Giải Toán 12 trang 13 Tập 1 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 12 trang 13 Tập 1 trong Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 13 Tập 1.

1 120 08/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 trang 13 Tập 1

Bài 1.1 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ (H.1.11);

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ (H.1.11);

b) Đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ (H.1.12).

Lời giải:

a) Hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ đồng biến trên $(- \infty; 0)$ và $(1; + \infty)$ .

Hàm số $y = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ nghịch biến trên $(0; 1)$ .

b) Hàm số $y = \sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ đồng biến trên $(- 2; 0)$ và $(2; + \infty)$ .

Hàm số $y = \sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ nghịch biến trên $(- \infty; - 2)$ và $(0; 2)$ .

Bài 1.2 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ ;

b) $y = - x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 3$ .

Lời giải:

a) Tập xác định: $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = x^{2} - 4 x + 3, y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = 1 \end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Tài liệu VietJack

Hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ và $(3; + \infty)$ .

Hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$ .

b) Tập xác định: $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = - 3 x^{2} + 4 x - 5$

Vì $- 3 x^{2} + 4 x - 5 = - 3 (x^{2} - 2. \frac{2}{3} + \frac{4}{9}) - \frac{11}{3} = - 3 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{11}{3} < 0 \forall x \in R$

Do đó, $y^{'} < 0 \forall x \in R$ .

Vậy hàm số $y = - x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 3$ nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$ .

Bài 1.3 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ ;

b) $y = \frac{x^{2} + x + 4}{x - 3}$ .

Lời giải:

a) Tập xác định: $D = R ∖ {- 2}$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{2 (x + 2) - (2 x - 1)}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{2 x + 4 - 2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{5}{(x + 2)} > 0 \forall x \neq - 2$

Do đó, hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ đồng biến trên $(- \infty; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$ .

b) Tập xác định: $D = R ∖ {3}$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{{(x^{2} + x + 4)}^{'} (x - 3) - (x^{2} + x + 4) {(x - 3)}^{'}}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{(2 x + 1) (x - 3) - x^{2} - x - 4}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{x^{2} - 6 x - 7}{{(x - 3)}^{2}}$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 6 x - 7}{{(x - 3)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 7 \\ x = - 1 \end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Tài liệu VietJack

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y = \frac{x^{2} + x + 4}{x - 3}$ nghịch biến trên khoảng $(- 1; 3)$ và $(3; 7)$ .

Hàm số $y = \frac{x^{2} + x + 4}{x - 3}$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(7; + \infty)$ .

Bài 1.4 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ ;
b) $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

Lời giải:

a) Tập xác định: $D = [- 2; 2]$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{{(4 - x^{2})}^{'}}{2 \sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{- x}{\sqrt{4 - x^{2}}}, y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0 (t m)$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Tài liệu VietJack

Hàm số $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ đồng biến trên khoảng $(- 2; 0)$ .

Hàm số $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ .

b) Tập xác định: $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{(x^{2} + 1) - 2 x . x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}, y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Tài liệu VietJack

Hàm số $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ , $(1; + \infty)$ .

Hàm số $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$ đồng biến trên khoảng $(- 1; 1)$

Bài 1.5 trang 13 Toán 12 Tập 1: Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $N (t) = \frac{25 t + 10}{t + 5}, t \geq 0$ , trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
b) Tính đạo hàm N’(t) và $lim_{t \to + \infty} N (t)$ . Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua một ngưỡng nào đó.

Lời giải:

a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2000 là: $N (0) = \frac{25.0 + 10}{0 + 5} = \frac{10}{5} = 2$ (nghìn người)

Dân số của thị trấn đó vào năm 2015 là: $N (15) = \frac{25.15 + 10}{15 + 5} = 19, 25$ (nghìn người)

b) Ta có: , $lim_{t \to + \infty} N (t) = lim_{t \to + \infty} \frac{25 t + 10}{t + 5} = lim_{t \to + \infty} \frac{25 + \frac{10}{t}}{1 + \frac{5}{t}} = 25$