Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = -x^3 + 3x + 1; b) y = x^3 + 3x^2 - x -1

Lời giải Bài 1.21 trang 32 Toán 12 Tập 1 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12.

1 4,121 08/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1.21 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = - x^{3} + 3 x + 1$ ;
b) $y = x^{3} + 3 x^{2} - x - 1$ .

Lời giải:

a) Tập xác định: $D = R$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{'} = - 3 x^{2} + 3, y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Trên khoảng $(- 1; 1)$ , $y^{'} > 0$ nên hàm số đồng biến. Trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ , $y^{'} < 0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ , giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ , giá trị cực tiểu $y_{C T} = - 1$

Giới hạn tại vô cực: $lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (- x^{3} + 3 x + 1) = lim_{x \to - \infty} [x^{3} (- 1 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})] = + \infty$

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (- x^{3} + 3 x + 1) = lim_{x \to + \infty} [x^{3} (- 1 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})] = - \infty$

Bảng biến thiên:

Tài liệu VietJack

3. Đồ thị:

Tài liệu VietJack

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 1$ với trục tung là (0; 1).

Các điểm (1; 3); $(- 1; - 1)$ thuộc đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 1$ .

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).

b) 1. Tập xác định: $D = R$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x - 1, y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ hoặc $x = \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Trên khoảng $(\frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{3}; \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3})$ , $y^{'} < 0$ nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng $(- \infty; \frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{3})$ và $(\frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3}; + \infty)$ , $y^{'} > 0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x = \frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ , giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ , giá trị cực tiểu $y_{C T} = \frac{18 - 16 \sqrt{3}}{9}$ .

Giới hạn tại vô cực: $lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (x^{3} + 3 x^{2} - x - 1) = lim_{x \to - \infty} [x^{3} (1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}})] = - \infty$

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (x^{3} + 3 x^{2} - x - 1) = lim_{x \to + \infty} [x^{3} (1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}})] = + \infty$