Toán 12 Bài 1 (Kết nối tri thức): Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=x^2-4x+3,y^{\prime }=0\iff x^2-4x+3=0\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$ nghịch biến trên khoảng $\left(1;3\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+4x-5$

Vì$-3x^2+4x-5=-3\left(x^2-2.\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right)-\frac{11}{3}=-3{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2-\frac{11}{3}<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Do đó, $y^{\prime }<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Vậy hàm số $y=-x^3+2x^2-5x+3$ nghịch biến trên $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$.

Lời giải:

Ta có: $f^{\prime }\left(t\right)=\frac{-5000{\left(1+5e^{-t}\right)}^{\prime }}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^2}=\frac{25000e^{-t}}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^2}$

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi $f^{\prime }\left(t\right)$ lớn nhất.

Đặt $h\left(t\right)=\frac{25000e^{-t}}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^2}$.

$h^{\prime }\left(t\right)=\frac{-25000e^{-t}{\left(1+5e^{-t}\right)}^2-2.\left(-5e^{-t}\right).\left(1+5e^{-t}\right).25000e^{-t}}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^4}$

$=\frac{-25000e^{-t}\left(1+5e^{-t}\right)\left(1+5e^{-t}-10e^{-t}\right)}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^4}=\frac{-25000e^{-t}\left(1-5e^{-t}\right)}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^3}$

$h^{\prime }\left(t\right)=0\iff \frac{-25000e^{-t}\left(1-5e^{-t}\right)}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^3}=0\iff 1-5e^{-t}=0\iff e^{-t}=\frac{1}{5}\iff t=\ln 5$(tm)

Ta có bảng biến thiên với $t\in \left[0;+\mathrm{\infty }\right)$:

Vậy sau khi phát hành khoảng $\ln 5\approx 1,6$ năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

•Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giả sử K là khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K.

- Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) > f(x₂).

Chú ý:

- Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (H.1.3a).

- Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.1.3b).

- Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

- Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị hàm số, suy ra:

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

- Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

• Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng K.

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng K.

Chú ý:

- Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp f'(x) bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K.

- Người ta chứng minh được rằng, nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng K.

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x³ – 2x² + x + 1.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có y' = 3x² – 4x + 1.

Ta có y' > 0 khi $x \in (-\infty ;\frac{1}{3}) \cup (1;+\infty )$ và y' < 0 khi $x\in (\frac{1}{3};1)$ .

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;\frac{1}{3})$ và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng $(\frac{1}{3};1)$ .

• Các bước xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y = f(x).

Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=\frac{5-2x}{x+3}$ .

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là ℝ\{−3}.

Có $y\text{'}=\frac{(5-2x)\text{'}.(x+3)-(5-2x).(x+3)\text{'}}{{(x+3)}^2}=-\frac{11}{{(x+3)}^2}<0$ với mọi x ≠ −3.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên, ta có: hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −3) và (−3; +∞).

2. Cực trị của hàm số

• Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là −∞, b có thể là +∞) và điểm x₀ ∈ (a; b).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) $\subset$ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

- Nếu tồn tại h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) $\subset$(a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

Chú ý:

- Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x). Khi đó, f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x) và kí hiệu f_CĐ hay y_CĐ. Điểm M₀(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

- Nếu hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x). Khi đó, f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x) và kí hiệu là f_CT hay y_CT. Điểm M₀(x₀; f(x₀)) được gọi điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

- Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị hàm số, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 và y_CT = y(−1) = −2.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = −1.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y_CT = y(1) = −2.

• Mối liên hệ giữa đạo hàm và cực trị

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀) và (x₀; b). Khi đó

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) > 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Ví dụ 5. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tìm cực trị của hàm số trên.

Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = 5.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = y(2) = 1.

• Các bước tìm điểm cực trị của hàm số f(x)

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f(x):

Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4.Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Ví dụ 6. Tìm cực trị của hàm số y = x⁴ – 4x² – 3.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có y' = 4x³ – 8x; y' = 0 $\iff$$x=-\sqrt{2}$ hoặc x = 0 hoặc $x=\sqrt{2}$.

Từ bảng biến thiên, ta có:

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = −3.

- Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-\sqrt{2}$ và $y_{CT} =y(-\sqrt{2} )=-7$ .

- Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\sqrt{2}$ và $y_{CT} =y(\sqrt{2} )=-7$ .

Chú ý:

Nếu f'(x₀) = 0 nhưng f'(x) không đổi dấu khi x qua x₀ thì x₀ không phải là điểm cực trị của hàm số. Chẳng hạn, hàm số f(x) = x³ có f'(x) = 3x², f'(0) = 0, nhưng x = 0 không phải là điểm cực trị của hàm số.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài tập cuối chương 1 trang 42