Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 1.
Giải Toán 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
I. Khái niệm mở đầu
Quan sát Hình 2 và cho biết mặt sân vận động thường được làm phẳng hay cong.
Lời giải:
Các ví dụ trong thực tiễn nói về một phần của mặt phẳng là: Mặt bàn, mặt ghế, nền nhà, ...
Lời giải:
Nếu coi mặt sân Napoléon là một phần của mặt phẳng (P) thì đỉnh của kim tự tháp không thuộc mặt phẳng (P).
Lời giải:
II. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
Hoạt động 3 trang 87 Toán 11 Tập 1: Hình 9 là hình ảnh xà ngang trong môn Nhảy cao.
Quan sát Hình 9 và cho biết ta cần bao nhiêu điểm đỡ để giữ cố định được xà ngang đó.
Lời giải:
Dựa vào Hình 9, cần có 2 điểm đỡ để giữ cố định được xà ngang.
Lời giải:
Vì ba điểm chân kiềng sẽ luôn luôn nằm trên một mặt phẳng.
Lời giải:
Giao giữa bức tường chứa bảng với nền nhà là một đường thẳng.
Lời giải:
Ta có: S ∈ (SAC) và S ∈ (SBD)
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) đi qua điểm S.
Ta lại có: O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) nên O ∈ (SAC);
O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) nên O ∈ (SBD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) đi qua điểm O.
Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) chính là đường thẳng SO.
Vậy (SAC) ∩ (SBD) = SO.
III. Một số cách xác định mặt phẳng
a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có đi qua đường thẳng d hay không?
b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm A và đường thẳng d?
Lời giải:
a) Dựa vào hình vẽ ta thấy mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C đi qua đường thẳng d.
b) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua điểm A và đường thẳng d.
a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, O có đi qua hai đường thẳng a và b hay không?
b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai đường thẳng a và b?
Lời giải:
a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, O có đi qua hai đường thẳng a và b.
b) Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng a và b.
Lời giải:
Do tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (P) nên (P) đi qua ba điểm A, B, C.
Mà có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Do đó qua ba điểm A, B, C xác định được duy nhất mặt phẳng (P).
Mà điểm D không thuộc mặt phẳng (P) nên bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một đường thẳng.
Vậy không xác định được mặt phẳng nào đi qua hai đường thẳng AD và BC .
IV. Hình chóp và hình tứ diện
a) Đỉnh S có nằm trong mặt phẳng (ABCD) hay không?
b) Mỗi mặt phẳng của hộp quà lưu niệm có dạng hình gì?
Lời giải:
a) Đỉnh S không nằm trong mặt phẳng (ABCD).
b) Các mặt bên của hộp quà lưu niệm có dạng hình tam giác cân.
Mặt đáy của hộp quà lưu niệm có dạng hình vuông.
a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (CMN) với các đường thẳng AB, SB.
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (CMN) với mỗi mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Lời giải:
a)
+) Trong mặt phẳng (ABCD): Gọi giao điểm của AB với NC là E.
Mà NC ⊂ (CMN)
Suy ra: (CMN) ∩ AB = {E}.
+) Trong mặt phẳng (SAB): Kéo dài EM cắt AB tại F.
Mà EM ⊂ (CMN)
Suy ra (SAB) ∩ EM = {F}.
b)
+) Ta có: M ∈ SA mà SA ⊂ (SAB) nên M ∈ (SAB);
M ∈ CM mà CM ⊂ (CMN) nên M ∈ (CMN).
Do đó M là giao điểm của hai mặt phẳng (SAB) và (CMN).
Ta lại có: AB ∩ CN = {E};
AB ⊂ (SAB);
CN ⊂ (CMN).
Do đó E là giao điểm của hai mặt phẳng (SAB) và (CMN).
Vì vậy (SAB) ∩ (CMN) = EM.
+) Ta có: C ∈ SC mà SC ⊂ (SBC);
C ∈ CM mà CM ⊂ (CMN).
Do đó C là giao điểm của hai mặt phẳng (SBC) và (CMN).
Ta lại có: SB ∩ EM = {F};
SB ⊂ (SBC);
EM ⊂ (CMN).
Do đó F là giao điểm của hai mặt phẳng (SBC) và (CMN).
Vì vậy (SBC) ∩ (CMN) = CF.
a) Khối rubik tam giác có bao nhiêu đỉnh? Các đỉnh có cùng nằm trong một mặt phẳng không?
b) Khối rubik tam giác có bao nhiêu mặt? Mỗi mặt của khối rubik tam giác là những hình gì?
Lời giải:
a) Khối rubik tam giác có 4 đỉnh. Các đỉnh không cùng nằm trong một mặt phẳng.
b) Khối rubik tam giác có 4 mặt. Mỗi mặt của khối rubik tam giác là hình tam giác.
a) Xác định E, F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AC, BD với mặt phẳng (MNP).
b) Chứng minh rằng các đường thẳng NE, PF và CD cùng đi qua một điểm.
Lời giải:
a)
+) Trong mặt phẳng (ABC), gọi giao điểm của MP với AC là E.
Mà MP ⊂ (MNP) nên (MNP) ∩ AC = {E}.
+) Trong mặt phẳng (ABD), gọi giao điểm của MN với BD là F.
Mà MP ⊂ (MNP) nên (MNP) ∩ BD = {F}.
b) • Ta có: N ∈ AD, mà AD ⊂ (ACD) nên N ∈ (ACD).
Lại có N ∈ (MNP)
Do đó N là giao điểm của (ACD) và (MNP).
Mặt khác: MP ∩ AC = {E};
MP ⊂ (MNP);
AC ⊂ (ACD).
Do đó E là giao điểm của (ACD) và (MNP).
Suy ra NE = (MNP) ∩ (ACD).
Trong mặt phẳng (ACD), nối NE cắt CD tại I.
Khi đó I ∈ CD và I ∈ NE ⊂ (MNP)
• Ta có: P ∈ BC, mà BC ⊂ (BCD) nên P ⊂ (BCD)
Lại có P ∈ (MNP)
Do đó P là giao điểm của (BCD) và (MNP).
Mặt khác: MN ∩ BD = {F}.
MN ⊂ (MNP);
BD ⊂ (BCD) .
Do đó F là giao điểm của (BCD) và (MNP).
Suy ra PF = (BCD) ∩ (MNP).
Trong mặt phẳng (BCD), gọi giao điểm của CD với PF là I.
Khi đó I ∈ CD, mà CD ⊂ (ACD)
I ∈ PF, mà PF ⊂ (MNP)
Suy ra I là giao điểm của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).
Hay I nằm trên giao tuyến NE của (MNP) và (ACD).
Do đó I ∈ NE.
Vậy ba đường thẳng NE, PF, CD cùng đi qua điểm I.
Bài tập
Lời giải:
Công dụng của thước dẹt: Kiểm tra xem mặt tường đã phẳng chưa.
Áp thước vào mặt tường, nếu toàn bộ thước áp khít vào mặt tường thì mặt tường đã được trát phẳng, nếu thước không khít vào mặt tường thì cần bổ sung thêm vữa trát vào phần chưa khít đó.
Lời giải:
Hình biểu diễn của chặn giấy bằng gỗ là:
Lời giải:
Giả sử a ∩ b = {I} và α = mp(a, b);
a ∩ c = {J} và β = mp(a, c);
b ∩ c = {K} và γ = mp(b, c) với các điểm I, J, K phân biệt.
Khi đó α ∩ β = a và đường thẳng a chính là đường thẳng IJ.
α ∩ γ = b và đường thẳng b chính là đường thẳng IK.
β ∩ γ = c và đường thẳng c chính là đường thẳng JK.
Mà chỉ có một mặt phẳng duy nhất đi qua ba điểm I, J, K, đó là (IJK)
Khi đó a, b, c cùng thuộc mặt phẳng (IJK), điều này trái với giả thiết a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Vậy I, J, K phải trùng nhau hay a, b, c đồng quy.
Lời giải:
• Ta có: S ∈ (SAC) và S ∈ (SBD)
Do đó S là giao điểm của (SAC) và (SBD).
Mặt khác: AC ∩ BD = {O}.
AC ⊂ (SAC);
BD ⊂ (SBD).
Do đó O là giao điểm của (SAC) và (SBD).
Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO.
• Trong mặt phẳng (DMNC) có:
DN ∩ MC = {I}.
DN ⊂ (SDB);
MC ⊂ (SAB).
Do đó I là giao điểm của (SAC) và (SBD).
Suy ra giao tuyến SO của hai mặt phẳng này đi qua điểm I.
Hay I ∈ SO.
Vậy S, I, O thẳng hàng.
a) Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (ABC).
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (BMN) với mặt phẳng (ABC).
Lời giải:
a) Trong mặt phẳng (SAC), gọi giao điểm của MN và AC là P.
Mà AC ⊂ (SAC)
Do đó MN ∩ (ABC) = {P}.
b) Ta có MN ∩ (ABC) = {P} nên P ∈ (ABC)
Lại có P ∈ MN mà MN ⊂ (BMN) nên P ∈ (BMN)
Do đó P là giao điểm của (BMN) và (ABC).
Mặt khác: B ∈ (BMN) và B ∈ (ABC).
Do đó B là giao điểm của (BMN) và (ABC).
Vì vậy (BMN) ∩ (ABC) = BP.
a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng (SAB).
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SBC).
Lời giải:
a) Trong mặt phẳng (ABCD) ta có: gọi giao điểm của AB và CD là N.
Mà AB ⊂ (SAB)
Do đó CD ∩ (SAB) = {N}.
b) Ta có: AB ∩ CD = {N};
AB ⊂ (SAB);
CD ⊂ (SCD)
Do đó N là giao điểm của (SAB) và (SCD).
Lại có: S ∈ (SAB) và S ∈ (SCD).
Nên S là giao điểm của (SAB) và (SCD).
Vì vậy (SAB) ∩ (SCD) = SN.
c) Ta có: C ∈ (SBC) và C ∈ (MCD).
Do đó C là giao điểm của (SBC) và (MCD).
Trong mặt phẳng (SAB), gọi Q là giao điểm của MN và SB.
Mà MN ⊂ (MCD) và SB ⊂ (SBC)
Suy ra Q là giao điểm của (SBC) và (MCD).
Vì vậy (SBC) ∩ (MCD) = CQ.
a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).
b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: .
Lời giải:
a)
+) Xét tam giác BCD có: I là trung điểm của CD nên BI là đường trung tuyến.
Mà M là trọng tâm tam giác BCD nên BI đi qua M.
Do đó M ∈ BI.
Lại có AI ⊂ (ABI) nên M ∈ (ABI).
+) Xét tam giác ACD có: I là trung điểm của CD nên AI là đường trung tuyến.
Mà N là trọng tâm tam giác ACD nên AI đi qua N.
Do đó N ∈ AI.
Lại có BI ⊂ (ABI) nên N ∈ (ABI).
b) Trong BCD có M là trọng tâm tam giác nên .
Trong ACD có N là trọng tâm tam giác nên .
Xét ABI có: nên MN // AB (theo định lí Thalès đảo).
Xét ABI và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có .
Xét ABG và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có .
c)
• Gọi G’ là giao điểm của AM và CP; G’’ là giao điểm của AM và DQ.
Chứng minh tương tự câu b, ta có: và
Do đó .
Mà G, G’, G’’ cùng nằm trên AM nên G ≡ G’ ≡ G’’.
Vậy các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G.
• Xét tam giác ABC, kẻ đường trung tuyến AE (E ∈ BC).
Ta có: Q là trọng tâm DABC nên .
Xét tam giác ABD, kẻ đường trung tuyến AF (F ∈ BD).
Ta có: P là trọng tâm ABD nên .
+) Trong mặt phẳng (AEF), có: nên PQ // EF (định lí Thalès đảo)
Mà EF // CD (đường trung bình tam giác BCD).
Suy ra PQ // CD
Theo hệ quả định lí Thalès ta có: .
Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
I. Khái niệm mở đầu
1. Mặt phẳng
Hình ảnh mặt phẳng trong thực tiễn
- Biểu diễn một mặt phẳng: Người ta thường biểu diễn mặt phẳng bằng một hình bình hành.
- Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa đặt trong dấu ngoặc ( ).
2. Điểm thuộc mặt phẳng
- Điểm A thuộc mặt phẳng (P), ta kí hiệu
- Điểm A không thuộc mặt phẳng (P) ta kí hiệu .
3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian
a, Khái niệm
Hình được vẽ trong mặt phẳng để giúp ta hình dung được về một hình trong không gian gọi là hình biểu diễn của hình không gian đó.
b, Quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian
- Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng, đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng.
- Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi 2 đường thẳng song song (hoặc cắt nhau).
- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Dùng nét liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.
II. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.
- Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.
- Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Kí hiệu hoặc .
- Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến, kí hiệu .
- Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
III. Một số cách xác định mặt phẳng
Cho điểm . Khi đó qua điểm A và đường thẳng d có một và chỉ một mặt phẳng. Kí hiệu mp(A,d) hoặc (A,d).
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Khi đó, qua a và b có một và chỉ một mặt phẳng, kí hiệu mp(a,b).
IV. Hình chóp và hình tứ diện
1. Hình chóp
- Trong mặt phẳng (P), cho đa giác . Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Nối S với các đỉnh để được n tam giác . Hình gồm đa giác và n tam giác được gọi là hình chóp và kí hiệu là .
- Trong hình chóp :
+ Điểm S được gọi là đỉnh.
+ Đa giác được gọi là mặt đáy.
+ Các tam giác được gọi là các mặt bên
+ Các cạnh được gọi là cạnh bên; các cạnh được gọi là các cạnh đáy.
Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,…thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…
2. Hình tứ diện
Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được gọi là hình tứ diện, kí hiệu là ABCD.
Trong đó, các điểm A, B, C, D được gọi các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, BD,AC được gọi là cạnh của tứ diện; các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD gọi là mặt của tứ diện.
Hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian
Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 11 Cánh diều (hay nhất)
- Văn mẫu lớp 11 - Cánh diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 - Cánh diều
- Giải SBT Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 11 – Cánh diều
- Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 – ilearn Smart World
- Giải sbt Tiếng Anh 11 - ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 11 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Giải sgk Vật lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sbt Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Hóa học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Hóa 11 - Cánh diều
- Giải sbt Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sbt Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Lịch sử 11 - Cánh diều
- Giải sbt Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Địa lí 11 - Cánh diều
- Giải sbt Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Công nghệ 11 - Cánh diều
- Giải sbt Công nghệ 11 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Tin học 11 - Cánh diều
- Giải sbt Tin học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng an ninh 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sbt Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 – Cánh diều