Giải Toán 12 trang 73 Tập 1 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 12 trang 73 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 2 trang 73, 74 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 73 Tập 1.

1 111 09/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 trang 73 Tập 1

Bài tập 2.25 trang 73 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\vec{B G} + \vec{C G} + \vec{D G} = \vec{0}$ .
B. $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 3 \vec{A G}$ .
C. $\vec{B C} + \vec{B D} = 3 \vec{B G}$ .
D. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ .

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên $\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0} \Rightarrow \vec{B G} + \vec{C G} + \vec{D G} = \vec{0}$ , do đó A đúng.

Vì $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = \vec{A G} + \vec{G B} + \vec{A G} + \vec{G C} + \vec{A G} + \vec{G D} = 3 \vec{A G} + (\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D}) = 3 \vec{A G}$ , do đó B đúng.

Gọi N là trung điểm của CD, khi đó, $\vec{B C} + \vec{B D} = 2 \vec{B N} = 2. \frac{3}{2} \vec{B G} = 3 \vec{B G}$ nên C đúng.

Ta có: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{G A} + \vec{0} = \vec{G A}$ nên D sai.

Chọn D

Bài tập 2.26 trang 73 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC’. Vectơ $\vec{A M}$ bằng
A. $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}$ .
B. $\vec{A B} + \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A^{'}}$ .
C. $\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A^{'}}$ .
D. $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}$ .

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Vì M là trung điểm của CC’ nên $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A C^{'}} + \vec{A C}) = \frac{1}{2} (\vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A B} + \vec{A D})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A A^{'}} + 2 \vec{A B} + 2 \vec{A D}) = \frac{1}{2} \vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{A D}$

Chọn B.

Bài tập 2.27 trang 73 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\vec{A B} + \vec{C C^{'}} = \vec{A B^{'}}$ .
B. $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ .
C. $\vec{A D} + \vec{B B^{'}} = \vec{A D^{'}}$ .
D. $\vec{A B} + \vec{C C^{'}} = \vec{A C^{'}}$ .

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Vì DC’B’A là hình bình hành nên $\vec{D C^{'}} = \vec{A B^{'}}$

Do đó, $\vec{A B} + \vec{C C^{'}} = \vec{D C} + \vec{C C^{'}} = \vec{D C^{'}} = \vec{A B^{'}}$ nên A đúng, D sai.

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ (quy tắc hình hộp) nên B đúng.

Ta có: $\vec{A D} + \vec{B B^{'}} = \vec{A D} + \vec{D D^{'}} = \vec{A D^{'}}$ , do đó C đúng

Chọn D

Bài tập 2.28 trang 73 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A M}$ bằng
A. $\frac{a^{2}}{4}$ .
B. $\frac{a^{2}}{2}$ .
C. $\frac{a^{2}}{3}$ .
D. $a^{2}$ .

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Tam giác ACD có ba cạnh bằng a nên tam giác ACD đều, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên $A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Tam giác CBD có ba cạnh bằng a nên tam giác CBD đều, BM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên $B M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Áp dụng định côsin vào tam giác ABM ta có:

$\cos \hat{B A M} = \frac{A M^{2} + A B^{2} - M B^{2}}{2 A B . M B} = \frac{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}}{2. \frac{a \sqrt{3}}{2} . a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\vec{A B} . \vec{A M} = | \vec{A B} | . | \vec{A M} | . \cos (\vec{A B}; \vec{A M}) = a . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a^{2}}{2}$

Chọn B

Bài tập 2.29 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (1; - 2; 2), \vec{b} = (- 2; 0; 3)$ . Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\vec{a} + \vec{b} = (- 1; - 2; 5)$ .
B. $\vec{a} - \vec{b} = (3; - 2; - 1)$ .
C. $3 \vec{a} = (3; - 2; 2)$ .
D. $2 \vec{a} + \vec{b} = (0; - 4; 7)$ .

Lời giải:

$\vec{a} + \vec{b} = (1 - 2; - 2 + 0; 2 + 3) = (- 1; - 2; 5)$ nên A đúng.

$\vec{a} - \vec{b} = (1 + 2; - 2 - 0; 2 - 3) = (3; - 2; - 1)$ nên B đúng.

$3 \vec{a} = (3.1; 3. (- 2); 3.2) = (3; - 6; 6)$ nên C sai.

$2 \vec{a} + \vec{b} = (2.1 - 2; 2. (- 2) + 0; 2.2 + 3) = (0; - 4; 7)$ nên D đúng.

Chọn C

Bài tập 2.30 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có $A (- 1; 0; 3), B (2; 1; - 1)$ và $C (3; 2; 2)$ . Tọa độ của điểm D là
A. $(2; - 1; 0)$ .
B. $(0; - 1; - 6)$ .
C. $(0; 1; 6)$ .
D. $(- 2; 1; 0)$ .

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Ta có: $\vec{A B} (3; 1; - 4)$ . Gọi tọa độ của điểm D là D(x; y; z) thì $\vec{D C} (3 - x; 2 - y; 2 - z)$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C} \Rightarrow {\begin{cases} 3 = 3 - x \\ 1 = 2 - y \\ - 4 = 2 - z \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 6 \end{cases}$

Do đó, tọa độ của điểm D là $(0; 1; 6)$

Chọn C

Bài tập 2.31 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $A (1; 0; - 1), B (0; - 1; 2)$ và $G (2; 1; 0)$ . Biết tam giác ABC có trọng tâm G. Tọa độ của điểm C là

Lời giải:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

${\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x_{C} = 3 x_{G} - x_{A} - x_{B} = 3.2 - 1 - 0 = 5 \\ y_{C} = 3 y_{G} - y_{A} - y_{B} = 3.1 - 0 + 1 = 4 \\ z_{C} = 3 z_{G} - z_{A} - z_{B} = 3.0 + 1 - 2 = - 1 \end{cases}$

Vậy tọa độ điểm C là $(5; 4; - 1)$

Chọn A

Bài tập 2.32 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (2; 1; - 3), \vec{b} = (- 2; - 1; 2)$ . Tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ bằng
A. $- 2$ .
B. $- 11$ .
C. 11.
D. 2.

Lời giải:

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 2. (- 2) + 1. (- 1) + (- 3) .2 = - 11$

Chọn B

Bài tập 2.33 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (2; 1; - 2), \vec{b} = (0; - 1; 1)$ . Góc giữa hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ bằng
A. $60^{0}$ .
B. $135^{0}$ .
C. $120^{0}$ .
D. $45^{0}$ .

Lời giải:

$\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{2.0 + 1. (- 1) + (- 2) .1}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{- 3}{3. \sqrt{2}} = \frac{- \sqrt{2}}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 135^{0}$