Giải Toán 12 trang 32 Tập 1 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 12 trang 32 Tập 1 trong Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 32 Tập 1.

1 209 08/06/2024


Giải Toán 12 trang 32 Tập 1

Luyện tập 3 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=x2+3x1x2.

Lời giải:

1. Tập xác định của hàm số: R{2}

2. Sự biến thiên:

Ta có: y=x2+3x1x2=x+1+1x2

y=11(x2)2<0x2

Hàm số nghịch biến trên khoảng (;2)(2;+).

Hàm số không có cực trị.

limx+y=limx+x2+3x1x2=;limxy=limxx2+3x1x2=+
limx2y=limx2x2+3x1x2=;limx2+y=limx2+x2+3x1x2=+

limx+[y(x+1)]=limx+(x+1+1x2+x1)=limx+1x2=0

limx[y(x+1)]=limx(x+1+1x2+x1)=limx1x2=0

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=2 làm tiệm cận đứng và đường thẳng y=x+1 làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Tài liệu VietJack

3. Đồ thị:

Tài liệu VietJack

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0;12).

y=0x2+3x1x2=0x=3+52 hoặc x=352

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm(3+52;0);(352;0).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2;1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài tập

Bài 1.21 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y=x3+3x+1;
b) y=x3+3x2x1.

Lời giải:

a) Tập xác định: D=R

2. Sự biến thiên:

Ta có: y=3x2+3,y=0x=±1

Trên khoảng (1;1), y>0 nên hàm số đồng biến. Trên khoảng (;1)(1;+), y<0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại x=1, giá trị cực tiểu yCT=1

Giới hạn tại vô cực: limxy=limx(x3+3x+1)=limx[x3(1+3x2+1x3)]=+

limx+y=limx+(x3+3x+1)=limx+[x3(1+3x2+1x3)]=

Bảng biến thiên:

Tài liệu VietJack

3. Đồ thị:

Tài liệu VietJack

Giao điểm của đồ thị hàm số y=x3+3x+1 với trục tung là (0; 1).

Các điểm (1; 3); (1;1) thuộc đồ thị hàm số y=x3+3x+1.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).

b) 1. Tập xác định: D=R

2. Sự biến thiên:

Ta có: y=3x2+6x1,y=0x=3233 hoặc x=3+233

Trên khoảng (3233;3+233), y<0 nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng (;3233)(3+233;+), y>0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại x=3233, giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại x=3+233, giá trị cực tiểu yCT=181639.

Giới hạn tại vô cực:limxy=limx(x3+3x2x1)=limx[x3(1+3x1x21x3)]=

limx+y=limx+(x3+3x2x1)=limx+[x3(1+3x1x21x3)]=+

Bảng biến thiên:

Tài liệu VietJack

3. Đồ thị:

Tài liệu VietJack

Giao điểm của đồ thị hàm số y=x3+3x2x1 với trục tung là (0; -1).

Các điểm (-1; 2); (1;2) thuộc đồ thị hàm số y=x3+3x2x1.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (-1; 2).

Bài 1.22 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y=2x+1x+1;

b) y=x+31x.

Lời giải:

a) 1. Tập xác định của hàm số: R{1}

2. Sự biến thiên:

y=1(x+1)2>0x1

Hàm số đồng biến trên khoảng (;1)(1;+).

Hàm số không có cực trị.

limx+y=limx+2x+1x+1=2;limxy=limx2x+1x+1=2.
limx1y=limx12x+1x+1=+;limx1+y=limx1+2x+1x+1=.

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng và đường thẳng y=2 làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

Tài liệu VietJack

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0;1).

y=02x+1x+1=0x=12

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (12;0).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Tài liệu VietJack

b) 1. Tập xác định của hàm số: R{1}

2. Sự biến thiên:

y=4(1x)2>0x1

Hàm số đồng biến trên khoảng (;1)(1;+).

Hàm số không có cực trị.

limx+y=limx+x+31x=1;limxy=limxx+31x=1
limx1y=limx1x+31x=+;limx1+y=limx1+x+31x=

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng và đường thẳng y=1 làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

Tài liệu VietJack

3. Đồ thị:

Tài liệu VietJack

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 3).

y=0x+31x=0x=3

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (3;0).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; -1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y=2x2x+4x1;
b) y=x2+2x+1x+3.

Lời giải:

a) 1. Tập xác định của hàm số: R{1}

2. Sự biến thiên:

Ta có: y=2x2x+4x1=2x+1+5x1

y=25(x1)2,y=0x=2102 hoặc x=2+102

Trong khoảng (;2102)(2+102;+), y>0 nên hàm số đồng biến.

Trong khoảng (2102;1)(1;2+102), y<0 nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực đại tại x=2102, giá trị cực đại .

Hàm số đạt cực tiểu tại x=2+102, giá trị cực đại yCT=210+3.

limx+y=limx+2x2x+4x1=+;limxy=limx2x2x+4x1=
limx1y=limx12x2x+4x1=;limx1+y=limx1+2x2x+4x1=+

limx+[y(2x+1)]=limx+(2x+1+5x1(2x+1))=limx+5x1=0

limx[y(2x+1)]=limx(2x+1+5x1(2x+1))=limx5x1=0

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng và đường thẳng y=2x+1 làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Tài liệu VietJack

3. Đồ thị:

Tài liệu VietJack

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; -4).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) y=x2+2x+1x+3

1. Tập xác định của hàm số: R{3}

2. Sự biến thiên:

Ta có: y=x2+2x+1x+3=x1+4x+3

y=14(x+3)2,y=0x=1 hoặc x=5.

Trong khoảng (;5)(1;+), y>0 nên hàm số đồng biến.

Trong khoảng (5;3)(3;1), y<0 nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực đại tại x=5, giá trị cực đại .

Hàm số đạt cực tiểu tại x=1, giá trị cực tiểu yCT=0.

limx+y=limx+x2+2x+1x+3=+;limxy=limxx2+2x+1x+3=
limx3y=limx3x2+2x+1x+3=;limx3+y=limx3+x2+2x+1x+3=+

limx+[y(x1)]=limx+(x1+4x+3(x1))=limx+4x+3=0

limx[y(x1)]=limx(x1+4x+3(x1))=limx4x+3=0

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=3 làm tiệm cận đứng và đường thẳng y=x1 làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Tài liệu VietJack

3. Đồ thị:

Tài liệu VietJack

Giao điểmcủa đồ thị hàm số với trục tung là (0;13).

y=0x2+2x+1x+3=0x=1

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (1;0).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(3;4) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài 1.24 trang 32 Toán 12 Tập 1: Một cốc chứa 30ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác chứa nồng độ 8mg/ml được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x).

b) Coi hàm C(x) là hàm số xác định với x0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8mg/ml.

Lời giải:

a) Khối lượng dung dịch trong cốc sau khi trộn x(ml) KOH từ bình chứa là: m=30.100+8x=8x+3000(mg)

Thể tích dung dịch trong cốc sau khi trộn x(ml) KOH từ bình chứa là: V=30+x(ml)

Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa là:

C(x)=mV=8x+300030+x(mg/ml)

b) Khảo sát hàm số y=C(x)=8x+3000x+30 với x0.

1. Tập xác định của hàm số: [0;+)

2. Sự biến thiên:

C(x)=2760(x+30)2<0x0

Hàm số nghịch biến trên (0;+).

Hàm số không có cực trị.

limx+C(x)=limx+8x+3000x+30=8.

Do đó, đồ thị hàm số y=C(x)=8x+3000x+30 nhận đường thẳng y=8 làm tiệm cận ngang (phần bên phải trục Oy)

Bảng biến thiên:

Tài liệu VietJack

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0;100).

Đồ thị hàm số y=C(x)=8x+3000x+30 đi qua các điểm (200; 20); (120;1325).

Tài liệu VietJack

Đồ thị của hàm số y=C(x)=8x+3000x+30 với x0 là phần nét màu xanh không bị gạch chéo.

c) Vì C(x)=2760(x+30)2<0x0limx+C(x)=limx+8x+3000x+30=8 nên nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8mg/ml

Bài 1.25 trang 32 Toán 12 Tập 1: Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở R1R2 thì điện trở tương đương R của mạch điện được tính theo công thức R=R1R2R1+R2 (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở 8Ω được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu là x(Ω) thì điện trở tương đương R là hàm số của x. Vẽ đồ thị của hàm số y=R(x),x>0 và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

Tài liệu VietJack

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng.

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8Ω.

Lời giải:

Khi một điện trở 8Ω được mắc song song với một biến trở x(Ω) thì điện trở tương đương của mạch là: R(x)=8xx+8(Ω)

Vẽ đồ thị hàm số y=R(x)=8xx+8 với x>0.

1. Tập xác định của hàm số: (0;+)

2. Sự biến thiên:

R(x)=64(x+8)2>0x>0

Hàm số đồng trên (0;+).

Hàm số không có cực trị.

limx+R(x)=limx+8xx+8=8.

Do đó, đồ thị hàm số y=R(x)=8xx+8 với x>0 nhận đường thẳng y=8 làm tiệm cận ngang (phần bên phải trục Oy).

Bảng biến thiên:

Tài liệu VietJack

3. Đồ thị:

Tài liệu VietJack

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 0).

Đồ thị hàm số y=R(x)=8xx+8 đi qua các điểm (8; 4); (12;245).

a) Vì R(x)=64(x+8)2>0x>0 nên khi x tăng thì điện trở tương đương của mạch tăng.

b) Vì R(x)=64(x+8)2>0x>0limx+R(x)=limx+8xx+8=8 nên điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8Ω.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 12 trang 26 Tập 1

Giải Toán 12 trang 28 Tập 1

Giải Toán 12 trang 29 Tập 1

Giải Toán 12 trang 32 Tập 1

1 209 08/06/2024


Xem thêm các chương trình khác: