Toán 8 Bài 1 (Cánh diều): Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Giải Toán 11 Bài 1: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Giải Toán 11 trang 3 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 3 Toán 11 Tập 2: Một cuộc khảo sát đã tiến hành xác định tuổi (theo năm) của 120 chiếc ô tô. Kết quả điều tra được cho trong Bảng 1.

Tìm các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu ghép nhóm đó như thế nào cho thuận lợi?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{13\cdot 2+29\cdot 6+48\cdot 10+22\cdot 14+8\cdot 18}{120}\approx 9,43.$

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 120. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}$ = 60.

Mà 42 < 60 < 90 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8, d = 4, n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu đã cho là:

M_e = $8+\left(\frac{60-42}{48}\right)\cdot 4$ = 9,5.

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q₂ = M_e = 9,5.

⦁ Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{120}{4}$ = 30 mà 13 < 30 < 42. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 2 là nhóm [4; 8) có s = 4; h = 4; n₂ = 29 và nhóm 1 là nhóm [0; 4) có cf₁ = 13.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

Q₁ = $4+\left(\frac{30-13}{29}\right)\cdot 4\approx 6$ (năm).

⦁ Ta có: $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}$ = 60 mà 42 < 60 < 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d = 4; n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ hai là:

Q₂ = M_e = $8+\left(\frac{60-42}{48}\right)\cdot 4$ = 9,5 (năm).

⦁ Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 120}{4}$ = 90 mà cf₃ = 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 90.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d = 4; n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

Q₃ = $8+\left(\frac{90-42}{48}\right)\cdot 4$ = 12 (năm).

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

Q₁ ≈ 6 (năm); Q₂ ≈ 9,5 (năm) và Q₃ ≈ 12 (năm).

I. Mẫu số liệu ghép nhóm

Hoạt động 1 trang 3 Toán 11 Tập 2: Trong Bảng 1 ở phần mở đầu ta thấy:

⦁ Có 13 ô tô có độ tuổi dưới 4;

⦁ Có 29 ô tô có độ tuổi từ 4 đến dưới 8.

Hãy xác định số ô tô có độ tuổi:

a) Từ 8 đến dưới 12;

b) Từ 12 đến dưới 16;

c) Từ 16 đến dưới 20.

Lời giải:

a) Có 48 ô tô có độ tuổi từ 8 đến dưới 12;

b) Có 22 ô tô có độ tuổi từ 12 đến dưới 16;

c) Có 8 ô tô có độ tuổi từ 16 đến dưới 20.

Giải Toán 11 trang 4 Tập 2

Luyện tập 1 trang 4 Toán 11 Tập 2: Mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 có bao nhiêu số liệu? Bao nhiêu nhóm? Tìm tần số của mỗi nhóm.

Lời giải:

Từ Bảng 1, ta thấy:

⦁ Mẫu số liệu đó gồm 120 số liệu và 5 nhóm.

⦁ Tần số của nhóm 1, 2, 3, 4, 5 lần lượt là: 13; 29; 48; 22; 8.

Hoạt động 2 trang 4 Toán 11 Tập 2: Một trường trung học phổ thông chọn 36 học sinh nam của khối 11, đo chiều cao của các bạn học sinh đó và thu được mẫu số liệu sau (đơn vị: centimét):

Lời giải:

Từ mẫu số liệu đã cho ta thấy giá trị nhỏ nhất là 160, giá trị lớn nhất là 175. Do đó ta chia mẫu số liệu đã cho thành 5 nhóm như sau:

[160; 163); [163; 166); [166; 169); [169; 172); [172; 175).

Giải Toán 11 trang 5 Tập 2

Luyện tập 2 trang 5 Toán 11 Tập 2: Một thư viện thống kê người đến đọc sách vào buổi tối trong 30 ngày của tháng vừa qua như sau:

Lập bảng tần số ghép nhóm có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng sau:

[25; 34); [34; 43); [43; 52); [52; 61); [61; 70); [70; 79); [79; 88); [88; 97).

Lời giải:

Bảng tần số ghép nhóm như sau:

Hoạt động 3 trang 5 Toán 11 Tập 2: Trong Bảng 4, có bao nhiêu số liệu với giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải:

a) 163 của nhóm 1? b) 166 của nhóm 2?

c) 169 của nhóm 3? d) 172 của nhóm 4?

e) 175 của nhóm 5?

Lời giải:

a) Có 6 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 163 của nhóm 1.

b) Có 6 + 12 = 18 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 166 của nhóm 2.

c) Có 18 + 10 = 28 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 169 của nhóm 3.

d) Có 28 + 5 = 33 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 172 của nhóm 4.

e) Có 33 + 3 = 36 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 175 của nhóm 5.

Giải Toán 11 trang 6 Tập 2

Luyện tập 3 trang 6 Toán 11 Tập 2: Trong bài toán ở Luyện tập 2, lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng:

[25; 34); [34; 43); [43; 52); [52; 61); [61; 70); [70; 79); [79; 88); [88; 97).

Lời giải:

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như sau:

Hoạt động 4 trang 6 Toán 11 Tập 2: Xét mẫu số liệu trong Ví dụ 2 được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm (Bảng 4).

Bảng 4

a) Tìm trung điểm x₁ của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm 1. Ta gọi trung điểm x₁ là giá trị đại diện của nhóm 1.

b) Bằng cách tương tự, hãy tìm giá trị đại diện của bốn nhóm còn lại. Từ đó, hãy hoàn thiện các số liệu trong Bảng 7.

Bảng 7

c) Tính giá trị $\overline{x}$ cho bởi công thức sau: $\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+\dots +n_5{x}_5}{n}$.

Giá trị $\overline{x}$ gọi là số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho.

Lời giải:

a) Trung điểm x₁ (giá trị đại diện) của nửa khoảng ứng với nhóm 1 là:

x₁ = $\frac{160+163}{2}$ = 161,5.

b) Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 2 là:

x₂ = $\frac{163+166}{2}$ = 164,5.

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 3 là:

x₃ = $\frac{166+169}{2}$ = 167,5.

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 4 là:

x₄ = $\frac{169+172}{2}$ = 170,5.

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 5 là:

x₅ = $\frac{172+175}{2}$ = 173,5.

Ta hoàn thiện được Bảng 7 như sau:

c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là:

$\overline{x}=\frac{6\cdot 161,5+12\cdot 164,5+10\cdot 167,5+5\cdot 170,5+3\cdot 173,5}{36}$ = 166,41(6).

Giải Toán 11 trang 8 Tập 2

Luyện tập 4 trang 8 Toán 11 Tập 2: Xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trong bài toán ở Luyện tập 2.

Lời giải:

Ta có bảng giá trị đại diện và tần số ghép nhóm như sau:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là:

III. Trung vị

Hoạt động 5 trang 8 Toán 11 Tập 2: Trong phòng thí nghiệm, người ta chia 99 mẫu vật thành năm nhóm căn cứ trên khối lượng của chúng (đơn vị: gam) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như Bảng 10.

Bảng 10

a) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}=\frac{99}{2}$ = 49,5 có đúng không?

b) Tìm đầu mút trái r, độ dài d, tần số n­₃ của nhóm 3; tần số tích lũy cf₂ của nhóm 2.

c) Tính giá trị M_e theo công thức sau: M_e = $r+\left(\frac{49,5-c{f}_2}{n_3}\right)\cdot d$.

Giá trị M_e được gọi là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho.

Lời giải:

a) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}=\frac{99}{2}$ 49,5 do cf₃ = 60 > 49,5.

b) Đầu mút trái r của nhóm 3 là r = 37,5.

Độ dài d của nhóm 3 là d = 42,5 – 37,5 = 5.

Tần số n₃ của nhóm 3 là n₃ = 20.

Tần số tích lũy cf₂ của nhóm 2 là cf₂ = 40.

c) Ta có: M_e = $37,5+\left(\frac{49,5-40}{20}\right)\cdot 5$ = 39,875.

Giải Toán 11 trang 9 Tập 2

Luyện tập 5 trang 9 Toán 11 Tập 2: Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1.

Bảng 1

Lời giải:

Ta có bảng tần số tích lũy như sau:

Số phần tử của mẫu là n = 120. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}$ = 60.

Mà 42 < 60 < 90 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8, d = 4, n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu đã cho là:

M_e = $8+\left(\frac{60-42}{48}\right)\cdot 4$ = 9,5.

IV. Tứ phân vị

Giải Toán 11 trang 10 Tập 2

Hoạt động 6 trang 10 Toán 11 Tập 2: Giáo viên chủ nhiệm chia thời gian sử dụng Internet trong một ngày của 40 học sinh thành năm nhóm (đơn vị: phút) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như Bảng 12.

Bảng 12

a) Tìm trung vị M_e của mẫu số liệu ghép nhóm đó. Trung vị M_e còn gọi là tứ phân vị thứ hai Q₂ của mẫu số liệu trên.

b) • Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}$ = 10 có đúng không?

⦁ Tìm đầu mút trái s, độ dài h, tần số n₂ của nhóm 2; tần số tích luỹ cf₁ của nhóm 1. Sau đó, hãy tính giá trị Q₁ theo công thức sau: Q₁ = $s+\left(\frac{10-c{f}_1}{n_2}\right)\cdot h$.

Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ nhất Q₁ của mẫu số liệu đã cho.

c) • Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}$ = 30 có đúng không?

• Tìm đầu mút trái t, độ dài l, tần số n₃ của nhóm 3; tần số tích luỹ cf₂ của nhóm 2. Sau đó, hãy tính giá trị Q₃ theo công thức sau: Q₃ = $t+\left(\frac{30-c{f}_2}{n_3}\right)\cdot l$.

Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu số liệu đã cho.

Lời giải:

a) Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}$ = 20.

Mà 19 < 20 < 32 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [120; 180) có r = 120, d = 60, n₃ = 13 và nhóm 2 là nhóm [60; 120) có cf₂ = 19.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu đã cho là:

M_e = $120+\left(\frac{20-19}{13}\right)\cdot 60\approx 125$ (phút).

b) • Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}$ = 10 do cf₂ = 19 > 10.

⦁ Đầu mút trái s của nhóm 2 là s = 60;

Độ dài h của nhóm 2 là h = 60;

Tần số n₂ của nhóm 2 là n₂ = 13;

Tần số tích luỹ cf₁ của nhóm 1 là cf₁ = 6.

Giá trị Q₁ là: Q₁ = $60+\left(\frac{10-6}{13}\right)\cdot 60\approx 78$ (phút).

c) • Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}$ = 30 do cf₃ = 32 > 30.

• Đầu mút trái t của nhóm 3 là t = 120;

Độ dài l của nhóm 3 là l = 60;

Tần số n₃ của nhóm 3 là n₃ = 13;

Tần số tích luỹ cf₂ của nhóm 2 là cf₂ = 19.

Giá trị Q₃ là: Q₃ = $120+\left(\frac{30-19}{13}\right)\cdot 60\approx 171$ (phút).

Giải Toán 11 trang 12 Tập 2

Luyện tập 6 trang 12 Toán 11 Tập 2: Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu trong Bảng 1 (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).

Bảng 1

Lời giải:

Ta có bảng tần số tích lũy như sau:

Số phần tử của mẫu là n = 120.

⦁ Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{120}{4}$ = 30 mà 13 < 30 < 42. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 2 là nhóm [4; 8) có s = 4; h = 4; n₂ = 29 và nhóm 1 là nhóm [0; 4) có cf₁ = 13.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

Q₁ = $4+\left(\frac{30-13}{29}\right)\cdot 4\approx 6$ (năm).

⦁ Ta có: $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}$ = 60 mà 42 < 60 < 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d = 4; n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ hai là:

Q₂ = M_e = $8+\left(\frac{60-42}{48}\right)\cdot 4$ = 9,5 (năm).

⦁ Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 120}{4}$ = 90 mà cf₃ = 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 90.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d = 4; n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

Q₃ = $8+\left(\frac{90-42}{48}\right)\cdot 4$ = 12 (năm).

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

Q₁ ≈ 6 (năm); Q₂ ≈ 9,5 (năm) và Q₃ ≈ 12 (năm).

V. Mốt

Hoạt động 7 trang 12 Toán 11 Tập 2: Quan sát bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ ở Ví dụ 6 rồi cho biết:

Bảng 13

a) Nhóm nào có tần số lớn nhất;

b) Đầu mút trái và độ dài của nhóm có tần số lớn nhất bằng bao nhiêu.

Lời giải:

Từ bảng tần số ghép nhóm và tần số tích lũy ta có:

a) Nhóm 3 là nhóm [50; 60) có tần số lớn nhất.

b) Nhóm [50; 60) có đầu mút trái là 50, độ dài là 10.

Bài tập

Giải Toán 11 trang 14 Tập 2

Bài 1 trang 14 Toán 11 Tập 2: Mẫu số liệu dưới đây ghi lại tốc độ của 40 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị: km/h).

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng:

[40; 45), [45; 50), [50; 55), [55; 60), [60; 65), [65; 70).

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên như sau:

b) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{42,5\cdot 4+47,5\cdot 11+52,5\cdot 7+57,5\cdot 8+62,5\cdot 8+67,5\cdot 2}{40}$ = 53,875.

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}$ = 20.

Mà 15 < 20 < 22 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [50; 55) có r = 50, d = 5, n₃ = 7 và nhóm 2 là nhóm [45; 50) có cf₂ = 15.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

M_e = $50+\frac{20-15}{7}\cdot 5\approx 53,6$ (km/h).

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q₂ = M_e ≈ 53,6 (km/h).

⦁ Ta có $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}$ = 10. Mà 4 < 10 < 15 nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.

Xét nhóm 2 là nhóm [45; 50) có s = 45; h = 5; n₂ = 11 và nhóm 1 là nhóm [40; 45) có cf₁ = 4.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

Q₁ = $45+\frac{10-4}{11}\cdot 5\approx 47,7$ (km/h).

⦁ Ta có $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}$ = 30. Mà cf₄ = 30 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm [55; 60) có t = 55; l = 5; n₄ = 8 và nhóm 3 là nhóm [50; 55) có cf₁ = 22.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

Q₃ = $55+\frac{30-22}{8}\cdot 5$ = 60(km/h).

c) Nhóm 2 là nhóm [45; 50) có tần số lớn nhất với u = 45, g = 5, n₂ = 11 và nhóm 1 có tần số n₁= 4, nhóm 3 có tần số n₃ = 7.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

M_o = $45+\frac{11-4}{2\cdot 11-4-7}\cdot 5\approx 48,2$ (km/h).

Bài 2 trang 14 Toán 11 Tập 2: Mẫu số liệu sau ghi lại cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilôgam):

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng:

[15; 20), [20; 25), [25; 30), [30; 35), [35; 40), [40; 45), [45; 50), [50; 55).

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên như sau:

b) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 30. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{30}{2}$ = 15.

Mà 12 < 15 < 29 nên nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15.

Xét nhóm 6 là nhóm [40; 45) có r = 40, d = 5, n₆ = 17 và nhóm 5 là nhóm [35; 40) có cf₅ = 12.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

M_e = $40+\frac{15-12}{17}\cdot 5\approx 40,9$ (kg).

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q₂ = M_e ≈ 40,9 (kg).

⦁ Ta có $\frac{n}{4}=\frac{30}{4}$ = 7,5. Mà 2 < 7,5 < 12 nên nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 7,5.

Xét nhóm 5 là nhóm [35; 40) có s = 35; h = 5; n₅ = 10 và nhóm 4 là nhóm [30; 35) có cf₄ = 2.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

Q₁ = $35+\frac{7,5-2}{10}\cdot 5$ = 37,75 (kg).

⦁ Ta có $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 30}{4}$ = 22,5. Mà 12 < 22,5 < 29 nên nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 22,5.

Xét nhóm 6 là nhóm [40; 45) có t = 40; l = 5; n₄ = 17 và nhóm 5 là nhóm [35; 40) có cf₅ = 12.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

Q₃ = $40+\frac{22,5-12}{17}\cdot 5\approx 43,1$ (kg).

c) Nhóm 6 là nhóm [40; 45) có tần số lớn nhất với u = 40, g = 5, n₆ = 17 và nhóm 5 có tần số n₅ = 10, nhóm 7 có tần số n₇ = 0.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

M_o = $40+\frac{17-10}{2\cdot 17-10-0}\cdot 5\approx 41,5$ (kg).

Bài 3 trang 14 Toán 11 Tập 2: Bảng 15 cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của 40 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét).

Bảng 15

a) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{35\cdot 4+45\cdot 10+55\cdot 14+65\cdot 6+75\cdot 4+85\cdot 2}{40}$ = 55,5.

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}$ = 20.

Mà 14 < 20 < 28 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [50; 60) có r = 50, d = 10, n₃ = 14 và nhóm 2 là nhóm [40; 50) có cf₂ = 14.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

M_e = $50+\frac{20-14}{14}\cdot 10\approx 54,29$ (cm).

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q₂ = M_e ≈ 54,29 (cm).

⦁ Ta có $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}$ = 10. Mà 4 < 10 < 14 nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.

Xét nhóm 2 là nhóm [40; 50) có s = 40; h = 10; n₂ = 10 và nhóm 1 là nhóm [30; 40) có cf₁ = 4.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

Q₁ = $40+\frac{10-4}{10}\cdot 10$ = 46 (cm).

⦁ Ta có $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}$ = 30. Mà 28 < 30 < 34 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm [60; 70) có t = 60; l = 10; n₄ = 6 và nhóm 3 là nhóm [50; 60) có cf₃ = 28.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

Q₃ = $60+\frac{30-28}{6}\cdot 10\approx 63,33$ (cm).

b) Nhóm 3 là nhóm [50; 60) có tần số lớn nhất với u = 50, g = 10, n₃ = 14 và nhóm 2 có tần số n₂ = 10, nhóm 4 có tần số n₄ = 6.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

M_o = $50+\frac{14-10}{2\cdot 14-10-6}\cdot 10\approx 53,33$ (cm).

Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

1. Mẫu số liệu ghép nhóm

a) Bảng tần số ghép nhóm

- Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm.

- Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng [a; b), trong đó a là đầu mút trái, b là đầu mút phải. Độ dài nhóm là b – a.

- Tần số của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu thuộc vào nhóm đó. Tần số của nhóm 1, nhóm 2, …, nhóm m kí hiệu lần lượt là n₁, n₂, …, n_m.

- Bảng tần số ghép nhóm được lập như ở bảng 1, trong đó mẫu liệu gồm n số liệu được chia thành m nhóm ứng với m nửa khoảng [a₁; a₂); [a₂; a₃); …;[a_m; a_m+1), ở đó

a₁ < a₂ < … < a_m < a_m+1 và n = n₁ + n₂ + … + n_m.

b) Ghép nhóm mẫu số liệu. Tần số tích lũy

Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm thành mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện như sau:

- Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước;

- Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng tần số ghép nhóm.

Chú ý: Khi ghép nhóm số liệu, ta thường phân chia các nhóm có độ dài bằng nhau và đầu mút của các nhóm có thể không phải là giá trị của mẫu số liệu. Nhóm cuối cùng có thể là [a_m; a_m+1].

- Tần số tích lũy của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu mút phải của nhóm đó. Tần số tích lũy của nhóm 1, nhóm 2, …, nhóm m kí hiệu lần lượt là $c{f}_1,c{f}_2,...,c{f}_m$.

- Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy được lập như ở Bảng 2.

2. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

a) Số trung bình cộng

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng 3, trong đó giá trị đại diện của nhóm là trung điểm x_i của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm i.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\overline{x}$, được tính theo công thức

$\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+...+n_m{x}_m}{n}$

b) Trung vị

Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như ở Bảng 2.

Giả sử nhóm k là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$, tức là $c{f}_{k-1}<\frac{n}{2}$ nhưng $c{f}_k\ge \frac{n}{2}$. Ta gọi r, d, n_k lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm k; cf_k-1 là tần số tích lũy của nhóm k – 1.

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M_e, được tính theo công thức sau:

$M_e=r+\left(\frac{\frac{n}{2}-c{f}_{k-1}}{n_k}\right).d$

Quy ước: cf₀ = 0.

c) Tứ phân vị

Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như ở Bảng 2.

- Tứ phân vị thứ hai, kí hiệu Q₂, bằng trung vị M_e.

- Giả sử nhóm p là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}$, tức là $c{f}_{p-1}<\frac{n}{4}$ nhưng $c{f}_p\ge \frac{n}{4}$. Ta gọi s, h, n_p lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm p; cf_p-1 là tần số tích lũy của nhóm p – 1.

Tứ phân vị thứ nhất, kí hiệu Q₁, được tính bằng công thức sau:

$Q_1=s+\left(\frac{\frac{n}{4}-c{f}_{p-1}}{n_p}\right).h$

- Giả sử nhóm q là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}$, tức là $c{f}_{q-1}<\frac{3n}{4}$ nhưng $c{f}_q\ge \frac{3n}{4}$. Ta gọi t, l, n_q lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm q; cf_q-1 là tần số tích lũy của nhóm q – 1.

Tứ phân vị thứ ba, kí hiệu Q₃, được tính bằng công thức sau:

$Q_3=t+\left(\frac{\frac{3n}{4}-c{f}_{q-1}}{n_q}\right).l$

d) Mốt

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 1.

Giả sử nhóm i là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi u, g, n_i lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm i; n_i-1, n_i-1 lần lượt là tần số của nhóm i – 1, nhóm i + 1.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M_o, được tính theo công thức sau:

$M_o=u+\left(\frac{n_i-n_{i-1}}{2n_i-n_{i-1}-n_{i+1}}\right).g$

Quy ước: n₀ = 0; n_m+1 = 0.

Sơ đồ tư duy Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Bài tập cuối chương 5 trang 25

Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Bài 2: Phép tính lôgarit

Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit