$\lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 2}{4 x - 5} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 + \frac{2}{x})}{4 - \frac{5}{x}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{4 - \frac{5}{x}} = \frac{3}{4}$ .

III. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm

Hoạt động 5 trang 70 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{x - 1} (x \neq 1)$ có đồ thị như Hình 8. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới đâu.

b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới đâu.

Lời giải:

a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới +∞.

b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới – ∞.

Giải Toán 11 trang 71 Tập 1

Luyện tập 5 trang 71 Toán 11 Tập 1: Tính $\lim_{x \to - 2^{-}} \frac{1}{x + 2}$ .

Lời giải:

$\lim_{x \to - 2^{-}} \frac{1}{x + 2} = - \infty$ .

IV. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực

Hoạt động 6 trang 71 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = x có đồ thị như Hình 9. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới đâu.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới đâu.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới dương vô cùng.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới âm vô cùng.

Giải Toán 11 trang 72 Tập 1

Luyện tập 6 trang 72 Toán 11 Tập 1: Tính $\lim_{x \to - \infty} x^{4}$ .

Lời giải:

$\lim_{x \to - \infty} x^{4} = + \infty$ .

Bài tập

Bài 1 trang 72 Toán 11 Tập 1: Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to - 3} x^{2}$ ;

b) $\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$ .

Lời giải:

a) $\lim_{x \to - 3} x^{2} = {(- 3)}^{2} = 9$

b) $\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} = \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5) (x + 5)}{x - 5} = \lim_{x \to 5}$ (x+5) = 10.

Bài 2 trang 72 Toán 11 Tập 1: Biết rằng hàm số f(x) thỏa mãn $\lim_{x \to 2^{-}}$ f(x) = 3và $\lim_{x \to 2^{+}}$ f(x) = 5. Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn $\lim_{x \to 2}$ f(x) hay không? Giải thích.

Lời giải:

Ta có: $\lim_{x \to 2^{-}}$ f(x) = 3và $\lim_{x \to 2^{+}}$ f(x) = 5suy ra $\lim_{x \to 2^{-}}$ f(x) = 3 $\neq$ 5= $\lim_{x \to 2^{+}}$ f(x) nên không tồn tại $\lim_{x \to 2}$ f(x).

Bài 3 trang 72 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 2}$ (x²-4x+3);

b) $\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3}$ ;

c) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$ .

Lời giải:

a) $\lim_{x \to 2}$ (x²- 4x + 3) = 2²- 4.2 + 3 = -1.

b) $\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x - 2)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x - 2) = 1$ .

c) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2}$ .

Bài 4 trang 72 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to + \infty} \frac{9 x + 1}{3 x - 4}$ ;

b) $\lim_{x \to - \infty} \frac{7 x - 11}{2 x + 3}$ ;

c) $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ ;

d) $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ ;

e) $\lim_{x \to 6} \frac{1}{x - 6}$ ;

f) $\lim_{x \to 7^{+}} \frac{1}{x - 7}$ .

Lời giải:

Bài 4 trang 72 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Bài 5 trang 72 Toán 11 Tập 1: Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được N(t) = $\frac{50 t}{t + 4} (t \geq 0)$ bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính $\lim_{t \to + \infty}$ N(t)và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Lời giải:

Ta có: $\lim_{t \to + \infty} N (t) = \lim_{t \to + \infty} \frac{50 t}{t + 4} = \lim_{t \to + \infty} \frac{50 t}{t (1 + \frac{4}{t})} = \lim_{t \to + \infty} \frac{50}{1 + \frac{4}{t}}$ = 50.

Ý nghĩa: Tối đa một nhân viên chỉ có thể lắp được 50 bộ phận mỗi ngày.

Bài 6 trang 72 Toán 11 Tập 1: Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: C(x) = 50 000 + 105x.

a) Tính chi phí trung bình $\bar{C}$ (x)để sản xuất một sản phẩm.

b) Tính $\lim_{x \to + \infty} \bar{C} (x)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Lời giải:

a) Chi phí trung bình $\bar{C}$ (x)để sản xuất một sản phẩm là:

$\bar{C} (x) = \frac{50000 + 105 x}{x}$ (sản phẩm).

b) Ta có: $\lim_{x \to + \infty} \bar{C} (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{50000 + 105 x}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x (\frac{50000}{x} + 105)}{x}$

$= \lim_{x \to + \infty} (\frac{50000}{x} + 105) = 105$ .

Ý nghĩa: Khi số sản phẩm sản xuất ra ngày càng nhiều thì chi phí trung bình chỉ tối đa là 105 nghìn đồng.

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm $x_{0}$ và hàm số $f (x)$ xác định trên K hoặc trên $K ∖ {x_{0}}$ . Hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x$ dần tới $x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} \in K ∖ {x_{0}}$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to L$

Kí hiệu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ , khi $x_{n} \to x_{0}$ .

2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

a, Nếu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ và $lim_{x \to x_{0}} g (x) = M$ $(L, M \in R)$ thì

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) \pm g (x)] = L \pm M$

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) . g (x)] = L . M$

$lim_{x \to x_{0}} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{L}{M} (M \neq 0)$

b, Nếu $f (x) \geq 0$ với mọi $x \in (a; b) ∖ {x_{0}}$ và $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì $L \geq 0$ và $lim_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L}$ .

3. Giới hạn một phía

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; x_{0})$ . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số $y = f (x)$ khi $x \to x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $a < x_{n} < x_{0}$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = L$ .

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(x_{0}; b)$ . Số L là giới hạn bên của hàm số $y = f (x)$ khi $x \to x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $x_{0} < x_{n} < b$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$ .

*Nhận xét: $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L \Leftrightarrow lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; + \infty)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x \to + \infty$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì $x_{n} > a$ và $x_{n} \to + \infty$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ khi $x \to + \infty$ .

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(- \infty; b)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x \to - \infty$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì $x_{n} < b$ và $x_{n} \to - \infty$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to - \infty} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ khi $x \to - \infty$ .

* Nhận xét:

- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

- Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

$lim_{x \to + \infty} c = c$ , $lim_{x \to - \infty} c = c$ , $lim_{x \to + \infty} (\frac{c}{x^{k}}) = 0, lim_{x \to - \infty} (\frac{c}{x^{k}}) = 0$ .

III. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; + \infty)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn $+ \infty$ khi $x \to a^{+}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} > a$ và $x_{n} \to a$ ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ .

Kí hiệu $lim_{x \to a^{+}} f (x) = + \infty$ hay $f (x) \to + \infty$ khi $x \to a^{+}$

- Các giới hạn $lim_{x \to a^{+}} f (x) = - \infty, lim_{x \to a^{-}} f (x) = + \infty, lim_{x \to a^{-}} f (x) = - \infty$ được định nghĩa tương tự.

IV. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; x_{0})$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn $+ \infty$ khi $x \to x_{0}$ về bên trái nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} > a$ và $x_{n} \to + \infty$ ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .

Kí hiệu $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ hay $f (x) \to + \infty$ khi $x \to + \infty$ .

- Các giới hạn $lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty, lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty, lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ được định nghĩa tương tự.

* Chú ý:

$lim_{x \to + \infty} x^{k} = + \infty, k \in Z^{+} .$
$lim_{x \to - \infty} x^{k} = + \infty,$ k là số nguyên dương chẵn.
$lim_{x \to - \infty} x^{k} = - \infty,$ k là số nguyên dương lẻ.

Lý thuyết Giới hạn của hàm số – Toán 11 Cánh diều (ảnh 1)

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

1 1,885 17/09/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3