Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Giới hạn của dãy số
Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 1.
Giải Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số
Bài giảng Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số
Lời giải:
Giới hạn hữu hạn của hàm số có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng. Trong bài học ngày hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về điều đó.
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị un khi n ngày càng lớn.
b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:
Kể từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?
Lời giải:
a) Khi n ngày càng lớn thì giá trị của un càng giảm dần về 0.
b) Ta có bảng:
n |
1 000 |
1 001 |
... |
10 000 |
10 001 |
... |
|un – 0| |
0,001 |
0,00099... |
... |
0,0001 |
0,000099... |
... |
Kể từ số hạng u1001 trở đi thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,001.
Kể từ số hạng u10 001 trở đi thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,0001.
Luyện tập 1 trang 60 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:
Lời giải:
a) Ta có: un = 0 với mọi n ∈ ℕ*
Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:
|un – 0| < ε với mọi n ∈ ℕ*
Vậy lim 0 = 0.
b) Ta có: un = với mọi n ∈ ℕ*
Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:
|un – 0| < ε ⇔ .
Chọn N ≥ thì với mọi n >N ta có:
Vì vậy lim=0.
Hoạt động 2 trang 60 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un), với un = 2 + . Tính .
Lời giải:
Ta có: un – 2 = 2 + – 2 =
Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:
|un – 0| < ε ⇔ .
Chọn N ≥ thì với mọi n > N ta có:
Vì vậy lim(un-2) = 0.
Luyện tập 3 trang 62 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng: lim = 0.
Lời giải:
Ta có < 1do đó lim = 0.
II. Định lí về giới hạn hữu hạn
Hoạt động 3 trang 62 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (un), (vn) với un = 8+; vn = 4-.
b) Tính lim(un + vn) và so sánh giá trị đó với tổng limun + limvn.
c) Tính lim(un.vn) và so sánh giá trị đó với tổng limun.limvn.
Lời giải:
a) Ta có: lim(un-8) = lim = 0.
Do đó limun = 8.
Ta có: lim(vn-4) = lim = 0.
Do đó limvn = 4.
b) limun + limvn = 8 + 4 = 12.
Ta có: un + vn = 8++4- = 12-
Ta lại có: lim(un+vn-12) = lim = 0.
Suy ra lim(un + vn) = 12.
Vì vậy lim(un + vn) = limun + limvn.
b) Ta có: un.vn = .
Khi đó lim(un.vn – 32) = lim=0.
Ta lại có: limun.limvn = 8.4 = 32.
Vì vậy limun.limvn = lim(unvn).
Luyện tập 4 trang 62 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải:
a) lim.
b) .
III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Hoạt động 4 trang 63 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (un), với u1 = 1 và công bội q=.
b) Tính Sn = u1 + u2 + ... + un. Từ đó, hãy tính limSn.
Lời giải:
a) Ta có: |q| = < 1.
b) Ta có: (un) là cấp số nhân lùi vô hạn có tổng n số hạng đầu tiên là:
.
Luyện tập 5 trang 63 Toán 11 Tập 1: Tính tổng M = 1-
Lời giải:
Ta có dãy số 1; ; ; ...; ; ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = thỏa mãn |q| < 1.
Do đó ta có: .
Lời giải:
Giả sử vận tốc của Asin gấp đôi vận tốc của chú rùa và khoảng cách lúc đầu là a.
Khi Asin chạy được a thì chú rùa chạy được .
Khi Asin chạy tiếp được thì chú rùa chạy được .
Do đó tổng quãng đường Asin phải chạy để đuổi kịp chú rùa là:
Theo lập luận của Asin tổng này là tổng vô hạn nên không bao giờ Asin đuổi kịp chú rùa.
Tuy nhiên các số hạng của tổng này lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = a và công bội q = < 1.
Nên ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn bằng:
.
Vì vậy tổng này là hữu hạn do đó Asin hoàn toàn có thể chạy để đuổi kịp rùa.
IV. Giới hạn vô cực
Lời giải:
Ta có bảng giá trị sau:
n |
1 |
2 |
3 |
... |
100 |
... |
1001 |
un |
1 |
4 |
9 |
... |
10 000 |
... |
1 002 001 |
Từ đó ta có các nhận xét sau:
+) Kể từ số hạng thứ 2 trở đi thì un > 1 .
+) Kể từ số hạng thứ 101 trở đi thì un > 10 000.
...
Vậy ta thấy un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Luyện tập 7 trang 64 Toán 11 Tập 1: Tính lim(– n3).
Lời giải:
Xét dãy số (un) = n3.
Với M là số dương bất kì, ta thấy un = n3 > m ⇔ n > .
Suy ra với các số tự nhiên n > thì un > M. Do đó limn3 = +∞.
Vậy limn3 = – ∞.
Luyện tập 8 trang 64 Toán 11 Tập 1: Chứng tỏ rằng lim=0.
Lời giải:
Ta có:
Đặt un = n – 1 và , khi đó limun = +∞ và limvn=lim=0.
Vậy lim=limun.limvn=0.
Bài tập
b) lim(un + vn), lim(un – vn), lim(un.vn), lim.
Lời giải:
a) Ta có:
limun = lim(3 + ) = lim3 + lim= 3 + 0 = 3.
limvn = lim(5 – ) = lim5 – lim= 5 – 0 = 5.
b) lim(un + vn) = limun + limvn = 3 + 5 = 8.
lim(un – vn) = limun – limvn = 3 – 5 = – 2.
lim(un.vn) = limun.limvn = 3.5 = 15.
lim= .
Bài 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải:
a) lim = lim.
Bài 3 trang 65 Toán 11 Tập 1: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), với u1=, q=-.
b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.
Lời giải:
a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), với u1=, q=-là:
b) Ta có:
1,(6) = 1 + 0,(6) = 1 + 0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ...
Dãy số 0,6; 0,006; 0,0006; ... lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 0,6 và công bội q = có |q| < 1 nên ta có:
0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ... =.
Suy ra 1,(6) = 1 + =.
a) Tính diện tích Sn của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;
b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.
Lời giải:
a) Gọi Sn là diện tích của hình vuông thứ n.
Ta có: S1 = 1; S2 = ; S3 = ; ...
Dãy (Sn) lập thành cấp số nhân có số hạng đầu S1 = 1 và công bội q = có công thức tổng quát là: Sn = .
b) Ta có: |q|=||<1nên dãy (Sn) trên lập thành một cấp số nhân lùi hạn nên ta có:
S = 1+.
Vậy tổng diện tích của các hình vuông là 2 (đvdt).
(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021).
Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.
a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un).
b) Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.
Lời giải:
a) Ta có: u1 = 1; u2 = ; u3 = ; ...
Suy ra (un) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và q = có số hạng tổng quát là: .
b) Ta có: lim=0.
c) Đổi
Để chất phóng xạ bé hơn 10-6 (g) thì n>31.
Vậy cần ít nhất 30 chu kì tương ứng với 720 000 năm khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người.
Bài 6 trang 65 Toán 11 Tập 1: Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.
C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính .
C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính , ...
Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính ,...(Hình 4).
Gọi Pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB.
b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
Lời giải:
a)
+) Ta có: p1 = ; p2 = ; p3 = ; ...
(pn) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p1 = và công bội q = <1 có số hạng tổng quát pn = .
+) Ta có: C1 = ; C2 = ; C3 = ; ...
(Cn) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu C1 = và công bội q = <1có số hạng tổng quát Cn = .
Lý thuyết Giới hạn của dãy số
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
- Dãy số có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu hay khi hay .
- Dãy số có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu , kí hiệu hay khi hay .
* Chú ý: Nếu (c là hằng số) thì
2. Một số giới hạn cơ bản
+
+ , c là hằng số.
+ Nếu thì
+
3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
a, Nếu thì
b, Nếu thì với mọi n và thì và .
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q thỏa mãn được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
4. Giới hạn vô cực
- Dãy số được gọi là có giới hạn khi nếu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu hay khi .
- Dãy số được gọi là có giới hạn khi nếu , kí hiệu hay khi .
*Nhận xét:
- Nếu và (hoặc) thì .
- Nếu và thì .
- .
- Nếu
Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 11 Cánh diều (hay nhất)
- Văn mẫu lớp 11 - Cánh diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 - Cánh diều
- Giải SBT Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 11 – Cánh diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 11 – Cánh diều
- Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 – ilearn Smart World
- Giải sbt Tiếng Anh 11 - ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 11 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Giải sgk Vật lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sbt Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Hóa học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Hóa 11 - Cánh diều
- Giải sbt Hóa học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sbt Sinh học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 11 – Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Lịch sử 11 - Cánh diều
- Giải sbt Lịch sử 11 – Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Địa lí 11 - Cánh diều
- Giải sbt Địa lí 11 – Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Công nghệ 11 - Cánh diều
- Giải sbt Công nghệ 11 – Cánh diều
- Giải sgk Tin học 11 – Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Tin học 11 - Cánh diều
- Giải sbt Tin học 11 – Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng an ninh 11 – Cánh diều
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sbt Giáo dục quốc phòng 11 – Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 – Cánh diều