Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Giới hạn của hàm số
Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 2.
Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số
Bài giảng Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số
Lời giải:
Sau bài học này chúng ta sẽ biết:
Trong toán học giá trị 0,070 được gọi là giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0,2.
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Hoạt động 1 trang 65 Toán 11 Tập 1: Xét hàm số f(x) = 2x.
a) Xét dãy số (xn), với xn = 1+. Hoàn thành bảng giá trị f(xn) tướng ứng.
b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì (xn), xn → 1 ta luôn có f(xn) → 2.
Lời giải:
a) Ta có bảng giá trị sau:
Ta có: limf(xn) = lim=2.
b) Lấy dãy (xn) bất kí thỏa mãn xn → 1 ta có:
f(xn) = 2xn
⇒ = 2.1=2.
Luyện tập 1 trang 67 Toán 11 Tập 1: Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng: =4.
Lời giải:
Đặt f(x) = x2
Giả sử (xn) là dãy số thỏa mãn limxn = 2.
⇒ limf(xn) = lim=4.
Vậy =4.
Hoạt động 2 trang 67 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = x2 – 1, g(x) = x + 1.
Lời giải:
a) Giả sử (xn) là dãy số bất kì thỏa mãn limxn = 1. Khi đó ta có:
-1 = 1-1 = 0.
limf(x) = 0.
limg(xn) = lim(xn+1) = limxn+1 = 2
limg(x) = 2.
b) Ta có: f(x) + g(x) = x2 – 1 + x + 1 = x2 + x
(xn) là dãy số bất kì thỏa mãn limxn = 1. Khi đó ta có:
.
.
Ta lại có: = 0 + 2 =2.
Vậy =2.
c) Ta có: f(x) – g(x) = x2 – 1 – x – 1 = x2 – x – 2
(xn) là dãy số bất kì thỏa mãn limxn = 1. Khi đó ta có:
.
Ta lại có: = 0-2 = -2.
Vậy = -2.
d) Ta có: f(x).g(x) = (x2 – 1)(x + 1) = x3 + x2 – x – 1
(xn) là dãy số bất kì thỏa mãn limxn = 1. Khi đó ta có:
-1 = 13+12-1-1 = 0
=0.
Ta lại có: = 0.2 = 0.
Vậy .
e) Ta có:
(xn) là dãy số bất kì thỏa mãn limxn = 1. Khi đó ta có:
= 0.
= 0.
Ta lại có: =0
Vậy .
Luyện tập 2 trang 68 Toán 11 Tập 1: Tính:
Lời giải:
a) = 3.8 = 24.
b) = 3.
Hoạt động 3 trang 68 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = . Hàm số f(x) có đồ thị ở Hình 6.
a) Xét dãy số (un) sao cho un < 0 và lim un = 0. Xác định f(un) và tìm lim f(un).
b) Xét dãy số (vn) sao cho vn > 0 và lim vn = 0. Xác định f(vn) và tìm limf(vn).
Lời giải:
a) Xét dãy số (un) sao cho un < 0 và lim un = 0. Khi đó f(un) = – 1 và lim f(un) = – 1.
b) Xét dãy số (vn) sao cho vn > 0 và lim vn = 0. Khi đó f(vn) = 1 và lim f(vn) = 1.
Luyện tập 3 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tính .
Lời giải:
Ta có: = 0-4 = -4.
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.
b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.
Lời giải:
Dựa vào đồ thị ta thấy:
a) Hàm số f(x) tiến dần tới giá trị 0 khi x dần tới dương vô cực.
b) Hàm số tiến dần tới âm vô cực thì giá trị f(x) gần tới giá trị 0.
Luyện tập 4 trang 70 Toán 11 Tập 1: Tính .
Lời giải:
.
III. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm
a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới đâu.
b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới đâu.
Lời giải:
a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới +∞.
b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới – ∞.
Luyện tập 5 trang 71 Toán 11 Tập 1: Tính .
Lời giải:
.
IV. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực
a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới đâu.
b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới đâu.
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:
a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới dương vô cùng.
b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới âm vô cùng.
Luyện tập 6 trang 72 Toán 11 Tập 1: Tính .
Lời giải:
.
Bài tập
Bài 1 trang 72 Toán 11 Tập 1: Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
Lời giải:
a)
b) (x+5) = 10.
Lời giải:
Ta có: f(x) = 3và f(x) = 5suy ra f(x) = 35= f(x) nên không tồn tại f(x).
Bài 3 trang 72 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải:
a) (x2- 4x + 3) = 22- 4.2 + 3 = -1.
b) .
c) .
Bài 4 trang 72 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải:
Lời giải:
Ta có: = 50.
Ý nghĩa: Tối đa một nhân viên chỉ có thể lắp được 50 bộ phận mỗi ngày.
a) Tính chi phí trung bình (x)để sản xuất một sản phẩm.
b) Tính và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Lời giải:
a) Chi phí trung bình (x)để sản xuất một sản phẩm là:
(sản phẩm).
b) Ta có:
.
Ý nghĩa: Khi số sản phẩm sản xuất ra ngày càng nhiều thì chi phí trung bình chỉ tối đa là 105 nghìn đồng.
Lý thuyết Giới hạn của hàm số
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
Cho khoảng K chứa điểm và hàm số xác định trên K hoặc trên . Hàm số có giới hạn là số L khi dần tới nếu với dãy số bất kì, và , ta có
Kí hiệu hay , khi .
2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
a, Nếu và thì
b, Nếu với mọi và thì và .
3. Giới hạn một phía
- Cho hàm số xác định trên khoảng . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số khi nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và ta có , kí hiệu .
- Cho hàm số xác định trên khoảng . Số L là giới hạn bên của hàm số khi nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và ta có , kí hiệu .
*Nhận xét:
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
- Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi nếu với dãy số bất kì và ta có , kí hiệu hay khi .
- Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi nếu với dãy số bất kì và ta có , kí hiệu hay khi .
* Nhận xét:
- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:
, ,.
III. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm
- Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn khi nếu với dãy số bất kì, và ta có .
Kí hiệu hay khi
- Các giới hạn được định nghĩa tương tự.
IV. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực
- Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn khi về bên trái nếu với dãy số bất kì, và ta có , kí hiệu .
Kí hiệu hay khi .
- Các giới hạn được định nghĩa tương tự.
* Chú ý:
- k là số nguyên dương chẵn.
- k là số nguyên dương lẻ.
Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 11 Cánh diều (hay nhất)
- Văn mẫu lớp 11 - Cánh diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 - Cánh diều
- Giải SBT Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 11 – Cánh diều
- Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 – ilearn Smart World
- Giải sbt Tiếng Anh 11 - ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 11 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Giải sgk Vật lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sbt Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Hóa học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Hóa 11 - Cánh diều
- Giải sbt Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sbt Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Lịch sử 11 - Cánh diều
- Giải sbt Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Địa lí 11 - Cánh diều
- Giải sbt Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Công nghệ 11 - Cánh diều
- Giải sbt Công nghệ 11 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Tin học 11 - Cánh diều
- Giải sbt Tin học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng an ninh 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sbt Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 – Cánh diều