Giải Toán 12 trang 74 Tập 1 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 12 trang 74 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 2 trang 74, 74 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 74 Tập 1.

1 124 09/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 trang 74 Tập 1

Bài tập 2.34 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (- 2; 2; 2), \vec{b} = (1; - 1; - 2)$ . Côsin của góc giữa hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ bằng
A. $\frac{- 2 \sqrt{2}}{3}$ .
B. $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .
C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .
D. $\frac{- \sqrt{2}}{3}$ .

Lời giải:

$\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{(- 2) .1 + 2. (- 1) + 2. (- 2)}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + 2^{2} + 2^{2} +} . \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3}$

Chọn A

B. Tự luận

Bài tập 2.35 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra $\vec{O C} = - \vec{O A}, \vec{O D} = - \vec{O B}$

Ta có: $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S O} + \vec{O A} + \vec{S O} + \vec{O C} = 2 \vec{S O} + (\vec{O A} - \vec{O A}) = 2 \vec{S O}$

$\vec{S B} + \vec{S D} = \vec{S O} + \vec{O B} + \vec{S O} + \vec{O D} = 2 \vec{S O} + (\vec{O B} - \vec{O B}) = 2 \vec{S O}$

Do đó, $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$

Bài tập 2.36 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn $\vec{M B} + 2 \vec{M A} = \vec{0}$ và $\vec{N C} = 2 \vec{D N}$ . Hãy biểu diễn $\vec{M N}$ theo $\vec{A D}$ và $\vec{B C}$ .

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Ta có: $\vec{M B} + 2 \vec{M A} = \vec{0} \Rightarrow \vec{M B} = - 2 \vec{M A}, \vec{N C} = 2 \vec{D N} \Rightarrow \vec{C N} = - 2 \vec{N D}$

Ta có: $\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A D} + \vec{D N}$ (1)

$\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B C} + \vec{C N} = - 2 \vec{M A} + \vec{B C} - 2 \vec{D N}$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

$2 \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A D} + \vec{D N} - 2 \vec{M A} + \vec{B C} - 2 \vec{D N} = - \vec{M A} - \vec{D N} + \vec{B C} + \vec{A D}$

$= \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{C D} + \vec{B C} + \vec{A D} = \frac{1}{3} (\vec{A C} + \vec{C B} + \vec{C A} + \vec{A D}) + \vec{B C} + \vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{B C} + \frac{4}{3} \vec{A D}$

Bài tập 2.37 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.
a) Biểu diễn $\vec{A G}$ theo $\vec{A B}, \vec{A D}$ và $\vec{A A^{'}}$ .
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của BD. Do đó, A’I là đường trung tuyến của tam giác A’BD. Mà G là trọng tâm tam giác A’BD nên $\vec{A^{'} G} = \frac{2}{3} \vec{A^{'} I}$ .

Vì I là trung điểm BD nên:

$\vec{A^{'} I} = \frac{1}{2} (\vec{A^{'} B} + \vec{A^{'} D}) = \frac{1}{2} (\vec{A^{'} A} + \vec{A^{'} B^{'}} + \vec{A^{'} D^{'}} + \vec{A^{'} A}) = - \vec{A A^{'}} + \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

Do đó, $\vec{A^{'} G} = - \frac{2}{3} \vec{A A^{'}} + \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

Ta có: $\vec{A G} = \vec{A A^{'}} + \vec{A^{'} G} = \vec{A A^{'}} - \frac{2}{3} \vec{A A^{'}} + \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D} = \frac{1}{3} (\vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{A D})$

b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên $\vec{A C^{'}} = \vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{A D}$

Do đó, $\vec{A C^{'}} = 3 \vec{A G}$ nên hai vectơ $\vec{A C^{'}}$ và $\vec{A G}$ cùng phương. Vậy ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Bài tập 2.38 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (2; - 1; 3), B (1; 1; - 1)$ và $C (- 1; 0; 2)$ .
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Lời giải:

a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ${\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{2 + 1 - 1}{3} = \frac{2}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{- 1 + 1 + 0}{3} = 0 \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \frac{3 - 1 + 2}{3} = \frac{4}{3} \end{cases}$

Vậy tọa độ trọng tâm G là: G $(\frac{2}{3}; 0; \frac{4}{3})$ .

b) Vì M thuộc trục Oz nên M(0; 0; z).

Ta có: $\vec{B M} (- 1; - 1; z + 1), \vec{A C} (- 3; 1; - 1)$

Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên

$\vec{B M} . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow (- 1) . (- 3) + (- 1) .1 + (z + 1) (- 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2 - z - 1 = 0 \Leftrightarrow z = 1$ .

Vậy M(0; 0; 1) thì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Bài tập 2.39 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ và các điểm $A (2; 3; 1), C (- 1; 2; 3)$ và $O^{'} (1; - 2; 2)$ . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Ta có: O(0; 0; 0)

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên:

$\vec{A A^{'}} = \vec{O O^{'}} \Rightarrow {\begin{cases} x_{A^{'}} - x_{A} = x_{O^{'}} - x_{O} \\ y_{A^{'}} - y_{A} = y_{O^{'}} - y_{O} \\ z_{A^{'}} - z_{A} = z_{O^{'}} - z_{O} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x_{A^{'}} = x_{O^{'}} - x_{O} + x_{A} = 3 \\ y_{A^{'}} = y_{O^{'}} - y_{O} + y_{A} = 1 \\ z_{A^{'}} = z_{O^{'}} - z_{O} + z_{A} = 3 \end{cases} \Rightarrow A^{'} (3; 1; 3)$

$\vec{C C^{'}} = \vec{O O^{'}} \Rightarrow {\begin{cases} x_{C^{'}} - x_{C} = x_{O^{'}} - x_{O} \\ y_{C^{'}} - y_{C} = y_{O^{'}} - y_{O} \\ z_{C^{'}} - z_{C} = z_{O^{'}} - z_{O} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x_{C^{'}} = x_{O^{'}} - x_{O} + x_{C} = 0 \\ y_{C^{'}} = y_{O^{'}} - y_{O} + y_{C} = 0 \\ z_{C^{'}} = z_{O^{'}} - z_{O} + z_{C} = 5 \end{cases} \Rightarrow C^{'} (0; 0; 5)$

Vì ABCO là hình bình hành nên $\vec{C B} = \vec{O A} \Rightarrow {\begin{cases} x_{B} + 1 = 2 \\ y_{B} - 2 = 3 \\ z_{B} - 3 = 1 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x_{B} = 1 \\ y_{B} = 5 \\ z_{B} = 4 \end{cases} \Rightarrow B (1; 5; 4)$

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên $\vec{B B^{'}} = \vec{O O^{'}} \Rightarrow {\begin{cases} x_{B^{'}} - 1 = 1 \\ y_{B^{'}} - 5 = - 2 \\ z_{B^{'}} - 4 = 2 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x_{B^{'}} = 2 \\ y_{B^{'}} = 3 \\ z_{B^{'}} = 6 \end{cases} \Rightarrow B^{'} (2; 3; 6)$

Bài tập 2.40 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (- 2; 1; 2), \vec{b} = (1; 1; - 1)$ .
a) Xác định tọa độ của vectơ $\vec{u} = \vec{a} - 2 \vec{b}$ .
b) Tính độ dài vectơ $\vec{u}$ .
c) Tính $\cos (\vec{a}; \vec{b})$ .

Lời giải:

a) $\vec{u} = \vec{a} - 2 \vec{b} = (- 2 - 2.1; 1 - 2.1; 2 - 2 (- 1)) = (- 4; - 1; 4)$

b) $| \vec{u} | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{33}$

c) $\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{(- 2) .1 + 1.1 + 2. (- 1)}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 2^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Bài tập 2.41 trang 74 Toán 12 Tập 1:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (4; 2; - 1), B (1; - 1; 2)$ và $C (0; - 2; 3)$ .
a) Tìm tọa độ của vectơ $\vec{A B}$ và tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho $\vec{A B} + \vec{C M} = \vec{0}$ .
c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Lời giải:

a) $\vec{A B} = (1 - 4; - 1 - 2; 2 + 1) = (- 3; - 3; 3) \Rightarrow | \vec{A B} | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{3}$

b) Gọi M (x; y; z) thì $\vec{M C} = (- x; - 2 - y, 3 - z)$ .

Vì $\vec{A B} + \vec{C M} = \vec{0} \Rightarrow \vec{A B} = \vec{M C} \Rightarrow {\begin{cases} - x = - 3 \\ - 2 - y = - 3 \\ 3 - z = 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$ . Do đó, M(3; 1; 0).

c) Vì N thuộc mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ điểm N là N(x; y; 0)

Ta có: $\vec{A N} (x - 4; y - 2; 1); \vec{B N} (x - 1; y + 1; - 2)$

Để A, B, N thẳng hàng thì hai vectơ $\vec{A N}, \vec{B N}$ cùng phương. Do đó, $\vec{A N} = k \vec{B N}$ (với k là số thực bất kì)

Suy ra, ${\begin{cases} x - 4 = k (x - 1) \\ y - 2 = k (y + 1) \\ 1 = - 2 k \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x - 4 = - \frac{1}{2} (x - 1) \\ y - 2 = - \frac{1}{2} (y + 1) \\ k = \frac{- 1}{2} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$ .