Giải Toán 11 trang 63 Tập 1 Cánh diều

Với giải bài tập Toán 11 trang 63 Tập 1 trong Bài 1: Giới hạn của dãy số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 63 Tập 1.

1 316 02/11/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 63 Tập 1

Hoạt động 4 trang 63 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n), với u₁ = 1 và công bội q= $\frac{1}{2}$ .

a) Hãy so sánh |q| với 1.

b) Tính S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n. Từ đó, hãy tính limS_n.

Lời giải:

a) Ta có: |q| = $\frac{1}{2}$ < 1.

b) Ta có: (u_n) là cấp số nhân lùi vô hạn có tổng n số hạng đầu tiên là:

$S_{n} = \frac{1. (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})}{1 - \frac{1}{2}} = 2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})$

$\lim S_{n} = \lim 2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{n}) = \lim 2. \lim (1 - {(\frac{1}{2})}^{n}) = 2$ .

Luyện tập 5 trang 63 Toán 11 Tập 1: Tính tổng M = 1- $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} - ... + {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} + ...$

Lời giải:

Ta có dãy số 1; $- \frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{2^{2}}$ ; ...; ${(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ ; ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = $- \frac{1}{2}$ thỏa mãn |q| < 1.

Do đó ta có: $M = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} - ... + {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} + ... = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{2})} = \frac{2}{3}$ .

Luyện tập 6 trang 63 Toán 11 Tập 1: Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.

Lời giải:

Giả sử vận tốc của Asin gấp đôi vận tốc của chú rùa và khoảng cách lúc đầu là a.

Khi Asin chạy được a thì chú rùa chạy được $\frac{a}{2}$ .

Khi Asin chạy tiếp được $\frac{a}{2}$ thì chú rùa chạy được $\frac{a}{4}$ .

Do đó tổng quãng đường Asin phải chạy để đuổi kịp chú rùa là:

$a + \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} + ...$

Theo lập luận của Asin tổng này là tổng vô hạn nên không bao giờ Asin đuổi kịp chú rùa.

Tuy nhiên các số hạng của tổng này lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = a và công bội q = $\frac{1}{2}$ < 1.

Nên ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn bằng:

$S = a + \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} + ... = \lim \frac{a (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})}{1 - \frac{1}{2}} = 2 a$ .

Vì vậy tổng này là hữu hạn do đó Asin hoàn toàn có thể chạy để đuổi kịp rùa.

IV. Giới hạn vô cực

Hoạt động 5 trang 63 Toán 11 Tập 1: Quan sát dãy số (u_n) với u_n = n² và cho biết giá trị của n_n có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải:

Ta có bảng giá trị sau:

n	1	2	3	...	100	...	1001
u_n	1	4	9	...	10 000	...	1 002 001

Từ đó ta có các nhận xét sau:

+) Kể từ số hạng thứ 2 trở đi thì u_n> 1 .

+) Kể từ số hạng thứ 101 trở đi thì u_n > 10 000.

...

Vậy ta thấy u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 59 Tập 1

Giải Toán 11 trang 60 Tập 1

Giải Toán 11 trang 62 Tập 1

Giải Toán 11 trang 63 Tập 1

Giải Toán 11 trang 64 Tập 1

Giải Toán 11 trang 65 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Câu hỏi khởi động trang 59 Toán 11 Tập 1: Zénon (Zê – nông, 496 – 429 trước Công Nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở thành phố Edée đã phát biểu nghịch lí như sau...

Hoạt động 1 trang 59 Toán 11 Tập 1: Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số (u_n), với u_n = trên hệ trục tọa độ...

Luyện tập 1 trang 60 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng: a) lim 0 = 0;...

Hoạt động 2 trang 60 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n), với u_n = 2 + $\frac{1}{n}$ . Tính $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} - 2)$ ...

Luyện tập 3 trang 62 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng: lim ${(\frac{e}{π})}^{n}$ = 0...

Hoạt động 3 trang 62 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với u_n = 8+ $\frac{1}{n}$ ; v_n = 4- $\frac{2}{n}$ .

a) Tính limu_n, limv_n...

Luyện tập 4 trang 62 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau: a) lim $\frac{8 n^{2} + n}{n^{2}}$ ;...

Hoạt động 4 trang 63 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n), với u₁ = 1 và công bội q= $\frac{1}{2}$ .

a) Hãy so sánh |q| với 1...

Luyện tập 5 trang 63 Toán 11 Tập 1: Tính tổng M = 1- $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} - ... + {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} + ...$

Luyện tập 6 trang 63 Toán 11 Tập 1: Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng...

Hoạt động 5 trang 63 Toán 11 Tập 1: Quan sát dãy số (u_n) với u_n = n² và cho biết giá trị của n_n có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi...

Luyện tập 7 trang 64 Toán 11 Tập 1: Tính lim(– n³)...

Luyện tập 8 trang 64 Toán 11 Tập 1: Chứng tỏ rằng lim $\frac{n - 1}{n^{2}}$ =0...

Bài 1 trang 64 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với u_n = 3 + $\frac{1}{n}$ , v_n = 5 – $\frac{2}{n^{2}}$ . Tính các giới hạn sau...

Bài 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau: a) lim $\frac{5 n + 1}{2 n}$ ;...

Bài 3 trang 65 Toán 11 Tập 1: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n), với u₁= $\frac{2}{3}$ , q=- $\frac{1}{4}$ .

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số...

Bài 4 trang 65 Toán 11 Tập 1: Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3...

Bài 5 trang 65 Toán 11 Tập 1: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm...

Bài 6 trang 65 Toán 11 Tập 1: Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R. C₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{A B}{2}$ ...

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

1 316 02/11/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: