Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Giới hạn của dãy số

Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 1.

1 3,426 17/09/2024


Giải Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Giải Toán 11 trang 59 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 59 Toán 11 Tập 1: Zénon (Zê – nông, 496 – 429 trước Công Nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở thành phố Edée đã phát biểu nghịch lí như sau: Achilles (A – sin) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là “có đôi chân chạy nhanh như gió” đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách Achilles một khoảng bằng a khác 0. Khi Achilles chạy đến vị trí của rùa xuất phát thì rùa chạy về phía trước một khoảng (như Hình 1). Quá trình này tiếp tục vô hạn. Vì thế, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Trên thực tế, Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thức toán học nào có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng?

Câu hỏi khởi động trang 59 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

Giới hạn hữu hạn của hàm số có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng. Trong bài học ngày hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về điều đó.

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Hoạt động 1 trang 59 Toán 11 Tập 1: Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số (un), với u­n = 1ntrên hệ trục tọa độ.

Hoạt động 1 trang 59 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị un khi n ngày càng lớn.

b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:

Hoạt động 1 trang 59 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Kể từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?

Lời giải:

a) Khi n ngày càng lớn thì giá trị của un càng giảm dần về 0.

b) Ta có bảng:

n

1 000

1 001

...

10 000

10 001

...

|un – 0|

0,001

0,00099...

...

0,0001

0,000099...

...

Kể từ số hạng u1001 trở đi thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,001.

Kể từ số hạng u10 001 trở đi thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,0001.

Giải Toán 11 trang 60 Tập 1

Luyện tập 1 trang 60 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) lim 0 = 0;

b) lim1n=0.

Lời giải:

a) Ta có: un = 0 với mọi n ℕ*

Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:

|un – 0| < ε với mọi n ℕ*

Vậy lim 0 = 0.

b) Ta có: un = 1nvới mọi n ℕ*

Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:

|un – 0| < ε Luyện tập 1 trang 60 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11.

Chọn N ≥ 1ε2thì với mọi n >N ta có: Luyện tập 1 trang 60 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Vì vậy lim1n=0.

Hoạt động 2 trang 60 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un), với un = 2 + 1n. Tính limn+un2.

Lời giải:

Ta có: un – 2 = 2 + 1n– 2 = 1n

Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:

|un – 0| < ε Hoạt động 2 trang 60 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11.

Chọn N ≥ 1εthì với mọi n > N ta có: Hoạt động 2 trang 60 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Vì vậy lim(un-2) = 0.

Giải Toán 11 trang 62 Tập 1

Luyện tập 3 trang 62 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng: limeπn = 0.

Lời giải:

Ta có eπ< 1do đó limeπn = 0.

II. Định lí về giới hạn hữu hạn

Hoạt động 3 trang 62 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (un), (vn) với un = 8+1n; vn = 4-2n.

a) Tính limun, limvn.

b) Tính lim(un + vn) và so sánh giá trị đó với tổng limun + limvn.

c) Tính lim(un.vn) và so sánh giá trị đó với tổng limun.limvn.

Lời giải:

a) Ta có: lim(un-8) = lim8+1n8 = 0.

Do đó limun = 8.

Ta có: lim(vn-4) = lim42n4 = 0.

Do đó limvn = 4.

b) limun + limvn = 8 + 4 = 12.

Ta có: un + vn = 8+1n+4-2n = 12-1n

Ta lại có: lim(un+vn-12) = lim121n12 = 0.

Suy ra lim(un + vn) = 12.

Vì vậy lim(un + vn) = limun + limvn.

b) Ta có: un.vn = 8+1n42n=3212n2n2.

Khi đó lim(un.vn – 32) = lim3212n2n232=0.

Ta lại có: limun.limvn = 8.4 = 32.

Vì vậy limun.limvn = lim(unvn).

Luyện tập 4 trang 62 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim8n2+nn2;

b) lim4+n2n.

Lời giải:

a) lim8n2+nn2=lim8+1n=lim8+lim1n=8.

b) lim4+n2n=lim4n2+1=lim4n2+1=1.

