Toán 11 Bài 3 (Cánh diều): Hàm số liên tục
Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Hàm số liên tục sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 3.
Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục
Bài giảng Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục
Kiến thức gì trong toán học thể hiện chuyển động có đường đi là đường liền mạch?
Lời giải:
Kiến thức trong toán học thể hiện chuyển động của đường đi là đường liên mạch đó là kiến thức về hàm số liên tục.
Để tìm hiểu kĩ hơn hàm số liên tục là gì thì chúng ta sẽ cùng tìm hiểu bài học ngày hôm nay. Bài học: “Hàm số liên tục”.
I. Khái niệm
Hoạt động 1 trang 73 Toán 11 Tập 1: Quan sát đồ thị hàm số f(x) = x ở Hình 11.
Lời giải:
a) Ta có: = 1.
b) Ta có: f(1) = 1 nên f(x)=f(1).
Luyện tập 1 trang 74 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x3 + 1 tại x0 = 1.
Lời giải:
Ta có: = 2và f(1) = 13 + 1 = 2
Suy ra f(x)=f(1).
Vì vậy hàm số liên tục tại x0 = 1.
Hoạt động 2 trang 74 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = x + 1 với x ∈ ℝ.
a) Giả sử x0 ∈ ℝ. Hàm= số f(x) có liên tục tại điểm x0 hay không?
Lời giải:
a) Với x0 ∈ ℝ bất kì ta có: f(x) = xo+1 - f(xo). Do đó hàm số liên tục tại x = x0.
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số là một đường thẳng liền mạch với mọi giá trị x ∈ ℝ.
Luyện tập 2 trang 75 Toán 11 Tập 1: Hàm số f(x) = . Có liên tục trên ℝ hay không?
Lời giải:
+) Với mỗi x0 ∈ (– ∞; 2) có là hàm số liên tục.
+) Với mỗi x0 ∈ (2; +∞) có là hàm số liên tục.
+) Tại x = 2, ta có: (x-1) = 1và f(2) = – 2 nên .
Vậy hàm số không liên tục tại x = 2.
II. Một số định lí cơ bản
Lời giải:
Hình 14a) đồ thị là đường cong Parabol liền mạch nên hàm số liên tục trên toàn bộ khoảng xác định.
Hình 14b) đồ thị bị chia làm hai nhánh:
- Với x < 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên liên tục.
- Với x > 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên liên tục.
Vậy hàm đố liên tục trên từng khoảng xác định.
Hình 14c) đồ thị hàm số y = tanx chia thành nhiều nhánh, và mỗi nhánh là các đường cong liền. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng xác định của chúng.
Lời giải:
Do f(x)=nên hàm số liên tục trên mỗi khoảng (– ∞; 8), (8; + ∞).
a) Hai hàm số f(x), g(x) có liên tục tại x = 2 hay không.
b) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) – g(x); f(x).g(x); có liên tục tại x = 2 hay không.
Lời giải:
a) Tại x = 2 có = 23+2 = 10 = f(2). Do đó hàm số f(x) liên tục tại x = 2.
Tại x = 2 có = 22+1 = 5 = g(2). Do đó hàm số g(x) liên tục tại x = 2.
b) Tại x = 2 có
Do đó hàm số f(x) + g(x) liên tục tại x = 2.
Tại x = 2 có
Do đó hàm số f(x) – g(x) liên tục tại x = 2.
Tại x = 2 có
Do đó hàm số f(x).g(x) liên tục tại x = 2.
Tại x = 2 có
Do đó hàm số liên tục tại x = 2.
Luyện tập 4 trang 76 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = sinx + cosx trên ℝ.
Lời giải:
Hàm số sinx và cosx liên tục trên ℝ.
Do đó hàm số y = sinx + cosx liên tục trên ℝ.
Bài tập
Lời giải:
Hàm số f(x) = 2x3 + x + 1 xác định trên ℝ.
Ta có: = 2.23+2+1 = 17 = f(2).
Do đó hàm số liên tục tại x = 2.
Lời giải:
+) Hình 15a): Hàm số f(x) = x2 – 2x có tập xác định D = ℝ.
Hàm số liên tục trên toàn bộ ℝ.
+) Hình 16b): Hàm số g(x)= có tập xác định D = ℝ\{1}.
Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số.
+) Hình 16c):
Với x ∈ (– ∞; – 1) có f(x) = – 2x liên tục.
Với x ∈ (– 1; ∞) có f(x) = x + 1 liên tục.
Tại x = – 1 có và f(– 1) = – 1 + 1 = 0.
Suy ra f(-1). Do đó hàm số liên tục tại x = – 1.
Vậy hàm số kiên tục trên các khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; ∞).
Lời giải:
Theo em ý kiến của bạn Nam là đúng.
Ta có: Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0 nên .
Hàm số y = g(x) không liên tục tại x0 nên .
Do đó .
Vì vậy hàm số không liên tục tại x0.
Bài 4 trang 77 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:
Lời giải:
a) Hàm số f(x) = x2 + sinx có tập xác định là ℝ.
Hàm số x2 và sinx liên tục trên ℝ nên hàm số f(x) = x2 + sinx liên tục trên ℝ.
b) Hàm số g(x) = x4 – x2 + có tập xác định là ℝ\{1}.
Hàm số x4 – x2 liên tục trên toàn bộ tập xác định
Hàm số liên tục trên các khoảng ( – ∞; 1) và (1; +∞).
Vậy hàm số đã cho liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số.
c) Hàm số h(x) = có tập xác định D = ℝ\{– 4; 3}.
Hàm số liên tục trên các khoảng ( – ∞; 3) và (3; +∞).
Hàm số liên tục trên các khoảng ( – ∞; – 4) và (– 4; +∞).
Bài 5 trang 77 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) =
a) Với a = 0, xét tính liên tục của hàm số tại x = 4.
b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 4?
c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?
Lời giải:
a) Với a = 0, tại x = 4, ta có:
+4+1 = 21 và f(4) = 2.0 + 1 = 1
Suy ra .
Vì vậy hàm số không liên tục tại x = 4.
b) Ta có: +4+1 = 21và f(4) = 2.a + 1
Để hàm số liên tục tại x = 4 thì f(x) = f(4)
⇔ 21 = 2a + 1
⇔ 2a = 20
⇔ a = 10
Vậy với a = 10 thì hàm số liên tục tại x = 4.
c) Với x ∈ (– ∞; 4) có f(x) = x2 + x + 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này.
Với x ∈ (4; +∞) có f(x) = 2a + 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này.
Tại x = 4 thì a = 10 hàm số liên tục.
Vậy với a = 10 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
a) Chứng tỏ hàm số h(t) liên tục trên tập xác định.
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định .
Lời giải:
a) Hàm số h(t) = – 2t2 + 8t là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định.
b) Dựa vào đồ thị hàm số khi t tiến dần đế 2 thì h(t) dần đến 8.
Vậy .
Lý thuyết Hàm số liên tục
I. Khái niệm
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
Cho hàm xác định trên khoảng , . Hàm số được gọi là liên tục tại điểm nếu .
Hàm số không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
- Hàm số được gọi là liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số được gọi là liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên khoảng và .
* Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.
III. Một số định lí cơ bản
1. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản
- Hàm số đa thức và hàm số liên tục trên .
- Các hàm số và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
Giả sử hai hàm số và liên tục tại điểm . Khi đó:
a, Các hàm số và liên tục tại điểm .
b, Hàm số liên tục tại điểm nếu .
Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 11 Cánh diều (hay nhất)
- Văn mẫu lớp 11 - Cánh diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 - Cánh diều
- Giải SBT Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 11 – Cánh diều
- Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 – ilearn Smart World
- Giải sbt Tiếng Anh 11 - ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 11 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Giải sgk Vật lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sbt Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Hóa học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Hóa 11 - Cánh diều
- Giải sbt Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sbt Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Lịch sử 11 - Cánh diều
- Giải sbt Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Địa lí 11 - Cánh diều
- Giải sbt Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Công nghệ 11 - Cánh diều
- Giải sbt Công nghệ 11 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Tin học 11 - Cánh diều
- Giải sbt Tin học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng an ninh 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sbt Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 – Cánh diều