Bài 2 trang 88 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 2 trang 88 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

a) Xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC).

b) Giả sử BC ⊥ SA, CA ⊥ SB. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC và AB ⊥ SC.

Lời giải:

a) Ta có: H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC); A ∈ (ABC).

Suy ra HA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC).

Tương tự ta có HB, HC lần lượt là hình chiếu của SB và SC trên mặt phẳng (ABC).

b) Do H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) nên SH ⊥ (ABC).

Mà AB, AC, BC đều nằm trên (ABC).

Từ đó ta có: SH ⊥ AB, SH ⊥ AC, SH ⊥ BC.

· Ta có: BC ⊥ SH, BC ⊥ SA và SH ∩ SA = S trong (SAH).

Suy ra BC ⊥ (SAH).

Mà AH ⊂ (SAH) nên BC ⊥ AH. (1)

· Ta có: AC ⊥ SB, AC ⊥ SH và SB ∩ SH = S trong (SBH).

Suy ra AC ⊥ (SBH).

Mà BH ⊂ (SBH) nên AC ⊥ BH. (2)

Từ (1) và (2) ta có H là trực tâm của tam giác ABC.

Suy ra AB ⊥ CH.

· Ta có: AB ⊥ CH, AB ⊥ SH và CH ∩ SH = H trong (SCH).

Suy ra AB ⊥ (SCH).

Mà SC ⊂ (SCH) nên AB ⊥ SC.