Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic

Lời giải Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12.

1 5,270 08/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f (t) = \frac{5 000}{1 + 5 e^{- t}}, t \geq 0,$ trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Lời giải:

Ta có: $f^{'} (t) = \frac{- 5000 {(1 + 5 e^{- t})}^{'}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}} = \frac{25 000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi $f^{'} (t)$ lớn nhất.

Đặt $h (t) = \frac{25 000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$ .

$h^{'} (t) = \frac{- 25 000 e^{- t} {(1 + 5 e^{- t})}^{2} - 2. (- 5 e^{- t}) . (1 + 5 e^{- t}) .25 000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

$= \frac{- 25 000 e^{- t} (1 + 5 e^{- t}) (1 + 5 e^{- t} - 10 e^{- t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}} = \frac{- 25 000 e^{- t} (1 - 5 e^{- t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

$h^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow \frac{- 25 000 e^{- t} (1 - 5 e^{- t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5 e^{- t} = 0 \Leftrightarrow e^{- t} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5$ (tm)

Ta có bảng biến thiên với $t \in [0; + \infty)$ :

Tài liệu VietJack

Vậy sau khi phát hành khoảng $\ln 5 \approx 1, 6$ năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

HĐ 1 trang 6 Toán 12 Tập 1: Quan sát đồ thị của hàm số $y = x^{2}$ (H.1.2) a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào? b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Luyện tập 1 trang 6 Toán 12 Tập 1: Hình 1.5 là đồ thị của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ . Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

HĐ 2 trang 6 Toán 12 Tập 1: a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ , $(1; + \infty)$ . Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm...

Luyện tập 2 trang 7 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $y = - x^{2} + 2 x + 3$ .

HĐ 3 trang 7 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1$ . a) Tính đạo hàm $f^{'} (x)$ và tìm các điểm x mà $f^{'} (x) = 0$ ....

Luyện tập 3 trang 9 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) $y = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 2$ ; b) $y = \frac{- x^{2} + 5 x - 7}{x - 2}$ ...

Vận dụng 1 trang 9 Toán 12 Tập 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau...

HĐ4 trang 9 Toán 12 Tập 1: Quan sát đồ thị của hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 4$ (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở...

Luyện tập 4 trang 10 Toán 12 Tập 1: Hình 1.9 là đồ thị của hàm số $y = f (x)$ . Hãy tìm các cực trị của hàm số...

HĐ5 trang 10 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 1$ . a) Tính đạo hàm $f^{'} (x)$ và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm $f^{'} (x)$ bằng 0...

Câu hỏi trang 11 Toán 12 Tập 1: Giải thích vì sao nếu f’(x) không đổi dấu qua thì không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?

Luyện tập 5 trang 12 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau: a) $y = x^{4} - 3 x^{2} + 1$ ; b) $y = \frac{- x^{2} + 2 x - 1}{x + 2}$ ...

Vận dụng 2 trang 12 Toán 12 Tập 1: Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5m/s...

Bài 1.1 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau: a) Đồ thị hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ (H.1.11);...

Bài 1.2 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: a) $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ ; b) $y = - x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 3$ ...

Bài 1.3 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a)

y = \frac{2 x - 1}{x + 2}

y = \frac{x^{2} + x + 4}{x - 3}

...

Bài 1.4 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ ; b) $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ...

Bài 1.5 trang 13 Toán 12 Tập 1: Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $N (t) = \frac{25 t + 10}{t + 5}, t \geq 0$ , trong đó N(t) được tính bằng nghìn người...

Bài 1.6 trang 14 Toán 12 Tập 1: Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y = f^{'} (x)$ của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13: a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích...

Bài 1.7 trang 14 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau: a) $y = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 5$ ; b) $y = x^{4} - 4 x^{2} + 2$ ...

Bài 1.8 trang 14 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = f (x) = | x |$ . a) Tính các giới hạn $lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ và $lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ . Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$ ...

Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa...

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài tập cuối chương 1 trang 42

1 5,270 08/06/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: