Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Dãy số
Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Dãy số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 1.
Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số
Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm nào trong toán học?
Lời giải:
Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm “dãy số” trong toán học. Bài học ngày hôm nay sẽ tìm hiểu về khái niệm này.
I. Khái niệm
Lời giải:
Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 1 giây là: 20 . 1 = 20 (m).
Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 2 giây là: 20 . 2 = 40 (m).
Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 3 giây là: 20 . 3 = 60 (m).
Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 4 giây là: 20 . 4 = 80 (m).
Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 5 giây là: 20 . 5 = 100 (m).
Vậy các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang là: 20, 40, 60, 80, 100.
Lời giải:
Số hạng đầu của khai triển là u1 = u(1) = 13 = 1.
Số hạng cuối của khai triển là u5 = u(5) = 53 = 125.
Dãy số được viết dưới dạng khai triển là: 1; 8; 27; 64; 125.
Lời giải:
Ta có: u1 = =1; u2 = ; u3 = ; ... un = ; ...
Luyện tập 2 trang 44 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) = n2.
a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số (un).
b) Viết dạng khai triển của dãy số (un).
Lời giải:
a) Năm số hạng đầu của dãy số là: u1 = 12 = 1; u2 = 22 = 4; u3 = 32 = 9; u4 = 42 = 16, u5 = 52 = 25.
Số hạng tổng quát của dãy số un là un = n2 với n ∈ ℕ.
b) Dạng khai triển của dãy số u1 = 1; u2 = 4; u3 = 9; u4 = 16, u5 = 25, ..., un = n2, ...
II. Cách cho một dãy số
Hoạt động 3 trang 45 Toán 11 Tập 1: Xét mỗi dãy số sau:
● Dãy số: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100 (1)
● Dãy số (un) với (un) = (– 2)n (3)
● Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 1 và un = un-1 + 2 với mọi n ≥ 2 (4)
a) Hãy nêu cách xác định mỗi số hạng của lần lượt các dãy số (1), (2), (3), (4).
b) Từ đó hãy cho biết dãy số có thể cho bằng những cách nào.
Lời giải:
a) Cách xác định mỗi số hạng của các dãy số đã cho là:
- Dãy số (1) được xác định bằng cách liệt kê.
- Dãy số (2) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.
- Dãy số (3) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.
- Dãy số (4) được xác định bằng cách cho bằng phương pháp quy hồi.
b) Từ ý a) ta có thể thấy dãy số có thể cho bằng 4 phương pháp: liệt kê, diễn đạt bằng lời các xác định mỗi số hạng của dãy số đó, cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó, cho bằng phương pháp quy hồi.
Lời giải:
Ta có: ;
.
Dãy số dưới dạng khai triển là:
III. Dãy số tăng, dãy số giảm
Lời giải:
Ta có: un+1 = (n + 1)2 = n2 + 2n + 1.
Xét hiệu: un+1 – un = n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy un+1 > un.
Luyện tập 4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng dãy số (vn) với vn = là một dãy số giảm.
Lời giải:
Ta có:
Xét hiệu <0
Suy ra un+1 < un.
Vậy dãy số giảm.
IV. Dãy số bị chặn
Lời giải:
Xét hiệu un – 2 = 1+ - 2 = -1
Vì n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 suy ra ≤ 1 do đó: -1≤ 0 .
Vậy un – 2 ≤ 0 hay un ≤ 2.
Luyện tập 5 trang 47 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng dãy số (un) với là bị chặn.
Lời giải:
Ta có: .
Ta lại có: >0
Do đó 0<.
Vì vậy dãy số (un) bị chặn.
Bài tập
Lời giải:
a) Ta có: 5 số hạng đầu tiên của dãy (un) là: u1 = 2.12 + 1 = 3; u2 = 2.22 + 1 = 9; u3 = 2.32 + 1 = 19; u4 = 2.42 + 1 = 33; u5 = 2.52 + 1 = 51.
b) Ta có 5 số hạng đầu của dãy un = là:
c) Ta có 5 số hàng đầu của dãy un = là:
u1 = = 2 ; u2 = =4; u3 = = 8 ; u4 = = 16 ; u5 = = 32 .
d) Ta có 5 số hạng đầu của dãy un = là:
u1 = = 2; u2 = ; u3 = ; u4 = ; u5 = .
Lời giải:
a) Số chấm ở hàng thứ nhất là: u1 = 1;
Số chấm ở hàng thứ hai là: u2 = 2;
Số chấm ở hàng thứ ba là: u3 = 3;
Số chấm ở hàng thứ tư là: u4 = 4;
Vậy số chấm ở hàng thứ n là: un = n.
b) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là: v1 = 1 = 13;
Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là: v2 = 8 = 23;
Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là: v3 = 27 = 33;
Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là: v4 = 64 = 43;
Vậy diện tích của các ô màu ở hàng thứ n là: vn = n3.
Bài 3 trang 48 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (un), biết:
Lời giải:
a) Ta có:
Xét hiệu
.
Suy ra un+1 > un
Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng.
b) Ta có:
Vì n ∈ ℕ* nên suy ra un+1 < un.
Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
c) Ta có: un+1 = (– 1)n+1.(2n+1 + 1)
+) Nếu n chẵn thì un+1 = – (2.2n + 1) và un = 2n + 1. Do đó un+1 < un.
Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.
+) Nếu n lẻ thì un+1 = 2.2n + 1 và un = – (2n + 1). Do đó un+1 > un.
Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng.
Lời giải:
a) Ta có: n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 suy ra n2 + 2 ≥ 3
Do đó un ≥ 3
Vậy dãy số (un) bị chặn dưới bởi 3.
b) Ta có: n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 suy ra un = – 2n + 1 ≤ – 1
Do đó un ≤ – 1.
Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi – 1.
c) Ta có:
Vì n ∈ ℕ* nên n ≥ 1 suy ra > 0
Ta lại có: 1 và suy ra
Do đó 0<
Vậy dãy số (un) bị chặn.
Lời giải:
+) Nếu >1 với mọi n ∈ ℕ* thì un+1 > un. Do đó dãy số (un) là dãy số tăng.
+) Nếu (un) là dãy số tăng thì un+1 > un do đó >1.
a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.
b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.
c) Dự đoán công thức của Pn tính theo n.
Lời giải:
a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là:
P1 = 100 + 100.0,5% + 6 = 100,5 + 6 (triệu đồng).
b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:
P2 = 100,5 + 6 + (100,5 + 6).0,5% + 6= (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 = 100,5(1 + 0,5%) + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng)
Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:
P3 = (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 ].0,5% + 6
= 100,5.(1 + 0,5%)2 + 6(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng).
c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:
P4 = (100,5 + 6)(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6]0,5% + 6
= 100,5.(1 + 0,5%)3 + 6.(1 + 0,5%)3 + 6(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6
Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là:
Pn = 100,5.(1 + 0,5%)n-1 + 6(1 + 0,5%)n-1 + 6(1 + 0,5%)n-2 + 6.(1 + 0,5%)n-3 + ... + 6 với mọi n ∈ ℕ*.
Lý thuyết Dãy số
I. Khái niệm
- Dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u: được gọi là một dãy số hữu hạn.
Do mỗi số nguyên dương tương ứng với đúng một số nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển:
Số là số hạng đầu; là số hạng cuối cùng của dãy số đó.
- Dãy số vô hạn
Mỗi hàm số u: được gọi là một dãy số vô hạn.
Do mỗi số nguyên dương tương ứng với đúng một số nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển:
Số là số hạng đầu; là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
2. Cách cho một dãy số
* Một dãy số có thể cho bằng:
Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).
Công thức của số hạng tổng quát.
Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạn tổng quát của dãy số đó.
Phương pháp truy hồi.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu ta có .
Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu ta có .
4. Dãy số bị chặn
Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu số M sao cho .
Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu số m sao cho .
Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho .
Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 11 Cánh diều (hay nhất)
- Văn mẫu lớp 11 - Cánh diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 - Cánh diều
- Giải SBT Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 11 – Cánh diều
- Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 – ilearn Smart World
- Giải sbt Tiếng Anh 11 - ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 11 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Giải sgk Vật lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sbt Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Hóa học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Hóa 11 - Cánh diều
- Giải sbt Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sbt Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Lịch sử 11 - Cánh diều
- Giải sbt Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Địa lí 11 - Cánh diều
- Giải sbt Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Công nghệ 11 - Cánh diều
- Giải sbt Công nghệ 11 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Tin học 11 - Cánh diều
- Giải sbt Tin học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng an ninh 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sbt Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 – Cánh diều