Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Các phép biến đổi lượng giác

Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 2.

1 8,112 17/09/2024


Giải Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Giải Toán 11 trang 16 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 16 Toán 11 Tập 1: Ở lớp dưới, ta đã làm quen với một số phép tính trong tập hợp các số thực, chẳng hạn: phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên và những công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa các luỹ thừa như vậy. Việc lấy các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã hình thành nên những phép tính mới trong tập hợp các số thực, đó là những phép tính lượng giác.

Câu hỏi khởi động trang 16 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Có hay không những công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Có các công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác sau:

‒ Công thức cộng;

‒ Công thức nhân đôi;

‒ Công thức biến đổi tích thành tổng;

‒ Công thức biến đổi tổng thành tích.

I. Công thức cộng

Hoạt động 1 trang 16 Toán 11 Tập 1: a) Cho a=π6,b=π3. Hãy tính sina, cosa, sinb, cosb và sin(a + b). Từ đó rút ra đẳng thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (*).

b) Tính sin(a – b) bằng cách biến đổi sin(a – b) = sin[a + (‒b)] và sử dụng công thức (*).

Lời giải:

a) Với a=π6 ta có sina = sinπ6=12; cosa = cosπ6=32.

Với b=π3 ta có sinb = sinπ3=32; cosb = cosπ3=12.

Ta có sin(a+b) = sinπ6+π3 = sinπ2= 1;

sinacosb + cosasinb = 12.12+32.32=14+34= 1

Do đó sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (vì cùng bằng 1).

b) Ta có sin(a – b) = sin[a + (‒b)]

= sina cos(‒b) + cosa sin(‒b)

= sina cosb + cosa (‒sinb)

= sina cosb ‒ cosa sinb

= 12.1232.32

=1434=12.

Luyện tập 1 trang 16 Toán 11 Tập 1: Tính sinπ12.

Lời giải:

Áp dụng công thức cộng ta có:

sinπ12 = sinπ3π4=sinπ3cosπ4cosπ3sinπ4

=32.2212.22=624.

Giải Toán 11 trang 17 Tập 1

Hoạt động 2 trang 17 Toán 11 Tập 1: a) Tính cos(a + b) bằng cách biến đổi cos(a + b) = sinπ2a+b=sinπ2ab và sử dụng công thức cộng đối với sin.

b) Tính cos(a ‒ b) bằng cách biến đổi cos(a – b) = cos[a + (‒b)] và sử dụng công thức cos(a + b) có được ở câu a.

Lời giải:

a) Ta có: cos(a + b) = sinπ2a+b=sinπ2ab

= sinπ2a.cosb - cosπ2a.sinb

= cosa.cosb - sina.sinb

Vậy cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb.

b) Ta có: cos(a – b) = cos[a + (‒b)]

= cosa cos(‒b) – sina sin(‒b)

= cosa cosb ‒ sina (‒sinb)

= cosa cosb + sina sinb.

Vậy cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb.

Luyện tập 2 trang 17 Toán 11 Tập 1: Tính cos15°.

Lời giải:

Áp dụng công thức cộng, ta có:

cos15° = cos(45° ‒ 30°)

= cos45°.cos30° + sin45°.sin30°

= 22.32+22.12=6+24.

Hoạt động 3 trang 17 Toán 11 Tập 1: a) Sử dụng công thức cộng đối với sin và côsin, hãy tính tan(a + b) theo tana và tanb khi các biểu thức đều có nghĩa.

b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, hãy tính tan (a – b) bằng cách biến đổi tan(a-b) = tan[a+(-b)] và sử dụng công thức tan(a + b) có được ở câu a.

Lời giải:

a) Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

tan(a + b) = sina+bcosa+b=sinacosb+cosasinbcosacosbsinasinb

Hoạt động 3 trang 17 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11 (chia cả tử và mẫu cho cosacosb)

Hoạt động 3 trang 17 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Vậy tan(a+b) = tana+tanb1tanatanb.

b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

tan(a-b) = tan[a+(-b)]

=tana+tanb1tanatanb

=tanatanb1+tanatanb .

Vậy tan(a-b) = tanab=tanatanb1+tanatanb.

Luyện tập 3 trang 17 Toán 11 Tập 1: Tính tan165°.

Lời giải:

Áp dụng công thức cộng, ta có:

tan165° = tan(120° + 45°)

Luyện tập 3 trang 17 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Vậy tan165o = -2+3.

II. Công thức nhân đôi

Giải Toán 11 trang 18 Tập 1

Hoạt động 4 trang 18 Toán 11 Tập 1: Tính sin2a, cos2a, tan2a bằng cách thay b = a trong công thức cộng.

Lời giải:

Ta có:

• sin2a = sin(a + a) = sinacosa + cosasina = 2sinacosa;

• cos2a = cos(a + a) = cosacosa – sinasina = cos2a – sin2a;

• Khi các biểu thức đều có nghĩa thì

tan2a = tan(a+a) = tana+tana1tanatana=2tana1tan2a .

