Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Hoạt động 1 trang 5 Toán 11 Tập 1: Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng.

Lời giải:

Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc là độ hoặc radian.

Số đo của mỗi góc không vượt quá ${180}^{\circ }$

Giải Toán 11 trang 6 Tập 1

Luyện tập 1 trang 6 Toán 11 Tập 1: Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau.

Lời giải:

Ta có bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau:

Hoạt động 2 trang 6 Toán 11 Tập 1: So sánh chiều quay của kim đồng hồ với:

a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.

b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.

Lời giải:

a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a là chiều quay ngược chiều kim đồng hồ

b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b là chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.

Giải Toán 11 trang 7 Tập 1

Luyện tập trang 7 Toán 11 Tập 1: Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác trong Hình 4b.

Lời giải:

Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz,Ot) với tia đầu là tia Oz và tia cuối là tia Ot

Hoạt động 3 trang 7 Toán 11 Tập 1:

a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng ( tức là $3\frac{1}{4}$vòng). Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

c) Trong Hình 5x, toa Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

Lời giải:

a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Tia đó quét nên một góc ${360}^{\circ }$

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng ( tức là $3\frac{1}{4}$vòng). Tia đó quét nên một góc ${3.360}^{\circ }+\frac{1}{4}{360}^{\circ }={1170}^{\circ }$

c) Trong Hình 5x, toa Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Tia đó quét nên một góc -${360}^{\circ }$

Giải Toán 11 trang 8 Tập 1

Luyện tập 3 trang 8 Toán 11 Tập 1: Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo $-\frac{5\pi }{4}$

Lời giải:

Ta có $-\frac{5\pi }{4}=-\pi +\left(-\frac{\pi }{4}\right)$. Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo $-\frac{5\pi }{4}$ được biểu diễn ở hình sau:

Hoạt động 4 trang 8 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 7, hai góc lượng giác (Ou, Ov), $(O^{\prime }{u}^{\prime },O^{\prime }{v}^{\prime })$có tia đầu trùng nhau $Ou\equiv O^{\prime }{u}^{\prime }$, tia cuối trùng nhau $Ov\equiv O^{\prime }{v}^{\prime }$. Nêu dự đoán về mối liên hệ giữa số đo của hai góc lượng giác trên.

Lời giải:

Quan sát Hình 7 ta thấy:

• Tia Om quay (chỉ theo chiều dương) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov rồi quay tiếp một số vòng đến trùng với tia cuối Ov;

• Tia Om quay (chỉ theo chiều dương) xuất phát từ tia $O^{\prime }{u}^{\prime }\equiv Ou$ đến trùng với tia $O^{\prime }{v}^{\prime }\equiv Ov$rồi quay tiếp một số vòng đến trùng với tỉa cuối $O^{\prime }{v}^{\prime }\equiv Ov$.

Như vậy, sự khác biệt giữa hai góc lượng giác (Ou, Ov) và (O’u’, O’v’) chính là số vòng quay quanh điểm O. Vì vậy, sự khác biệt giữa số đo của hai góc lượng giác đó chính là bội nguyên của ${360}^{\circ }$ khi hai góc đó tính theo đơn vị độ (hay bội nguyên của $2\pi$ rad khi hai góc đó tính theo đơn vị radian).

Giải Toán 11 trang 9 Tập 1

Luyện tập 4 trang 9 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo $-\frac{4\pi }{3}$. Cho góc lượng giác $(O^{\prime }{u}^{\prime },O^{\prime }{v}^{\prime })$ có tia đầu $O^{\prime }{u}^{\prime }\equiv Ou$, tia cuối $O^{\prime }{v}^{\prime }\equiv Ov$. Viết công thức biểu thị số đo góc lượng giác $(O^{\prime }{u}^{\prime },O^{\prime }{v}^{\prime })$

Lời giải:

Ta có:

$(O^{\prime }{u}^{\prime },O^{\prime }{v}^{\prime })=(Ou,Ov)+k2\pi =-\frac{4\pi }{3}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

Hoạt động 5 trang 9 Toán 11 Tập 1: Cho góc (hình học) xOz, tia Oy nằm trong góc xOz (Hình 8). Nêu mối liên hệ giữa số đo góc xOz và tổng số đo của hau góc xOy và yOz.

Lời giải:

Ta có : $\widehat{xOz}=\widehat{xOy}+\widehat{yOz}$

Luyện tập 5 trang 9 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo là $-\frac{11\pi }{4}$, góc lượng giác (Ou,Ow) có số đó là $\frac{3\pi }{4}$. Tìm số đo của góc lượng giác (Ov,Ow).

Lời giải:

Theo hệ thức Chasles, ta có:

$\begin{array}{l}(Ov,Ow)=(Ou,Ov)-(Ou,Ow)+k2\pi \\ =-\frac{11\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}+k2\pi =-\frac{7}{2}+k2\pi ,(k\in \mathbb{Z})\end{array}$

Giải Toán 11 trang 10 Tập 1

Hoạt động 6 trang 10 Toán 11 Tập 1:

a) Trong mặt phẳng tọa độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O và bán kính bằng 1

b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1

Lời giải:

a) Đường tròn tâm O có bán kính bằng 1 (hình vẽ):

b) Chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ; chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

Luyện tập 6 trang 10 Toán 11 Tập 1: Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho $\left(OA,ON\right)=-\frac{\pi }{3}$

Lời giải:

Ta có (OA, ON) = $-\frac{\pi }{3}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều âm (chiều quay của kim đồng hồ) một góc $\frac{\pi }{3}$ .

Điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = $-\frac{\pi }{3}$ được biểu diễn như hình dưới đây:

Hoạt động 7 trang 10 Toán 11 Tập 1:

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left(OA,OM\right)={60}^{\circ }$

b) So sánh hoành độ của điểm M với $\cos {60}^{\circ }$; tung độ của điểm M với $\sin {60}^{\circ }$

Lời giải:

a) Ta có (OA, OM) = 60° là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc 60°.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60° được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

b) Ta có $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ và cos60⁰=$\frac{1}{2}$;sin 60⁰=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Do đó x_M = cos60° và y_M = sin60°.

Giải Toán 11 trang 11 Tập 1

Luyện tập 7 trang 11 Toán 11 Tập 1: Tìm giác trị lượng giác của góc lượng giác $\beta =-\frac{\pi }{4}$

Lời giải:

$\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2};\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2};\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-2$

Hoạt động 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha =-{30}^{\circ }$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\cos \left(-{30}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}>0\\ \sin \left(-{30}^{\circ }\right)=-\frac{1}{2}<0\\ \tan \left(-{30}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}<0\\ \cot \left(-{30}^{\circ }\right)=-\sqrt{3}<0\end{array}$

Luyện tập 8 trang 11 Toán 11 Tập 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha =\frac{5\pi }{6}$

Lời giải:

Do $\frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{6}<\pi$ nên

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)<0\\ \sin \left(\frac{5\pi }{6}\right)>0\\ \tan \left(\frac{5\pi }{6}\right)<0\\ \cot \left(\frac{5\pi }{6}\right)<0\end{array}$

Hoạt động 9 trang 11 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác $\alpha$. So sánh

a) ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha$ và 1

b) $\tan \alpha .\cot \alpha$ và 1 với $\cos \alpha \ne 0;\sin \alpha \ne 0$

c) $1+{\tan }^2\alpha$ và $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ với $\cos \alpha \ne 0$

d) $1+{\cot }^2\alpha$ và $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ với $\sin \alpha \ne 0$

Lời giải:

a) ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

b) $\tan \alpha .\cot \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=1$

c) $\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$

d) $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=1+{\cot }^2\alpha$

Giải Toán 11 trang 12 Tập 1

Luyện tập 9 trang 12 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác $\alpha$sao cho $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ và $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$. Tìm $\cos \alpha$.

Lời giải:

Vì ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ nên ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$

Do $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\cos \alpha <0$. Suy ra $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$

Hoạt động 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha ={45}^{\circ }$

Lời giải:

$\sin \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};\cos \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};\tan \left({45}^{\circ }\right)=\frac{1}{2};\cot \left({45}^{\circ }\right)=2$

Luyện tập 10 trang 12 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

$Q={\tan }^2\frac{\pi }{3}+{\sin }^2\frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{2}$

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}Q={\tan }^2\frac{\pi }{3}+{\sin }^2\frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{2}\\ ={\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+1+0=\frac{7}{2}\end{array}$

Giải Toán 11 trang 13 Tập 1

Hoạt động 11 trang 13 Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác $\left(OA,OM\right)=\alpha ,\left(OA,O{M}^{\prime }\right)=-\alpha$ (Hình 13)

a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.

b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác $\alpha v\text{'}a-\alpha$

Lời giải:

a) Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau

Tung độ của điểm M và M’ đối nhau

b) Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác $\alpha v\text{'}a-\alpha$

Giải Toán 11 trang 14 Tập 1

Luyện tập 11 trang 14 Toán 8 Tập 1:

a) ${\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}$

b) $\tan 1^{\circ }.\tan 2^{\circ }.\tan {45}^{\circ }.\tan {88}^{\circ }.\tan {89}^{\circ }$

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} {\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}={\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8}\right) \\ ={\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\sin }^2\frac{\pi }{8}=1 \end{gathered}$$

b)

$\begin{array}{l}\tan 1^{\circ }.\tan 2^{\circ }.\tan {45}^{\circ }.\tan {88}^{\circ }.\tan {89}^{\circ }\\ =(\tan 1^{\circ }.\tan {89}^{\circ }).(\tan 2^{\circ }.\tan {88}^{\circ }).\tan {45}^{\circ }\\ =(\tan 1^{\circ }.\cot 1^{\circ }).(\tan 2^{\circ }.\cot 2^{\circ }).\tan {45}^{\circ }\\ =1\end{array}$

Luyện tập 12 trang 14 Toán 11 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay để tính ;

a) $\tan (-{75}^{\circ });$b) $\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)$

Lời giải:

a) $\tan (-{75}^{\circ })=-2-\sqrt{3}$

b) $\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)\approx -1,376$

Giải Toán 11 trang 15 Tập 1

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1: Gọi M, N, P là các điểm trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác $\left(OA,OM\right),\left(OA,ON\right),\left(OA,OP\right)$ lần lượt bằng $\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};-\frac{\pi }{6}$. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.

Lời giải:

• Ta có $\left(OA,OM\right)=\alpha =\frac{\pi }{2}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc $\frac{\pi }{2}$, khi đó tia OM trùng với tia OB.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left(OA,OM\right)=\alpha =\frac{\pi }{2}$ được biểu diễn trùng với điểm B.

• Ta có (OA,ON)=$\beta =\frac{7\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều dương một góc $\frac{7\pi }{6}$.

• Ta có (OA,OP) = $\gamma =-\frac{\pi }{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và quay theo chiều âm một góc $\frac{\pi }{6}$.

Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn nhu hình vẽ dưới đây:

Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: ${225}^{\circ };-{225}^{\circ };-{1035}^{\circ }$;$\frac{5\pi }{3};\frac{19\pi }{2};-\frac{159\pi }{4}$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\cos \left({225}^{\circ }\right)=\cos \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=-\cos \left({45}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left({225}^{\circ }\right)=\sin \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=-\sin \left({45}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left({225}^{\circ }\right)=\frac{\sin \left({225}^{\circ }\right)}{\cos \left({225}^{\circ }\right)}=1\\ \cot \left({225}^{\circ }\right)=\frac{1}{\tan \left({225}^{\circ }\right)}=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(-{225}^{\circ }\right)=\cos \left({225}^{\circ }\right)=\cos \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=-\cos \left({45}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(-{225}^{\circ }\right)=-\sin \left({225}^{\circ }\right)=-\sin \left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=\sin \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(-{225}^{\circ }\right)=\frac{\sin \left({225}^{\circ }\right)}{\cos \left({225}^{\circ }\right)}=-1\\ \cot \left(-{225}^{\circ }\right)=\frac{1}{\tan \left({225}^{\circ }\right)}=-1\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(-{1035}^{\circ }\right)=\cos \left({1035}^{\circ }\right)=\cos \left({6.360}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)\\ =\cos \left(-{45}^{\circ }\right)=\cos \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(-{1035}^{\circ }\right)=-\sin \left({1035}^{\circ }\right)=-\sin \left({6.360}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)\\ =-\sin \left(-{45}^{\circ }\right)=\sin \left({45}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(-{1035}^{\circ }\right)=\frac{\sin \left(-{1035}^{\circ }\right)}{\cos \left(-{1035}^{\circ }\right)}=1\\ \cot \left(-{1035}^{\circ }\right)=\frac{1}{\tan \left(-{1035}^{\circ }\right)}=-1\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\cos \left(\pi +\frac{2\pi }{3}\right)=-\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \sin \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\sin \left(\pi +\frac{2\pi }{3}\right)=-\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\frac{\sin \left(\frac{5\pi }{3}\right)}{\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)}=-\sqrt{3}\\ \cot \left(\frac{5\pi }{3}\right)=\frac{1}{\tan \left(\frac{5\pi }{3}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{19\pi }{2}\right)=\cos \left(8\pi +\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0\\ \sin \left(\frac{19\pi }{2}\right)=\sin \left(8\pi +\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=-1\\ \tan \left(\frac{19\pi }{2}\right)\\ \cot \left(\frac{19\pi }{2}\right)=\frac{\cos \left(\frac{19\pi }{2}\right)}{\sin \left(\frac{19\pi }{2}\right)}=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{159\pi }{4}\right)=\cos \left(40.\pi -\frac{\pi }{4}\right)\\ ==\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=-\sin \left(\frac{159\pi }{4}\right)=-\sin \left(40.\pi -\frac{\pi }{4}\right)\\ =-\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\frac{\cos \left(-\frac{159\pi }{4}\right)}{\sin \left(-\frac{159\pi }{4}\right)}=1\\ \cot \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\frac{1}{\tan \left(-\frac{159\pi }{4}\right)}=1\end{array}$

Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) có mỗi góc sau:

a) $\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

b) $k\pi \left(k\in Z\right)$

c) $\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$

d) $\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\frac{\sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)}{\cos \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)}=\sqrt{3}\\ \cot \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\frac{1}{\tan \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}\cos \left(k\pi \right)=[\begin{array}{l}-1;k=2n+1\\ 1;k=2n\end{array}\\ \sin \left(k\pi \right)=0\\ \tan \left(k\pi \right)=\frac{\sin \left(k\pi \right)}{\cos \left(k\pi \right)}=0\\ \cot \left(k\pi \right)\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=[\begin{array}{l}\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1;k=2n+1\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1;k=2n\end{array}\\ \tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\\ \cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0\end{array}$

d)

Với k=2n+1 thì

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}+(2n+1)\pi \right)\\ =\cos \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)\\ =-\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+(2n+1)\pi \right)\\ =\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=sin\left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)\\ =-\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\\ \cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\end{array}$

Với k=2n thì

$\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=co\mathrm{s}\left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\\ \cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1\end{array}$

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$

b) $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$

c) $\tan \alpha =3$ với $-\pi <\alpha <0$

d) $\cot \alpha =-2$ với $0<\alpha <\pi$

Lời giải:

a) Ta có ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

mà $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ nên ${\cos }^2\alpha +{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{16}$

Lại có $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{1}{4}$

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{co\mathrm{s}\alpha }=-\sqrt{15};\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{15}}$

b)

Ta có ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

mà $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ nên ${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{-2}{3}\right)}^2=1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{5}{9}$

Lại có $-\pi <\alpha <0$ nên $\sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{co\mathrm{s}\alpha }=\frac{\sqrt{5}}{2};\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{2}{\sqrt{5}}$

c)

Ta có$\tan \alpha =3$ nên

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =1+3^2=10\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$

Mà ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}$

Với $-\pi <\alpha <0$thì $\sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\sqrt{\frac{9}{10}}$

Với $-\pi <\alpha <-\frac{\pi }{2}$thì $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{\frac{1}{10}}$

và $-\frac{\pi }{2}\le \alpha <0$thì $\cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{10}}$

d)

Ta có$\cot \alpha =-2$ nên

$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=1+co{\mathrm{t}}^2\alpha =1+(-2{)}^2=5\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$

Mà ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{4}{5}$

Với $0<\alpha <\pi$thì $\sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{\frac{1}{5}}$

Với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$thì $\cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{4}{5}}$

và $\frac{\pi }{2}\le \alpha <\pi$thì $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{\frac{4}{5}}$

Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính

a) $A={\sin }^2{5}^{\circ }+{\sin }^2{10}^{\circ }+{\sin }^2{15}^{\circ }+...+{\sin }^2{85}^{\circ }$ (17 số hạng)

b) $B=\cos 5^{\circ }+\cos {10}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }+...+\cos {175}^{\circ }$ (35 số hạng)

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} A={\sin }^2{5}^{\circ }+{\sin }^2{10}^{\circ }+{\sin }^2{15}^{\circ }+...+{\sin }^2{85}^{\circ } \\ =({\sin }^2{5}^{\circ }+{\sin }^2{85}^{\circ })+({\sin }^2{15}^{\circ }+{\sin }^2{75}^{\circ })+... \\ +({\sin }^2{35}^{\circ }+{\sin }^2{55}^{\circ })+{\sin }^2{45}^{\circ } \\ =({\sin }^2{5}^{\circ }+{\cos }^2{5}^{\circ })+({\sin }^2{15}^{\circ }+{\cos }^2{15}^{\circ })+... \\ +({\sin }^2{35}^{\circ }+{\cos }^2{35}^{\circ })+{\sin }^2{45}^{\circ } \\ =1+1+...+1+\frac{1}{2}=\frac{17}{2} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} B=\cos 5^{\circ }+\cos {10}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }+...+\cos {175}^{\circ } \\ =(\cos 5^{\circ }+\cos {175}^{\circ })+(\cos {10}^{\circ }+\cos {170}^{\circ }) \\ +...+(\cos {85}^{\circ }+\cos {95}^{\circ })+\cos {90}^{\circ } \\ =0+0+....+0+0=0 \end{gathered}$$

Bài 6 trang 15 Toán 11 Tập 1: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 3 giờ

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau: 1h; 3h; 5h

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị?

Lời giải:

a) Chiều dài một vòng của quỹ đạo là : $\mathrm{9000.2.}\pi$ (km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 1 giờ là

$\frac{\mathrm{9000.2.}\pi }{3}=6000\pi$(km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 3 giờ là $18000\pi$(km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển độ được sau 1 giờ là

$\frac{\mathrm{9000.2.}\pi }{3}.5=30000\pi$(km)

b)Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau số giờ là : $\frac{200000}{6000\pi }\approx 11$( giờ)

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

I. Góc lượng giác

1. Góc hình học và số đo của chúng

*Nhận xét:

- Đơn vị đo góc: độ hoặc radian (rad).

- Ta có: ${180}^o=\pi$rad, do đó 1 rad $={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^o$, $1^o=\left(\frac{\pi }{180}\right)$rad.

- Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo góc.

VD: $\frac{\pi }{2}$rad cũng được viết là $\frac{\pi }{2}$.

2. Góc lượng giác và số đo của chúng

a, Khái niệm

- Cho 2 tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov.

Kí hiệu: (Ou, Ov).

- Mỗi góc lượng giác được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

b, Tính chất

- Cho hai góc lượng giác = và (O’u’,O’v’) có tia đầu trùng nhau $\left(Ou\equiv O^{\prime }{u}^{\prime }\right)$, tia cuối trùng nhau $\left(Ov\equiv O^{\prime }{v}^{\prime }\right)$.

Khi đó, nếu sử dụng đợn vị đo là độ thì ta có:

$\left(Ou,Ov\right)=\left(O^{\prime }{u}^{\prime },O^{\prime }{v}^{\prime }\right)+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}.$

Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì:

$\left(Ou,Ov\right)=\left(O^{\prime }{u}^{\prime },O^{\prime }{v}^{\prime }\right)+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

* Hệ thức Chasles

Với 3 tia Ou, Ov, Ow bất kì ta có:

(Ou,Ov) + (Ov, Ow) = (Ou,Ow) $+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

II. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1;0). Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

- Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

- Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn như hình vẽ. Khi đó:

$x=$cos$\alpha$, $y=$sin$\alpha$.

tan$\alpha$$=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}\left(x\ne 0\right)$

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}\left(y\ne 0\right)$

* Dấu của các giá trị lượng giác của góc $\alpha$

* Các công thức lượng giác cơ bản

$\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ 1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)\\ 1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)\\ \tan \alpha .\cot \alpha =1\left(\alpha \ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

• Hai góc đối nhau $\alpha$ và $-\alpha$

$\begin{array}{l}\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \\ \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \\ \tan \left(-\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left(-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}$

• Hai góc bù nhau ($\alpha$ và $\pi$-$\alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha \\ \cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(\pi -\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left(\pi -\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}$

• Hai góc phụ nhau ($\alpha$ và $\frac{\pi }{2}$-$\alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=c\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \\ \cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha \\ \tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha \\ \cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\tan \alpha \end{array}$

• Hai góc hơn kém $\pi$($\alpha$ và $\pi$ + $\alpha$)

$\begin{array}{l}\sin \left(\pi +\alpha \right)=-\sin \alpha \\ \cos \left(\pi +\alpha \right)=-\cos \alpha \\ \tan \left(\pi +\alpha \right)=\tan \alpha \\ \cot \left(\pi +\alpha \right)=\cot \alpha \end{array}$

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị của một góc lượng giác

Đơn vị độ:

Đơn vị radian: