Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 2.
Giải Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng được hiểu như thế nào?
Lời giải:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng được hiểu là đường thẳng nằm thẳng đứng so với mặt phẳng.
1. Định nghĩa
Lời giải:
Quan sát Hình 10 ta dự đoán rằng đường thẳng d và đường thẳng a vuông góc với nhau.
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Lời giải:
Ta thấy: khi a và b thay đổi (đóng mở cửa) thì đường thẳng d luôn vuông góc với cả hai đường thẳng a và b.
Như vậy ta có thể nói rằng đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a và b trong mặt phẳng (P) hay đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
Lời giải:
Do SA ⊥ (ABCD), BD ⊂ (ABCD).
Suy ra SA ⊥ BD hay BD ⊥ SA.
Vì ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC.
Ta có: BD ⊥ SA, BD ⊥ AC; SA ∩ AC = A trong (SAC)
Suy ra BD ⊥ (SAC).
3. Tính chất
a) Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a hay không?
b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a?
Lời giải:
a) Ta có: a ⊥ b, a ⊥ c và b ∩ c = O trong (P).
Suy ra a ⊥ (P).
Vậy mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a.
b) Theo câu a, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), với mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c cùng vuông góc với đường thẳng a và b ∩ c = O.
Mà qua hai đường thẳng b và c cắt nhau, có một và chỉ một mặt phẳng, tức là tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau b và c.
Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với a.
Lời giải:
Giả sử (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d.
Khi đó ta có đường thẳng d’ đi qua M và d // d’ nên d’ ⊥ (P) tại M.
Lại có a đi qua M và a ⊥ d’ nên a ⊂ (P).
Vậy đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d.
a) Giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (Q), (R) có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?
b) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P)?
Lời giải:
a) Do a ⊥ (Q) và ∆ ⊂ (Q) nên a ⊥ ∆.
b ⊥ (R) và ∆ ⊂ (R) nên b ⊥ ∆.
Mà a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P)
Suy ra ∆ ⊥ (P).
Vậy giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (Q), (R) có vuông góc với mặt phẳng (P).
b) Theo câu a, ta có ∆ ⊥ (P) với ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q), (R); với hai mặt phẳng (Q), (R) lần lượt đi qua O và vuông góc a, b.
Vì hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng. Tức là tồn tại duy nhất một đường thẳng ∆ đi qua O (điểm chung của 2 mặt phẳng (Q) và (R)).
Vậy có duy nhất một đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P).
Lời giải:
Ta có a ⊥ (P) tại O.
Mặt khác, có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước, tức là tồn tại duy nhất đường thẳng a đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng (P).
Nên nếu OM ⊥ (P) thì M ∈ a.
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Lời giải:
Quan sát Hình 19 ta thấy:
a) Nếu hai đường thẳng a và b song song với nhau và mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a thì mặt phẳng (P) có vuông góc với đường thẳng b.
b) Nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P) thì chúng có song song với nhau.
Lời giải:
Do AA’ ⊥ (P), BB’ ⊥ (P) nên suy ra AA’ // BB’.
Hơn nữa O, A, B thẳng hàng nên suy ra O, A’, B’ cũng thẳng hàng (tính chất phép chiếu song song).
Xét tam giác OBB’ có AA’ // BB’ nên theo hệ quả định lí Thalès ta có:
Lời giải:
Quan sát Hình 21 ta thấy:
a) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng a có vuông góc với mặt phẳng (Q).
b) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) cùng vuông góc với đường thẳng a thì chúng có song song với nhau.
Lời giải:
Ta có: (ABC) ⊥ SA, (P) ⊥ SA nên suy ra (P) // (ABC).
Dễ thấy: (SBC) ∩ (P) = B’C’ và (SBC) ∩ (ABC) = BC.
Từ các kết quả trên ta có: B’C’ // BC.
5. Phép chiếu vuông góc
Hoạt động 7 trang 85 Toán 11 Tập 2: Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tuỳ ý trong không gian.
a) Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)?
b) Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại bao nhiêu giao điểm?
Lời giải:
a) Vì có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Nên có một đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P).
b) Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại một giao điểm.
Lời giải:
⦁ Nếu đoạn thẳng AB vuông góc với mặt phẳng (P) thì hình chiếu của đoạn thẳng AB trên (P) là một điểm, điểm đó là giao điểm của đường thẳng AB và (P).
⦁ Nếu đoạn thẳng AB không vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta cần thực hiện các bước sau đây để xác định hình chiếu của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P):
Bước 1. Tìm hình chiếu A’, B’ lần lượt của A và B trên (P).
Bước 2. Nối A’ với B’ ta được đoạn thẳng A’B’ là hình chiếu của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P).
⦁ Nếu đoạn thẳng AB nằm hoàn toàn trên mặt phẳng (P) thì hình chiếu của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) chính là đoạn thẳng AB.
6. Định lý ba đường vuông góc
a) Nếu đường thẳng d vuông góc với hình chiếu a’ thì đường thẳng d có vuông góc với a hay không;
Lời giải:
Lấy điểm M ∈ a, gọi H là hình chiếu của M trên (P).
Khi đó a’ đi qua H vì a’ là hình chiếu của đường thẳng a trên (P).
Ta có: MH ⊥ (P), d ⊂ (P) nên suy ra MH ⊥ d.
a) Ta có: d ⊥ MH, d ⊥ a’ và MH ∩ a’ = H trong mp(a, a’).
Suy ra d ⊥ mp(a, a’).
Mà a ⊂ mp(a, a’) nên d ⊥ a.
Vậy nếu đường thẳng d vuông góc với hình chiếu a’ thì đường thẳng d vuông góc với a.
b) Ta có: d ⊥ MH, d ⊥ a và MH ∩ a = M trong mp(a, a’).
Suy ra d ⊥ mp(a, a’).
Mà a’ ⊂ mp(a, a’) nên d ⊥ a’.
Vậy nếu đường thẳng d vuông góc với a thì đường thẳng d vuông góc với hình chiếu a’.
Lời giải:
Ta có: SA ⊥ (ABCD), BC ⊂ (ABCD) và DC ⊂ (ABCD).
Suy ra: SA ⊥ BC và SA ⊥ DC.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC ⊥ AB và DC ⊥ AD.
· Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ AB và SA ∩ AB = A trong (SAB).
Suy ra BC ⊥ (SAB).
Mà SB ⊂ (SAB) nên BC ⊥ SB hay tam giác SBC vuông tại B.
· Ta có: DC ⊥ AD, DC ⊥ SA và AD ∩ SA = A trong (SAD).
Suy ra DC ⊥ (SAD).
Mà SD ⊂ (SAD) nên DC ⊥ SD hay tam giác SCD vuông tại D.
Bài tập
Lời giải:
Quan sát Hình 30 ta thấy a // b, a và b cùng vuông góc với (P). Qua đó, một số các tính chất về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được gợi ra như sau:
⦁ Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
⦁ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Bài 2 trang 88 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).
a) Xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC).
b) Giả sử BC ⊥ SA, CA ⊥ SB. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC và AB ⊥ SC.
Lời giải:
a) Ta có: H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC); A ∈ (ABC).
Suy ra HA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC).
Tương tự ta có HB, HC lần lượt là hình chiếu của SB và SC trên mặt phẳng (ABC).
b) Do H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) nên SH ⊥ (ABC).
Mà AB, AC, BC đều nằm trên (ABC).
Từ đó ta có: SH ⊥ AB, SH ⊥ AC, SH ⊥ BC.
· Ta có: BC ⊥ SH, BC ⊥ SA và SH ∩ SA = S trong (SAH).
Suy ra BC ⊥ (SAH).
Mà AH ⊂ (SAH) nên BC ⊥ AH. (1)
· Ta có: AC ⊥ SB, AC ⊥ SH và SB ∩ SH = S trong (SBH).
Suy ra AC ⊥ (SBH).
Mà BH ⊂ (SBH) nên AC ⊥ BH. (2)
Từ (1) và (2) ta có H là trực tâm của tam giác ABC.
Suy ra AB ⊥ CH.
· Ta có: AB ⊥ CH, AB ⊥ SH và CH ∩ SH = H trong (SCH).
Suy ra AB ⊥ (SCH).
Mà SC ⊂ (SCH) nên AB ⊥ SC.
c) Ba đường thẳng AK, BH, CD cùng đi qua một điểm.
Lời giải:
a) Ta có: AB ⊥ (BCD), CD ⊂ (BCD) nên AB ⊥ CD.
Do H là trực tâm của tam giác BCD nên BH ⊥ CD.
Ta có: CD ⊥ AB, CD ⊥ BH và AB ∩ BH = B trong (ABH).
Từ đó ta có: CD ⊥ (ABH).
b) Do K là trực tâm của tam giác ACD nên AK ⊥ CD.
Ta có: CD ⊥ AB, CD ⊥ AK và AB ∩ AK = A trong (ABK).
Từ đó ta có: CD ⊥ (ABK).
c) Theo tính chất “Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước” nên có duy nhất một mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với CD.
Mà CD ⊥ (ABH), CD ⊥ (ABK).
Suy ra (ABH) ≡ (ABK).
Do: H là trực tâm của tam giác BCD nên BH giao với CD tại một điểm I;
K là trực tâm của tam giác ACD nên AK giao với CD tại một điểm I’.
Mà CD cắt (ABHK) tại một điểm.
Do đó I và I’ trùng nhau hay AK, BH, CD cùng đi qua một điểm.
Lời giải:
a) Ta có H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.
Hơn nữa BC // AD (do ABCD là hình bình hành).
Suy ra AH ⊥ AD.
Lại có H là hình chiếu của S trên (ABCD) nên HA là hình chiếu của SA trên (ABCD).
Do đó, theo định lí ba đường vuông góc ta có AD ⊥ SA hay SA ⊥ AD.
b) Ta có H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB.
Hơn nữa AB // CD (do ABCD là hình bình hành).
Suy ra HC ⊥ CD.
Lại có H là hình chiếu của S trên (ABCD) nên HC là hình chiếu của SC trên (ABCD).
Do đó, theo định lí ba đường vuông góc ta có CD ⊥ SC hay SC ⊥ CD.
Lời giải:
Do SA ⊥ (ABC) hay SA ⊥ (ABCD) nên AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABCD).
Mà BC ⊥ AB nên theo định lí ba đường vuông góc ta có BC ⊥ SB.
Xét ∆SBC có: M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC nên MN là đường trung bình của ∆SBC. Do đó MN // BC.
Mà BC ⊥ SB nên SB ⊥ MN.
Do SA ⊥ (ABCD) và BC ⊂ (ABCD) suy ra SA ⊥ BC.
Mà MN // BC nên SA ⊥ MN.
Ta có: MN ⊥ SB, MN ⊥ SA và SB ∩ SA = S trong (SAB).
Suy ra MN ⊥ (SAB).
Hơn nữa PM ⊂ (SAB) nên MN ⊥ PM hay tam giác MNP là tam giác vuông tại M.
Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P), kí hiệu hoặc .
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Nhận xét: Ta có thể chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
3. Tính chất
- Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
- Tính chất 3:
Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- Tính chất 4:
Cho hai mặt phẳng song song. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
5. Phép chiếu vuông góc
Cho mặt phẳng (P) và một điểm M tuỳ ý trong không gian. Lấy đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P), gọi giao điểm của d và (P) là M’. Điểm M’ gọi là hình chiếu vuông góc (hay hình chiếu) của điểm M trên (P).
Cho mặt phẳng (P). Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu vuông góc M’ của điểm đó lên mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).
Nhận xét: Vì phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song (khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu) nên phép chiếu vuông góc có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.
6. Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó, d vuông góc với a khi và chỉ khi d vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
Sơ đồ tư duy Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc
Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện
Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 11 Cánh diều (hay nhất)
- Văn mẫu lớp 11 - Cánh diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 - Cánh diều
- Giải SBT Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 11 – Cánh diều
- Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 – ilearn Smart World
- Giải sbt Tiếng Anh 11 - ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 11 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Giải sgk Vật lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sbt Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Hóa học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Hóa 11 - Cánh diều
- Giải sbt Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sbt Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Lịch sử 11 - Cánh diều
- Giải sbt Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Địa lí 11 - Cánh diều
- Giải sbt Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Công nghệ 11 - Cánh diều
- Giải sbt Công nghệ 11 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Tin học 11 - Cánh diều
- Giải sbt Tin học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng an ninh 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sbt Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 – Cánh diều