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Giải Toán 11 trang 63 Tập 1

Hoạt động 4 trang 63 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (un), với u1 = 1 và công bội q=12.

a) Hãy so sánh |q| với 1.

b) Tính Sn = u1 + u2 + ... + un. Từ đó, hãy tính limSn.

Lời giải:

a) Ta có: |q| = 12< 1.

b) Ta có: (un) là cấp số nhân lùi vô hạn có tổng n số hạng đầu tiên là:

Sn=1.112n112=2112n

limSn=lim2112n=lim2.lim112n=2.

Luyện tập 5 trang 63 Toán 11 Tập 1: Tính tổng M = 1-12+122...+12n1+...

Lời giải:

Ta có dãy số 1; 12; 122; ...; 12n1; ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = 12 thỏa mãn |q| < 1.

Do đó ta có: M=112+122...+12n1+...=1112=23.

Luyện tập 6 trang 63 Toán 11 Tập 1: Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.

Lời giải:

Giả sử vận tốc của Asin gấp đôi vận tốc của chú rùa và khoảng cách lúc đầu là a.

Khi Asin chạy được a thì chú rùa chạy được a2.

Khi Asin chạy tiếp được a2thì chú rùa chạy được a4.

Do đó tổng quãng đường Asin phải chạy để đuổi kịp chú rùa là:

a+a2+a4+a8+...

Theo lập luận của Asin tổng này là tổng vô hạn nên không bao giờ Asin đuổi kịp chú rùa.

Tuy nhiên các số hạng của tổng này lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = a và công bội q = 12< 1.

Nên ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn bằng:

S=a+a2+a4+a8+...=lima112n112=2a.

Vì vậy tổng này là hữu hạn do đó Asin hoàn toàn có thể chạy để đuổi kịp rùa.

IV. Giới hạn vô cực

Hoạt động 5 trang 63 Toán 11 Tập 1: Quan sát dãy số (un) với u­n = n2 và cho biết giá trị của nn có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải:

Ta có bảng giá trị sau:

n

1

2

3

...

100

...

1001

un

1

4

9

...

10 000

...

1 002 001

Từ đó ta có các nhận xét sau:

+) Kể từ số hạng thứ 2 trở đi thì un > 1 .

+) Kể từ số hạng thứ 101 trở đi thì un > 10 000.

...

Vậy ta thấy un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Giải Toán 11 trang 64 Tập 1

Luyện tập 7 trang 64 Toán 11 Tập 1: Tính lim(– n3).

Lời giải:

Xét dãy số (un) = n3.

Với M là số dương bất kì, ta thấy un = n3 > m n > M3.

Suy ra với các số tự nhiên n > M3thì un > M. Do đó limn3 = +∞.

Vậy limn3 = – ∞.

Luyện tập 8 trang 64 Toán 11 Tập 1: Chứng tỏ rằng limn1n2=0.

Lời giải:

Ta có:

Đặt un = n – 1 và vn=1n2, khi đó limun = +∞ và limvn=lim1n2=0.

Vậy limn1n2=limun.limvn=0.

Bài tập

Bài 1 trang 64 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (un), (vn) với un = 3 + 1n, vn = 5 –2n2. Tính các giới hạn sau:

a) limun, limvn;

b) lim(un + vn), lim(un – vn), lim(un.vn), limunvn.

Lời giải:

a) Ta có:

limun = lim(3 + 1n) = lim3 + lim1n= 3 + 0 = 3.

limvn = lim(5 – 2n2) = lim5 – lim2n2= 5 – 0 = 5.

b) lim(un + vn) = limun + limvn = 3 + 5 = 8.

lim(un – vn) = limun – limvn = 3 – 5 = – 2.

lim(un.vn) = limun.limvn = 3.5 = 15.

limunvn= limunlimvn=35.

Giải Toán 11 trang 65 Tập 1

Bài 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim5n+12n;

b) lim6n2+8n+15n2+3;

c) limn2+5n+36n+2;

d) lim213n;

e) lim3n+2n4.3n;

g) lim2+1n3n.

Lời giải:

a) lim5n+12n = lim52+12n=lim52+lim12n=52.

Bài 2 trang 65 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Bài 3 trang 65 Toán 11 Tập 1: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u), với u1=23, q=-14.

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.

Lời giải:

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), với u1=23, q=-14là:

Bài 3 trang 65 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

b) Ta có:

1,(6) = 1 + 0,(6) = 1 + 0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ...

Dãy số 0,6; 0,006; 0,0006; ... lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 0,6 và công bội q = 110có |q| < 1 nên ta có:

0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ... =0,61110=23.

Suy ra 1,(6) = 1 + 23=53.

Bài 4 trang 65 Toán 11 Tập 1: Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích Sn của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Bài 4 trang 65 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

a) Gọi Sn là diện tích của hình vuông thứ n.

Ta có: S1 = 1; S2 = 12; S3 = 122; ...

Dãy (Sn) lập thành cấp số nhân có số hạng đầu S1 = 1 và công bội q = 12có công thức tổng quát là: Sn = 12n1.

b) Ta có: |q|=|12|<1nên dãy (S) trên lập thành một cấp số nhân lùi hạn nên ta có:

S = 1+12+122+123+...+12n1+...=1112=2.

Vậy tổng diện tích của các hình vuông là 2 (đvdt).

Bài 5 trang 65 Toán 11 Tập 1: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân ra thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021).

Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un).

b) Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn bé lại bé hơn 10– 6 g.

Lời giải:

a) Ta có: u1 = 1; u2 = 12; u3 = 122; ...

Suy ra (u) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và q = 12có số hạng tổng quát là: un=12n1.

b) Ta có: limun=lim12n1=0.

c) Đổi un=12n1kg=12n1.103g

Để chất phóng xạ bé hơn 10-6 (g) thì 12n1.103<106n>31.

Vậy cần ít nhất 30 chu kì tương ứng với 720 000 năm khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người.

Bài 6 trang 65 Toán 11 Tập 1: Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính AB2.

C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính AB4, ...

Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính AB2n,...(Hình 4).

Gọi Pn là độ dài của C, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB.

a) Tính pn, Sn.

b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).

Bài 6 trang 65 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

a)

+) Ta có: p1 = πR2; p2 = πR4=πR22; p3 = πR8=πR23; ...

(pn) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p1 = πR2và công bội q = 12<1 có số hạng tổng quát pn = πR2.12n1.

+) Ta có: C1 = πR24; C2 = πR242; C3 = πR343; ...

(Cn) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu C1 = πR24và công bội q = 14<1có số hạng tổng quát Cn = πR4.14n1.

Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

- Dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu limn+un=0 hay un0 khi n+ hay limun=0.

- Dãy số (un)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu limn+(una)=0, kí hiệu limn+un=ahay una khi n+hay limun=a.

* Chú ý: Nếu un=c (c là hằng số) thì limn+un=c

2. Một số giới hạn cơ bản

+ lim1n=0,lim1nk=0,kZ.

+ limcn=0,limcnk=0,kZ, c là hằng số.

+ Nếu |q|<1 thì limqn=0

+ lim(1+1n)n=e

3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Nếu limn+un=a,limn+vn=b thì

limn+(un±vn)=a±b

limn+(un.vn)=a.b

limn+(unvn)=ab(b0)

b, Nếu un0 thì với mọi n và limn+un=a thì a0limn+un=a.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn u1,u1q,...,u1qn1,... có công bội q thỏa mãn |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

S=u11q(|q|<1)

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +khi n+ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limx+un=+ hay un+ khi n+.

- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn khi n+ nếu limx+(un)=+, kí hiệu limx+un= hay un khi n+.

*Nhận xét:

  • limnk=+,kZ+limqn=+;qR,q>1.
  • Nếu limx+un=alimx+vn=+(hoặclimx+vn=) thì limn+(unvn)=0.
  • Nếu limx+un=a>0limx+vn=0,n thì limn+(unvn)=+.
  • limn+(unvn)=+.
  • Nếu limx+un=+limn+(un)=
Lý thuyết Giới hạn của dãy số – Toán 11 Cánh diều (ảnh 1)

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

1 3,426 17/09/2024


Xem thêm các chương trình khác: