left(2;-1;3\right),B\left(1;1;-1\right)$ và $C\left(-1;0;2\right)$.
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Lời giải:

a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{2+1-1}{3}=\frac{2}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{-1+1+0}{3}=0\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{3-1+2}{3}=\frac{4}{3}\end{array}$

Vậy tọa độ trọng tâm G là: G$\left(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}\right)$.

b) Vì M thuộc trục Oz nên M(0; 0; z).

Ta có: $\overrightarrow{BM}\left(-1;-1;z+1\right),\overrightarrow{AC}\left(-3;1;-1\right)$

Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên

$\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0\iff \left(-1\right).\left(-3\right)+\left(-1\right).1+\left(z+1\right)\left(-1\right)=0$

$\iff 2-z-1=0\iff z=1$.

Vậy M(0; 0; 1) thì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Bài tập 2.39 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ và các điểm $A\left(2;3;1\right),C\left(-1;2;3\right)$ và $O^{\prime }\left(1;-2;2\right)$. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải:

Ta có: O(0; 0; 0)

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên:

$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_{A^{\prime }}-x_A=x_{O^{\prime }}-x_O\\ y_{A^{\prime }}-y_A=y_{O^{\prime }}-y_O\\ z_{A^{\prime }}-z_A=z_{O^{\prime }}-z_O\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_{A^{\prime }}=x_{O^{\prime }}-x_O+x_A=3\\ y_{A^{\prime }}=y_{O^{\prime }}-y_O+y_A=1\\ z_{A^{\prime }}=z_{O^{\prime }}-z_O+z_A=3\end{array}\Rightarrow A^{\prime }\left(3;1;3\right)$

$\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_{C^{\prime }}-x_C=x_{O^{\prime }}-x_O\\ y_{C^{\prime }}-y_C=y_{O^{\prime }}-y_O\\ z_{C^{\prime }}-z_C=z_{O^{\prime }}-z_O\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_{C^{\prime }}=x_{O^{\prime }}-x_O+x_C=0\\ y_{C^{\prime }}=y_{O^{\prime }}-y_O+y_C=0\\ z_{C^{\prime }}=z_{O^{\prime }}-z_O+z_C=5\end{array}\Rightarrow C^{\prime }\left(0;0;5\right)$

Vì ABCO là hình bình hành nên $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OA}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_B+1=2\\ y_B-2=3\\ z_B-3=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_B=1\\ y_B=5\\ z_B=4\end{array}\Rightarrow B\left(1;5;4\right)$

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_{B^{\prime }}-1=1\\ y_{B^{\prime }}-5=-2\\ z_{B^{\prime }}-4=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_{B^{\prime }}=2\\ y_{B^{\prime }}=3\\ z_{B^{\prime }}=6\end{array}\Rightarrow B^{\prime }\left(2;3;6\right)$

Bài tập 2.40 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-2;1;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;1;-1\right)$.
a) Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$.
b) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$.
c) Tính $\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=\left(-2-2.1;1-2.1;2-2\left(-1\right)\right)=\left(-4;-1;4\right)$

b) $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-1\right)}^2+4^2}=\sqrt{33}$

c) $\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{\left(-2\right).1+1.1+2.\left(-1\right)}{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2+2^2}.\sqrt{1^2+1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{-\sqrt{3}}{3}$

Bài tập 2.41 trang 74 Toán 12 Tập 1:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left(4;2;-1\right),B\left(1;-1;2\right)$ và $C\left(0;-2;3\right)$.
a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$.
c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Lời giải:

a)$\overrightarrow{AB}=\left(1-4;-1-2;2+1\right)=\left(-3;-3;3\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-3\right)}^2+3^2}=3\sqrt{3}$

b) Gọi M (x; y; z) thì $\overrightarrow{MC}=\left(-x;-2-y,3-z\right)$.

Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MC}\Rightarrow \{\begin{array}{l}-x=-3\\ -2-y=-3\\ 3-z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\\ z=0\end{array}$. Do đó, M(3; 1; 0).

c) Vì N thuộc mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ điểm N là N(x; y; 0)

Ta có: $\overrightarrow{AN}\left(x-4;y-2;1\right);\overrightarrow{BN}\left(x-1;y+1;-2\right)$

Để A, B, N thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow{AN},\overrightarrow{BN}$ cùng phương. Do đó, $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{BN}$ (với k là số thực bất kì)

Suy ra, $\{\begin{array}{l}x-4=k\left(x-1\right)\\ y-2=k\left(y+1\right)\\ 1=-2k\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x-4=-\frac{1}{2}\left(x-1\right)\\ y-2=-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\\ k=\frac{-1}{2}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}$.

Vậy N(3; 1)

Bài tập 2.42 trang 74 Toán 12 Tập 1: Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà 0,5m, cách hai tường lần lượt là 1,2m và 1,6m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4m, cách hai tường đều là 1,5m.
a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.
b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau:

+ Gốc O trùng với một góc của phòng

+ Mặt phẳng (Oxy) trùng với trần nhà, mặt phẳng (Oxz) và mặt phẳng (Oyz) trùng với hai bức tường (như hình vẽ).

Tọa độ của bóng đèn lúc đầu là A(1,6; 1,2; 0,5)

Tọa độ bóng đèn sau khi di chuyển là: B(1,5; 1,5; 0,4)