Luyện tập 4 trang 18 Toán 11 Tập 1: Cho tana2 = -2. Tính tana.

Lời giải:

Áp dụng công thức nhân đôi, ta có:

tana = 2tana21tan2a2=2.2122=43=43.

Luyện tập 5 trang 18 Toán 11 Tập 1: Tính: sinπ8, cosπ8.

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:

Luyện tập 5 trang 18 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Mà sinπ8>0 nên sinπ8= 224=222.

Luyện tập 5 trang 18 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Mà cosπ8>0 nên cosπ8=2+24=2+22.

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

Hoạt động 5 trang 18 Toán 11 Tập 1: Sử dụng công thức cộng, rút gọn mỗi biểu thức sau:

cos(a + b) + cos(a – b); cos(a + b) – cos(a – b); sin(a + b) + sin(a – b).

Lời giải:

Ta có:

• cos(a + b) + cos(a – b)

= (cosa cosb – sina sinb) + (cosa cosb + sina sinb)

= cosa cosb – sina sinb + cosa cosb + sina sinb

= 2cosa cosb.

• cos(a + b) – cos(a – b)

= (cosa cosb – sina sinb) – (cosa cosb + sina sinb)

= cosa cosb – sina sinb – cosa cosb – sina sinb

= –2sina sinb.

• sin(a + b) + sin(a – b)

= (sina cosb + cosa sinb) + (sina cosb ‒ cosa sinb)

= sina cosb + cosa sinb + sina cosb ‒ cosa sinb

= 2sina cosb.

Vậy cos(a + b) + cos(a – b) = 2cosa cosb;

cos(a + b) – cos(a – b) = –2sina sinb;

sin(a + b) + sin(a – b) = 2sina cosb.

Giải Toán 11 trang 19 Tập 1

Luyện tập 6 trang 19 Toán 11 Tập 1: Cho cosa = 23. Tính B = cos3a2cosa2.

Lời giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:

B = cos3a2cosa2

=12cos3a2+a2+cos3a2a2

=12cos2a+cosa

Mà cos2a = 2cos2a – 1 = 2.2321=2.491=19

Do đó B = 12[cos2a + cosa] = 12.19+23=518.

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

Hoạt động 6 trang 19 Toán 11 Tập 1: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt a + b = u; a − b = v rồi biến đổi các biểu thức sau thành tích: cosu + cosv; cosu – cos v; sinu + sinv; sinu – sinv.

Lời giải:

Ta có Hoạt động 6 trang 19 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Khi đó:

• cosu + cosv = cos(a + b) + cos(a – b)

= 2cosa cosb

= 2cosu+v2cosuv2.

• cosu – cosv = cos(a + b) – cos(a – b)

= –2sina sinb

= -2sinu+v2sinuv2.

• sinu + sinv = sin(a + b) + sin(a – b)

= 2sina cosb

= 2sinnull.

• sinu – sinv = sin(a + b) – sin(a – b)

= sin(b + a) + sin(b – a)

= 2sinb cosa = 2cosa sinb

= 2cosu+v2sinuv2.

Luyện tập 7 trang 19 Toán 11 Tập 1: Tính: D = sin7π9+sinπ9cos7π9cosπ9.

Lời giải:

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có:

Luyện tập 7 trang 19 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Khi đó:

D = sin7π9+sinπ9cos7π9cosπ9

Luyện tập 7 trang 19 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Bài tập

Giải Toán 11 trang 20 Tập 1

Bài 1 trang 20 Toán 11 Tập 1: Cho cosa = 35 với 0<a<π2. Tính sina+π6, cosaπ3, tana+π4.

Lời giải:

Do 0<a<π2 nên sina>0.

Áp dụng công thức sin2a + cos2a = 1, ta có:

sin2a+352=1

sin2a=1352=1925=1625

sina = 45 (do sina > 0).

Khi đó tana = sinacosa=4535=43.

Áp dụng công thức cộng, ta có:

Bài 1 trang 20 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Bài 2 trang 20 Toán 11 Tập 1: Tính:

A = sin(a – 17°)cos(a + 13°) – sin(a + 13°)cos(a – 17°);

B = cosb+π3cosπ6b - sinb+π3sinπ6b.

Lời giải:

Ta có:

A = sin(a – 17°)cos(a + 13°) – sin(a + 13°)cos(a – 17°)

= sin(a – 17°)cos(a + 13°) – cos(a – 17°)sin(a + 13°)

= sin[(a – 17°) – (a + 13°)]

= sin(a – 17° – a – 13°)

= sin(‒30°)

= ‒ sin30°

=-12 .

Bài 2 trang 20 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Bài 3 trang 20 Toán 11 Tập 1: Cho tan(a + b) = 3, tan(a – b) = 2. Tính: tan2a, tan2b.

Lời giải:

Ta có:

tan2a = tan[(a + b) + (a – b)]

=tana+b+tanab1tana+btanab=3+213.2=55=1;

tan2b = tan[(a + b) ‒ (a – b)]

=tana+btanab1+tana+btanab=321+3.2=17.

Bài 4 trang 20 Toán 11 Tập 1: Cho sina = 25. Tính cos2a, cos4a.

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:

cos2a = 1 – 2sin2a = 1 -2.252=12.45=35.

cos4a = 2cos2a – 1 = 3521=9251=1625.

Bài 5 trang 20 Toán 11 Tập 1: Cho sina + cosa = 1. Tính: sin2a.

Lời giải:

Ta có: sina + cosa = 1

(sina + cosa)2 = 12

sin2a + 2sina cosa + cos2a = 1

2sina cosa + (sin2a + cos2a) = 1

sin2a + 1 = 1

sin2a = 0.

Vậy với sina + cosa = 1 thì sin2a = 0.

Giải Toán 11 trang 21 Tập 1

Bài 6 trang 21 Toán 11 Tập 1: Cho cos2a = 13 với π2<a<π. Tính: sina, cosa, tana.

Lời giải:

Do π2<a<π nên cosa < 0 và sina > 0.

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

• sin2a = 1cos2a2=1132=13sina = 33 (do sina > 0).

• cos2a = 1+cos2a2=1+132=23 cosa = 63(do cosa < 0).

Khi đó: tana = sinacosa=3363=22.

Vậy sina = 33, cosa = -63 và tana = 22.

Bài 7 trang 21 Toán 11 Tập 1: Cho cos2x = 14. Tính: A = cosx+π6cosx-π6; B = sinx+π3sinx-π3.

Lời giải:

Ta có:

A = cosx+π6cosx-π6

=12cosx+π6+xπ6+cosx+π6x+π6

=12cos2x+cosπ3

=1214+12=38.

B = sinx+π3sinx-π3

=12cosx+π3+xπ3cosx+π3x+π3

=12cos2xcos2π3

=121412=38.

Vậy A = 38, B = -38.

Bài 8 trang 21 Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức: A = sinx+sin2x+sin3xcosx+cos2x+cos3x.

Lời giải:

Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

A = sinx+sin2x+sin3xcosx+cos2x+cos3x

=sin3x+sinx+sin2xcos3x+cosx+cos2x

Bài 8 trang 21 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Bài 9 trang 21 Toán 11 Tập 1: Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m (Hình 17).

Bài 9 trang 21 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

a) Tính tanα, ở đó α là góc giữa hai sợi cáp trên.

b) Tìm góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Lời giải:

a) Xét DAOH vuông tại H, ta có: tanβ=AHHO=1415.

Đặt BOH^=γ

Xét DBOH vuông tại H, ta có: tanγ=BHHO=1215=45.

tanα = tan(βBOH^) = tanβγ=tanβtanγ1+tanβtanγ

=1415451+1415.45=21513175=10131.

Vậy tanα=10131.

b) Từ tanα=10131, để tìm số đo góc α, ta sử dụng máy tính cầm tay ấn lần lượt các nút:

Bài 9 trang 21 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Ta được kết quả làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ là 4°.

Vậy α ≈ 4°.

Bài 10 trang 21 Toán 11 Tập 1: Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m. Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (Hình 18). Hãy tính số đo góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Bài 10 trang 21 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

Bài 10 trang 21 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Kẻ AM CK, BN CK (hình vẽ) ta có:

BN = AM = HK = 20 (m);

CN = CK – NK = CK – BH = 32 – 24 = 8 (m);

MN = AB = BH – AH = 24 – 6 = 18 (m);

CM = CN + MN = 8 + 18 = 26 (m).

Đặt BCN^=α,ACM^=β.

Xét BCN vuông tại N có: tanα=BNCN=208=52;

Xét ACM vuông tại M có: tanβ=AMCM=2026=1013;

Ta có: tanACB^=tanBCN^ACM^=tanαβ

tanACB^=tanαtanβ1+tanαtanβ=5210131+52.1013=4576.

ACB^0,01°.

Vậy góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất) có số đo xấp xỉ 0,01°.

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác

I. Công thức cộng

sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(ab)=sinacosbcosasinbcos(a+b)=cosacosbsinasinbcos(ab)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=tana+tanb1tanatanbtan(ab)=tanatanb1+tanatanb

II. Công thức nhân đôi

sin2a=2sinacosacos2a=cos2asin2a=2cos2a1=12sin2atan2a=2tana1tan2a

Suy ra, công thức hạ bậc:

sin2a=1cos2a2,cos2a=1+cos2a2

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

cosacosb=12[cos(a+b)+cos(ab)]sinasinb=12[cos(ab)cos(a+b)]sinacosb=12[sin(a+b)+sin(ab)]

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

cosa+cosb=2cosa+b2cosab2cosacosb=2sina+b2sinab2sina+sinb=2sina+b2cosab2sinasinb=2cosa+b2sinab2

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 Cánh diều (ảnh 1)

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

1 8,112 17/09/2024


Xem thêm các chương trình khác: